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Vom Prozentrechnen - Grundwert, Anteilswert, Anteil, Prozent, Vierfeldertafel

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Ein Sonderfall der Dreisatzrechnung ist die Prozentrechnung. Wir nutzen hier die Tatsache, dass der Anteilswert W und der Grundwert G direkt proportional sind; der Quotient
aus diesen beiden Werten ist der Anteil A. Ein Fahrzeug bewegt sich
auf einer Strecke mit konstanter Steigung. Auf einer Strecke von 100 Metern (das ist der Grundwert) verändert sich die Höhe des Fahrzeugs
um 10 Meter (das ist der Anteilswert W); auf einer Länge von 200 Metern würde sich die Höhe um 20 Meter verändern. Der Anteil A (dieses
konstante Verhältnis von Anteilswert W und Grundwert G) ist 0,1. Multipliziert
mit 100 % ergibt sich p% = 14 %. Die Grundgleichung für jede
Prozentrechnung lautet also: Prozent (p%) durch 100 % ist gleich Anteil (A) ist gleich Anteilswert (W) durch Grundwert (G).
Im kaufmännischen Bereich hat man es häufig mit Prozentrechnung zu tun, etwa bei der Mehrwertsteuer. Bei einem Grundwert von 80 € und einem Anteilswert von 15,20 €, das entspricht einem Anteil von 0,19 oder 19 % Prozent.
80 € ist der Nettopreis; 15,20 € entspricht 19 Prozent Mehrwertsteuer. Wir können die Vierfeldertafel nutzen für Prozentrechnung: Der Wert
ist proportional dem Prozentwert - Grundwert G entspricht 100 % - Anteilswert W entspricht p Prozent.
Wenn der Grundwert 80 € beträgt und der Anteilswert 5,60 €, wie groß ist dann der Prozentwert? Wir nutzen die Quotientengleichheit.
5,60 € durch 80 € ist p durch 100 %. p entspricht 7 %. Wir können
unsere Vierfeldertafel auch ergänzen: Der Grundwert G entspricht immer 100 % - wir können beliebige Anteilswerte W(1), W(2), ... aufstellen, die p(1), p(2), ... Prozent entsprechen. Wir müssen den Grundwert gar nicht kennen, um Prozentrechnung
durchzuführen. Es reicht, wenn wir einen Anteilswert W und den zugehörigen Prozentwert p kennen. ((Wiederholung)) Wir müssen den
Grundwert gar nicht kennen, um Prozentrechnung durchzuführen. Wenn wir aus einem Bruttoverkaufspreis von 238 € (incl. MwSt., also 119 %) die Mehrwertsteuer (19 %) ausrechnen wollen, gehen wir wie folgt vor: Dem Anteilswert von W(1)=238 € entsprechen 119 %, dem Anteilswert W(2)=x entsprechen 19 %. Wir nutzen die Quotientengleichheit aus, führen eine Äquivalenzumformung durch, und erhalten W(2)=x=38 € als Mehrwertsteuer. "%" ist eine Abkürzung
für 1 Teil pro 100 Teile. Es gibt noch weitere derartige Abkürzungen 1 Teil pro 1 000 Teile bedeutet 1 Promille, 1 Teil pro 1 000 000 Teile bedeutet 1 ppm (part per million) 1 Teil pro Milliarde bedeutet 1 ppb (part per billion). Wenn wir nur angeben, dass Luft zu 78 % aus
Stickstoff besteht, ist dies nicht eindeutig. Wir müssen ergänzen, dass wir uns auf dem Volumenanteil beziehen (Volumen-%). Tatsächlich
ist der Massenanteil von Stickstoff in Luft deutlich unterschiedlich.
(dieser beträgt 75 Massen-%) Übungsaufgabe: In einer gut besuchten Vorlesung sind 67 Studierende unter 21 Jahre; dies entspricht 20 % der Gesamtzahl. Wie viel Studierende befinden sich insgesamt im Hörsaal?
20 % entspricht einem Anteilswert W=67 Studierende. Gesucht ist der Grundwert G. Wir nutzen die Quotientengleichheit, stellen die Gleichung
nach G um und erhalten als Lösung 335 Studierende. Wodka besteht
zu 40 Volumen-% aus Alkohol. Wir mischen vier Zentimeter Wodka mit insgesamt 36 Zentiliter Fruchtsaft und sollen den Alkoholgehalt des
Cocktails berechnen. Wir ermitteln zunächst den Alkoholanteil des reinen Wodkas. Grundwert: vier Zentiliter; Prozentwert: 40 Vol.-% Gesucht ist der Anteilswert W. Wir nutzen die Quotientengleichheit - Anteilswert durch Grundwert gleich Prozentwert durch 100 % - wir lösen nach dem Anteilswert auf und erhalten 1,6 Zentiliter. 1,6 Zentiliter
ist der Anteilswert des Alkohols im Wodka und ist auch der Anteilswert des Alkohols im gesamten Cocktail. Wir übernehmen den Anteilswert von
1,6 Zentiliter Alkohol; der Grundwert ist jetzt 40 Zentiliter für den gesamten Cocktail. Der Quotient W durch G entspricht dem Anteil;
multipliziert mit 100 Prozent ergeben sich 4 % Alkohol für den
Wenn wir zwischen zwei Merkmalen Proportionalität oder Antiproportionalität besteht, können wir diese in eine Vierfeldertafel eintragen. Bei Proportionalität gilt Quotientengleichheit. Bei Antiproportionalität gilt Produktgleichheit. Ein Sonderfall der Quotientengleichheit ist die
Dreisatzrechnung
Dreisatzrechnung
Strecke
Länge
Variable
Prozentrechnung
Quotient
Höhe
Meter
Vorlesung/Konferenz
Gleichung
Prozentrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Prozentrechnen - Grundwert, Anteilswert, Anteil, Prozent, Vierfeldertafel
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 9
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17859
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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