So, dann auch ein herzliches Willkommen von mir. Wir gehen heute weiter zum zweiten Abschnitt über Integrale in mehreren Variablen. Und wir nähern uns dem vollen Problem in langsamen Schritten.

Was ich zunächst machen will mit Ihnen, sind Integrale über Funktionen, also wir haben eine Funktion in mehreren Variablen, aber das Integral wird noch genommen entlang einer Linie oder genau gesagt entlang einer Kurve.

Also, wir wollen uns um Kurvenintegrale kümmern. Das ist Paragraph 19. Also, wir integrieren Funktionen in mehreren Variablen über Dinge im RD, aber diese Dinge, über die wir integrieren, sind noch eindimensional. Wir integrieren über eine Linie und dann kann man sich vorstellen,

also die Spur von einer Kurve, so ein Integral wird man irgendwie zurückspielen können auf ein eindimensionales Integral, indem man die Spur von der Kurve sieht als das Bild von einem Intervall und jetzt dieses Integrieren entlang der Kurve mithilfe des Weges zurückspielt

auf eine Integration über das Intervall, auf dem die Kurve definiert ist. Das wird die Aufgabe sein. Aber vielleicht erst mal kurz zu der Frage, wo kommen zum Beispiel solche Kurvenintegrale her? Machen wir es mal für die eine Hälfte der Klientel hier in der physikalischen Betrachtung.

Ich hoffe, damit überfahre ich niemanden, wenn ich mal sage, Arbeit ist Kraft mein Weg. Also, die Energie, die Sie brauchen, um irgendein Gerät gegen oder mit einer Kraft von A nach B zu bringen, kriegen Sie, indem Sie die Kraft, die Sie dazu auch gegen diese angehen müssen,

mit dem Weg multiplizieren. Das ist ein grundphysikalisches Gesetz und in der Schule macht man das im Physikunterricht für den schönsten, einfachen Fall, nämlich wir transportieren ein Ding mit konstanter Masse gegen eine konstante Kraft einen geraden Weg und dann ist das einfache wie Kraft mein Weg.

In Wahrheit ist natürlich nichts an den Dingern konstant, also im Allgemeinen ist die Kraft, gegen die man anläuft, anbewegt, ortsabhängig, also eine Kraft F von X, ich schreibe mal ein großes F, dann erkennt man es auch, sieht man gleich, dass es die Kraft sein soll.

Und dann lässt sich das auch noch machen, also das weiß ich, Beispiel, sich transportieren einen Stein 100 Meter rauf, 100 Meter gegen das Gravitationskraft der Erde, dann rechnet man das in der Schule so,

Gravitation ist konstant und die 100 Meter mal die Kraft und dann hat man die Arbeit, die man braucht, um das da hoch zu tun. Dieses Verfahren kommt ein bisschen an seine Grenze, wenn man den Stein nicht nur 100 Meter, sondern ein paar Millionen Kilometer weg transportieren soll, weil dann ist die Gravitation einfach nicht mehr konstant, ist ja de facto auch bei den 100 Metern nicht, stört aber keinen,

und dann hat man eine ortsabhängige Kraft. Was macht man? In Wahrheit ist das nicht Kraft mein Weg einfach als skalares Produkt, sondern es ist ein Integral, es ist ein Integral über die Kraft, über den Weg von A nach B, wo ich das Ding transportiere.

Da steckt im Prinzip immer noch Kraft mein Weg drin. Ein Physiker würde sagen, das ist die Kraft mal das infinitisimale Wegstück und das summiere ich auf. So sieht ein Physiker dieses Integral.

Das ist jetzt aber zu dem Fall, das Ding wird von A nach B transportiert auf eine gerade Linie, auch sowas ist es im Allgemeinen natürlich nicht. Man ist normalerweise im R3 unterwegs, man hat ein Kraftfeld von R3 nach R3, ein Kraftfeld kann ich mir visualisieren,

indem ich an jedem Punkt, die dort wirken, die Kraft anzeichne, meinetwegen sowas hier ja, und jetzt wird der Gegenstand da drin bewegt oder fliegt da drin rum,

natürlich nicht auf gerade Linie, sondern im Allgemeinen, was weiß ich, auf irgendeiner Flugbahn. So, und jetzt, was ist die Arbeit? Oh, das ist eine physikalische Motivation, warum man zum Kurvenintegral kommt. Was wir jetzt tun müssen, ist, wir müssen dieses Kraftfeld hier integrieren,

entlang nicht mehr einem Intervall, sondern diesem verbogenen Stück Intervall hier. Da ist die Frage, wie können wir das mathematisch modellieren? Naja, diese Flugbahn werden wir als eine Kurve sehen,

Flugbahn hier ist gegeben durch eine Kurve, Gamma, mit solchen Dingern haben wir ja schon zu tun gehabt, irgendwann mal im Kapitel 8 oder so, und unsere Arbeit kriegen wir jetzt als Integral von f entlang Gamma.

Und die Frage ist jetzt, wie definieren wir ein Integral von f entlang Gamma? Und wenn wir nochmal genau überlegen, haben wir ja damals überlegt, wenn wir so einen Weg haben,

dann lässt sich der auf ganz viele verschiedene Weise als eine Kurve schreiben. Wenn wir irgendeine Beschreibung als Kurve haben, kann man die Kurve umparametrisieren, und wir kriegen den gleichen Weg als mit einer ganz anderen Kurve, die Kurve können Sie auf 0,1 definieren, auf –5, –3, wo immer Sie wollen.

Das ändert natürlich die Frage, wie Sie Ihre Kurve parametrisieren, oder wie Sie den Weg parametrisieren, ist eine rein mathematische Frage, die bitte schön nichts an dem Arbeitsintegral ändern sollte. Das darf eben für die Energie, die man braucht, um das Teilchen dadurch zu bewegen, nicht davon abhängen, wie man jetzt den Weg parametrisiert. Das heißt, wir müssen wann immer wir jetzt so einen Integralbegriff definieren,

mal als allererstes abklopfen, dass der Invariant ist unter solchen Umparametrisieren. Das ist so etwas, was man immer noch im Hinterkopf behalten soll. So, und hier ist die richtige Methode, das zu tun, damit zum Beispiel diese Invariant unter Umparametrisierung noch stimmt.

Also jetzt, wir haben eine Teilmenge G offen von Rd, die ist einfach da, darauf ist unser Kraftfeld definiert, kann im Allgemeinen auch Rd sein, oder wird es meistens sein. Dann eben eine stetige Funktion f, die unser Kraftfeld darstellt,

von Rd nach Rd, also gleiche Zieldimension wie Dimension des Definitionsbereichs. Dann eine Kurve auf einem Intervall ab in R,

also a und b reelle Zahlen mit a keine b, und Gamma von a b nach g eine stetig differenzierbare Kurve. Warum die differenzierbar sein muss, sehen Sie gleich.

Dann wollen wir definieren ein Integral über unsere Kraftfunktion f entlang der Kurve Gamma. Bis jetzt habe ich nur ein neues Symbol hingeschrieben, das sagt noch gar nichts, das ist das, was wir definieren wollen. Dieses Symbol soll heißen, man integriert die Funktion f entlang der Kurve Gamma. So, wie machen wir das?

Die Idee ist natürlich das Ganze auf dieses Intervall ab zurückzuspielen, also das zu schreiben als ein Integral von a bis b. Wir müssen uns anschauen, was ist das? Jeweils die Kraft, also wenn jetzt t von a nach b läuft, dann bewegt sich bis zum Zeitpunkt t unser Teilchen an der Stelle Gamma von t.

Das heißt für die ganze Berechnung interessant ist natürlich der Wert der Kraft an der Stelle Gamma von t, also irgendwo da drin sollte f von Gamma von t stehen. Das ist die Kraft, die auf das Teilchen zum Zeitpunkt t wirkt, weil zum Zeitpunkt t ist an der Stelle Gamma von t und da wird die Kraft f von Gamma von t. Jetzt könnte man auf die Idee kommen, zu sagen,

naja, ich integriere die Kraft entlang der Kurve und alles ist gut. Wenn Sie das so machen, stellen Sie fest, dieses Integral fällt durch den ersten Test durch. Also es fällt durch viele Tests durch. Es fällt erstens dadurch durch, dass das, was hier rauskommt, Vektor ist und keine Zahl, was die Energie sein sollte.

Zweitens fällt es durch den Test durch, dass es nicht invariant ist unter Unparametrisierung. Das heißt, was Sie noch tun müssen, ist Sie müssen normalisieren, Sie müssen dafür sorgen, dass die Frage, zum Beispiel, mit welcher Geschwindigkeit die Flugbahn durchlaufen wird, keine Rolle spielt.

Sie müssen die Geschwindigkeit von dem Teilchen irgendwie mit ins Kalkül einbeziehen. Und die richtige Variante, das zu tun ist, Sie nehmen Ihre Kraft an der Stelle Gamma von t und dann von das Skalarprodukt mit der Ableitung der Kurve. Dieses Skalarprodukt integrieren wir. Das wird jetzt die, löst jetzt zumindest die gerade eben angesprochenen Probleme.

Jetzt kommt ein Skalar raus. Außerdem werden wir gleich sehen, das ist tatsächlich invariant unter Unparametrisierung. Also wenn Sie Ihr Gamma jetzt anders parametrisieren, kommt da trotzdem dasselbe aus. So und das Ding nennt man das Kurvenintegral von f längs der Kurve Gamma.

Und was man hiermit macht ist, man führt dieses Integral hier vorne oder das in dem Bild, was ja originär der Dimensionales Integral ist. Der Integral über ein Eindimensionales Gebilde, aber das liegt im der Dimensionalen Raum, ist verbogen.

