So, dann mal ein herzliches Willkommen zurück in diesem Hörsaal zur Analyse 2. Und wie das so schön ist, wenn man die Vorlesung startet, macht man die

erste Folge hin, dann startet sie mit dem ersten Tippfehler. Ist das nicht cool? Offensichtlich hat jemand vergessen, auf der Titelseite 1 durch 2 zu ersetzen. Also denken Sie sich bitte den zweiten Strich dahinter. Ich hoffe, dass das nicht allzu orakelhaft für dieses Semester ist.

Sie haben es gesehen, es gibt das Skript, aber es gibt bisher nur so publique 50 Seiten. Das liegt daran, dass die Seiten 51 bis 85 im Rohbau existieren und danach ist noch ziemlich weißes das Weiße Wüste.

Natürlich, da das ganze gerade entsteht, ist da garantiert noch viel mehr Tippfehler drin als in dem Analyse 1 Skript. Insofern kein guter Anfang, wir werden es sehen. Auch deswegen entschuldige ich mich jetzt schon für jeden Tippfehler und bitte Sie wieder, mir

dringend zu helfen, dass das besser wird, um mir alles zu melden, was Sie finden. Das wird dieses Mal deutlich mehr sein, weil es noch nicht so oft durchgelesen ist. Wir haben wie üblich einiges an organisatorischem Zeug zu bequatschen, das will ich möglichst schnell machen.

Deswegen habe ich Folien dabei. Wann die Vorlesungen sind, werden Sie alle wissen, sonst wären Sie nicht hier. Wir haben eine Umbesetzung bei der Assistenz. Tristan Alex wurde wieder bei ihm in der Arbeitsgruppe gebraucht. Florian Müller stellte die Kontinuität her und Jens Hesse bringt frisches Blut in die Sache.

Wir haben Übungsgruppen. Ich nehme an, Sie sind auch hoffentlich zum größten Teil schon in irgendwelchen Übungsgruppen drin. Mal so die übliche vorsichtige Abfrage. Gibt es jemanden, der sich noch gar nicht im Zug anmelden konnte? 1, 2, 3, 4.

Technische Probleme? Gibt es Leute, die noch keine Übungsgruppe haben? Es sind aber jetzt auch keine Massen. Das ist schon mal gut. Wir haben noch ein bisschen Ruhe, denn die Übungen starten nächste Woche.

Die werden ja alle gestern gewesen und gestern wäre dann doch ein bisschen früh gewesen. Montags sind dann Übungsgruppen. Es gibt dieses Semester auch wieder ein Tutorium. Auch wie gewohnt. Ein 14-tägiger Wechsel mit der Linie an Algebra. Wir fangen an. Deswegen ist gleich übermorgen ein Tutorium. Ich glaube, Florian hat auch schon etwas ins Moodle geschrieben.

Er hat im Wesentlichen vor, die Analysis I Zwischenklausur durchzusprechen und wartet sonst auf alle möglichen Vorschläge, die da kommen werden. Wie gesagt, der Hauptpunkt dieses Floriansatzes ist alles wie gewohnt. Das bleibt auch hier so.

Wie gewohnt finden Sie alles, was zu dieser Veranstaltung wichtig ist im Moodle. Informationen, Übungsblätter und so weiter. Das Moodle wird wieder unsere Hauptkommunikationsstelle außerhalb der Vorlesung sein. Sie haben dort hoffentlich auch alle schon die ersten 50 Seiten Skript gefunden.

Ich habe mal meine Sprechstunde festgeknallt. Dienstags vor dieser Vorlesung 10 bis 11. Es gibt die übliche Bemerkung dazu. Diese Sprechstunde bedeutet nicht, dass ich außerhalb dieser Zeit nicht erreichbar bin. Sondern es bedeutet, dass ich zu dieser Zeit erreichbar bin.

Und sonst natürlich auch, wenn es geht. Also, wenn Sie zu dem Zeitpunkt nicht können, suchen Sie, schreiben Sie mich an, sprechen Sie mich an. Wir finden immer einen anderen Termin. Es könnte auch einfach so vorbeikommen. Dann ist nur die Gefahr, dass ich gerade nicht da bin, das zu fragen. Was? Das habe ich aber vor einer Woche gemacht.

Okay. Ja, ich gucke noch mal nach. Mehr kann ich jetzt gar nicht zusagen. Ich habe es vor einer Woche hochgeladen. Schade.

