Vom Satz des PYTHAGORAS und vom Satz des THALES - rechtwinklige Dreiecke

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Formal Metadata

Title
Vom Satz des PYTHAGORAS und vom Satz des THALES - rechtwinklige Dreiecke
Title of Series
Part Number
17
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License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Geometry Sierpinski triangle Surface Interface (chemistry) Summation Summation
Sierpinski triangle Geometry Meeting/Interview Square
Sierpinski triangle Meeting/Interview Interface (chemistry) Square
Geometry Sierpinski triangle Binomische Formel Strecke THALES <Programm>
Equilateral triangle Meeting/Interview
Equilateral triangle Geometry Sierpinski triangle Angle
Sierpinski triangle Beta function Lecture/Conference Summation
Sierpinski triangle Diagram
Sierpinski triangle Equation Strecke
Für rechtwinklige Dreiecke gilt der Satz des PYTHAGORAS: Die Summe der Flächen der Kathetenquadrate ist gleich der Fläche des Hypotenusenquadrats. a² + b² = c² Zum Beweis
des Satzes von PYTHAGORAS legen wir acht rechtwinklige Dreiecke zu einem Quadrat zusammen.
Ein inneres Quadrat (rot gezeichnet) bleibt frei. Die vier Dreiecke, welche das
rote Quadrat berühren, bilden zusammen mit diesem ein neues Quadrat mit der Seitenlänge c. Für dieses neue Quadrat können wir formulieren: Fläche (c²) ist gleich der Fläche der grünen Dreiecke plus der Fläche des roten
Quadrates. Jedes rechtwinklige Dreieck hat die Fläche 1/2*a*b. Diese müssen wir vervierfachen, um die gesamte grüne Fläche zu erhalten. Das rote Quadrat hat die Fläche (b-a)² 4 * 1/2 * a * b = 2ab nach der 2.
Binomischen Formel ist (b-a)²= b²-2ab+a² Wir erhalten also a²+b²=c² - den Satz von PYTHAGORAS.
Wenn wir über eine Strecke AB einen Halbkreis aufspannen, und auf dem Halbkreis irgendeinen Punkt C aussuchen, dann sind die entstehenden Dreiecke ABC immer rechtwinklig. Das ist der Satz des THALES. Wir
können den Satz des THALES beweisen, indem wir eine weitere Gerade von C zum Mittelpunkt unseres Halbkreises einzeichnen. Wir
erhalten dann zwei gleichseitige Dreiecke. ((Wiederholung)) Wir erhalten zwei gleichseitige
Dreiecke. Die beiden Winkel gamma und delta ergänzen sich zu 180° (Nebenwinkel)
Die Winkel alpha=alpha´ und beta=beta´ der gleichseitigen Dreiecke können wir mit Hilfe der Winkelsumme des Dreiecks ermitteln:
Wenn wir diese Beziehungen kombinieren, erhalten wir als Resultat, dass die Summe aus alpha und beta immer 90° sein muss. Wir wollen ermitteln, an welcher Stelle der
Schwerpunkt S auf den Seitenhalbierenden liegt. (A-M(a), B-M(b), C-M(c)) Dazu skizzieren wir alle drei Seitenhalbierenden in einem beliebigen Dreieck und betrachten die ähnlichen Dreiecke (blau) und (grün). Die
unsere Seite des blauen Dreiecks (M(a)M(b)) verhält sich zur unteren Seite des grünen Dreiecks (AB) genauso wie die linke Seite des blauen Dreiecks (AC) zur linken Seite des grünen Dreiecks (CM(b)): dieses Verhältnis ist 2, denn es handelt sich beim Punkt M um die Seitenhalbierende. Wir betrachten im
selben Diagramm zwei weitere ähnliche Dreiecke: ein orangefarbenes Dreieck und ein rotes
Dreieck. Die Strecke AS ist die lange Seite der Seitenhalbierenden; Die Strecke SM(a) ist die kurze Seite der Seitenhalbierenden. Entsprechend dem Strahlensatz verhalten sich diese beiden Strecken genauso wie die lange Seite des roten Dreiecks (AB) zur langen Seite des orangefarbenen Dreiecks
(M(a)M(b)). Zusammen mit der ersten Gleichung ergibt sich, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im
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