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Vom Strahlensatz und von ähnlichen Dreiecken (Pyramidenberechnung nach Thales)

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Zwei Dreiecke heißen ähnlich. wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (dann stimmen sie auch im dritten Winkel überein. Spiegelungen oder
Rotationen liefern weitere ähnliche Dreiecke. Bei der
Rotation eines Dreiecks bleibt die Orientierung ABC (hier: gegen den Uhrzeigersinn) erhalten; bei einer Spiegelung eines
Dreiecks dreht sich die Orientierung um. Zwar Geraden s(1) und s(2) schneiden sich unter einem Winkel; außerdem haben wir zwei weitere parallele Geraden p(1) und p(2). In dieser Konstruktion erkennen wir zwei ähnliche Dreiecke: Das rot gezeichnete Dreieck ZAC und das blau gezeichnete Dreieck ZBD Jede Seite des blauen Dreiecks ist um einen Faktor f
länger als die entsprechende Seite des roten Dreiecks: Die
Seiten-Verhältnisse a´/a, b´/b und c´/c sind konstant (=f). Das ist die Aussage des Strahlensatzes. Mit Hilfe des Strahlensatzes hat THALES die Höhe der CHEOPS-Pyramide
ermittelt: Die CHEOPS-Pyramide wirft einen Schatten der Länge
C; ein Stab der Länge A wirft einen Schatten der Länge B. Wir können zwei ähnliche Dreiecke erkennen, beziehungsweise
eine Strahlensatz-Konstruktion aufbauen: Die Höhe der Pyramide D verhält sich zur Höhe des Stabes A genauso wie
die Länge des Schattens der Pyramide C zur Länge des Schattens des Stabes B. Der Schatten der Pyramiden ist 90-mal
länger als der Schatten des Stabes; also ist die Pyramide selbst 90-mal höher als der Stab. Der Stab hat eine Höhe von 1,63 m.
Das heißt die Pyramide hat eine Höhe von 146,7 m. In dieser Strahlensatz-Konstruktion erkennen wir ebenfalls zwei
ähnliche Dreiecke. Wir formulieren die Vierfeldertafel:
Die lange horizontale Strecke a verhält sich zur kurzen horizontalen Strecke b wie die lange vertikale Strecke (x+c) zur kurzen vertikalen Strecke x. Wir formulieren die Quotientengleichheit, lösen nach x auf und erhalten x=c / (a/b-1) Einsetzen der Zahlen ergibt für x = 48 m.
Der Strahlenwert sagt uns, dass das Verhältnis der rechten Seiten der beiden Dreiecke genauso groß ist wie das Verhältnis der linken beiden Seiten. Wir betrachten zwei Punkte A
und B, die eine Dreieckseite symbolisieren. Auf der Mittelsenkrechte m befinden sich alle Punkte, die von A und B gleichen Abstand haben. Die drei Mittelsenkrechten eines
Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt; dieser
gemeinsame Punkt hat von allen Ecken den gleichen Abstand - es handelt sich also um das Zentrum des Umkreises des Dreiecks.
Wir zeichnen ein Dreieck ABC und fällen von C das Lot auf die Strecke AB. Der Abstand zwischen dem Lotfußpunkt und dem Punkt C ist die Höhe des Dreiecks h(c).
Aus der Höhe des Dreiecks und der Länge AB ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks (1/2*c*h(c)).
Der Lotfußpunkt muss nicht innerhalb des Dreiecks liegen und es ist egal, welche Höhe man nimmt, um die Dreiecks-Flächen zu berechnen.
Auf der Winkelhalbierenden liegen alle Punkte, die von den beiden Schenkeln des Winkels gleichen Abstand haben. Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dieser Punkt hat von allen Seiten des
Dreiecks gleichen Abstand - es handelt sich um den
Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
Wenn wir die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks einzeichnen (mit M markieren) und diese Mittelpunkte mit den gegenüberliegenden Ecken verbinden, erhalten wir die Seitenhalbierende. Auch diese schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt. Ein gleichseitiges
Dreieck hat nicht nur drei gleiche Seiten, sondern auch drei gleiche Winkel. Jeder beträgt 60°. Beim
rechtwinkligen Dreieck bezeichnen wir die beiden kurzen Seiten als Katheten und die lange Seite als Hypotenuse. Die Fläche
eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte des Produktes der Kathetenlängen.
Sierpinski-Dichtung
Länge
Faktorisierung
Punkt
THALES <Programm>
Pyramide
Stab
Besprechung/Interview
Höhe
Elementargeometrie
Gleichseitiges Dreieck
Abschattung
Vorlesung/Konferenz
Flächeninhalt
Pyramide
Gerade
Strahlensätze
Rotation
Winkel
Fläche
Biprodukt
Dreieck
Zahl
Strecke
Strahlensätze
Flächeninhalt
Höhe
Dreieck
Horizontale
Ecke

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Strahlensatz und von ähnlichen Dreiecken (Pyramidenberechnung nach Thales)
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 16
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17866
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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