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Vom Ausklammern und Ausmultiplizieren - Kommutativ- Assoziativ- und Distributivgesetz und die binomischen Formeln

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Herzlich Willkommen zum Brückenkurs Mathematik ("Rechenkurs"). Mein Name
ist Dr. Lauth und wir reden zunächst über Zahlen. Man kategorisiert die Zahlen in verschiedene Gruppen, die einfachste Gruppe ist
die Gruppe der natürlichen Zahlen: 2, 3 und so weiter. Man kann diese Gruppe sehr schön an einem Zahlenstrahl visualisieren, zum Beispiel an einem Meter-Maßstab oder auch an einen Thermometer. Wir können die natürlichen Zahlen auch um die Null ergänzen und dann in die negative Richtung weiter zählen. (Sie kennen das vom Thermometer) Damit kommen wir zu den ganzen Zahlen.
Wir sehen, dass zwischen den ganzen Zahlen noch eine Menge Platz ist auf unserem Zahlenstrahl; hier können wir zum Beispiel noch die rationalen Zahlen unterbringen - die Bruchzahlen. Quotienten aus ganzen Zahlen: 1/2, -1/2, 3/4, und so weiter. Dann gibt es auch
noch Zahlen, die sich nicht als Bruchzahlen darstellen lassen, die
aber auch auf dem Zahlenstrahl lokalisiert sind. Das sind die irrationalen Zahlen, die berühmtesten davon sind Wurzel aus 2, die Eulersche
Zahl e und die Kreiszahl pi. Zusammen mit den rationalen Zahlen ergibt sich die große Gruppe der reellen Zahlen. Mit dieser Gruppe kommen wir auch für die Zwecke unseres Rechenkurses aus. Wir können die Zahlen durch Buchstaben symbolisieren, etwa die Zahl a und die Zahl b und wir können mit diesen Zahlen Rechenoperationen durchführen: Addieren, Subtrahieren,
Multiplizieren. Wenn wir zwei Zahlen a und b addieren, erhalten wir eine Summe (a+b) und auch das können wir am Zahlenstrahl visualisieren:
Drei plus Acht gibt Elf. wenn wir zwei Zahlen a und b multiplizieren, erhalten wir ein Produkt (a*b) Dies können wir in zwei Dimensionen darstellen: a ist die Länge eines Rechtecks, b ist die Höhe eines
Rechtecks und (a*b) ist die Fläche des Rechtecks. Wir können a auch mit sich selbst multiplizieren, dann kommen wir zu (a*a) oder
abgekürzt a Quadrat (a²) - mit dem Exponenten 2 geschrieben. Visualisiert
ist a² die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge a Wenn
wir a dreimal mit sich selbst multiplizieren, kommen wir zu a hoch 3 (a³), ... das können wir beliebig weiter fortsetzen. Genauso wie die Multiplikation eine Kurz-Schreibweise ist für eine mehrfache
Addition, ist eine Potenzierung eine Kurz-Schreibweise für eine mehrfache Multiplikation. Wenn es um die Abfolge einer Rechenoperation geht, gibt es eine Rangreihenfolge. Diese Rangreihenfolge kann man in wenigen Regeln zusammenfassen: Regel Nummer 1: Klammern werden
zuerst und von innen nach außen nacheinander gerechnet. In diesem etwas komplexeren Ausdruck rechnen wir also zunächst 6*5 und 5*2, und suchen immer wieder die innerste Klammer, rechnen diese als
erstes aus und erhalten dann das Endergebnis. Regel Nummer 2 und 3 "Punkt" und "Hoch" setzen automatisch Klammern a mal b a*b ist also gleichbedeutend mit (a*b) eingeklammert - a hoch b a^b ist identisch mit (a^b) Daraus ergibt sich die
bekannte Regel: "Punkt" vor "Strich" 2+3*5 - 3*5 ist automatisch
eingeklammert und wird als erstes berechnet. 2*3^2 - 3^2 ist automatisch eingeklammert und wird zuerst berechnet. In dieser Aufgabe
rechnen wir also zunächst die innerste Klammer (1+9), jetzt (2*10), jetzt (5+20) und dann erhalten wir das Endergebnis. Zu jeder positiven
Zahl gibt es eine negative Zahl, die mit ihr zusammengezählt gleich Null ergibt. Wenn Sie von der Zahl a die Zahl x abziehen, ist das gleichbedeutend wie die Addition der Zahl (-x) . Auf dem Zahlenstrahl
bedeuten positive Zahlen Zahlen die nach rechts gehen und negative Zahlen, Zahlen die nach links gehen. Wenn wir zum Beispiel
(7-15) am Zahlenstrahl rechnen sollen, gehen wir 7 Einheiten nach rechts und dann 15 Einheiten nach links und erhalten das Ergebnis (-8).
Wir können uns die Zahl (-x) als Produkt der Zahl (-1) mit der Zahl x vorstellen. Bei der Multiplikation von negativen Zahlen
gilt: Minus mal minus gibt Plus. Minus mal Plus gibt Minus. Minus mal Plus gibt Minus (-1) mal (-1)
gibt (+1) Minus mal minus x gibt plus x. Vorsicht, wenn Sie zwei Rechenoperations-Zeichen hintereinander
Mathematik
Vorlesung/Konferenz
Einfache Gruppe
Distributivgesetz
Ganze Zahl
Natürliche Zahl
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Richtung
Menge
Quotient
Ganze Zahl
Rationale Zahl
Vorlesung/Konferenz
Bruchzahl
Binomische Formel
Reelle Zahl
Rationale Zahl
Pi <Zahl>
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Summe
Länge
Multiplikation
Höhe
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Quadrat
Exponent
Fläche
Rechteck
Vorlesung/Konferenz
Binomische Formel
Multiplikation
Quadrat
Fläche
Vorlesung/Konferenz
Binomische Formel
Multiplikation
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Punkt
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Vorlesung/Konferenz
Addition
Negative Zahl
Positive Zahl
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Zahl
Negative Zahl
Multiplikation
Vorlesung/Konferenz
Zahl
Maßeinheit
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Vom Ausklammern und Ausmultiplizieren - Kommutativ- Assoziativ- und Distributivgesetz und die binomischen Formeln
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 2
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17853
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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