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Multiplikation und Division von Brüchen - Vom Umrechnen von physikalischen Einheiten

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Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Wenn wir einen Stammbruch 1/b mit einer einfachen Zahl a (also a/1), multiplizieren, erhalten wir a/b. Ein Drittel
mal zwei ist zwei Drittel. Wir könne auch zwei Stammbrüche
miteinander multiplizieren: 1/3 mal ½ gibt 1/6. Wenn wir den
Bruch a/b durch den Bruch c/d dividieren wollen, müssen wir mit dem Kehrwert des Bruches c/d (also d/c), multiplizieren.
Man kann diese Aussage auch mathematisch beweisen: a/b : c/d soll x ergeben. Ergeben Wir multiplizieren mit b/d (machen also eine Äquivalenzumformung), erhalten dann diesen Ausdruck. Wir ersetzen unsere Unbekannte x durch den Bruch p/q, multiplizieren aus, und erhalten a/b ist pc/qd. Wir erweitern
den linken Bruch mit cd, und sehen, dass die Unbekannte p gleich a*d sein muss und dass die Unbekannte q gleich b*c sein muss. Wir sollen x²/y:x-x berechnen. Zunächst führen wir
die ":"-Division durch (x²/y durch x), x bedeutet x/1; jetzt
wenden wir die Kehrwert-Regel an, und erhalten x²/y mal 1/x . Den zweiten Summanden formulieren wir ebenfalls als
Bruch (x/1), jetzt kürzen wir den linken Summanden mit x und erweitern den rechten Summanden mit y. Wir erhalten dann "x/y - xy/y" "x/y - xy/y" Wir haben jetzt zwei gleichnamige Brüche,
die wir subtrahieren. Im Zähler steht jetzt x-xy oder ausgeklammert x(1-y). Doppelbrüche sind zu vermeiden, denn
Doppelbrüche sind mehrdeutig, vor allem dann, wenn die Bruchstriche gleich lang sind. bedeutet das "(20:10):2" oder "20:(10:2)" ? Man kann durch Klammern oder durch die Länge
der Bruchstriche Eindeutigkeit herstellen; besser ist es aber, auf Doppelbrüche generell zu verzichten, bzw. sie umzuwandeln.
Wir wollen diesen Doppelbruch in einen Einfachbruch umwandeln.
Wir verwandeln zunächst den längeren Bruchstrich in ein
"Geteilt"-Zeichen, formen die grüne Klammer um, indem wir die Differenz bilden, bilden jetzt den Kehrwert des zweiten Bruches und multiplizieren mit diesem, und erhalten schließlich einen einfachen Bruch. Aus diesem Ausdruck soll ein
einfacher Bruch werden. Wir ersetzen den längsten Bruchstrich durch ein "Geteilt"-Zeichen, formulieren den Klammerausdruck
um, bilden den Kehrwert des Divisors, und multiplizieren. Wir können noch mit (y+x) kürzen und erhalten "3/xy". Sicheres Bruchrechnen ist nützlich, wenn man Einheiten
umrechnen will. Das hier ist ein Drehzahlmesser, er gibt die Drehzahl in "Umdrehungen pro Minute (rpm)" an. Wir wollen die Drehzahl
von der Einheit "Umdrehungen pro Minute" in "Hertz" umrechnen.
Eine Minute ist gleich sechzig Sekunden. Wir stellen
diese Gleichung jetzt so um, dass wir nun noch eine "1" auf der einen Seite haben. zum Beispiel "1=60s/min". Mit dieser "1" können wir nun beliebige Zahlen und auch beliebige physikalische Größen multiplizieren. Wir erhalten auch eine "1",
wenn wir den Bruch umkehren: "1=min/60s". Auch mit dieser "1" können wir beliebige Zahlen und beliebige physikalische
Größen multiplizieren. Eine Drehzahl von "1000 U/min" können wir mit dem grün gezeichneten Bruch multiplizieren (wir multiplizieren ja nur mit "1"), können dann "min" kürzen, können 1000/60 ausrechnen und erhaben 16,6 Hertz. Auf ähnliche Art und Weise können die "Kilometer pro Stunde" in "Meter
pro Sekunde" umrechnen. Wir wissen: Ein Kilometer sind 1000 Meter; eine Stunde sind 3600 Sekunden. Wir errechnen aus diesen beiden Gleichungen jeweils eine sinnvolle "1": "1=1000m/km"
und "1=h/3600s" Wir multiplizieren "50 km/h" mit der roten "1" und der grünen "1", kürzen "km" und kürzen "h" , rechnen den Zahlenwert aus und erhalten "13,888 m/s" "13,888 m/s". (Zusammenfassung Bruchrechnen) Brüche werden
multipliziert, indem man Zähler mit
Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Mathematische Größe
Bruchrechnung
Länge
Multiplikation
Summand
Extrempunkt
Division
Eindeutigkeit
Berechnung
Gleichungssystem
Zahlenwert
Gleichung
Zahl
Maßeinheit
Multiplikation
Variable
Umrechnung
Subtraktion
Meter
Bruch <Mathematik>
Vorlesung/Konferenz
Addition
Stammbruch
Geschwindigkeit
Umrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Multiplikation und Division von Brüchen - Vom Umrechnen von physikalischen Einheiten
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 6
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17856
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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