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Vom Erweitern und Kürzen von Brüchen (Bruchrechnen; Addition; kgV der Nenner)

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Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, ist nicht ganz so einfach. Wenn wir zum Beispiel ein Drittel und ein Viertel addieren wollen, müssen wir die beiden Brüche zunächst gleichnamig machen.
Wir können den Zähler und den Nenner eines Bruches mit dem gleichen Farbton multiplizieren, ohne dass sich der Wert des Bruches ändert; man nennt dies "Erweitern". Wenn bei ein Drittel mit dem Faktor 2 erweitern, erhalten wir zwei Sechstel: Ein Drittel und zwei Sechstel sind völlig gleichwertig. Wir können auf vier Zwölftel daraus machen (dann hätten wir mit der Zahl vier erweitert).
Generell ist a durch b gleich (a mal x)
durch (b mal x). Wenn wir zwei Brüche addieren sollen, erweitern wir die Brüche so lange, bis sie gleichnamig sind. Wir können ein Drittel mit vier erweitern und erhalten vier Zwölftel. Wir können ein Drittel mit drei erweitern und erhalten neun Zwölftel. Jetzt können wir die Brüche addieren: vier Zwölftel plus drei Zwölftel ist sieben Zwölftel. Wir haben beide Ausgangs-Brüche
auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) des Nenners erweitert. (Übungsaufgabe)
Ein Sechstel plus ein Viertel. Wir zerlegen die Nenner in Primfaktoren, sehen, dass 2*2*3 das kleinste gemeinsame Vielfache ist, erweitern den ersten Bruch mit 2 und den zweiten Bruch mit 3, erhalten 2 Zwölftel plus 3 Zwölftel gleich 5 Zwölftel.
(Übungsaufgabe) (x plus 1) durch (x minus 1) Wie können wir diesen Bruch so umformen, dass im Nenner (x-1)² steht? Offensichtlich
müssen wir dazu diesen Bruch mit (x-1) erweitern. Wir erhalten dann im Nenner die geforderten (x-1)². Im Zähler erhalten wir (x+1)*(x-1). Nach der dritten binomischen Formel entspricht das x² - 1 "Erweitern" bedeutet, Zähler und Nenner eines Bruches
mit dem gleichen Faktor zu multiplizieren. Wir können auch Zähler und Nenner eines Bruches durch den gleichen Faktor dividieren - das nennen wir "Kürzen". Im Bruch 4/12
können wir Zähler und Nenner mit 2 kürzen und erhalten dann 2/6. Wir können noch einmal mit dem Faktor 2 kürzen und erhalten dann 1/3. Wie können wir diesen Ausdruck
vereinfachen? Zunächst klammern wir u aus
Zähler und Nenner aus (entsprechend dem Distributivgesetz), kürzen dann Zähler und Nenner mit u und erhalten: (v+x)/(v+y) (v+x)/(v+y). Wir können jeden Bruch in eine
Dezimalzahl umwandeln, wir können aber auch jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, indem wir einfach durch 1 dividieren (Nenner 1 geht immer) 0,0635 = 0,0625/1 Diesen
Bruch können wir erweitern und kürzen wie jeden anderen Bruch auch. Wir erweitern z.B. mit 10 000, damit eliminieren wir das Komma: wir erhalten den neuen Zähler 625 und den neuen Nenner 10 000. Jetzt kürzen wir mit 625 und erhalten das Endergebnis: 1/16.
Addition
Zahl
Bruch <Mathematik>
Factorization
Addition
Integer factorization
Zahl
Binomische Formel
Bruch <Mathematik>
Factorization
Zahl
Factorization
Distributive property
Zahl
Decimal
Zahl
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Metadata

Formal Metadata

Title Vom Erweitern und Kürzen von Brüchen (Bruchrechnen; Addition; kgV der Nenner)
Title of Series Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Part Number 5
Author Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors Lauth, Anika (Medientechnik)
License CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI 10.5446/17855
Publisher SciFox
Release Date 2013
Language German

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Subject Area Mathematics
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