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Von Potenzen mit Brüchen als Exponenten - Umrechnung der Basis

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Title Von Potenzen mit Brüchen als Exponenten - Umrechnung der Basis
Title of Series Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Part Number 13
Author Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors Lauth, Anika (Medientechnik)
License CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI 10.5446/17863
Publisher SciFox
Release Date 2013
Language German

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Subject Area Mathematics
Series
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Transcript
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Bisher haben wir nur ganze Zahlen als Exponenten betrachtet, jetzt wollen wir auch rationale Zahlen
als Exponenten zulassen. Wenn wir die Gleichung Wurzel(2)=2^x lösen, kommen wir zu einer rationalen
Zahl als Exponaten: Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung, die rechte Seite liefert (2^x)^2. Nach der "Bierkastenregel" entspricht diese 2^(2x). Die linke Seite liefert (Wurzel(2))², also 2 2^(2x) gleich 2^1. Wenn die Gleichung wahr sein soll, müssen die Exponenten übereinstimmen, muss 2x=1 sein. Es ergibt sich x=1/2.
Ein Stammbruch 1/m als Exponent entspricht der m-ten Wurzel aus der Basis. (Einschränkung: die Basis a
muss größer als Null sein, denn Wurzeln aus negativen Zahlen können wir noch nicht berechnen.) Wenn a
hoch (1/m) gleich der m-ten Wurzel aus a ist, dann ist a hoch (n/m) gleich der bei n-ten Potenz von dieser m-ten Wurzel. Entweder schreiben wir die n-te
Potenz unter die Wurzel oder wir klammern die Wurzel ein und schreiben die n-te Potenz um die Klammer herum.
(1/8) hoch (-1/3) Zunächst verwandeln wir den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem wir 1 durch (1/8) hoch (+1/3) schreiben.
Dann spalten wir den Nenner in 2 Potenzen auf (1/8) hoch (1/3) gleich 1 hoch (1/3) durch 8 hoch (1/3) Eine Zahl a hoch (1/3) entspricht der dritten
Wurzel aus dieser Zahl 1 durch dritte Wurzel aus
1 durch dritte Wurzel aus 8 oder 1 durch 1/2.
Der Kehrwert von 1/2 ist 2. Dritte Wurzel aus a²
mal dritte Wurzel aus a. Wir wandeln die Wurzelausdrücke in Potenzen um. a hoch (2/3) mal a hoch (1/3) Wir multiplizieren Potenzen mit gleicher Basis,
indem wir die Exponenten addieren. Wir erhalten a hoch (2/3 + 1/3) gleich a hoch 1. Ein Lichtjahr
ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt ca. 300 000 km/s. ein Jahr sind 365 mal 24 mal 60 mal 60 gleich 3,1536 mal 10 hoch 7 Sekunden. Multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich ein Lichtjahr
zu 9,5 mal 10 hoch 15 Meter.
Man kann mit Licht in der Astronomie Entfernungen messen - z.B. die Entfernung Erde- Mond. Ein Lichtstrahl benötigt von der Erde zum Mond und zurück circa 2,5 Sekunden. Unter Berücksichtigung der Lichtgeschwindigkeit errechnet sich eine Entfernung von 3,9 mal 10 hoch 8 Meter Abstand zwischen Erde und Mond. Eine
Potenz zur Basis a kann in eine Potenz zur Basis b umgerechnet werden: Wir können aus dem Exponenten c den Exponenten d ermitteln. Nach Logarithmierung von a^c=b^d erhalten wir c mal log(a) = d mal
log(b) und damit d = c mal (log(a) durch log(b))
Zur Umrechnung einer Potenz zur Basis 2 in eine Zehnerpotenz muss der ursprüngliche Exponent mit dem Faktor (log(2)/log(10)) (ungefähr 0,3) multipliziert werden.
Zur Umrechnung einer Zehnerpotenz in eine "natürliche Potenz" (Potenz zur EULERschen Zahl e) muss der ursprüngliche Exponent mit dem Faktor (log(10)/log(e)) (ungefähr 2,3) multipliziert werden. (Zusammenfassung
Potenzrechnung) Wir haben Rechenregeln für die Grundrechenarten mit Potenzen kennengelernt. Wir können
einen Bruch als Exponent in einen Wurzelausdruck
umwandeln. Wir wissen, was negative Exponenten und was der Exponent Null bedeutet und wir können Potenzen
Rational number
Exponentiation
Integer
Zahl
Length of stay
Lecture/Conference
Exponentiation
Equation
Lecture/Conference
Stammbruch
Exponentiation
Negative number
Lecture/Conference
Exponentiation
Zahl
Lecture/Conference
Exponentiation
Zahl
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Exponentiation
Vacuum
Lecture/Conference
Exponentiation
Strecke
Metre
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Exponentiation
Umrechnung
E (mathematical constant)
Lecture/Conference
Exponentiation
Umrechnung
Factorization
Elementary arithmetic
Lecture/Conference
Exponentiation
Multiplication
Lecture/Conference
Exponentiation
Exponentiation
Multiplication
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