Das führt man zurück auf ein Eindimensionales Integral. Also man zieht diese Flugplanen glatt nach r. Und beim glatt ziehen verstaucht man das, also staucht und streckt man das Ding natürlich und zwar im Wesentlichen gemäß Gamma Strich. Und das korrigiert man in der Form.

So, bevor wir jetzt gleich als erstes zeigen, dass das invariant ist unter Unparametrisierung noch ein Begriff, der im Folgenden häufig auftauchen wird. Die Funktionen und wie wir uns hier anschauen, also diese Funktion f,

sind immer stetige Funktionen einer Teilmenge von rd nach rd. Und für solche Funktionen, also rd nach rd, unstetig hat sich der Begriff Vektorfeld eingebürgert.

Weil wir den sicher häufig hören, die Physiker in Israel und Rhein auch mal gehört haben und die Mathematiker auch noch ein paar mal hören werden, will ich den hier übrigens kurz erwähnen. Also Vektorfeld heißt nichts anderes als eine Funktion von rd nach rd und eine Teilmenge von rd nach rd, unstetig. Und typische Visualisierung, so wie der links einfach an jedem Punkt dem Vektor angeklickt.

So, jetzt also zum ersten Test, ob diese Setzung für das Kurvenintegral sinnvoll ist. Wir müssen nachweisen, dass das, wenn ich die Kurve unparametrisiere, dass das den Wert nicht ändert.

Was nicht ganz stimmt, es gibt nämlich durchaus Unparametrisierungen, die den Wert ändern. Nämlich, wenn sie sich so unparametrisieren, dass das Teilchen andersrum fliegt. Man kann ja auch orientierungsumkehrend unparametrisieren.

Wenn sie natürlich so unparametrisieren, dass das Teilchen andersrum durch das Kraftfeld fliegt, dann kommt da nicht das Gleiche heraus. Also ob sie mit dem Fahrrad den Berg runterfahren, mit dem Fahrrad den Berg rauffahren, macht deutlich einen Unterschied in der Energie, die sie dem Fahrrad einstecken müssen. Und zwar ziemlich genau ein Minuszeichen.

Dementsprechend erwarten wir nicht, dass jetzt für jede beliebige Unparametrisierung der Wert derselbe bleibt. Sondern wir erwarten, dass wenn ich eine Unparametrisierung habe, die orientierungserhaltend ist, also gleiche Flugrichtung, nur vielleicht andere Geschwindigkeiten unterwegs, dass es dann dasselbe bleibt. Und wenn ich orientierungsumkehrend unparametrisiere, also gleiche Flugbahn, aber andersrum,

dass ich dann den negativen Wert rauskriege. Das passiert auch. Das ist der Satz 19.3. Also gleiche Grundsituation wie gerade eben. g eine offene Teilmenge des Rd. f ein Vektorfeld.

Jetzt schreibe ich es mal kurz so. Also stetige Funktion von g nach Rd. gamma eine stetig differenzierbare Kurve in g. Dann können wir jetzt unter den Voraussetzungen das Kurvenintegral hinschreiben.

Und der Satz sagt jetzt, wenn phi von irgendeinem Intervall alpha beta ins Intervall ab eine orientierungserhaltende Unparametrisierung ist.

Der Begriff ist ein bisschen länger her. Den hatten wir irgendwie in Kapitel 8 mal, als wir uns mit Kurven beschäftigt haben. Wir können das mittlerweile auch anders formulieren. Eine orientierungserhaltende Unparametrisierung ist ein streng wachsender Diffiomorphismus.

Also eine Unparametrisierung ist ein Diffiomorphismus, ist eine Abbildung mit stetig differenzierbarer Abbildung, mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Und damit es eine orientierungserhaltende Unparametrisierung ist,

muss das Diffiomorphismus daher kommen, dass es streng wachsend ist. So, also wenn wir so eine orientierungserhaltende Unparametrisierung haben, dann gilt, dass das Kurvenintegral von f längs gamma das gleiche ist,

wie das Kurvenintegral von f längs gamma nach phi. Gamma nach phi ist die unparametrisierte Kurve durch phi. Und die Behauptung ist, da kommt es gleich heraus. Das ist physikalisch der gleiche Effekt, nur dass wir eben die Kurve anders parametrisiert haben.

So, dann das zweite für die orientierungsumkehrende Unparametrisierung. Also wenn Sie eine orientierungsumkehrende Unparametrisierung haben,

das heißt, phi ist ein monoton fallender Diffiomorphismus, dann kriegen Sie hier einen Minuszins. So, und was dahinter steckt, ist im Prinzip einmal Substitutionsregel an der richtigen Stelle.

Da muss ich noch einmal hinschreiben, was da steht, und dann fällt es einem schon vor die Füße. Also das Integral ist wirklich genauso gebaut, dass es funktioniert. Also was passiert, wenn Sie das Kurvenintegral von f längs der unparametrisierten Kurve gamma nach phi anschauen,

dann ist das nach Definition vom Kurvenintegral das Integral über. So was müssen wir machen, um das Kurvenintegral auszurechnen. Wir müssen integrieren über das Definitionsintervall der Kurve. Für die Kurve gamma nach phi ist das das Intervall von alpha bis beta. Dann kommt ein Skalarprodukt, wo wir vorne die Kurve in das f einsetzen.

Also f von gamma nach phi von t. Und dann müssen wir die Kurve, über die wir integrieren, ableiten. Also hier hinten steht gamma nach phi Strich von t. Skalarprodukt Ende dt ist einfach Definition vom Kurvenintegral.

So, jetzt können wir das, was da steht, ausrechnen oder auseinanderziehen. Integral von alpha bis beta. Da vorne haben wir eine mächtige Verketterei f von gamma von phi von t. 1, 2, 3, 1, 2, 3, ja. So, hier haben wir eine Kettenregel.

Gamma nach phi Strich ist gamma Strich von phi von t mal phi Strich von t dt. So, phi Strich, phi ist ja eine wunderbare ANA1-Funktion, von alpha beta nach phi. Also phi Strich ist überhaupt keine Matrix und gar nichts, sondern etwas ganz Ungewohntes, einfach eine Zahl.

Die dürfen wir natürlich aus dem Skalarprodukt herausziehen. Skalarprodukt ist zwischen zwei Vektoren, nämlich f von dem Argument und gamma Strich ist auch ein Vektor. Aber das phi ist einfach ein Skalar. Das dürfen wir rausziehen aus dem Skalarprodukt.

Dann steht hier Skalarprodukt von f von gamma von phi von t mit gamma Strich von phi von t. Skalarprodukt Ende für Strich von t dt. So, wenn man die Form ein bisschen länger anstarrt, springt einfach die entscheidende Substitution ins Auge.

Setzen Sie mal S gleich phi von t. Wenn Sie die Substitution machen, kriegen wir erst mal dS ist phi Strich von t dt. Das ist schon mal sehr schön. Das hier ist also dS. Das passiert mit den Grenzen.

An den Stellen, wo t alpha ist, das ist da phi von t. Der Witz in phi von t ist eine biaktive Abbildung von alpha beta nach ab. Außerdem ist der Strengmonoton wachsend. Also ist phi von alpha a und phi von beta b. Also phi von alpha ist a und phi von beta ist b.

Dann steht hier vorne f von gamma von phi von tsS. Skalarprodukt mit gamma Strich von phi von tsS und phi Strich von t dt ist dS. Und was jetzt da steht, ist nach Definition nichts anderes als das Kornintegral von f entlang gamma.

Also es ist wirklich nur diese eine Substitution, die zeigt, wenn Sie eine orientierungserhaltende Unparameterisierung haben, ändert sich das Kornintegral nicht. Wo ist der Unterschied, wenn Sie eine orientierungsumkehrende Unparameterisierung haben?

An der Stelle, wo Sie substituieren, ändert sich gar nichts außer die Grenzen. Wenn Sie eine orientierungsumkehrende Unparameterisierung haben, ist phi von alpha b und phi von beta a. Das heißt, in dem Fall ändert sich die einzige Stelle, wo sich etwas ändert.

Hier kommt ein b hin und da kommt ein a hin. Naja, und das ist schlichtweg ein Minuszeichen. Gut. Naja, das ist das Minuszeichen. Dieses Minuszeichen ist das Minuszeichen, das Sie kennen, wie gesagt, vom Fahrradfahren. Berg rauf, Berg runter.

So, gut. Rechnen wir mal einfach so ein Kornintegral aus. Du siehst, da kommt auch was bei raus.

Wir nehmen eine Funktion f. Die ist jetzt erst mal nur definiert auf, die bleibt auch nur definiert auf r2 ohne 0, weil ich durch u², weil ich durch den Ursprung, nein, weil ich durch x² plus y² teilen will. Und meine Funktion ist f von uv ist minus v durch u² plus v² und u durch u² plus v².

Das ist ein Vektorfeld im r2.

Und als Weg nehmen wir den Standardeinheitskreis, also von 0,2 pi nach r2, gamma von t ist cos von t sin t. Das ist die Standardparametrisierung für das Integral einmal im Kreis um die Einheitskreislinierung.

Für 0 ist das der Punkt 1,0. Für t gleich 2 pi ist auch wieder 1,0. Und dazwischen laufen wir einmal im Kreis. So, entlang dieses Kreises werden nach r2.

Dieses Vektorfeld entlang dieser Kurve, einfach nach Definition, rechnen wir das Kurbenintegral aus. Das Kurbenintegral von f entlang dieser Kurve ist alles erlaubt.

f ist stetig, gamma ist stetig differenzierbar. Also was müssen wir machen? Wir müssen integrieren über das Intervall, auf dem die Kurve definiert ist, von 0 bis 2 pi. Dann kommt Skalarprodukt von f von gamma von t mit gamma Strich von t dt.

