Vom Satz des PYTHAGORAS und vom Satz des THALES - rechtwinklige Dreiecke
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Formal Metadata
| Title |
Vom Satz des PYTHAGORAS und vom Satz des THALES - rechtwinklige Dreiecke
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| Title of Series | |
| Part Number |
17
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| Author |
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| Contributors |
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| License |
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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| DOI | |
| Publisher |
SciFox
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| Release Date |
2013
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| Language |
German
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Content Metadata
| Subject Area |
00:00
Geometry
Sierpinski triangle
Surface
Interface (chemistry)
Summation
Summation
00:13
Sierpinski triangle
Geometry
Meeting/Interview
Square
00:27
Sierpinski triangle
Meeting/Interview
Interface (chemistry)
Triangle
Square
01:03
Point (geometry)
Geometry
Sierpinski triangle
Binomische Formel
Strecke
THALES <Programm>
01:36
Equilateral triangle
Meeting/Interview
01:52
Equilateral triangle
Geometry
Sierpinski triangle
02:06
Sierpinski triangle
Beta function
Lecture/Conference
Triangle
Summation
02:29
Point (geometry)
Sierpinski triangle
Triangle
Diagram
02:55
Sierpinski triangle
Triangle
Equation
Strecke
00:01
Für rechtwinklige Dreiecke gilt der Satz des PYTHAGORAS: Die Summe der Flächen der Kathetenquadrate ist gleich der Fläche des Hypotenusenquadrats. a² + b² = c² Zum Beweis
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des Satzes von PYTHAGORAS legen wir acht rechtwinklige Dreiecke zu einem Quadrat zusammen.
00:22
Ein inneres Quadrat (rot gezeichnet) bleibt frei. Die vier Dreiecke, welche das
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rote Quadrat berühren, bilden zusammen mit diesem ein neues Quadrat mit der Seitenlänge c. Für dieses neue Quadrat können wir formulieren: Fläche (c²) ist gleich der Fläche der grünen Dreiecke plus der Fläche des roten
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Quadrates. Jedes rechtwinklige Dreieck hat die Fläche 1/2*a*b. Diese müssen wir vervierfachen, um die gesamte grüne Fläche zu erhalten. Das rote Quadrat hat die Fläche (b-a)² 4 * 1/2 * a * b = 2ab nach der 2.
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Binomischen Formel ist (b-a)²= b²-2ab+a² Wir erhalten also a²+b²=c² - den Satz von PYTHAGORAS.
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Wenn wir über eine Strecke AB einen Halbkreis aufspannen, und auf dem Halbkreis irgendeinen Punkt C aussuchen, dann sind die entstehenden Dreiecke ABC immer rechtwinklig. Das ist der Satz des THALES. Wir
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können den Satz des THALES beweisen, indem wir eine weitere Gerade von C zum Mittelpunkt unseres Halbkreises einzeichnen. Wir
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erhalten dann zwei gleichseitige Dreiecke. ((Wiederholung)) Wir erhalten zwei gleichseitige
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Dreiecke. Die beiden Winkel gamma und delta ergänzen sich zu 180° (Nebenwinkel)
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Die Winkel alpha=alpha´ und beta=beta´ der gleichseitigen Dreiecke können wir mit Hilfe der Winkelsumme des Dreiecks ermitteln:
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Wenn wir diese Beziehungen kombinieren, erhalten wir als Resultat, dass die Summe aus alpha und beta immer 90° sein muss. Wir wollen ermitteln, an welcher Stelle der
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Schwerpunkt S auf den Seitenhalbierenden liegt. (A-M(a), B-M(b), C-M(c)) Dazu skizzieren wir alle drei Seitenhalbierenden in einem beliebigen Dreieck und betrachten die ähnlichen Dreiecke (blau) und (grün). Die
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unsere Seite des blauen Dreiecks (M(a)M(b)) verhält sich zur unteren Seite des grünen Dreiecks (AB) genauso wie die linke Seite des blauen Dreiecks (AC) zur linken Seite des grünen Dreiecks (CM(b)): dieses Verhältnis ist 2, denn es handelt sich beim Punkt M um die Seitenhalbierende. Wir betrachten im
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selben Diagramm zwei weitere ähnliche Dreiecke: ein orangefarbenes Dreieck und ein rotes
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Dreieck. Die Strecke AS ist die lange Seite der Seitenhalbierenden; Die Strecke SM(a) ist die kurze Seite der Seitenhalbierenden. Entsprechend dem Strahlensatz verhalten sich diese beiden Strecken genauso wie die lange Seite des roten Dreiecks (AB) zur langen Seite des orangefarbenen Dreiecks
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(M(a)M(b)). Zusammen mit der ersten Gleichung ergibt sich, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im
