Von Potenzen und ihrer Addition - Basis und Exponent

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Formal Metadata

Title
Von Potenzen und ihrer Addition - Basis und Exponent
Title of Series
Part Number
10
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German

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Subject Area
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Zahl Mathematics Lecture/Conference Term (mathematics) Exponentiation Factorization Factorization
Multiplication Lecture/Conference Bruch <Mathematik>
Zahl Lecture/Conference Exponentiation
Zahl Lecture/Conference Exponentiation Decimal Decimal
Zahl Lecture/Conference Decimal Decimal
Googol Lecture/Conference Exponentiation Decimal Billiarde
Lecture/Conference
Distributive property Addition Binary number Lecture/Conference Binary number Exponentiation Line (geometry) Billiarde
Lecture/Conference Term (mathematics) Exponentiation
Lecture/Conference Exponentiation
Addition Product (category theory) Lecture/Conference
Addition Lecture/Conference
Wenn wir die Zahl 2 20-mal mit sich selbst multiplizieren wollen, ist das ein umfangreicher Ausdruck. Die Mathematik hat eine Abkürzung für derartige Terme definiert – die Exponentenschreibweise. 20 Faktoren 2 multipliziert wird abgekürzt mit 2 hoch 20. Die Zahl 2 nennen wir Basis a. Die Zahl 20 nennen wir Exponent n und den gesamten Ausdruck nennen wir Potenz.
(1/2)³ ist also eine Abkürzung für (1/2)*(1/2)*(1/2). Nach den Rechenregeln für die Multiplikation von Brüchen erhalten wir hierfür 1/8. Wichtig sind vor allem
die Potenzen der Zahl 10, denn sie machen unser
Dezimalsystem aus. 10 hoch 6 ist 10*10*10*10*10*10 oder eine Million Zehn hoch neun ist 10*10*10*10*10*10*10*10*10
oder eine Milliarde Die Potenzen von 10 sind die Grundlage
unseres Dezimalsystems; jede mehrstellige Zahl im Dezimalsystem ist auf die Art und Weise zu lesen: Die Zahl (2^20=) 1 048 576 im Dezimalsystem
bedeutet: (1 mal 10 hoch 6) plus (0 mal 10 hoch 5) plus (4 mal 10 hoch 4) plus (8 mal 10 hoch 3) plus (5 mal 10 hoch 2) plus (7 mal 10 hoch 1) plus (6 mal 10 hoch 0). In der sogenannten wissenschaftlichen
Schreibweise will man sehr große (und kleine) Zahlen vermeiden. Man scheibt dann für 2 hoch 20 auch 1,048576 mal 10 hoch 6. Das Dezimalsystem
ist von besonderer Bedeutung, so dass Potenzen von Zehn spezielle Bezeichnungen haben: 10 hoch 3 oder 1 000 ist 1 Kilo (1K) 10 hoch 6 oder 1 Million ist 1 Mega (1M), 10 hoch 9 oder 1 Milliarde ist 1 Giga (1G), 10 hoch 12 oder 1 Billion ist 1 Tera (1T), 10 hoch 15 oder 1 Billiarde ist 1 Peta (1P) 10 hoch 18 oder 1 Trillion ist 1 Exa (1E). Auch Zehnerpotenzen
mit sehr großen Exponenten haben eigene Bezeichnungen 10 hoch 100 ist ein Googol, 10 hoch 6 000 ist eine Millinillion. Nach dem MOOREschen
Gesetz verdoppelt sich die Computerleistung etwa
alle 1,5 Jahre; die logarithmische Darstellung der Computerleistung gegen die Zeit ergibt
tatsächlich ungefähr eine Gerade. Ein Supercomputer hatte z.B. im Jahr 2009 eine Rechenleistung von einer Billiarde Rechenoperationen pro Sekunde (FLOPS), also 1 Peta-FLOPS. Auch für das in der Computertechnik so wichtige Binärsystem gibt es Vorsilben: 2 hoch 10 ist 1 kibi (ki), 2 hoch 20 ist 1 mebi (Mi), 2 hoch 30 ist 1 gibi (Gi), 2 hoch 40 ist 1 tebi (Ti), 2 hoch 50 ist ein pebi (Pi) und 2 hoch 60 ist 1 exbi (Ei).
Gleichartige Potenzen können wir leicht addieren - wir nutzen das Distributivgesetz 1*10^12 + 1,5*10^12 = 2,5*10^12. Wenn wir 1*10^12 und 500*10^9 addieren
sollen, benötigen wir einen Zwischenschritt. Wir erhöhen im zweiten Term die Potenz von 10 um 3
und verschieben das Komma gleichzeitig 3 Stellen weiter nach links. Damit erhalten wir zwei gleichnamige
Potenzen, 1*10^12 + 0,5*10^12 = 1,5*10^12. (Übungsaufgabe) a^10 + a^9 + a^8 Wir erinnern uns
an die Definition der Potenzschreibweise und
zerlegen a^10 und a^9 in Produkte die a^8 enthalten. Jetzt können wir nach dem Ausklammern von a^8
addieren. Die Übungsaufgabe 4^7 + 4^7 wollen wir
ganz ausführlich rechnen. Wir können immer eine 1 vor einen Summanden schreiben, wir können dann 4^7 ausklammern; (1+1) in der Klammer wird 2.
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