Also einsetzen. Integral von 0 bis 2 pi. Jetzt f von gamma von t, was müssen wir tun? Wir müssen das gamma ins f einsetzen. Also überall da wo u steht kommt ein cos t hin, überall da wo v steht kommt ein sin t hin.

Also minus v ist dementsprechend minus sin von t durch u Quadrat plus v Quadrat, also durch sin Quadrat plus cos Quadrat. Sie sehen schon, das Beispiel ist so gemacht, dass man einigermaßen was rechnen kann. Bleibt unten eine 1 übrig.

Dann, zweite Komponente von f, u durch u Quadrat plus v Quadrat, gibt also ein cos von t, geteilt durch sin Quadrat plus cos Quadrat, also geteilt durch 1. Das ist f von gamma von t. Jetzt brauchen wir noch gamma Strich. Cos ableiten gibt minus sin. Sin ableiten gibt cos. Skalarprodukt dt.

Integral von 0 bis 2 pi. Minus sin mal minus sin ist ein sin Quadrat von t. Plus cos mal cos ist ein cos Quadrat von t. Also das Ganze ist ein Integral von 0 bis 2 pi über 1. Na, das kriegen wir hin, das ist 2 pi.

Aber das Entscheidende, was man eben jetzt sieht, ist, auf die Weise wird dieses komplizierte Gebilde Kurvenintegral, irgendeine Vektorfunktion integriert entlang von irgendeiner wilden Kurve zurückgeführt auf ein normales eindimensionales 1er1 Integral.

Das ist natürlich jetzt nicht immer so besonders einfaches Schönes wie das hier, gebe ich zu. Das Beispiel ist schon sehr konstruiert, dass es nachher leicht zu rechnen ist. Wobei wir werden feststellen, es ist nicht nur dafür konstruiert, dieses Beispiel wird uns noch in der nächsten Vorlesung oder am Ende dieser und in der nächsten Vorlesung einiges beschäftigen. Das ist ein sehr interessantes Beispiel.

So, das ist die eine Sichtweise vom Kurvenintegral oder eine Sorte vom Kurvenintegral. Es gibt noch ein zweites, und zwar, wenn man neben solchen Vektorfeldern oft auch skalare Funktionen über eine Kurve integriert.

Also jetzt nicht eine Funktion von RD nach RD, sondern eine Funktion von RD nach R. Die will man auch häufiger mal über Kurven integrieren. Warum? Da habe ich jetzt ein bisschen alberne Motivation dabei, aber ich denke, an der kann man sich vielleicht gut plastisch vorstellen, was so ein Kurvenintegral über eine skalare Funktion ist.

Stellen Sie sich einen Vorhang vor, einen großen Vorhang von einem Theater oder sowas. Dann hängt der üblicherweise in Wellen. Sie dürfen gerne auch sogar eine gewählte Vorhangstange oben hin hängen oder irgendwas Fieses da machen.

So, und dieser Vorhang hat eine variable Länge. Also nicht nur, dass er in Wellen hängt, sondern der hat auch noch eine variable Länge. So vielleicht nicht gerade, aber die Funktion sollte schon noch bleiben. So, und so als Vorhang mit Falten.

Nach unten hin immer länger, nach rechts hin zum Beispiel immer länger. Frage, welche Fläche hat der Vorhang? Ja gut, abnehmen, auf dem Boden ausbreiten und nachmessen. Schon klar, ja ja.

Ja, im Prinzip tut man ja auch genau das. Wie rechnen wir aus, welche Länge der Vorhang hat? Die Länge von an jedem Punkt, die kann man sich als eine Funktion f von x nehmen. x ist der Punkt im Raum hier oben, das hier oben ist eine Kurve gamma von t. Was man jetzt wieder tun muss, ist diese Funktion f in richtiger Weise entlang dieser Kurve integrieren.

Dann kriegt man die Länge von dem Vorhang aus. Also hier unten vielleicht dann eben f von gamma von t. Ich meine, das Ganze ist natürlich idealisiert in dem Sinne, dass der Vorhang an jeder Stelle exakt senkrecht runterhängt und so.

Keine weiteren Falten oder so. Aber das ist sozusagen eine geometrische Vorstellung von diesem Kurvenintegral über eine skalare Funktion. Sie haben eine gebogene Linie, über jedem Punkt der Linie haben Sie einen skalaren Wert. Und die so entstehende Fläche darüber, die wollen wir auch integrieren.

Auch hier, wir brauchen wieder einen Integralbegriff, der eine Zahl liefert. Wir wollen eine Fläche, eine Zahl haben. Und der invariant ist unter Umparameterisierung.

Es ist dem Vorhang völlig egal, wie Sie Ihre Kurve da oben parametrisieren. Es ist in dem Fall sogar auch egal, ob Sie die Kurve von links oder von rechts durchlaufen. Also zumindest wird der Integralbegriff, den wir jetzt einführen, so sein. Der ist tatsächlich komplett invariant unter Umparameterisierung.

Und berechnet eben solche Flächen über skalare Funktionen. Das ist Definition 19.5. Also wir haben wieder g, eine offene Teilmenge von Rd.

Jetzt eine Funktion f von g nach R. Stetig, also eine skalare Funktion. Mit mehreren Variablen, aber eben mit skalaren Werten. Dann haben wir wieder eine Kurve auf einem Intervall ab. Gamma von ab nach g.

Eine stetig differenzierbare Kurve. Entlang der wir eben unsere Funktion f integrieren wollen. Und dann ist das Kurvenintegral längs gamma von dieser Funktion f. So und ich will jetzt dieses Kurvenintegral zumindest notationell von dem anderen ein bisschen unterscheiden.

Ja, dass nicht beide mal das gleiche darstellen. Da gibt es jetzt verschiedene Wege und Möglichkeiten. Ich finde alle doof. Ich habe mich für einen entschieden, der in verschiedenen Büchern auftaucht. Hier hinten jetzt nicht dx, sondern ds.

Das s sagt jetzt nicht, dass wir nach einer Variabel s integrieren, sondern sagt einfach, es ist ein Kurvenintegral bezüglich einer skalaren Funktion. So, wenn man klar machen will, bezüglich welcher Variablen, darf man hier auch mal ds von x schreiben oder sowas.

Aber damit ist gemeint Kurvenintegral über eine skalare Funktion. Und dieses Kurvenintegral definieren wir wieder. Was macht man? Man nimmt den Vorhang ab und legt ihn flach auf den Boden. Soll heißen, sie nehmen sich ihre Kurve gamma, ziehen die glatt auf das Intervall ab.

Beachten dabei, dass ihre Kurve gamma bei der Abbildung von ab auf die gebogene Linie des Intervall ab verzerrt. Diese Verzerrung wird durch gamma Strich gemessen. Dieses gamma Strich muss deshalb mit ins Kalkül einbezogen werden. Und was eigentlich interessiert uns nur, wie schnell das gamma dadurch läuft, also die Norm von gamma Strich.

Und was die richtige Möglichkeit ist, das dann alles zusammenzupacken, ist, sie integrieren ihr f entlang der Kurve gamma von a nach b. Und beachten dabei, wie schnell ihr gamma fliegt, indem sie das ganze gewichten mit der Norm von gamma Strich.

Gamma Strich ist ein Vektor, das ist eine Norm, nehmen sie. Im Normalfall wird hier die Zwei-Norm stehen. Aber je nachdem, welche Norm sie gerade im RD haben, deswegen schreibe ich hier einfach nur Norm hin. Wenn sie tatsächlich einen realen Vorhang ausrechnen wollen, dann müssen sie die Zwei-Norm nehmen.

So, und das Ding nennt sich dann wieder Kurvenintegral von f links gamma. Man beachte, es ist jetzt eben ein anderes Kurvenintegral als vorhin. Vorhin haben wir Vektorwertige Funktionen integriert, jetzt integrieren wir Skalarwertige Funktionen.

Insofern kann man die auch nicht verwechseln, weil wenn sie jeweils das falsche Integral hinschreiben, werden sie feststellen, dass das, was da steht, auch schon formal keinen Sinn mehr macht. Wenn sie eine Skalarwertige Funktion haben und sie schreiben aus Versehen das Kurvenintegral von da drüben drin, haben sie plötzlich das stehende Skalarprodukt von der Zahl mit einem Vektor.

Spätestens dann sollten sie irgendwie misstrauisch werden, hier schnippert nicht. Wenn sie eine Vektorwertige Funktion haben und schreiben aus Versehen das dahin, dann haben sie plötzlich den Integral über Vektoren, das steht. Also, insofern gibt es keine große Wechselungsgefahr, zumindest wenn man von Zeit zu Zeit mit einem etwas nachdenklichen Auge auf seine eigenen Formeln schaut.

Und von Zeit zu Zeit man überprüft, ob das, was da steht, überhaupt Sinn macht. Dann wird man schnell merken, wenn ich eine Funktion mit Werten in R habe, macht nur das Sinn, wenn ich eine Funktion mit Wert in Rd habe, macht nur das. Trotzdem wenigstens diese kleine notationelle Unterscheidung durch das ds dahinten,

um die größten Verwirrungen zu vermeiden. So, auch dieses Kurvenintegral ist invariant unter Unparametrisierung, wie gesagt, diesmal sogar komplett. Also selbst wenn ich orientierungsumkehrend unparametrisiere, bleibt der Wert erhalten.

Das ist die Übungsaufgabe 19.7. Die Rechnung ist im Wesentlichen parallel zu der Berechnung vorhin. Man muss auch richtig substituieren. Deswegen überlasse ich Ihnen das als Übungsaufgabe, diese Rechnung zu wiederholen. Also das Kurvenintegral aus 19.5 ist invariant, ändert sich nicht unter Unparametrisierung.

