Vom Prozentrechnen - Grundwert, Anteilswert, Anteil, Prozent, Vierfeldertafel

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Formal Metadata

Title
Vom Prozentrechnen - Grundwert, Anteilswert, Anteil, Prozent, Vierfeldertafel
Title of Series
Part Number
9
Author
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License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Prozentrechnung Prozentrechnung Lecture/Conference Quotient Cross-multiplication Cross-multiplication
Metre Lecture/Conference Höhe Strecke
Metre Lecture/Conference Höhe Length Variable (mathematics)
Prozentrechnung Prozentrechnung Lecture/Conference Cross-multiplication
Prozentrechnung Lecture/Conference
Prozentrechnung Lecture/Conference Cross-multiplication
Prozentrechnung Lecture/Conference
Prozentrechnung Lecture/Conference Cross-multiplication
Lecture/Conference Per mil
Prozentrechnung Lecture/Conference Cross-multiplication
Lecture/Conference Equation
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Lecture/Conference
Ein Sonderfall der Dreisatzrechnung ist die Prozentrechnung. Wir nutzen hier die Tatsache, dass der Anteilswert W und der Grundwert G direkt proportional sind; der Quotient
aus diesen beiden Werten ist der Anteil A. Ein Fahrzeug bewegt sich
auf einer Strecke mit konstanter Steigung. Auf einer Strecke von 100 Metern (das ist der Grundwert) verändert sich die Höhe des Fahrzeugs
um 10 Meter (das ist der Anteilswert W); auf einer Länge von 200 Metern würde sich die Höhe um 20 Meter verändern. Der Anteil A (dieses
konstante Verhältnis von Anteilswert W und Grundwert G) ist 0,1. Multipliziert
mit 100 % ergibt sich p% = 14 %. Die Grundgleichung für jede
Prozentrechnung lautet also: Prozent (p%) durch 100 % ist gleich Anteil (A) ist gleich Anteilswert (W) durch Grundwert (G).
Im kaufmännischen Bereich hat man es häufig mit Prozentrechnung zu tun, etwa bei der Mehrwertsteuer. Bei einem Grundwert von 80 € und einem Anteilswert von 15,20 €, das entspricht einem Anteil von 0,19 oder 19 % Prozent.
80 € ist der Nettopreis; 15,20 € entspricht 19 Prozent Mehrwertsteuer. Wir können die Vierfeldertafel nutzen für Prozentrechnung: Der Wert
ist proportional dem Prozentwert - Grundwert G entspricht 100 % - Anteilswert W entspricht p Prozent.
Wenn der Grundwert 80 € beträgt und der Anteilswert 5,60 €, wie groß ist dann der Prozentwert? Wir nutzen die Quotientengleichheit.
5,60 € durch 80 € ist p durch 100 %. p entspricht 7 %. Wir können
unsere Vierfeldertafel auch ergänzen: Der Grundwert G entspricht immer 100 % - wir können beliebige Anteilswerte W(1), W(2), ... aufstellen, die p(1), p(2), ... Prozent entsprechen. Wir müssen den Grundwert gar nicht kennen, um Prozentrechnung
durchzuführen. Es reicht, wenn wir einen Anteilswert W und den zugehörigen Prozentwert p kennen. ((Wiederholung)) Wir müssen den
Grundwert gar nicht kennen, um Prozentrechnung durchzuführen. Wenn wir aus einem Bruttoverkaufspreis von 238 € (incl. MwSt., also 119 %) die Mehrwertsteuer (19 %) ausrechnen wollen, gehen wir wie folgt vor: Dem Anteilswert von W(1)=238 € entsprechen 119 %, dem Anteilswert W(2)=x entsprechen 19 %. Wir nutzen die Quotientengleichheit aus, führen eine Äquivalenzumformung durch, und erhalten W(2)=x=38 € als Mehrwertsteuer. "%" ist eine Abkürzung
für 1 Teil pro 100 Teile. Es gibt noch weitere derartige Abkürzungen 1 Teil pro 1 000 Teile bedeutet 1 Promille, 1 Teil pro 1 000 000 Teile bedeutet 1 ppm (part per million) 1 Teil pro Milliarde bedeutet 1 ppb (part per billion). Wenn wir nur angeben, dass Luft zu 78 % aus
Stickstoff besteht, ist dies nicht eindeutig. Wir müssen ergänzen, dass wir uns auf dem Volumenanteil beziehen (Volumen-%). Tatsächlich
ist der Massenanteil von Stickstoff in Luft deutlich unterschiedlich.
(dieser beträgt 75 Massen-%) Übungsaufgabe: In einer gut besuchten Vorlesung sind 67 Studierende unter 21 Jahre; dies entspricht 20 % der Gesamtzahl. Wie viel Studierende befinden sich insgesamt im Hörsaal?
20 % entspricht einem Anteilswert W=67 Studierende. Gesucht ist der Grundwert G. Wir nutzen die Quotientengleichheit, stellen die Gleichung
nach G um und erhalten als Lösung 335 Studierende. Wodka besteht
zu 40 Volumen-% aus Alkohol. Wir mischen vier Zentimeter Wodka mit insgesamt 36 Zentiliter Fruchtsaft und sollen den Alkoholgehalt des
Cocktails berechnen. Wir ermitteln zunächst den Alkoholanteil des reinen Wodkas. Grundwert: vier Zentiliter; Prozentwert: 40 Vol.-% Gesucht ist der Anteilswert W. Wir nutzen die Quotientengleichheit - Anteilswert durch Grundwert gleich Prozentwert durch 100 % - wir lösen nach dem Anteilswert auf und erhalten 1,6 Zentiliter. 1,6 Zentiliter
ist der Anteilswert des Alkohols im Wodka und ist auch der Anteilswert des Alkohols im gesamten Cocktail. Wir übernehmen den Anteilswert von
1,6 Zentiliter Alkohol; der Grundwert ist jetzt 40 Zentiliter für
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