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Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten. Wenn wir dies als
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Funktion formulieren wollen, haben wir zwei Möglichkeiten: Wir können die Basis als Variable x wählen - dann erhalten wir Potenzfunktionen. Oder wir können den Exponenten als Variable x wählen, dann
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erhalten wir Exponentialfunktionen. Hier sehen Sie eine Reihe von Potenzfunktionen graphisch aufgetragen. Je nach Exponent a ergeben sich unterschiedliche Formen. Für a=1 erhalten wir eine Nullpunktsgerade (das bekannte direkt proportionale Verhältnis); für a=0 erhalten wir eine horizontale
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Gerade bei y=1. Für a=(-1) erhalten wir eine Hyperbel (diese beschreibt das bekannte
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umgekehrt proportionale Verhältnis) die Hyperbel hat zwei Äste - im
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ersten und im dritten Quadranten. Für a=2 erhalten wir eine Parabel und für a=3 erhalten wir eine S-förmige Kurve.
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Das direkt proportionale Verhältnis (welches wir mit dem Dreisatz berechnen
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können) ist ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit a=1. Nach dem HOOKEschen Gesetz ist die Länge einer Feder und die Kraft, die darauf einwirkt, direkt
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proportional. Das umgekehrt proportionale Verhältnis (a=(-1)) findet man im
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Hebelgesetz: Je größer die Kraft, desto kürzer der Hebelarm. Der Anhalteweg eines Fahrzeuges setzt sich zusammen
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aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg.
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Der Reaktionsweg ist proportional zur Ausgangsgeschwindigkeit (Potenzfunktion mit a=1); der Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit - dies entspricht einer Potenzfunktion
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mit n=2 (Parabel 2.Ordnung). Die Strahlungs-Energie, die ein glühender Körper abgibt, ist stark abhängig von seiner Temperatur - nach dem STEFAN-BOLTZMANN-Gesetz entspricht der Zusammenhang einer Potenzfunktion mit n=4 (Parabel 4.
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Ordnung). Hier sehen Sie eine Reihe von Exponentialfunktionen. Sie verlaufen alle durch den Punkt (0,1) (denn jede Basis a hoch 0 ist gleich 1). Wenn
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die Basis a größer ist als 1 sind die Funktionen ansteigend (z.B. f(x)=2^x oder f(x)=(1,5)^(x)) Wenn die Basis kleiner ist als 1, sind die Funktionen fallend (z.B. f(x)=(0,5)^x oder f(x)=(0,75)^x
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Exponentialfunktionen finden sich in Natur und Technik immer dann, wenn die absolute Zuwachsrate proportional
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zum Bestand ist. Wenn also der relativen Zuwachs konstant ist.
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Wenn eine Abbaurate proportional zum Bestand ist, haben wir exponentiellen Zerfall, etwa bei der Radioaktivität.
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Gleichbleibender Zinssatz führt zu einem exponentiellen Anstieg des Kapitals, denn auch hier ist der relative Zuwachs
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konstant. Exponentielles Wachstum (grün) schlägt auf lange Sicht jede andere Form des Wachstums (etwa proportionales Wachstum (rot) oder Potenzwachstum (blau).
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Exponentielles Wachstum ist auf lange Dauer nicht realisierbar; irgendwann ist jede Ressource aufgebraucht, wie das Beispiel des Josephspfennigs zeigt.
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Die Rechenregeln für Potenzen sind sehr hilfreich, wenn man
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Überschlagsrechnungen durchführen will. Wir können die Energie von gelbem Natriumlicht mit der Formel h*c/(lambda) berechnen. h ist die PLANCKsche Konstante c ist die Lichtgeschwindigkeit und lambda ist die Wellenlänge. In dieser
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Rechnung finden sich sehr große und sehr kleine Zahlen. Wir nutzen die wissenschaftliche Schreibweise für jede dieser Zahlen. 6,6*10^(-34) Js ist die PLANCKsche Konstante. 3*10^(8) m/s ist die Lichtgeschwindigkeit und 5,89*10^(-7) m ist die Wellenlänge. Wir fassen
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jetzt die Kommazahlen. die Zehnerpotenzen und die Einheiten zusammen. Bei den Einheiten können wir alles bis auf
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Joule kürzen. Der Zahlenwert ergibt ungefähr 3 und die Exponenten der Zehnerpotenzen können war einfach zusammen addieren. Wir erhalten 3*10^(-19) Joule.
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Wenn wir Potenzen potenzieren wollen, können wir uns ein weiteres Mal an die Definition der Potenz erinnern. (3 hoch 4) hoch 3 ist 3^4 * 3^4 * 3^4 oder ausgeschrieben (3*3*3*3)*(3*3*3*3)*(3*3*3*3) (das ganze zwölfmal) Wir sehen, dass eine Potenzierung einer Potenz mit einer Multiplikation der Exponenten einhergeht. (a^x)^y = a^(x*y) Man nennt dies auch die "Bierkastenregel": wenn jeder Kasten 20 Flaschen enthält,
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enthalten 3 Kästen 3*20 Flaschen. (Übungsaufgabe:) Minus Klammer auf a hoch
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minus zwei Klammer zu hoch minus drei. Wir können diese Aufgabe auf verschiedene Art und Weise lösen. Wir können z.B.
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zunächst den negativen Exponenten (-3) in einen positiven umwandeln, indem wir -(1/(a^(-2)³) formulieren. Dann können wir nach der Bierkastenregel die Potenz im Nenner zu a^(-6) zusammenfassen.
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1 durch a^(-6) ist a^(+6). Wir erhalten als Endergebnis -a^6.
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Aus dem heute Gesagtem folgt, dass wir mit den Exponenten oft einfachere Rechenoperationen durchführen als mit den Potenzen. Aus einer Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis wird die Addition von Exponenten. Aus einer Division von Potenzen mit gleicher Basis wird die Subtraktion von Exponenten. Und aus der Potenzierung von Potenzen
