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Summen- und Produktoperator und Äquivalenzumformungen - Vom Auflösen einfacher Gleichungen nach x

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Viele Symbole in der Mathematik sind nichts anderes als Abkürzungen. Eine Multiplikation ist im Grunde nichts anderes als eine Abkürzung dafür, dass wir mehrfach dieselbe Zahl addieren. Wenn wir verschiedene
Zahlen addieren sollen und zwischen den Summanden eine Beziehung besteht, die wir mathematisch formulieren können, können wir auch hierfür eine Kurzschreibweise wählen.
Hier sehen Sie die ungeraden Zahlen von 1 bis 17; wir sollen diese addieren. Jede ungerade Zahl können wir mathematisch als Term (2k+1) formulieren, wobei die Laufzeit k eine natürliche Zahl (inkl. 0) ist.
In unserem Fall haben wir die Terme für k=0 bis 8 aufgelistet.
Anstatt umständlich die Zahlen hintereinander zu schreiben und mit einem Pluszeichen zu versehen, können wir die Summe auch abkürzen mit dem griechischen Buchstaben (großes Sigma). Summe s gleich Sigma von 2 k plus 1 von k gleich 0 bis k gleich 8. Hinter dem Summenzeichen
steht eine Funktion von k (der Laufvariablen) Unter dem Summenzeichen steht die Laufvariable und der Anfangswert und auf dem Summenzeichen steht der Endwert der Laufvariablen. Wir können in ähnliche Art und Weise
auch eine Kurzschreibweise für die Multiplikation definieren. Hierfür verwenden wir den griechischen Buchstaben (großes Pi); Laufvariable, Startwert und Endwert stehen an gleicher Stelle- Wenn wir die
ungeraden Zahlen von 1 bis 19 multiplizieren sollen, schreiben wir Pi Pi (2 k plus 1) von k gleich 0 bis k gleich 9. Eine besondere Bedeutung hat der Term Produkt Pi(k) für k von 1 bis n. Man nennt dieses
Produkt "Fakultät" und kürzt es mit n! (Ausrufezeichen) ab. Man kann mit der Fakultät zum Beispiel
Wahrscheinlichkeiten oder Verteilungen berechnen (z.B. die Anzahl der Möglichkeiten, sechs farbige Eier in einem Karton zu positionieren: es gibt hierfür 6! = 720 Möglichkeiten). 1 8 27, 64 ... wir sollen diese Reihe fortsetzen. Wir versuchen
eine Funktion der Laufvariable zu finden: 1 ist 1*1, 8 ist 2*4, 27
ist 3*9, 64 ist 4*16 Offensichtlich haben wir die Lauffunktion k*k² oder k³ k³ Die folgende Zahl muss dann 5³ oder 125 lauten. Wir
sollen die Summe(j+2) für j von 3 bis 5 berechnen. Wir setzen in die Lauffunktion 3, 4 und 5 ein, addieren und erhalten 18. Häufig enthalten mathematische Gleichungen sog. "Unbekannte" - meistens mit "x"
gekennzeichnet. Diese Unbekannte soll dann ermittelt werden. Hier sehen Sie ein Beispiel für eine solche Aufgabe. Wir wenden zunächst
die bekannten Rechenregeln (Distributivgesetz, Kommutativgesetz) an und versuchen, die rechte und linke Seite soweit es geht zu vereinfachen: Wir multiplizieren also beide Seiten aus und fassen zusammen.
Jetzt können wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführen. Beispielsweise auf beiden Seiten (-8x) addieren.
Jetzt steht auf der rechten Seite nur noch einen Term ohne x. Damit auch auf der linken Seite nur noch ein Term steht, können wir auf beiden Seiten (19) addieren und
erhalten dann -7x=14. Jetzt dividieren wir beide Seiten durch (-7) und erhalten x x = (-2) Zur Probe setzten wir das Endergebnis in die
Anfangsgleichung ein. Wenn wir richtig
gerechnet haben, muss die Gleichung rechts und links denselben Zahlenwert ergeben. Eine weitere Gleichung mit einer Unbekannten x. Wir
multiplizieren zunächst beide Seiten aus (Anwendung des Distributivgesetzes) Wir wenden das Distributivgesetz ein weiteres Mal an und fassen
dann zusammen. Jetzt starten wir mit den Äquivalentumformungen, d.h. wir führen auf der rechten und linken Seite dieselbe Rechenoperation
durch. Wir ziehen z.B. (x²) ab, wir addieren (8x), wir ziehen (32) ab, wir dividieren durch (-4). und erhalten das Endergebnis x = 5.
Durch Ausmultiplizieren und vier Äquivalentumformungen haben wir die Gleichung gelöst. Wir setzen das Endergebnis zur Kontrolle in die
Ausgangsgleichung ein: Für x=5 ist die Gleichung wahr. (Zusammenfassung:
Arithmetik) Wir haben folgende Grundregeln kennengelernt: - Das Assoziativgesetz (gilt für Addition und Multiplikation) - Das Distributivgesetz (das Ausklammern und Ausmultiplizieren) - Die Regel: Punkt vor Strich, Klammer vor Punkt. Wir haben das Rechnen mit negativen Zahlen wiederholt: - Minus mal Minus gibt Plus. Wir haben die - Binomischen Formeln I, II und III
abgeleitet und - Summen- und Produktzeichen kennengelernt. Wir sind in der Lage, durch Äquivalentumformungen einfache Gleichung zu lösen.
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
Addition
Punkt
Mathematik
Summand
Distributivgesetz
Laufzeit
Natürliche Zahl
Reihe
Arithmetik
Gleichungssystem
Zahlenwert
Rechnen
Gleichung
Term
Zahl
Summe
Assoziativgesetz
Negative Zahl
Rückwärtsgleichung
Multiplikation
Variable
Distributivgesetz
Vorlesung/Konferenz
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Punktrechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Summen- und Produktoperator und Äquivalenzumformungen - Vom Auflösen einfacher Gleichungen nach x
Serientitel Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger
Teil 3
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/17851
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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