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Vom Dreisatz bei Antiproportionalität (Vierfeldertafel; Produktgleichheit)

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Wenn eine Größe A proportional zu einer Größe B ist, können wir die Dreisatzrechnung in einfacher Weise benutzen.
Es kommt auch vor, dass zwei Größen umgekehrt proportional sind; dann müssen
wir die Dreisatzrechnung modifizieren. Wenn wir etwa das Volumen eines Gases vermindern, nimmt in gleicher Weise der Druck zu. Druck und Volumen eines Gases sind umgekehrt proportional. Wir können
das so formulieren, - dass A proportional zu 1/B ist (A~1/B) - dass A = k * 1/B ist oder - dass das Produkt A*B konstant ist. Bei umgekehrt proportionalem Verhältnis (sog. Antiproportionalität) gilt Produktgleichheit. Wenn wir das Volumen eines Gases um den Faktor 2
verringern, erhöht sich der Druck des Gases um den gleichen Faktor. Wir können
eine Vierfeldertafel für ein umgekehrt
proportionales Verhältnis aufstellen, müssen aber beachten, dass jetzt Produktgleichheit innerhalb der Zeilen gilt inverse Quotientengleichheit herrscht (A(1)/A(2)=B(2)/B(1).
Ein Fahrzeug benötigt zum Zurücklegen einer bestimmten Strecke 2 Stunden, wenn es mit einer Geschwindigkeit von 150 km/h fährt. Wie schnell muss es sich bewegen, damit es dieselbe Strecke in 1,5 Stunden zurücklegt. Je größer die Geschwindigkeit,
desto kürzer die Fahrzeit: Wir haben hier ein antiproportionales Verhältnis vor uns. Wir können die Produktgleichheit
nutzen: x * 1,5 h = 150 km/h * 2 h Wir lösen nach x auf und erhalten x=200 km/h.
Bei Proportionalität herrscht Quotientengleichheit innerhalb der Zeilen:
Wenn wir die Größe A um einen Faktor vergrößern, vergrößern wir auch die Größe B um denselben Faktor. Die grafische
Darstellung ist eine Nullpunktsgerade. Bei Antiproportionalität herrscht Produktgleichheit innerhalb der Zeilen. Wenn wir die Größe A um einen Faktor vergrößern, vermindern wir die Größe B um denselben Faktor. Die graphische Darstellung bis eine Hyperbel. Wir
betrachten einen Quader mit der Grundfläche A, der Höhe B und dem Volumen C.
Bei konstanter Grundfläche ist das Volumen proportional zur Höhe (C~B); bei konstanter Höhe ist das Volumen auch proportional zur Grundfläche (C~A).
Wir beobachten hier zweimal direkte
Proportionalität. Bei konstantem Volumen ist die Grundfläche jedoch umgekehrt proportional zur Höhe (A~1/B); hier haben
wir Antiproportionalität. Wenn eine Größe A zu einer Größe B proportional ist (A~B) und auch gleichzeitig zu einer Größe C proportional ist (A~C) besteht zweimal Quotientengleichheit. A/B ist
konstant und A/C ist konstant. Wie man zeigen kann, ist dann auch der Quotient A/(B*C) eine Konstante. Das Volumen eines
Gases - ist proportional zur absoluten Temperatur (V~T) - ist umgekehrt proportional zum Druck (V~1/p) ((Wiederholung)) Das Volumen eines Gases - ist proportional zur absoluten Temperatur (V~T) - ist proportional zur Stoffmenge (V~n) und - ist umgekehrt proportional zum Druck (V~1/p) Das bedeutet wir haben einen Gesamtzusammenhang V~nT/V
((Wiederholung)) Wir können die drei Proportionalitäten einfach multiplizieren: Das Volumen ist proportional n * T / p. 4 Maschinen produzieren in 8 Stunden 960 Bauteile. Wie viele Bauteile produzieren 3 Maschinen in 5 Stunden? Die
Anzahl der produzierten Bauteile F ist sowohl proportional zur Anzahl der Maschinen M als auch proportional zur
Zeit t. Wir können multiplizieren und erhalten die Aussage: Die Anzahl der Bauteile ist Proportional zur Anzahl der
Maschinen und zur Zeit. Der Quotient F/(M*t) ist konstant ausführlich: F(1)/((M(1)*t(1))=F(2)/((M(2)*t(2)) F(1) / ((M(1)*t(1)) = F(2) / ((M(2)*t(2)) Wir setzen die Größen ein, lösen nach F(2) auf und erhalten F(2)=450.
Zwei Fahrzeuge sollen dieselbe Strecke zurücklegen. Das rote Fahrzeug fährt konstant mit 180 km/h (=A(1)) und benötigt die Fahrzeit B(1); das grüne Fahrzeug fährt konstant A(2)=160 km/h und benötigt die Fahrzeit B(2). Wie lange muss die Strecke sein, damit das rote Fahrzeug 30 Minuten
Die Fahrzeiten sind hier nicht konkret gegeben; wir haben nur die Differenz B(2)-B(1) = 0,5 Stunden. Wir prüfen zunächst, welche Art
Proportionalität hier vorliegt. Je größer die Geschwindigkeit A, desto kürzer die Fahrzeit B. Es herrscht Antiproportionalität und somit Produktgleichheit. B ist proportional 1/A. Das Produkt B*A ist konstant.
Die Differenz der Fahrzeiten ist 0,5 Stunden; den Quotienten der beiden Fahrzeiten erhalten wir aus der Produktgleichheit. Wir wissen jetzt, dass
die Fahrzeit des roten Fahrzeuges 8/9 der Fahrzeit des grünen Fahrzeuges ist und setzen diese Beziehung in die
Differenz ein. Wir nutzen die Regeln der Bruchrechnung, nutzen die Regeln der Äquivalenzumformung und erhalten für B(2) B(2)=4,5 Stunden. Das grüne Fahrzeug benötigt viereinhalb Stunden; das
rote Fahrzeug vier Stunden. Wie lange ist die zurückgelegte Strecke? Dazu müssen wir Fahrzeit und Geschwindigkeit multiplizieren. Wir erhalten 720 Kilometer.
Dreisatzrechnung
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Prozentrechnung
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Mathematische Größe
Prozentrechnung
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Volumen
Faktorisierung
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Volumen
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Geschwindigkeit
Strecke
Vorlesung/Konferenz
Dreisatzrechnung
Prozentrechnung
Vorlesung/Konferenz
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Prozentrechnung
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Graphische Darstellung
Quader
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Höhe
Höhe
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Volumen
Höhe
Vorlesung/Konferenz
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Quotient
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Prozentrechnung
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Quotient
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Strecke
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Geschwindigkeit
Quotient
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Geschwindigkeit
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Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Dreisatz bei Antiproportionalität (Vierfeldertafel; Produktgleichheit)
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 8
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17858
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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