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Vom Dreisatz bei direkter Proportionalität - Quotientengleichheit in der Vierfeldertafe

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Im Alltag und in der Wissenschaft gibt es viele Beispiele für direkt proportionale Verhältnisse: Eine Größe A wird geändert - eine Größe B ändert sich in gleichem Maße.
Do ist zum Beispiel die Länge einer Feder proportional zur Kraft, die auf die Fehler einwirkt. (HOOKEsches Gesetz) Eine
Kraft von 0,1 Newton führt zu einer kleinen Auslenkung, eine Kraft von 0,2 Newton führt zu einer doppelt so großen Auslenkung. Wir
formulieren: Die Größe A ist proportional zur Größe B (A~B)
Mathematisch ausgedrückt: A = k*B k ist die Proportionalitätskonstante.
Bei einem solchen direkt proportionalen Verhältnis ist der Quotient A/B (oder auch B/A) eine Konstante. Wir sprechen von Quotientengleichheit. Wenn wir uns mit einer konstanten Geschwindigkeit
bewegen (z.B. auf einem Fahrrad), ist die zurückgelegte Strecke proportional zur Zeit. Auch hier können wir formulieren: -
Die Strecke ist proportional der Zeit (A~B) - Die Strecke ist gleich einer Konstanten mal der Zeit oder - Der Quotient aus Strecke und Zeit hat einen konstanten Wert. Wenn ein direkt proportionales
Verhältnis vorliegt, können wir die sog. Dreisatzrechnung anwenden.
Wenn ein Pkw mit konstanter Geschwindigkeit fährt und in 2 Stunden und 12 Minuten 240 Kilometer zurücklegt; wie lange braucht er dann um 100 Kilometer zurückzulegen? Diese Aufgabe können
wir mit der Dreisatzrechnung lösen, denn es liegt ein direkt proportionales Verhältnis zwischen Strecke und Zeit vor. Wir sollen
die Zeit für eine Wegstrecke von 100 km berechnen. Wir führen die Rechnung in zwei Schritten durch: Wir rechnen die Zeit zunächst auf 1 km um, und dann auf 100 km. Wir dividieren also
zunächst durch einen Faktor 240 um Multiplizieren dann mit einem Faktor 100.
Diese Faktoren wenden wir auch auf die Zeit an: 132 min durch 240 mal 100 gibt 55 Minuten. Man kann den klassischen Dreisatz nur anwenden, wenn ein direkt proportionales Verhältnis vorliegt.
Das ist nicht immer der Fall. Beispielsweise sind der Umgang eines Quadrats und sein Flächeninhalt (die beiden Größen U und F) nicht direkt proportional:
Wenn wir den Umfang verdoppeln, vergrößern wir die Fläche um den Faktor vier. Hier liegt keine Proportionalität vor. Ein Schema, mit
dem man jede Dreisatzrechnung übersichtlich gestalten kann, ist die Vierfeldertafel: Sie besteht aus zwei Spalten für die Größen
A und B und zum Beispiel zwei Zeilen, in denen die korrespondierenden Größen nebeneinander stehen.
Bei direkt proportionalem Verhältnis gilt Quotientengleichheit: Sowohl nebeneinander stehende Größen besitzen den gleichen Quotienten als auch untereinander stehende Größen. Bei einer
Dreisatzrechnung ist üblicherweise eine der vier Größen in der Vierfeldertafel unbekannt (wir markieren diese mit x) Wir können nun mehrere Gleichungen formulieren, in denen x vorkommt und die die Quotientengleichheit nutzen. zum Beispiel A(2)/x = A(1)/B(1) oder
A(2)/A(1) = x/B(1) A(2)/A(1) = x/B(1) Wir können in der
Vierfeldertafel Zeilen und Spalten beliebig vertauschen. Wir wollen
eine Dreisatzaufgabe mit der Vierfeldertafel lösen. Ein Fahrzeug legt in 132 min 240 km zurück. Welche Strecke legt es in 220 min zurück?
Wir schreiben zugehörige Größen nebeneinander in die Vierfeldertafel und markieren die unbekannten Größe mit x. Wir nutzen z.B.
die Quotientengleichheit nebeneinander stehender Größen und formulieren: 240 km / 132 km = x / 220 min Wir lösen nach x auf und erhalten x=400 km. Ein Fahrzeug, welches mit konstanter
Geschwindigkeit fährt, benötigt für 76 km 4,56 Liter Kraftstoff. Wie groß ist der Benzinverbrauch auf 100 km? Wir formulieren die
Vierfeldertafel. Die Größe A ist der Verbrauch; die Größe B ist die zurückgelegte Strecke. Wir setzen die entsprechenden Zahlenwerte
ein; der Verbrauch für 100 km setzen wir als x. Wir nutzen die Quotientengleichheit A(2)/B(2) = A(1)/B(1) x/100 km = 4,56 L/76 km x/100 km = 4,56 L/76 km. Wir lösen nach x auf und erhalten x = 6 L.
Die Vierfeldertafel funktioniert bei jeder Art direkt proportionalem Verhältnis (z.B. auch bei der Prozentrechnung)
Ruhmasse
Vorlesung/Konferenz
Länge
Kraft
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz
Geschwindigkeit
Konstante
Strecke
Bewegung
Quotient
Vorlesung/Konferenz
Dreisatzrechnung
Konstante
Strecke
Strecke
Quotient
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Dreisatzrechnung
Geschwindigkeit
Strecke
Strecke
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Multiplikation
Faktorisierung
Berechnung
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Einfügungsdämpfung
Mathematische Größe
Dreisatzrechnung
Quadrat
Faktorisierung
Flächeninhalt
Umfang
Extrempunkt
Vorlesung/Konferenz
Flächeninhalt
Extrempunkt
Mathematische Größe
Dreisatzrechnung
Faktorisierung
Umfang
Fläche
Vorlesung/Konferenz
Flächeninhalt
Umfang
Mathematische Größe
Quotient
Vorlesung/Konferenz
Quotient
Mathematische Größe
Dreisatzrechnung
Vorlesung/Konferenz
Gleichungssystem
Strecke
Extrempunkt
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Mathematische Größe
Extrempunkt
Vorlesung/Konferenz
Extrempunkt
Geschwindigkeit
Strecke
Strecke
Vorlesung/Konferenz
Zahlenwert
Strecke
Vorlesung/Konferenz
Prozentrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Dreisatz bei direkter Proportionalität - Quotientengleichheit in der Vierfeldertafe
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 7
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17857
Herausgeber Lauth, Günter Jakob
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Technische Metadaten

Dauer 04:26

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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