Dann müssen wir heute eine Vorlesung so machen. Gut. Also dann bald jedenfalls. Sprechstunde, Übungsgruppenleiterinnen, Leiter kennen Sie auch.

Machen Sie eine Übungsgruppe aus. Wir bleiben bei der Politik. Zumindest von der Idee her bei der Politik des vielen Materials. Also Skript und so weiter, wenn es denn da ist. Es gibt die Vorlesungsanschrieb weiterhin im Mude.

Es gibt wieder, wir danken dem E-Learning Center und den St. Frank USA-Mitteln eine Aufzeichnung. Wir haben diesmal sogar ein Videobild von mir dabei. Da bin ich sehr gespannt, ob und inwieweit das hilft. Ich nehme an, ein Großteil nicht.

Aber es gibt ja doch so Situationen, wo man mal was mit Händen und Füßen erklärt. Ich hoffe, dass es... Also wäre ich auch am Ende des Semesters dann rückmeldend interessiert, wie viel jetzt dieses Bild, ob es nur nett war oder ob es auch was gebracht hat oder ob es vielleicht sogar gestört hat.

So, wir haben natürlich Übungen und Übungsblätter wie üblich. Tutorium. Wir hatten letztes Semester die Knobelaufgaben von Zeit zu Zeit in den Übungen, auf den Übungsblättern. Da würde ich gerne wieder ein entsprechendes Angebot machen,

das Konzept ein bisschen umbauen, dass man mal ein bisschen auch die Methodiken wechselt und mit allen, die Lust darauf haben. Das müssen nicht unbedingt die sein, die jetzt letztes Semester... Also nur die sein, die beim letzten Semester die Knobelaufgaben gemacht haben, sondern alle, die interessiert sind.

So was machen wir pro Seminar, zumindest von der Form her. Überschrift, wilde Gegenbeispiele zur Analysis 1. Hier ist es jetzt kein Tippfehler. Wilde Gegenbeispiele. Also wir suchen... Es geht darum, zum Beispiel eine Funktion zu konstruieren,

die strikt monoton wächst, also kein Minimum oder Maximum hat, aber überabzählbar viele Nullstellen der Ableitung. Also überabzählbar viele kritische Punkte. Das ist wert zum Beispiel für ein wildes Gegenbeispiel, für den Satz, für den gern benutzten Satz. Hier der kritische Punkt ist ein Extremum.

Und wer da Interesse hat, würde ich jetzt mal in die nächste Sprechstunde am Dienstag um 10 Uhr einladen. Wer da nicht kann, dann melde sich einfach bei mir. Dann finden wir auch eine andere Lösung. So, was haben wir noch?

Das Thema Prüfung natürlich. Es gibt wieder die beiden Fälle. Modulprüfung, Analysis komplett und getrennt. Ich habe Ihnen hier jetzt mal einen voraussichtigen Klausurtermin draufgeschrieben.

Der ist noch nicht offiziellst. Der ist aus einer wohnunterrichteten Glaskugel. Dann können Sie sich schon mal orientieren. Die Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch, dass es der 11.8. wird. Nur bitte jetzt nicht daraufhin den Urlaub buchen oder sowas. Der kommt Ende der Woche, Anfang nächster Woche wird er offiziell.

Dann ist alles gut. Ich will nicht viel ändern. Das heißt, die Hilfsmittelregelung bleibt, wie Sie sie kennen. Alles aus Zynolose ist okay. Alles mit Zylizium ist bad. Und auch nochmal insbesondere an die Studierenden aus dem Fachbereich Physik,

die das anders kennen. Der Hinweis, in der Mathematik gibt es keine Nachklausur im selben Prüfungszeitraum. Sondern wir bieten jede Prüfung einmal pro Semester an. Das heißt, es gibt die Prüfung am 11.8. wahrscheinlich und dann wieder im Frühjahr 2017. So, jetzt kommt das wahrscheinlich einzige, was nicht fortgeschrieben ist.

Nein, noch nicht. Das ist fortgeschrieben. Also, wenn Sie die Folie vom letzten Mal ruchlos kopieren. Da habe ich eins durch zwei ersetzt. Wenn Sie eine Zulassungsvoraussetzung für die ANA2 brauchen,

dann machen wir wieder 30 Prozent der Ausübungspunkte. Und wenn Sie 50 Prozent haben, gibt es den berühmten Bonus. Wir haben 0,3 oder 0,4 erhöht. Und allen hilft, die nicht auf 5.0 oder schon ohne Bonus auf 1.0 sitzen.

