Zwei Dreiecke heißen ähnlich. wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (dann stimmen sie auch im dritten Winkel überein. Spiegelungen oder Rotationen liefern weitere ähnliche Dreiecke. Bei der Rotation eines Dreiecks bleibt die Orientierung ABC (hier: gegen den Uhrzeigersinn) erhalten; bei einer Spiegelung eines

Dreiecks dreht sich die Orientierung um. Zwar Geraden s(1) und s(2) schneiden sich unter einem Winkel; außerdem haben wir zwei weitere parallele Geraden p(1) und p(2). In dieser Konstruktion erkennen wir zwei ähnliche Dreiecke: Das rot gezeichnete Dreieck ZAC und das blau gezeichnete Dreieck

ZBD Jede Seite des blauen Dreiecks ist um einen Faktor f länger als die entsprechende Seite des roten Dreiecks: Die Seiten-Verhältnisse a´/a, b´/b und c´/c sind konstant (=f). Das ist die Aussage des Strahlensatzes. Mit Hilfe des Strahlensatzes hat THALES die Höhe der CHEOPS-Pyramide

ermittelt: Die CHEOPS-Pyramide wirft einen Schatten der Länge C; ein Stab der Länge A wirft einen Schatten der Länge B. Wir können zwei ähnliche Dreiecke erkennen, beziehungsweise eine Strahlensatz-Konstruktion aufbauen: Die Höhe der Pyramide D verhält sich zur Höhe des Stabes A genauso wie

die Länge des Schattens der Pyramide C zur Länge des Schattens des Stabes B. Der Schatten der Pyramiden ist 90-mal länger als der Schatten des Stabes; also ist die Pyramide selbst 90-mal höher als der Stab. Der Stab hat eine Höhe von 1,63 m.

Das heißt die Pyramide hat eine Höhe von 146,7 m. In dieser Strahlensatz-Konstruktion erkennen wir ebenfalls zwei ähnliche Dreiecke. Wir formulieren die Vierfeldertafel: Die lange horizontale Strecke a verhält sich zur kurzen horizontalen Strecke b wie die lange vertikale Strecke

(x+c) zur kurzen vertikalen Strecke x. Wir formulieren die Quotientengleichheit, lösen nach x auf und erhalten x=c / (a/b-1) Einsetzen der Zahlen ergibt für x = 48 m.

Der Strahlenwert sagt uns, dass das Verhältnis der rechten Seiten der beiden Dreiecke genauso groß ist wie das Verhältnis der linken beiden Seiten. Wir betrachten zwei Punkte A und B, die eine Dreieckseite symbolisieren. Auf der Mittelsenkrechte m befinden sich alle Punkte, die von A und B

gleichen Abstand haben. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt; dieser gemeinsame Punkt hat von allen Ecken den gleichen Abstand - es handelt sich also um das Zentrum des Umkreises des Dreiecks. Wir zeichnen ein Dreieck ABC und fällen von C das Lot auf die Strecke AB.

Der Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem Punkt C ist die Höhe des Dreiecks h(c). Aus der Höhe des Dreiecks und der Länge AB ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks (1/2*c*h(c)). Der Lotfußpunkt muss nicht innerhalb des Dreiecks liegen und es ist egal,

welche Höhe man nimmt, um die Dreiecks-Flächen zu berechnen. Auf der Winkelhalbierenden liegen alle Punkte, die von den beiden Schenkeln des Winkels gleichen Abstand haben. Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dieser Punkt hat von allen Seiten des Dreiecks gleichen Abstand - es handelt sich um den

Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. Wenn wir die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks einzeichnen (mit M markieren) und diese Mittelpunkte mit den gegenüberliegenden Ecken verbinden, erhalten wir die Seitenhalbierende. Auch diese schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt. Ein gleichseitiges

Dreieck hat nicht nur drei gleiche Seiten, sondern auch drei gleiche Winkel. Jeder beträgt 60°. Beim rechtwinkligen Dreieck bezeichnen wir die beiden kurzen Seiten als Katheten und die lange Seite als Hypotenuse. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte des Produktes der Kathetenlängen.