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Von Potenzen und ihrer Addition - Basis und Exponent

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Wenn wir die Zahl 2 20-mal mit sich selbst multiplizieren wollen, ist das ein umfangreicher Ausdruck. Die Mathematik hat eine Abkürzung für derartige Terme definiert – die Exponentenschreibweise. 20 Faktoren 2 multipliziert wird abgekürzt mit 2 hoch 20. Die Zahl 2 nennen wir Basis a. Die Zahl 20 nennen wir Exponent n und den gesamten Ausdruck nennen wir Potenz.
(1/2)³ ist also eine Abkürzung für (1/2)*(1/2)*(1/2). Nach den Rechenregeln für die Multiplikation von Brüchen erhalten wir hierfür 1/8. Wichtig sind vor allem
die Potenzen der Zahl 10, denn sie machen unser
Dezimalsystem aus. 10 hoch 6 ist 10*10*10*10*10*10 oder eine Million Zehn hoch neun ist 10*10*10*10*10*10*10*10*10
oder eine Milliarde Die Potenzen von 10 sind die Grundlage
unseres Dezimalsystems; jede mehrstellige Zahl im Dezimalsystem ist auf die Art und Weise zu lesen: Die Zahl (2^20=) 1 048 576 im Dezimalsystem
bedeutet: (1 mal 10 hoch 6) plus (0 mal 10 hoch 5) plus (4 mal 10 hoch 4) plus (8 mal 10 hoch 3) plus (5 mal 10 hoch 2) plus (7 mal 10 hoch 1) plus (6 mal 10 hoch 0). In der sogenannten wissenschaftlichen
Schreibweise will man sehr große (und kleine) Zahlen vermeiden. Man scheibt dann für 2 hoch 20 auch 1,048576 mal 10 hoch 6. Das Dezimalsystem
ist von besonderer Bedeutung, so dass Potenzen von Zehn spezielle Bezeichnungen haben: 10 hoch 3 oder 1 000 ist 1 Kilo (1K) 10 hoch 6 oder 1 Million ist 1 Mega (1M), 10 hoch 9 oder 1 Milliarde ist 1 Giga (1G), 10 hoch 12 oder 1 Billion ist 1 Tera (1T), 10 hoch 15 oder 1 Billiarde ist 1 Peta (1P) 10 hoch 18 oder 1 Trillion ist 1 Exa (1E). Auch Zehnerpotenzen
mit sehr großen Exponenten haben eigene Bezeichnungen 10 hoch 100 ist ein Googol, 10 hoch 6 000 ist eine Millinillion. Nach dem MOOREschen
Gesetz verdoppelt sich die Computerleistung etwa
alle 1,5 Jahre; die logarithmische Darstellung der Computerleistung gegen die Zeit ergibt
tatsächlich ungefähr eine Gerade. Ein Supercomputer hatte z.B. im Jahr 2009 eine Rechenleistung von einer Billiarde Rechenoperationen pro Sekunde (FLOPS), also 1 Peta-FLOPS. Auch für das in der Computertechnik so wichtige Binärsystem gibt es Vorsilben: 2 hoch 10 ist 1 kibi (ki), 2 hoch 20 ist 1 mebi (Mi), 2 hoch 30 ist 1 gibi (Gi), 2 hoch 40 ist 1 tebi (Ti), 2 hoch 50 ist ein pebi (Pi) und 2 hoch 60 ist 1 exbi (Ei).
Gleichartige Potenzen können wir leicht addieren - wir nutzen das Distributivgesetz 1*10^12 + 1,5*10^12 = 2,5*10^12. Wenn wir 1*10^12 und 500*10^9 addieren
sollen, benötigen wir einen Zwischenschritt. Wir erhöhen im zweiten Term die Potenz von 10 um 3
und verschieben das Komma gleichzeitig 3 Stellen weiter nach links. Damit erhalten wir zwei gleichnamige
Potenzen, 1*10^12 + 0,5*10^12 = 1,5*10^12. (Übungsaufgabe) a^10 + a^9 + a^8 Wir erinnern uns
an die Definition der Potenzschreibweise und
zerlegen a^10 und a^9 in Produkte die a^8 enthalten. Jetzt können wir nach dem Ausklammern von a^8
addieren. Die Übungsaufgabe 4^7 + 4^7 wollen wir
ganz ausführlich rechnen. Wir können immer eine 1 vor einen Summanden schreiben, wir können dann 4^7 ausklammern; (1+1) in der Klammer wird 2.
Addition
Faktorisierung
Summand
Exponent
Mathematik
Distributivgesetz
Biprodukt
Term
Dualsystem
Zahl
Faktorisierung
Multiplikation
Dezimalsystem
Dualsystem
Dezimalsystem
Bruch <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Addition
Billiarde
Gerade

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Von Potenzen und ihrer Addition - Basis und Exponent
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 10
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17860
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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