Apropos sitzen, Sie sitzen da hinten viel auf den Stufen. Das ist unnötig. Da zumindest ist Reihenweise Platz. Hier vorne ist Platz. Da können Sie sich gut noch hinsetzen. Also, vorne Mitte und die beiden Seiten bieten noch ausreichend Gelegenheit.

So, dann gibt es die große Kombi-Klausur. Das ist auch die Folie vom letzten Mal. Aber was jetzt kommt, haben Sie ja schon im Forum gelesen.

Eigentlich hätte man von vornherein darauf kommen können, dass es ambitioniert ist. Klausur 50 Prozent, aber denken ist manchmal schwierig. Die Vermutung ist, dass nach dem jetzigen Stand ziemlich viele keine Chance mehr auf den Bonus haben. Und das ist natürlich frustrierend und bescheuert und nicht so gedacht. Und deswegen würde ich das da unten xen.

Und ersetzen durch immer noch 150. Aber Sie dürfen jetzt kommunizieren, wie Sie wollen. Also, Prozentpunkte aus der A1 plus Prozentpunkte aus der Klausur plus Prozentpunkte an A2 mehr als 150. Oder gleich 150.

Dann ist da noch Luft. So, zur Klausur selber wird, denke ich, Florian am Mittwoch einiges sagen.

Es gibt zwei Kommentare, die ich mir nicht verkneifen kann. Und zwar, weil ich mich noch gut erinnere, wie viele hier im Saal schon angefangen haben. Das hat er jetzt aber schon zehnmal gesagt.

Das haben wir langsam verstanden. Und dann macht es trotzdem die Hälfte der Klausur falsch. Was ist das? Das ist Betrag x.

Und ich weiß noch, wie ich jetzt stand und gesagt habe, das ist der typische Klausurfehler. Und dann ging das schon physisch scharrenlos. Ja, ja, wir wissen. Bitte, bitte merken Sie sich das. Und das Zweite. Das Zweite ist Obital ist wirklich eine Diva.

Obital ist fies. Alle Voraussetzungen prüfen. Alle, alle, alle. Genaueres am Mittwoch. Gut, jetzt, nachdem ich meckern darf, dürfen Sie meckern oder Fragen stellen. Was ist noch unklar?

Wann werden die Videoaufzeichnungen hochgeladen? Wenn sie fertig sind und die entsprechenden Rechte richtig gesetzt und so weiter.

Ich meine, das Zeug muss geschnitten werden. Das ist kein sofort. Ich denke, wie im letzten Semester, ein, zwei Tage muss man das schon rechnen. Das ist einfach so. Oder sonst noch?

Ja, eins habe ich noch. Nämlich die, aber ich habe schon zum Halbsatz gesagt und ich will es noch mal explizit sagen. Die Assistenten haben mich noch mal darum gebeten. Das Tutorium lebt von Ihrer Mithilfe. Insbesondere eben dem, was Sie melden, was interessante Themen wären.

Nutzen Sie das. Da haben die noch mal darauf hingewiesen, dass ich da noch mal sie ermuntern kann. Gut, wenn sonst nichts mehr ist, ist natürlich das Thema organisatorisches nie vorbei. Wer Fragen hat, melde sich auf allen möglichen Wegen.

Aber ich bin froh, dass wir an der Stelle jetzt schnell durchkommen, damit wir voll anfangen können. Wir haben ein spannendes Semester vor uns. Dabei ist die Grundanlage dessen, was wir tun wollen, eigentlich total simpel. Wir machen noch mal eine Eins.

Wir machen alles normal. Nur jetzt nicht in einer Variablen, sondern in mehreren. Die Welt ist nun mal nicht eindimensional. Die meisten Funktionen hängen von mehreren Parametern ab. Solche Funktionen will man auch behandeln.

Aus natürlichen Gründen ist der R3 so ein Raum, in dem wir relativ viel unterwegs sind. Worum es jetzt geht, ist einfach alles das, was wir in der Analyse auf einer Linie gemacht haben, in der Eins, im Raum zu machen. Konvergenz, Städtigkeit, differenziert, integriert. Das Programm ist schlichtweg alles nochmal an einer Eins in mehreren Variablen.

