Multiplikation und Division von Brüchen - Vom Umrechnen von physikalischen Einheiten

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Formal Metadata

Title
Multiplikation und Division von Brüchen - Vom Umrechnen von physikalischen Einheiten
Title of Series
Part Number
6
Author
Contributors
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2013
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Lecture/Conference Multiplication Number
Multiplication Zahl Lecture/Conference Stammbruch
Lecture/Conference
Multiplication Lecture/Conference Division (mathematics) Bruch <Mathematik> Variable (mathematics)
Lecture/Conference Berechnung Variable (mathematics)
Addition Lecture/Conference
Addition Lecture/Conference Number
Lecture/Conference Uniqueness quantification Length
Lecture/Conference
Lecture/Conference Bruch <Mathematik>
Fraction (mathematics) Multiplication Lecture/Conference Umrechnung Cartier-Divisor Maß <Mathematik>
Umrechnung
Lecture/Conference Physical quantity Maxima and minima Equation Number
Metre Velocity Lecture/Conference Umrechnung Maxima and minima Maxima and minima Nichtlineares Gleichungssystem Umrechnung Physical quantity
Fraction (mathematics) Addition Lecture/Conference Physical quantity Number Subtraction
Addition Lecture/Conference Number Subtraction
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Wenn wir einen Stammbruch 1/b mit einer einfachen Zahl a (also a/1), multiplizieren, erhalten wir a/b. Ein Drittel
mal zwei ist zwei Drittel. Wir könne auch zwei Stammbrüche
miteinander multiplizieren: 1/3 mal ½ gibt 1/6. Wenn wir den
Bruch a/b durch den Bruch c/d dividieren wollen, müssen wir mit dem Kehrwert des Bruches c/d (also d/c), multiplizieren.
Man kann diese Aussage auch mathematisch beweisen: a/b : c/d soll x ergeben. Ergeben Wir multiplizieren mit b/d (machen also eine Äquivalenzumformung), erhalten dann diesen Ausdruck. Wir ersetzen unsere Unbekannte x durch den Bruch p/q, multiplizieren aus, und erhalten a/b ist pc/qd. Wir erweitern
den linken Bruch mit cd, und sehen, dass die Unbekannte p gleich a*d sein muss und dass die Unbekannte q gleich b*c sein muss. Wir sollen x²/y:x-x berechnen. Zunächst führen wir
die ":"-Division durch (x²/y durch x), x bedeutet x/1; jetzt
wenden wir die Kehrwert-Regel an, und erhalten x²/y mal 1/x . Den zweiten Summanden formulieren wir ebenfalls als
Bruch (x/1), jetzt kürzen wir den linken Summanden mit x und erweitern den rechten Summanden mit y. Wir erhalten dann "x/y - xy/y" "x/y - xy/y" Wir haben jetzt zwei gleichnamige Brüche,
die wir subtrahieren. Im Zähler steht jetzt x-xy oder ausgeklammert x(1-y). Doppelbrüche sind zu vermeiden, denn
Doppelbrüche sind mehrdeutig, vor allem dann, wenn die Bruchstriche gleich lang sind. bedeutet das "(20:10):2" oder "20:(10:2)" ? Man kann durch Klammern oder durch die Länge
der Bruchstriche Eindeutigkeit herstellen; besser ist es aber, auf Doppelbrüche generell zu verzichten, bzw. sie umzuwandeln.
Wir wollen diesen Doppelbruch in einen Einfachbruch umwandeln.
Wir verwandeln zunächst den längeren Bruchstrich in ein
"Geteilt"-Zeichen, formen die grüne Klammer um, indem wir die Differenz bilden, bilden jetzt den Kehrwert des zweiten Bruches und multiplizieren mit diesem, und erhalten schließlich einen einfachen Bruch. Aus diesem Ausdruck soll ein
einfacher Bruch werden. Wir ersetzen den längsten Bruchstrich durch ein "Geteilt"-Zeichen, formulieren den Klammerausdruck
um, bilden den Kehrwert des Divisors, und multiplizieren. Wir können noch mit (y+x) kürzen und erhalten "3/xy". Sicheres Bruchrechnen ist nützlich, wenn man Einheiten
umrechnen will. Das hier ist ein Drehzahlmesser, er gibt die Drehzahl in "Umdrehungen pro Minute (rpm)" an. Wir wollen die Drehzahl
von der Einheit "Umdrehungen pro Minute" in "Hertz" umrechnen.
Eine Minute ist gleich sechzig Sekunden. Wir stellen
diese Gleichung jetzt so um, dass wir nun noch eine "1" auf der einen Seite haben. zum Beispiel "1=60s/min". Mit dieser "1" können wir nun beliebige Zahlen und auch beliebige physikalische Größen multiplizieren. Wir erhalten auch eine "1",
wenn wir den Bruch umkehren: "1=min/60s". Auch mit dieser "1" können wir beliebige Zahlen und beliebige physikalische
Größen multiplizieren. Eine Drehzahl von "1000 U/min" können wir mit dem grün gezeichneten Bruch multiplizieren (wir multiplizieren ja nur mit "1"), können dann "min" kürzen, können 1000/60 ausrechnen und erhaben 16,6 Hertz. Auf ähnliche Art und Weise können die "Kilometer pro Stunde" in "Meter
pro Sekunde" umrechnen. Wir wissen: Ein Kilometer sind 1000 Meter; eine Stunde sind 3600 Sekunden. Wir errechnen aus diesen beiden Gleichungen jeweils eine sinnvolle "1": "1=1000m/km"
und "1=h/3600s" Wir multiplizieren "50 km/h" mit der roten "1" und der grünen "1", kürzen "km" und kürzen "h" , rechnen den Zahlenwert aus und erhalten "13,888 m/s" "13,888 m/s". (Zusammenfassung Bruchrechnen) Brüche werden
multipliziert, indem man Zähler mit
Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
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