Und zwar jetzt unter jeder Unparametrisierung. Das liegt im Wesentlichen daran, dass das Norm von Gamma Strich, das schluckt Ihnen die Information, ob das Ding linksrum oder rechtsrum fliegt.

Die Norm macht dieses Minuszeichen weg. Also es ist invariant unter Unparametrisierung. Das heißt, das Kurvenintegral von f längs Gamma ist dasselbe wie das Kurvenintegral von f längs Gamma nach Phi. Für jede Unparametrisierung, also für jeden Monotonen, die Phiomorph ist.

Auch von den Kurvenintegralen, was man sieht, zweiter Art oder überskalare Funktionen,

rechnen wir einmal ein Beispiel durch. Beispiel 19.8. Gegensatz zu dem 19.4, das uns noch ein bisschen beschäftigen wird, ist das jetzt einfach wirklich nur ein Beispiel, damit man es mal gesehen hat. Als f nehmen wir mal die Funktion fünfte Wurzel aus x mal y.

Das ist eine Funktion auf dem ersten Quadranten, dem R2. Und als Kurve lag ich Ihnen einen Teil der Nierischen Parabel vor, t²t hoch 3 für t zwischen 0 und Wurzel 3.

So, was muss man tun? Wir wollen da im Prinzip nur die Definition oben einmal anwenden. Also das Kurvenintegral von dieser skalanen Funktion längs unserer Kurve Gamma ist was. Wir integrieren über das Definitionsbereich der Kurve, also von 0 bis Wurzel 3.

Wir integrieren f von Gamma von t multipliziert mit der Norm von der Ableitung. In dem Fall jetzt hier der 2. Wenn es keinen expliziten Grund gibt, irgendeine andere Norm zu nehmen natürlich.

So, also einsetzen. Das ist ein Integral von 0 bis Wurzel 3 über f von Gamma von t. Also in diese Funktion f setzen Sie Gamma ein. Überall wo x steht, kommt t² hin. Überall wo y steht, kommt t hoch 3 hin. Dann sehen Sie schon, auch hier hat wieder jemand das so gebaut, dass es nicht allzu gruselig wird.

Weil die fünfte Wurzel von t² mal t hoch 3 ist natürlich was Nettes. So, und dann kommt die Zwei-Norm von Gamma Strich. Gamma Strich ist 2t 3t².

Das heißt, die Zwei-Norm davon ist das Quadrat von 2t plus das Quadrat von 3t². So, jetzt ist Spielwitz gefragt. Weil irgendjemand als er das Skript gezippt hat, nicht Gamma Strich, sondern Gamma in die Norm genommen hat.

Jetzt muss ich live rechnen. Also gut, jetzt haben Sie viel Spaß. Integral von 0 bis Wurzel 3. Gut, da vorne haben wir t. Dann haben wir wahrscheinlich, wird es dadurch nur einfacher, 4t² plus 9t hoch 4.

Das ist das Integral von 0 bis Wurzel 3 über t mal. Da können wir ein t² vorziehen. Gibt noch ein t. Wurzel aus 4 plus 9t². So, jetzt muss ich mir etwas einfallen lassen.

t² Wurzel aus 4 plus 9t². So, dann hoffen wir mal, dass die gute alte Grundregel, wenn eine Wurzel mit irgendwas lange drin steht, da steht. Dann substituiere ich mal das, was unter der Wurzel steht. Funktioniert?

Also, wir substituieren mal u ist 4 plus 9t². Dann ist du nach dt gleich 18t. So, das heißt dt war sehr ätzend.

Das tut natürlich nicht. Nö, das können wir dann machen.

Ja, das geht natürlich schon irgendwie, aber es ist ätzend. Also, das macht dann ein t weg.

Das ist nämlich genauso, wie es nicht sein soll. Dann bleibt übrig. Integral halten. Ich muss die Grenzen substituieren. Wenn t0 ist, dann ist u4. Wenn t Wurzel 3 ist, 4 mal 9 mal 27. Also, ich höre gleich auf. 4 bis 27. t mal Wurzel u mal ein 18t noch.

So, jetzt müssen wir noch überlegen, was t ist. t ist dann nämlich u minus 4 neuntel Wurzel drüber. Das ist okay, weil u minus 4 sind wir positiv. Also, das ist Wurzel u minus 2 drittel. Aber jetzt haben wir uns natürlich genau den gleichen Cent wieder eingehandelt. Nö.

Also, ich sehe. Naja, der hat mit dem Wolfram Alpha geguckt. Das ist einfach. Komm. Was? Okay, okay. Dann bin ich hier beruhigt. Also, aufs Wolfram Alpha spuckt es auch was aus. Wird mir gerade berichtet, aber mit einem Areasinus über Volikus drin.

Also, es ist okay, dass ich es nicht so schnell gefunden habe. Okay, mit der Info. Also, Sie sehen, man muss wirklich, darf sich nicht vertun beim Skript bauen. Also, ich kann mich an der Stelle ein bisschen rausreden, weil ich natürlich sagen kann,

das ist ein reines ANA 1 Problem. Die ANA 2, die ANA 2 war ja hier zu Ende. War schon hier, ja. Noch eine Frage? Ja klar, ich kann das Beispiel jetzt ändern.

Aber das mache ich in Ruhe im Büro. So. Wir machen einmal weiter. Also, es gibt dann irgendwann ein Erratum mit einem schönen passenden Beispiel. Aber ich werde wahrscheinlich das Beispiel ändern und nicht das hier mit Gewalt durchrechnen. So.

Aber, wie gesagt, die wesentliche Aktion, um die es hier ging, ist davor passiert, man schreibt dieses Kurvenintegral um und landet bei einem reellen, normalen ANA 1 Integral und dann fangen die Probleme an. Klar, das habe ich jetzt, das ist der Vorteil davon, das habe ich jetzt schön demonstriert, ja. Dann fangen die Probleme an. So. Aber die haben wir ja offiziell schon gelöst.

Noch eine Bemerkung und ein Beispiel, die helfen, dass man mit diesen Kurvenintegralen auch praktisch was anfangen kann. Sie werden in Ihrem weiteren Studium noch viele, viele Kurvenintegrale ausixen.

Und, ja, noch eine Frage. 19.6 ist eine Bemerkung, die ich möglich gesagt habe. 19.6 erklärt das komische DS. Ja. So.

Also, Sie werden noch viele Kurvenintegrale berechnen und dabei immer wieder feststellen, viele Kurvenintegrale von denen, die Sie berechnen, sind nach der derzeitigen Definition überhaupt nicht definiert. Weil es gibt immer wieder Kurvenintegrale und wir werden auch spätestens in der nächsten Vorlesung hier selber eins hinschreiben. Zum Beispiel über Ränder von Dreiecken oder über Ränder von Vier-Ecken.

Also über Wege mit Ecken drin. Das haben wir gesehen. Man kann so einen Weg mit einer Ecke dringend auch stetig differenzierbar parametrisieren, indem man bei der parametrisieren die Zykloide, bei der Parametrisierung genau aufpasst, dass die Kurve mit einer Geschwindigkeit Null in die Ecke läuft. Dann kann ich auch stetig differenzieren und wieder raus.

Aber das ist ja ein Riesenaufwand. Was macht man, wenn man ein Dreieck als Kurve parametrisieren soll? Man parametrisiert jede Seite einzeln als Verbindungsstrecke und dann klebt man die zusammen. Das heißt, was man eigentlich machen will, ist nicht über eine stetig differenzierbare Kurve integrieren, sondern über eine stückweise stetig differenzierbare Kurve.

Aber das ist ja zum Glück kein Problem, weil ein Integral ist im Allgemeinen additiv. Und dementsprechend kann man auch diese Definition von den beiden Kurvenintegralen problemlos erweitern für stückweise stetig differenzierbare Kurven.

Ich wollte es nur am Anfang nicht gleich so hinschreiben, weil dann sieht das so hässlich aus, sondern erst mal die Idee rüberbringen. Und dann machen wir das jetzt als Bemerkung hinten dran. Also wenn Sie stückweise stetig differenzierbare Kurve Gamma haben, was meine ich damit?

Damit meine ich, es gibt eine Zerlegung von dem Intervall AB. Zerlegung war irgendwann mal im letzten Semester aufgetaucht im Zusammenhang mit Stufenfunktion. Zerlegung heißt, ich habe Zwischenpunkte, endlich viele, T1, T2 und so weiter.

T0 ist Tn-1 in meinem Intervall AB und T0 ist A und Tn ist B. Also das ist eine Zerlegung von AB. Und meine Kurve ist so, dass wenn ich Gamma einschränke auf jedes dieser Intervalle von Tj-1 bis Tj,

dann ist jede dieser Einschränkungen auf das offene Intervall stetig differenzierbar für alle j gleich 1 bis k. Damit kann man jetzt gut zum Beispiel eben was weiß ich so ein Dreieck machen,

indem Sie jedes einzelne Stück als Verbindungsstrecke parametrisieren und die 3 zusammenkleben. Und dann ist egal, was an diesem Punkt dazwischen passiert. Man beachte, Kurven sind bei uns per Definition immer stetige Abbildungen. Das steht schon in Definition von der Kurve drin. Wenn wir vorne nachschauen mit Piddel 8, Definition Kurve ist eine Abbildung von Intervall nach RD oder in einem metrischen Raum, die stetig ist.

Also das ist grundsätzlich per Definition Kurven sind immer stetig. Das heißt, wenn ich jetzt hier vordere stetig differenzierbar, also auf jedem Stück hier stetig differenzierbar, muss trotzdem der Anschluss stimmen. Also die Kurve kann nicht irgendwie so ein Stück hier laufen und dann da hinten bei der Tür weitermachen.

