Von Potenzen mit Brüchen als Exponenten - Umrechnung der Basis

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Formal Metadata

Title
Von Potenzen mit Brüchen als Exponenten - Umrechnung der Basis
Title of Series
Part Number
13
Author
Contributors
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Potenz <Mathematik> Rational number Integer
Potenz <Mathematik> Zahl Length of stay Lecture/Conference Equation
Lecture/Conference Stammbruch Exponentiation Negative number
Lecture/Conference Exponentiation
Potenz <Mathematik> Zahl Lecture/Conference Exponentiation
Zahl Lecture/Conference
Lecture/Conference Exponentiation
Vacuum Potenz <Mathematik> Lecture/Conference Strecke
Metre Lecture/Conference
Potenz <Mathematik> Lecture/Conference Exponentiation Umrechnung
E (mathematical constant) Lecture/Conference Exponentiation Umrechnung Factorization
Elementary arithmetic Lecture/Conference Exponentiation Multiplication
Potenz <Mathematik> Lecture/Conference Exponentiation Exponentiation Multiplication
Bisher haben wir nur ganze Zahlen als Exponenten betrachtet, jetzt wollen wir auch rationale Zahlen
als Exponenten zulassen. Wenn wir die Gleichung Wurzel(2)=2^x lösen, kommen wir zu einer rationalen
Zahl als Exponaten: Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung, die rechte Seite liefert (2^x)^2. Nach der "Bierkastenregel" entspricht diese 2^(2x). Die linke Seite liefert (Wurzel(2))², also 2 2^(2x) gleich 2^1. Wenn die Gleichung wahr sein soll, müssen die Exponenten übereinstimmen, muss 2x=1 sein. Es ergibt sich x=1/2.
Ein Stammbruch 1/m als Exponent entspricht der m-ten Wurzel aus der Basis. (Einschränkung: die Basis a
muss größer als Null sein, denn Wurzeln aus negativen Zahlen können wir noch nicht berechnen.) Wenn a
hoch (1/m) gleich der m-ten Wurzel aus a ist, dann ist a hoch (n/m) gleich der bei n-ten Potenz von dieser m-ten Wurzel. Entweder schreiben wir die n-te
Potenz unter die Wurzel oder wir klammern die Wurzel ein und schreiben die n-te Potenz um die Klammer herum.
(1/8) hoch (-1/3) Zunächst verwandeln wir den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem wir 1 durch (1/8) hoch (+1/3) schreiben.
Dann spalten wir den Nenner in 2 Potenzen auf (1/8) hoch (1/3) gleich 1 hoch (1/3) durch 8 hoch (1/3) Eine Zahl a hoch (1/3) entspricht der dritten
Wurzel aus dieser Zahl 1 durch dritte Wurzel aus
1 durch dritte Wurzel aus 8 oder 1 durch 1/2.
Der Kehrwert von 1/2 ist 2. Dritte Wurzel aus a²
mal dritte Wurzel aus a. Wir wandeln die Wurzelausdrücke in Potenzen um. a hoch (2/3) mal a hoch (1/3) Wir multiplizieren Potenzen mit gleicher Basis,
indem wir die Exponenten addieren. Wir erhalten a hoch (2/3 + 1/3) gleich a hoch 1. Ein Lichtjahr
ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt ca. 300 000 km/s. ein Jahr sind 365 mal 24 mal 60 mal 60 gleich 3,1536 mal 10 hoch 7 Sekunden. Multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich ein Lichtjahr
zu 9,5 mal 10 hoch 15 Meter.
Man kann mit Licht in der Astronomie Entfernungen messen - z.B. die Entfernung Erde- Mond. Ein Lichtstrahl benötigt von der Erde zum Mond und zurück circa 2,5 Sekunden. Unter Berücksichtigung der Lichtgeschwindigkeit errechnet sich eine Entfernung von 3,9 mal 10 hoch 8 Meter Abstand zwischen Erde und Mond. Eine
Potenz zur Basis a kann in eine Potenz zur Basis b umgerechnet werden: Wir können aus dem Exponenten c den Exponenten d ermitteln. Nach Logarithmierung von a^c=b^d erhalten wir c mal log(a) = d mal
log(b) und damit d = c mal (log(a) durch log(b))
Zur Umrechnung einer Potenz zur Basis 2 in eine Zehnerpotenz muss der ursprüngliche Exponent mit dem Faktor (log(2)/log(10)) (ungefähr 0,3) multipliziert werden.
Zur Umrechnung einer Zehnerpotenz in eine "natürliche Potenz" (Potenz zur EULERschen Zahl e) muss der ursprüngliche Exponent mit dem Faktor (log(10)/log(e)) (ungefähr 2,3) multipliziert werden. (Zusammenfassung
Potenzrechnung) Wir haben Rechenregeln für die Grundrechenarten mit Potenzen kennengelernt. Wir können
einen Bruch als Exponent in einen Wurzelausdruck
umwandeln. Wir wissen, was negative Exponenten und was der Exponent Null bedeutet und wir können Potenzen
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