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Ein Sonderfall der Dreisatzrechnung ist die Prozentrechnung. Wir nutzen hier die Tatsache, dass der Anteilswert W und der Grundwert G direkt proportional sind; der Quotient
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aus diesen beiden Werten ist der Anteil A. Ein Fahrzeug bewegt sich
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auf einer Strecke mit konstanter Steigung. Auf einer Strecke von 100 Metern (das ist der Grundwert) verändert sich die Höhe des Fahrzeugs
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um 10 Meter (das ist der Anteilswert W); auf einer Länge von 200 Metern würde sich die Höhe um 20 Meter verändern. Der Anteil A (dieses
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konstante Verhältnis von Anteilswert W und Grundwert G) ist 0,1. Multipliziert
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mit 100 % ergibt sich p% = 14 %. Die Grundgleichung für jede
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Prozentrechnung lautet also: Prozent (p%) durch 100 % ist gleich Anteil (A) ist gleich Anteilswert (W) durch Grundwert (G).
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Im kaufmännischen Bereich hat man es häufig mit Prozentrechnung zu tun, etwa bei der Mehrwertsteuer. Bei einem Grundwert von 80 und einem Anteilswert von 15,20 , das entspricht einem Anteil von 0,19 oder 19 % Prozent.
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80 ist der Nettopreis; 15,20 entspricht 19 Prozent Mehrwertsteuer. Wir können die Vierfeldertafel nutzen für Prozentrechnung: Der Wert
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ist proportional dem Prozentwert - Grundwert G entspricht 100 % - Anteilswert W entspricht p Prozent.
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Wenn der Grundwert 80 beträgt und der Anteilswert 5,60 , wie groß ist dann der Prozentwert? Wir nutzen die Quotientengleichheit.
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5,60 durch 80 ist p durch 100 %. p entspricht 7 %. Wir können
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unsere Vierfeldertafel auch ergänzen: Der Grundwert G entspricht immer 100 % - wir können beliebige Anteilswerte W(1), W(2), ... aufstellen, die p(1), p(2), ... Prozent entsprechen. Wir müssen den Grundwert gar nicht kennen, um Prozentrechnung
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durchzuführen. Es reicht, wenn wir einen Anteilswert W und den zugehörigen Prozentwert p kennen. ((Wiederholung)) Wir müssen den
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Grundwert gar nicht kennen, um Prozentrechnung durchzuführen. Wenn wir aus einem Bruttoverkaufspreis von 238 (incl. MwSt., also 119 %) die Mehrwertsteuer (19 %) ausrechnen wollen, gehen wir wie folgt vor: Dem Anteilswert von W(1)=238 entsprechen 119 %, dem Anteilswert W(2)=x entsprechen 19 %. Wir nutzen die Quotientengleichheit aus, führen eine Äquivalenzumformung durch, und erhalten W(2)=x=38 als Mehrwertsteuer. "%" ist eine Abkürzung
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für 1 Teil pro 100 Teile. Es gibt noch weitere derartige Abkürzungen 1 Teil pro 1 000 Teile bedeutet 1 Promille, 1 Teil pro 1 000 000 Teile bedeutet 1 ppm (part per million) 1 Teil pro Milliarde bedeutet 1 ppb (part per billion). Wenn wir nur angeben, dass Luft zu 78 % aus
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Stickstoff besteht, ist dies nicht eindeutig. Wir müssen ergänzen, dass wir uns auf dem Volumenanteil beziehen (Volumen-%). Tatsächlich
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ist der Massenanteil von Stickstoff in Luft deutlich unterschiedlich.
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(dieser beträgt 75 Massen-%) Übungsaufgabe: In einer gut besuchten Vorlesung sind 67 Studierende unter 21 Jahre; dies entspricht 20 % der Gesamtzahl. Wie viel Studierende befinden sich insgesamt im Hörsaal?
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20 % entspricht einem Anteilswert W=67 Studierende. Gesucht ist der Grundwert G. Wir nutzen die Quotientengleichheit, stellen die Gleichung
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nach G um und erhalten als Lösung 335 Studierende. Wodka besteht
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zu 40 Volumen-% aus Alkohol. Wir mischen vier Zentimeter Wodka mit insgesamt 36 Zentiliter Fruchtsaft und sollen den Alkoholgehalt des
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Cocktails berechnen. Wir ermitteln zunächst den Alkoholanteil des reinen Wodkas. Grundwert: vier Zentiliter; Prozentwert: 40 Vol.-% Gesucht ist der Anteilswert W. Wir nutzen die Quotientengleichheit - Anteilswert durch Grundwert gleich Prozentwert durch 100 % - wir lösen nach dem Anteilswert auf und erhalten 1,6 Zentiliter. 1,6 Zentiliter
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ist der Anteilswert des Alkohols im Wodka und ist auch der Anteilswert des Alkohols im gesamten Cocktail. Wir übernehmen den Anteilswert von
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1,6 Zentiliter Alkohol; der Grundwert ist jetzt 40 Zentiliter für den gesamten Cocktail. Der Quotient W durch G entspricht dem Anteil;
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multipliziert mit 100 Prozent ergeben sich 4 % Alkohol für den
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Wenn wir zwischen zwei Merkmalen Proportionalität oder Antiproportionalität besteht, können wir diese in eine Vierfeldertafel eintragen. Bei Proportionalität gilt Quotientengleichheit. Bei Antiproportionalität gilt Produktgleichheit. Ein Sonderfall der Quotientengleichheit ist die
