Von Potenzen und ihrer Multiplikation und Division - negative Zahlen und Null als Exponent

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Formal Metadata

Title
Von Potenzen und ihrer Multiplikation und Division - negative Zahlen und Null als Exponent
Title of Series
Part Number
11
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

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Multiplication Exponentiation Multiplication Factorization
Addition Multiplication Term (mathematics) Exponentiation
Well-formed formula
Zahl
Exponentiation Associative property Multiplication
Military base Exponentiation Multiplication
Multiplication Exponentiation Division (mathematics) Division (mathematics) Subtraction
Exponentiation
Exponentiation Division (mathematics) Division (mathematics)
Multiplication Exponentiation Negative number Division (mathematics) Subtraction
Exponentiation Bruch <Mathematik> Subtraction
Exponentiation Negative number Exponentiation
Exponentiation Negative number
Exponentiation Decimal
Decimal
Frequency
Wie multipliziert man Potenzen? Für Potenzen mit gleicher Basis ist das kein Problem. Wir erinnern uns an die Definition der Potenz (2 hoch 7) = (siebenmal die 2) (2 hoch 3) = (dreimal die 3). Wir haben also insgesamt zehn Faktoren. Wir müssen die Exponenten addieren, wenn wir Potenzen gleicher Basis multiplizieren.
c^(2n) * c^(3n) Die Potenzen besitzen gleiche Basis - ihre Multiplikation entspricht einer Addition ihrer Exponenten c^(2n+3n) Den Exponenten können wir noch vereinfachen c^(5n) a^7 * b² * a³ * b^6 Wir können die Terme mit
der Basis a zusammenfassen und die Ausdrücke mit der
Basis b zusammenfassen: a^(7+3)*b^(2+6) a^(10) * b^(8) 0,005*10^6 * 0,123*10^3 Wir sollen diese Rechnung
überschlagsmäßig durchführen. Zunächst verschieben wir das
Komma der ersten Zahl um drei Stellen nach rechts und müssen dafür die Zehnerpotenz und 3 erniedrigen. Das Komma in der zweiten Zahl verschieben wir um eine Stelle nach rechts und müssen die Zehnerpotenz um eine Stelle erniedrigen. Wir erhalten somit 5*10^3 * 1,23*10^2 Wir fassen jetzt
geschickt zusammen und erhalten etwa 6*10^5 als Endergebnis.
Wir wollen zwei Potenzen mit gleichen Exponenten multiplizieren. Wir erinnern uns an die Definition 3^4 und 2^4 Wir sehen, dass wir nach dem Assoziativgesetz umstellen
können und das Produkt (3*2) jetzt viermal miteinander
multiplizieren müssen. Offensichtlich ist a^x * b^x gleich (a*b)^x. (3)^128 * (1/3)^128 Wir haben zweimal denselben Exponenten, wir können die Basen multiplizieren 3 * 1/3 = 1 1^(128) gleich 1. Wenn wir zwei Potenzen mit
gleicher Basis dividieren wollen, können wir dies ähnlich diskutieren wie für die Multiplikation. Wir erinnern
uns an die Definition der Potenzen und sehen, dass eine Division der Potenzen auf eine Subtraktion der
Exponenten hinausläuft. a^x : a^y = a^(x-y) auch 15 durch
Klammer auf 12 durch auch 3 a^(15) : (a^(12)/a³) Die Klammer wird zuerst berechnet: (a^(12)/a³) - wir ziehen die
Exponenten voneinander ab, erhalten dann a^(15) : a^9 (eine weitere Division) Wir
subtrahieren die Exponenten a^(15-9) = a^6.
Für die Division von Potenzen mit gleichen Exponenten gilt ähnliches wie für die Multiplikation.
a^x/b^x = (a/b)^x. Eine Division von Potenzen läuft manchmal auf eine Subtraktion von Exponenten hinaus. Diese Subtraktion kann auch zu negativen Zahlen führen. 3^4/3^7 =
3^(-3) Die Potenz 3^(-3) bedeutet also 1 durch 3^(+3). Generell ist a^(-x) = 1/a^x und umgekehrt a^x = 1/a^(-x) Ein Bruch (p/q) hoch (-x) ist gleich dem Kehrwert des Bruches
(q/p) hoch (+x). Bei der Subtraktion von Exponenten kann sich auch eine 0 ergeben: 3^4/3^4=3^0 3^0 entspricht
offensichtlich 1. Jede Basis hoch 0 ist identisch mit 1. Wir können auch Potenzen negativer Zahlen formulieren.
Durch Aufspaltung in ein Produkt kann man sich klarmachen,
dass (-x)^4 gleich ( (-1) * x )^4 ist oder (-1)^4 * x^4 oder x^4. Beachten Sie, dass die Potenzen negativer Zahlen nicht gleich bedeutend sind mit negativen Exponenten.
(Übungsaufgabe) 1/g^(-3) = g^(+3) Negative Potenzen
im wichtigen Dezimalsystem besitzen eigene Bezeichnungen
(Vorsilben) Ein Zehntel ( 10^(-1) ) ist ein dezi (d) Ein Hundertstel ( 10^(-2) ) ist ein Zenti (c) und ein Tausendstel ( 10^(-3) ) ist ein Milli (m). Ein Millionstel ist mikro (µ), ein Milliardstel nano (n), ein Billionstel
piko (p) und ein Billiardstel femto (f). 10^(-18) - ein Trillionstel ist atto (a). Man kann diese Vorsilben z.B.
nutzen, um sehr schnelle Prozesse zu quantifizieren.
Ein Elektronenblitz hat eine Dauer von etwa 1 µs (Mikrosekunde); molekulare Schwingungen besitzen Perioden von einigen ps (Pikosekunden).
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