Das ist auch nicht stetig differenzierbar, weil es ist einfach keine Kurve. So, was macht man, wenn man so eine stetig differenzierbare Kurve hat? Wie definiert man das Kurvenintegral? Na ja, als Summe der Stückchen. Also dann ist das Kurvenintegral über f entlang so einer stetig differenzierbaren Kurve.

Rechnen Sie aus, indem Sie die Kurvenintegrale für jedes dieser Intervalle t j minus 1 bis t j bestimmen und die alle auf so. f von Gamma von t, Gamma Strich von t, Skalarprodukt Zulet. Also das ist die Formel für f Rektorfeld.

Und das für eine skalare Funktion f genauso Summe j gleich 1 bis n. Die Kurvenintegrale für den Einzelintervalle f von Gamma von t mal Norm von Gamma Strich von t.

Für f von Rd nach h. Ja? Das ist eine einfache Verallgemeinerung, die daher kommt, dass wir eben Integrale haben und Integralen, es ist egal was an einem Punkt passiert und die kann man eben so additiv auseinander rutschen.

Nur wenn ich gleich die Definition so hingeschrieben hätte, wären wahrscheinlich alle weggerannt. Deswegen zum nächsten Mal. So, und jetzt glauben Sie mir hoffentlich alle, dass man es so auch kann. Gut, vielleicht an der Stelle, bevor wir das gleich sogar noch einen Schritt weiter treiben, diese Verallgemeinerei.

Erst mal kurz Pause. So, ich würde dann gern in den zweiten Teil einsteigen. Hab jetzt gerade in der Pause kurz gezeigt gekriegt, was Wolfram Alpha ausspuckt.

Sehr beeindruckend. Also zu meinem schönen Integral da. Also, wer noch nicht geschaut hat, schaut sich es gern mal an. Einfach um zu sehen, was wahre Integralkunst ist, die wir heutzutage zum Glück nicht mehr lernen müssen.

Da sieht man ja, wenn bei uns Tauner immer nur Integrale auf die Hand ausgesucht sind, und man so schön rechnen kann. Der Lösungsweg für das Ding fängt mit der offensichtigen Substitution T gleich Tank jetzt von U an. Dann kommt man ja auch glatt drauf. Und dann werden drei, vier Additionstheorieme für den Seekanz durcheinander gemengt.

Und dann wird noch zweimal substituiert und dann kommt er drauf. Ja, ist offensichtlich. Also ich habe kein schlechtes Gewissen, dass ich nicht ad hoc drauf gekommen bin. Ja, und wie gesagt, ich werde ein neues Beispiel bauen, das wieder auf ein Integral führt, das einfach ist. Gut, ich hatte gesagt, wir haben jetzt den Begriff des Kurvenintegrals verallgemeinert auf stückweise stetig differenzierbare Kurven.

Und wenn man ehrlich ist, ist für ein konkret zu berechnetes Integral auch das noch zu kompliziert oder zu sperrig.

Und warum das aber kein Problem ist, will ich Ihnen jetzt nicht abstrakt allgemein hinschreiben, sondern einfach an einem Beispiel verdeutlichen. Beispiel 19.10 und ich hoffe, dass ich jetzt hier keinen Mux gebaute. Also wir haben eine Funktion, wie dann Vektor fällt von R2 nach R2.

f von xy ist x² plus y² und y. Und das will ich jetzt integrieren entlang eines Weges. Und jetzt kommt eine Aufgabenstellung, die ganz typisch ist.

Ja, sowohl was Übungsaufgaben als auch was das reale Leben angeht. Die Kurve oder der Weg, über den wir integrieren wollen, ist nicht gegeben durch eine Formel, sondern durch eine geometrische Angabe. Natürlich, wenn man einen Kurvenintegral bestimmen will, dann sagt einem niemand, der Satellit fliegt entlang der Kurve gamma von T gleich, sondern der Satellit nimmt die Kurve da.

Rechnen wir aus. Gut, wir machen es jetzt hier nicht besonders kompliziert, aber was ich jetzt gerne hätte, ist das Kurvenintegral von diesem Ding entlang des folgenden Weges. Sie gehen von –1 bis 1 die x-Achse entlang und dann auf einem Halbkreisbogen obenrum wieder zurück.

Das ist der Weg. x-Achse vor, von –1 bis 1 und dann auf dem Halbkreisbogen wieder zurück. So, wenn ich jetzt rechnen will, muss ich das irgendwie in eine Formel umsetzen.

Das erste haben wir schon mal erledigt. Ich muss nicht mühsam jetzt eine Formel finden, gamma von T, die die Ecken so ausbügt, dass es stetig differenzierbar ist. Ich kann das Ding stückweise zusammensetzen. Also ich kann mir erstmal einen Weg für den geraden Strich überlegen und einen Weg für den Kreisbogen.

Das beides geht fix. Was ist ein Weg für den geraden Strich? gamma 1 von T, also ich nenne den geraden Strich, wird gamma 1 von T oder gamma 1 und der Kreisbogen wird gamma 2. Was muss ich machen? Na ja, ich muss von –1, 0 nach 1, 0 kommen.

Dann ist es sehr praktisch das Ganze auf dem Intervall –1, 1 zu parametrisieren. Nach R2, mit gamma 1 von T, nehmen Sie einfach T0. Das ist ein sehr einfacher Weg. Der geht die Verbindungsstrecke von –1, 0 nach 1, 0 entlang der x-Achse.

So, und für den zweiten Teil da obenrum, aber wie gesagt, das ist jetzt nicht der Richtige, sondern das Einmögliche. Jeden Weg können Sie auf 100.000 Möglichkeiten parametrisieren. Das ist nur eine recht einfache Möglichkeit. So, wie machen wir einen Halbkreis? Na ja, Kreis kennen wir schon.

Kreis ist immer cosinus T sinus T. Jetzt müssen wir nur überlegen, dass es gut zusammenpasst. Wo müssen die T's her sein? Wir wollen an Punkt 1, 0 anfangen. Also können wir gut in 0 starten, aber wir wollen jetzt nicht ganz rum, sondern nur halb rum. Also gehen wir nur von 0 bis Pi. So, haben wir unser gamma 2 auf dem Intervall 0 bis Pi nach R2 definiert als cosinus T sinus T.

Dann passen die Wege gut zusammen. Gamma 1 von 1 ist 1, 0 und das ist dasselbe wie Gamma 2 von 0. Also der Endpunkt vom ersten ist der Anfangspunkt vom zweiten. Und der Endpunkt vom zweiten, Gamma 2 Pi, ist –1, 0, ist der Anfangspunkt vom ersten.

Die passen also gut zusammen. Trotzdem ist es jetzt natürlich mühsam, die beiden – ich muss ja die beiden jetzt, damit ich das Kurveintegral über Gamma hinschreiben kann, zu einem stückweise differenzierbaren Weg machen. Das heißt, ich muss jetzt irgendwie dafür sorgen, dass die Definitionsbereiche von den beiden hintereinander liegen,

dass die zusammenstoßen, ne? Sonst ist der ja nicht stückweise stetig differenzierbar. Theoretisch auch kein Problem. Natürlich kann man den Weg, was weiß ich, jetzt muss man den Weg Gamma 2 so umparamitrisieren, dass der Definitionsbereich bei 1 anfängt. Kann man sich aber auch schenken, weil durch umparamitrisieren ändert sich der blöde Kurvenintegral eh nicht, oder?

Also natürlich kann ich jetzt diesen – ja, also durch – ich werde natürlich orientierungserhaltend umparamitrisieren, ja? Aber kann ich natürlich machen, um der Definition genüge zu tun, ich kriege aber das gleiche Ergebnis raus, wenn ich es sein lasse, also lasse ich es bleiben, ja? Was man jetzt im Normalfall macht, ist man integriert einfach über Gamma 1 und man integriert über Gamma 2.

Mit den Parametrisierungen addiert die Ergebnisse zusammen und hat das Kurvenintegral über Gamma. Obwohl das Formal der Definition natürlich nicht entspricht, weil wir haben überhaupt keine stetig differenzierbare Funktion Gamma produziert. In dem Fall ist es sogar noch schlimmer, Gamma 1 und Gamma 2 haben ein Stück gemeinsamen Definitionsbereich.

Es gibt natürlich kein fertiges Gamma, ich brauche es aber nicht. Ich könnte es theoretisch herstellen, aber da mache ich eine riesen Umparamitrisierung. Mein Weg Gamma 2 sieht so aus, die Rechnung wird uns kompliziert und am Schluss kommt ihr es gleich heraus, also lasst es bleiben. Also das Integral über Gamma f von x dx kann ich trotzdem hinschreiben.

Gamma, irgendeine Parametrisierung, stückweise stetig differenzierbar von dem Weg da. Was dabei herauskommt, ist das Kurvenintegral über Gamma 1, also das Integral von Minus 1 bis 1, f von Gamma 1 von t, Skalarprodukt mit Gamma 1 Strich von t,

plus das Integral von 0 bis Pi, Skalarprodukt f von Gamma 2 mit Gamma 2 Strich von t. Gut, jetzt kann man wieder ausrechnen, jetzt kommt wieder der Anna 1 Teil, wahrscheinlich kommen jetzt wieder die Katastrophen. Das ist das Integral von Minus 1 bis 1, was muss ich machen?

f von Gamma 1, also ich muss t 0 in mein f einsetzen, wenn sie da t 0 einsetzen, kriegen sie t² 0 raus. Wenn sie Gamma 1 ableiten, wird es noch einfacher, kriegen sie 1 0 raus. Und für den zweiten Weg haben wir das Integral von 0 bis Pi, Skalarprodukt von f von Gamma 2,

also x² plus y² ist wieder cos² plus sin² ist 1, y ist sin von t, Skalarprodukt, das passt nicht, also ich schreibe es nochmal hin, Integral von 0 bis Pi, Skalarprodukt über 1, Sin von t

und dann brauchen wir dahinten die Ableitung von dem Weg bis Minus Sin von t, Cosin von t. So, da oben, das ist der einfache Teil, Integral von Minus 1 bis 1 über t²

plus Integral von 0 bis Pi über Minus Sin von t plus Sin von t Cosin von t. So, diesmal bin ich auf der richtigen Gerade.

So, jetzt, Stammfunktion von t² ist 1 3t hoch 3 von Minus 1 bis 1 plus Stammfunktion von Minus Sin ist der Cosin von 0 bis Pi. Stammfunktion von Sinus mal Cosinus, auch wenn es doof aussieht, ist ziemlich einfach,

weil Sinus mal Cosinus, Cosinus ist die Ableitung von Sinus, nehmen Sie Sinus², wenn Sie Sinus² ableiten, kommt zweimal Sinus mal Cosinus raus, also das ist Stammfunktion, davon ist ein halbes Sinus². Wenn das jetzt zu schnell war, kann rückwärts ableiten, leiten Sie ein halbes Sinus² ab,

zweimal ein halbes Sinus mal Inhalte Ableitung, zweimal ein halbes Sinus Cosinus. So, also nur noch Grenzen einsetzen, ein Drittel minus, ein Drittel minus minus, ein Drittel mal 1 minus minus 1,

Cosinus von Pi ist minus 1, Cosinus von 0 ist 1, Sinus von 0 ist 0 und Sinus von Pi ist 0, also der dahinten, der spielt keine Rolle. So, das hier sind zwei Drittel und von den zwei Dritteln ziehen wir zwei ab, also wir ziehen von zwei Dritteln sechs Drittel ab, sind minus vier Drittel, gut.

Ja, also das so als Beispiel, also als Beispiel für zwei Dinge, erstens, wie komme ich aus einer geometrischen Angabe der Kurve, über die ich integrieren soll, zu einer Formel, an der Stelle keine Sorge vor Stückweise Definition,

also wenn der Weg, über den Sie integrieren sollen, aus vielen Teilen besteht, parametrisieren Sie jeden Teil extra, machen Sie aus jedem Teil eine extra Kurve und addieren Sie die Dinge auf, das macht nix.

Und zweitens eben genau diesen Effekt, dass man die Stücke einzeln anschauen kann. So, im Prinzip ist damit von der Definition her gesagt, wie man so Kurvenintegrale ausrechnet, ganze Probleme bis auf Anna 1 zurückgespielt, da muss man nur noch die Integrale, die da rauskommen, ausrechnen.

Ich will aber noch einen Aspekt, einen ganz anderen Aspekt von dem Thema hier erörtern, weil es gibt einen häufigen Fall und vor allem in den Anwendungen, also jetzt auch wieder an alle Physikerinnen und Physiker gesprochen,

in den Anwendungen sehr häufig auftreten, einen wichtigen Fall, und das ist der eines sogenannten Gradientenfelds. Also, was wäre die ganze Zeit, ich bin jetzt wieder beim Integral über Vektorfelder, wir haben eine offene Timelänge von Rd,

ein Vektorfeld, also eine stetige Abbildung von G nach Rd, und diese stetige Abbildung von G nach Rd hat jetzt eine besondere Zusatz Eigenschaft, nämlich es gibt eine skalare Funktion Phi von G nach R, sodass das F gerade der Gradient von Phi ist.

Wenn man sauber Gradient von Phi transponiert, weil Gradient ist bei mir ein Zeichen. Ok, also ich nehme mir eine Funktion her, die selbst entsteht als ein Gradient von einem Phi. Solche Funktionen gibt es natürlich, nehmen Sie sich irgendeine stetig differenzierbare, skalare Funktion

Phi her und leiten Sie sie ab, dann haben Sie so ein Ding. Also jeder Gradient, nehmen wir jetzt speziell, F ist ein Gradient. Die Frage, für wie viele Funktionen F das gilt, darauf kommen wir später zurück. Aber so Funktionen...

gibt's. Was ist denn jetzt, wenn ich für so eine Funktion, die ein Gradient von einem Phi ist, einen Kurvenintegral ausrechne? Und dann stellen wir was ganz Verblüffendes, Nettes fest. Wenn man dann genau darüber nachdenkt, ist es gar nicht so verblüffend. Was passiert dann, wenn Sie das Kurvenintegral

ausrechnen entlang von irgendeiner Kurve Gamma? Also Gamma ist jetzt ein schönes Stück, weil so steht die Dimensierbare Kurve, wenn diese Menge geht. Dann ist nach Definition vom Kurvenintegral, dass das Integral von a bis b, also das Definitionsbereich von meiner Kurve, über Skalarprodukt f von Gamma von t mit Gamma Strich von t d t, das ist

Definition vom Kurvenintegral. Jetzt wissen wir, unser f ist nicht nur ist Gradient von der Funktion, also ich kann mein f schreiben als Gradient Phi von Gamma von t mal Gamma Strich von t. Ich wechsle jetzt an der Stelle von

der Darstellung als Skalarprodukt in die Darstellung als Matrixprodukt. Also da unten steht die Zeile Gradient Phi an der Stelle Gamma t mal die Spalte Gamma Strich. Das ist das gleiche wie Skalarprodukt von den beiden Spalten. Ich habe nur keine Lust, so viel transponiert zu schreiben. Ich habe jetzt

nur eingesetzt, dass f ein Gradient ist. Aber wenn man sich dieses, was da steht, jetzt genauer anguckt, dann schreit einem irgendwie eine Kettenregel entgegen, oder? Gradient von irgendwas an der Stelle Gamma mal Gamma Strich. Das ist ja, das ist die Kettenregel. Also was hier steht, ist Integral von a bis b

über Phi nach Gamma Strich von t. Wenn die Kettenregel so rückwärts nicht angesprungen hat, der darf jetzt gern andersrum verifizieren.

Wenn Sie jetzt diese Ableitung von der Verkettung anschauen, gibt das die Ableitung von Phi, Gradient Phi an der Stelle Gamma von t mal Gamma Strich von t. So, und wenn man jetzt das noch ein bisschen länger anstellt, stellt man fest, das ist doch jetzt überhaupt der Traum schlechthin, oder? Was steht da? Da steht ein Integral über die Ableitung von der Funktion.

Die Stammfunktion von der Ableitung ist die Funktion selber. Hauptsatz, das können wir sofort hinschreiben. Das ist nach dem Hauptsatz Phi von Gamma von b minus Phi von Gamma von a. Also wirklich einfach auszurechnen, das

ist die Kurvenintegral. Wir haben überhaupt kein 1, 1-Problem mehr. Das ist mal die erste Beobachtung, was das liefert. Wenn Ihre Funktion f von einem Gradienten kommt,

also für Gradientenfelder, so eine Funktion f, die von einem Gradienten, die Gradient einer Funktion ist, nennt man Gradientenfelder, ist die Kurvenintegrale für die Funktionen sind äußerst leicht zu berechnen. Was müssen Sie machen? Sie

nehmen sich das Phi her, das zugehörige Phi, dessen Gradient f ist, setzen den Endpunkt der Kurve ein und ziehen davon ab, dieses Phi am Anfangspunkt der Kurve und sie sind fertig. Also sie sind leicht zu berechnen. Aber das ist ein schöner praktischer Punkt, aber das ist noch nicht alles. Wenn man da weiter denkt, stellt man fest, das hat noch ganz

andere Konsequenzen. Was in den Kalkül eingeht, ist nur der Endpunkt und der Anfangspunkt der Kurve. Was die Kurve dazwischen treibt, ist dem Kurvenintegral offensichtlich

vollkommen Schnurz. Also was wir rauskriegen ist, das Kurvenintegral hängt nur vom Wert des Potentials, das Wort wollte ich jetzt noch gar nicht verwenden, ha ha, vom Wert von Phi am Anfangs- und am Endpunkt ab. So und das ist eigentlich

noch viel toller, weil was heißt das? Wenn Sie wissen, hier ist Ihr Gamma von a und hier ist Ihr Gamma von b und Sie sollen jetzt das Kurvenintegral über

Funktion f ausrechnen, über diesen Weg hier. Das ist eine schöne Aufgabe, parametrisieren Sie den erst mal, damit Sie rechnen können. Und Sie wissen, dass Ihr Funktion aber Gradientenfeld ist, dann können Sie dem, der Ihnen diese

Aufgabe gegeben hat, eine lange Nase zeigen und sagen, steckt Ihr da einen Weg sonst wohin? Ich nehme lieber den da. Kommt nämlich gleich heraus. Und zwar selbst wenn Sie dieses blöde Phi gar nicht bestimmen können oder irgendwo nicht haben, ist Ihnen

völlig wurscht. Sie können jetzt Kurvenintegral bezüglich der Linie ausrechnen, kommt gleich heraus. Diesen Eigenschaft von so einem Kurvenintegral nennt man, dass das Kurvenintegralweg unabhängig ist. Das Kurvenintegral ist weg unabhängig,

weil es eben nur davon abhängt, wo Sie loslaufen, wo Sie ankommen und wie Sie sich dazwischen bewegen, ist völlig wurscht. Diesen Zustand kennen Sie alle. Unser Kraftfeld auf der Erde, unser Gravitationsfeld ist nämlich so ein

Ding, was ein Potenzial hat und dafür, wie viel Energie Sie auf, das widerspricht der Alltagserfahrung, ist aber so dafür, wie viel Energie Sie aufbringen müssen, um von hier nach da zu kommen, ist total egal, welchen Weg Sie gehen. Weil die Frage, wie viel Energie Sie aufbringen müssen, um von

hier nach hier zu kommen, ist nur eine Frage des Höhenunterschieds und egal, wie Sie sich dorthin bewegen, am Schluss haben Sie so viel Energie gewonnen oder verloren, wie der Höhenunterschied beträgt. Wenn Sie zwischendrin noch 1500 Meter rauf und wieder 1500 Meter runtergelaufen sind,

ist das egal, weil alles, was Sie da gewonnen haben, haben Sie auch wieder verloren. So und eine dritte Schlussfolgerung, auch ganz wichtig, wenn Sie nicht nur eine Wanderung von A nach B machen, sondern eine Rundwanderung, dann ist Ihre Bilanz am Ende immer null. Also wenn Sie ein

geschlossenes Gamma haben, geschlossenen Weg mit Anfangspunkt gleich Endpunkt, dann brauchen Sie das Kurvenintegral überhaupt nicht auszurechnen, sondern dann ist das Kurvenintegral von vorne rein und immer grundsätzlich. Weil was ist das Kurvenintegral? Ist das Wert vom Potential am Endpunkt minus Wert vom Potential am Anfangspunkt? Wenn die

beiden gleich sind, ist das null. Und wenn man sich jetzt noch mal mit dem Rückblick auf die ANA 1 anguckt, ist das Ergebnis auch gar nicht so verblüffend. Was hier steht, ist eine mehrdimensionale, wenn man so will, Entsprechung von einem Hauptsatz. Wenn ich weiß, dass mein F ein Gradient von Phi ist, dann ist das Phi

in gewissem Sinne so was wie eine Stammfunktion von F. Weil Phi-Strich ist F. Die Ableitung für Phi ist F, also ist Phi so was wie eine Stammfunktion. Wenn ich eine Stammfunktion habe, ich rechne das Integral aus, naja Stammfunktion am Ende minus Stammfunktion am Anfang.

Was da steht, ist eigentlich ein Hauptsatz für Kurvenintegral. Deswegen nennt man dieses Phi auch oft Stammfunktion oder eben physikalisch, wie schon rausgerutscht, Potential. Das ist jetzt die Definition 19.11. Also Situation

wie schon die ganze Zeit, G eine offene Teilmenge von Rd, F ein stetiges Vektor, also F ein Vektor fällt auf G, stetige Funktion von G und wenn jetzt so ein Phi existiert, stetig differenzierbar auf G mit Werten in R,

so dass F von X gleich Gradient Phi von X ist für alle x in G, dann nennt man diese Funktion Phi Potential oder Stammfunktion von F. Das ist im

gewissen Sinne eben eine Stammfunktion, es ist eine Funktion, der in Ableitung F ist. Und der Begriff rechtfertigt sich insbesondere auch dadurch, dass eben bei Kurvenintegralen sich so eine Stammfunktion verhält wie eine Stammfunktion im Real. Wenn ich das Kurvenintegral ausrechnen will, ist der Wert Potential

Stammfunktion am Ende minus Stammfunktion am Anfang. Und in dem Fall, dass es so ein Potential gibt, nennt man F ein Gradientenfeld, weil es eben ein Gradientenfeld von Gradienten einer Funktion ist. Kurze Nebenbemerkung, weil es

manchmal Verwirrung gibt, in der Physik ist manchmal minus Phi das Potential, also bitte nicht frustrieren, wenn sie irgendwo mit einem Minuszeichen nicht zu rangekommen, je nachdem, wie man es da betrachtet. Sagt man manchmal, wenn F eine Stammfunktion hat, dann nenne ich minus diese Stammfunktion ihr Potential. Sorgt einfach dafür,

dass in manchen Formeln weniger Minuszeichen auftauchen. Aber wenn es da Verwirrung gibt, nicht verwirren lassen. Hier in der Mathematik ist Potential und Stammfunktion Synonym. Schreiben wir mal das, was wir bisher uns über

Gradientenfelder überlegt haben, nochmal einen Satz auf. Also sei wieder g offene Teilmenge von Rd, f von g nach Rd in Gradientenfeld mit Potential Phi.

Dann haben wir uns oben ausgerechnet, dann gilt für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve, gamma auf irgendeinem Intervall ab mit Wert g,

dass das Kurvenintegral von f längs gamma sich auswerten lässt als Phi am Endpunkt

minus Phi am Anfangspunkt, also Phi von gamma von a. Und insbesondere ist für gamma geschlossen, das Kurvenintegral von f längs gamma gleich. So, das ist der wesentliche

Punkt an Potentialen. Wie gesagt, so ein Potentialfeld, so ein Gradientenfeld ist

was gar nicht so seltenes. In der Physik sind extrem viele Kraftfelder Gradientenfelder. Und das liegt an Erhaltungssätzen, klar an Erhaltungsgrößen und ja oder auch zu großen Teilen. Die Aussage, dass unser Gradientenfeld, dass unser Gravitationsfeld ein Potentialfeld ist, ist übersetzt nichts anderes als

der Verbot von Petromobilien. Sie können durch Kreislaufen keine Energie gewinnen. Das steckt da dahinter. So, Frage ist jetzt also, wie oft gibt es Potenziale und wie

kommt man an Potenziale ran? Zunächst mal, gut, rankommen ist integrieren, sehen wir nachher. Was ich zunächst zeigen will, ist, dass dieser Satz 1912 in gewisser Weise oder zumindest

unter geeigneten geometrischen Voraussetzungen auch eine Umkehrung hat. Da steht, wenn ich ein Gradientenfeld habe, dann ist das Integral über jede geschlossene Kurve Null. Mathematisch interessante Frage. Ich habe ein Dektorfeld und ich weiß aus irgendeinem Grund, egal

mit welchem geschlossenen Weg ich integriere, das Integral ist Null. Ist das Ding dann ein Gradientenfeld? Das wäre die Umkehrung, umgekehrt. Und die Antwort ist im Allgemeinen nein, aber wenn der Definitionsbereich G brav genug ist, ja. Und jetzt die Frage,

was heißt brav genug? Und da kann man jetzt tief einsteigen in zoologische Betrachtungen, welche Eigenschaften, Mengen haben wollen und können. Das will ich hier gar nicht tun. Ich habe überhaupt nicht den Ehrgeiz, im Moment Ihnen die allgemein mögliche Form des folgenden Satzes nahezubringen. Ich will Ihnen zeigen, dass es unter vernünftigen

Forderungen geht. Und deswegen jetzt hier also ein Satz über Existenz von Potenzialen. Wir machen das auf sogenannten konvexen Mengen. Das ist eine sehr starke Voraussetzung. Aber wie gesagt, es geht gerade nicht um maximale Allgemeinheit. Wir werden auf das Thema dann in der Komplexanalysis in der 1er 3e zurückkommen. So, also wir

haben jetzt eine Teilmenge G, M, R, D offen und zusätzlich eben konvex. Was heißt das? Das heißt, wann immer Sie sich zwei Punkte in G hernehmen, ist die Verbindungsstrecke

zwischen X und Y immer in G. Also egal, welche zwei Punkte, sind alle Verbindungsstrecken drin. Das nennt man konvex, weil im Wesentlichen verbietet diese Bedingung nicht Konvexitäten. Ja, sowas geht halt nicht. Weil wenn Sie hier zwei Punkte haben, ist die Verbindungsstrecke fliegt raus. Also sobald Ihre Menge eine nach innen, irgendwo nach innen gedellt

ist, irgendwo keinen konvexen Rand hat, dann ist diese Bedingung verletzt. Wo Kugeln und so weiter sind schöne Konvexen. Quadrate, Sechsecke, alles was schön ist, wenn der Konvex nach außen gebogen ist, erfüllt diese Bedingung. So, also,

wenn Sie so eine offene konvexene Menge haben, dann ist eine stetige Funktion von G nach R, D ein Gradientenfeld. Genau dann, wenn für alle geschlossenen, stückweise

stetig differenzierbaren Kurven, das zugehörige Kurvenintegral Null ist. Ja, wir haben schon gesehen, das ist Integral über G f von x dx Null. Wir haben schon gesehen, wenn es

ein Gradientenfeld ist, dann ist dieses Kurvenintegral immer Null. Worum es jetzt G g konvex ist oder eben eine andere geeignete Zusammenhangseigenschaft erfüllt. So, wollen

wir beweisen. Wie gesagt, die eine Richtung haben wir schon. Wenn f ein Gradientenfeld ist, dann ist das Kurvenintegral immer Null. Was hier die spannende Punkt an dem Satz ist, die Umkehrung gilt auch. Also, wenn alle Kurvenintegral über geschlossene

Kurven Null sind, dann ist f ein Gradientenfeld. Das heißt, unsere Aufgabe ist jetzt, wir müssen ein Potenzial von F konstruieren. F gegeben, wir wissen, wenn wir über eine geschlossene Kurve integrieren, kommt Null raus und jetzt müssen wir irgendwoher eine

Stammfunktion zaubern. Wir müssen irgendwo eine Funktion finden, die an Ableitung F ist. Das ist vielleicht auf den ersten Blick, weil man nicht so recht mal anfangen sollten. Und der Kniff ist der folgende. Und das ist jetzt die Stelle, wo Konvexität praktisch ist, nicht unbedingt zwingend, aber praktisch. Nehmen Sie sich mal zwei

beliebige Punkte y und z in Ihrer Menge g her und dann kann ich deren Verbindungsstrecke als Kurve parametrisieren. Also, ich kann mir anschauen, die Kurve Gamma, ich Funktion von Null eins nach g mit Gamma y z von t ist y plus t mal z minus y. Das

ist eine Parametrisierung der Verbindungsstrecke von y nach x mit konstanter Durchlaufgeschwindigkeit. Für t gleich Null steht da y, für t gleich eins steht da z. Das Ganze ist

entlang einer Gradengleichung y plus t mal der Verbindungsvektor von z minus y. Ich laufe also einfach geradeaus von y nach z. Und dadurch, dass meine Menge konvex ist, habe ich garantiert, dass diese Wege Gamma y z allesamt Kurven mit Wertebereich

in g sind. Das ist jetzt die Stelle, wo Konvexität praktisch ist. Man kann diesen Beweis auch anders führen, wenn gar g nicht unbedingt konvex ist. Da muss man halt aber Weg zusammenhängen.

Da muss man zwischen zwei Punkten. Gibt es da natürlich irgendeinen Weg, der die verbindet. Dann wird aber dieses Argument nachher einfach viel, viel technisch. Und deswegen jetzt hier Konvex. Ich will Ihnen die Idee zeigen, nicht die allgemein mögliche Variante. So, jetzt nehmen wir uns einen Punkt y Null irgendwo in g, der wird für alle mal festgetan. Ist völlig wurscht, welchen Sie nehmen. Der entspricht nachher

der Integrationskonstanz. Aber nehmen Sie sich irgendeinen her. So, und dann ist der richtige Kandidat für das Potential ist der folgende. Phi von y ist der Wert des Kurvenintegrals, wenn Sie über die Kurve Gamma y Null y integrieren, über

und das für jedes y in g. Also wenn das hier in g ist, schön konvex, naja, da ist nicht ganz konvex, aber naja. Wenn man von weit genug drauf guckt, ist die konvex. So, hier ist y Null, da ist y, dann sagt Ihnen das, integrieren Sie Ihre Funktion

f entlang dieser Kurve hier und diesen Wert nennen wir Phi von y. Der ist jetzt Null, die Kurve ist ja nicht geschlossen, so ein Wert. Das ist mein Phi von y. Und ich behaupte,

dieses Phi ist ein Potential von meinem Wert. Also was ich jetzt zeigen will ist, Phi ist Potential von meinem Wert. Was muss ich also machen? Ich muss zeigen, Phi ist differenzierbar und die Ableitung der Gradient von Phi ist f. Wenn ich das habe, ist Phi automatisch stetig

Also, ich muss zeigen, der Gradient von Phi ist f und jetzt muss ich denken, dass Phi differenzierbar ist. Wir werden uns die Differenzen von Phi anschauen. Also nehmen wir uns mal irgendein Punkt y in g her,

an dem wir Phi differenzieren wollen. Dann brauchen wir Platz darum, dass wir differenzieren können. Also wir nehmen uns ein zugeläheriges Epsilon größer Null, sodass die Epsilon-Kugel um y ganz in g liegt, das g bei g offen ist. Und jetzt wollen wir uns Differenzenquotienten angucken. Also brauchen wir ein h, kleines h. Das nehmen wir aus der Epsilon-Kugel

Null. Das hat den Vorteil, dass dann y plus h in der Epsilon-Umgebung von y drin liegt und das ist eben hier. So, und jetzt müssen wir ja irgendwie mal zu unseren Voraussetzungen kommen. Die Voraussetzung war, das Integral über jeden geschlossenen Weg ist Null. Hier ist

irgendwo y plus h. Da oben ist h, das ist y plus h. Wo kriege ich jetzt einen geschlossenen Weg her? Ich laufe von y Null nach y, das ist viel von y. Dann laufe ich von y nach y plus h. Also ich

nehme das Integral über Gamma y Null y plus das Integral über den Weg von y bis y plus h. Dann laufe ich von y plus h wieder nach y Null zurück. Also das Kurvenintegral über Gamma von

y plus h bis y Null. Jetzt weiß ich nach Voraussetzung, das ist Null. Weil dieses Dreieck ab ist ein geschlossener Weg. Voraussetzung sagt mir, egal welchen geschlossenen Weg ich laufe, Kurvenintegral ist Null. Also weiß ich diese Summe von diesen drei Kurvenintegralen ist Null nach Voraussetzung.

So, dieses erste Kurvenintegral da, das kennen wir, das ist viel von y. Das da, das ist viel von y. Das da hinten ist fast viel von y plus h. Weil um fast, naja, viel von y plus h ist das Ding mit

der Kurve Gamma y Null y plus h in der anderen Richtung. Viel von y plus h wäre, wenn sie hier so rumlaufen würden. Das kann natürlich niemand, nämlich kein geschlossener Weg mehr. Aber woran unterscheiden sich diese Kurvenintegrale? Ich kann natürlich diese Verbindungsstrecke y plus h bis y Null orientierungsumkehrend umparametrisieren. T wird zu 1 minus t. Sodass das die Verbindungsstrecke

von y Null zu y plus h ist. Also was da steht, ist, was hier steht, ist minus viel von y plus h.

Noch mal ein bisschen Begründung dazu. Also woran liegt das? Dieser Weg Gamma y plus h y Null,

der lässt sich orientierungsumkehrend zu Gamma y Null y plus h umparametrisieren. Und zwar mit der denkbar-einfachsten orientierungsumkehrenden Umparametrisierung. Sie bilden t ab nach 1 minus t.

Wenn t von 0 nach 1 läuft, läuft 1 minus t von 1 nach Null und läuft diese Verbindungsstrecke genau andersrum durch. So, was wir also damit kriegen, ist, dass das Integral von Gamma y

plus h bis y Null f von x dx. Das gleiche ist wie minus das Integral, wenn ich den Weg andersrum laufe, y Null nach y plus h. Und das ist genau minus Phi von y plus h.

Was haben wir jetzt also zusammen da stehen? Zusammen haben wir da jetzt stehen. Phi, ich bringe das minus Phi von y plus h auf die andere Seite. Stimmt das? Ich bringe die beide auf die andere Seite. Also ich bringe den hier nach drüben und den hier

nach drüben. Dann steht drüben Phi von y plus h minus Phi von y ist dieses Integral mit, also Phi von y plus h minus Phi von y ist das Integral über diesen Weg Gamma y, y plus h f von x dx. Warum ist das gut? Weil wir jetzt ganz nah am Differenzenquotienten

sind. Wir wollen Phi ableiten. Also wir wollen eine partielle Ableitung von Phi bestimmen. Geben wir uns mal einen J, also eine Koordinatenrichtung vor. J zwischen

1 und D und Ej sei der J-Standard-Basisvektor. Und dann müssen wir uns was anschauen für die partielle Ableitung von Phi? Wir müssen uns anschauen, Phi von y plus ein kleines

S mal Ej minus Phi von y geteilt durch S. Und dann lieben wir es S gegen Null. Wenn wir davon lieben wir es S gegen Null anschauen, haben wir die J-partielle Ableitung von Phi. Also das ist nach dem was oben steht 1 durch S mal diese Differenz. Diese Differenz

ist der Weg von Gamma von y zu y plus S Ej über f von x dx. Also wenn man einsetzt 1 durch S, jetzt Kurbelintegral ausrechnen. Wir integrieren über den Definitionsbereich unsere Kurve von 0 bis 1. Skalarprodukt von f von der Kurve. Die Kurve steht noch da

irgendwo. Die Verbindungskurve hier Verbindungsstrecke y plus t mal z minus y. Also y plus t mal y plus S Ej minus y multipliziert mit der Ableitung von Gamma. Die Ableitung

von diesem Gamma ist z minus y, also in dem Fall y plus S Ej minus y dt. Jetzt kann man da ein bisschen aufräumen. Das ist 1 durch S, Integral von 0 bis 1. f von y

plus y plus y ist 0. S Ej dt. Das S hier ist ein Skalarprodukt. Das kürzt sich

mit dem 1 durch S hier vorne wunderbar weg. Bleibt übrigens nur Integral von 0 bis 1 über f von y plus St Ej. Skalarprodukt mit Ej. Ej ist der j-Standard-Basis-Vektor, schießt ihn einfach die j-Komponente aus dem Vektor. Also steht hier einfach Integral

von 0 bis 1 über fj von y plus St Ej. So, was passiert jetzt bei S gegen 0? Wenn Sie jetzt hier S gegen 0 schicken, dann brauchen wir nochmal unseren Satz 18.2. So, 18.2 sagt was? 18.2 sagt, Parameterintegrale von stetigen Funktionen hängen stetig

vom Parameter ab. Sie können das Ganze hier als Parameterintegral in dem Parameter S sehen. Die Funktion fj ist stetig nach Voraussetzung. Das, was da drin steht, ist auch stetig. Das heißt, dieses ganze Parameterintegral hängt stetig von S

ab. Wenn Sie also S gegen 0 gehen lassen, können Sie da innen einfach 0 für S einsetzen, kriegen Sie Integral von 0 bis 1 über fj von y. Also Integral von 0 bis 1 über fj von y. Das Integral kriegen wir alle ausgerechnet. Das ist fj von y. So, was

steht jetzt da? Wir haben gezeigt, die j-partielle Ableitung von Φ an der Stelle y ist fj von y und damit haben wir, wenn Sie die ganzen Ableitungen zusammennehmen, der Gradient von Φ von y transponiert, ist f von y.

Das ging für jedes y in G. Also haben wir tatsächlich eine Stammfunktion gefunden. Tatsächlich gezeigt, dieses Φ ist differenzierbar. Die Ableitung ist f, also wir haben Potenzial. Gut, so viel für heute. Das waren die guten Nachrichten. Wenn Potenzial da ist, ist alles gut. Schlechte Nachrichten, dass

es gar nicht so furchtbar viele Potenziale gibt, gibt es dann nächste Woche für heute. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und schönes Wochenende.