Warum macht man das? Im Prinzip könnte man ja einfach die Analyse schon mehr dimensional machen und dann sagen, R ist spezial. Würde uns viel Zeit sparen. Aus gutem Grund macht man das nicht, sondern geht einmal durch und dann nochmal durch.

Und der Grund ist, R ist einfach viel übersichtlicher als R3 oder R10 oder R25 oder einen unendlich dimensionalen Raum. Und wenn man das gleich in Rd macht, als ringt man, wenn man das noch nie gesehen hat, leichte Notationen in Indexschlachten und weiß überhaupt nicht mehr, was Sache ist.

Deswegen die Analyse eins und jetzt ein Wiederhol. Aber das ist gut im Hinterkopf zu haben, weil bei allem, was wir machen, sollten Sie sich immer fragen, wo sind wir jetzt gerade im anderen Skript?

Also die beiden Dinge nebeneinander zu legen und immer wieder zu gucken, was ist das Thema, an dem wir uns gerade abarbeiten, dann sieht man auch, wo es hingeht. Warum ist Analyse in mehreren Variablen so? Wir haben anders oder komplizierter als in einer.

Konzeptionell, aber auch rechnerisch. Gut zu meinen wird es unübersichtlich, wenn man einfach mehr Variablen hat, klar. Aber es gibt auch konzeptionelle Unterschiede. Und die werden uns viel beschäftigen. R als Linie ist total übersichtlich. Das ist halt eine Linie.

Da kann nicht viel passieren. Schon wenn Sie in die Ebene gehen, haben Sie massenweise Effekte, die Ihnen in R nicht passieren können. Zum Beispiel können Sie, wenn Sie in R an einem Punkt starten, eine Zeit lang rumlaufen und zu dem Punkt zurückkommen, dann müssen Sie irgendwo doppelt vorbeigekommen sein.

Zurück, da muss ich irgendwann umdrehen. In R2 können Sie zu dem Punkt zurückkommen, ohne umzudrehen. Das ist total banal. Aber das ist ätzend, werden Sie feststellen. Damit werden wir uns hier so lange beschäftigen müssen. Zweites Problem.

In R machen Sie einen Grenzwert. Die Funktion ist doof abwitzweise definiert. Dann machen Sie einen rechtseitigen und linksseitigen Grenzwert. Die meinen, Sie sind gleich und phobisch befettig. Weil es gibt eben nur rechts und links. In R2 sitzen Sie in der Tinte. Da gibt es links und rechts und vorne und hinten und halbschräg vorne und 33 Grad nach links.

Außerdem können Sie ja nicht nur gerade in den Punkt reinlaufen. Sie können auch rein spiralen oder entlang von der Parabel oder entlang von irgendwas anderem. Das sind Sachen, mit denen wir uns auseinandersetzen müssen. Oder auch jetzt relativ gleich am Anfang.

Sie haben alle ein Gefühl dafür, was ein offenes Intervall ist. Okay, ein abgeschlossenes Intervall. Was ist eine offene Menge im R5? Was ist eine abgeschlossene Menge? Ein Intervall ist schön, weil es ein zusammenhängender Klumpen ist. Was bedeutet zusammenhängend im R3?

Das sind Fragen, mit denen wir uns jetzt am Anfang beschäftigen wollen. Und worum geht es am Anfang? Wir müssen erstmal die Grundlage dafür legen, dass wir Analysis machen können.

Was heißt Analysis? Analysis heißt, wir wollen unendlich arbeiten. Wir wollen Grenzwert betrachten. Alles was wir gemacht haben im letzten Semester fußte am Ende auf der Grenzwertdefinition. Wir wollen Grenzwert betrachten. Was braucht man, um Grenzwerte zu betrachten? Außer Epsilon zum technischen Pferdefangs. Was man braucht, und das ist die Essenz.

Und darauf haben wir es jetzt runter kochen. Man muss einen Abstand messen können. Man muss Betrag von a n minus a. Das ist das, worum es geht. Betrag von a n minus a muss klein werden. Ich muss einen Abstand zwischen meinen Folgegliedern und dem Grenzwert messen können. Der entscheidende Begriff ist der Begriff eines Abstands.

Was ist ein Abstand? In R ist die Sache einfach. Der Abstand ist Betrag von der Differenz. Was ist ein Abstand im R4? Was ist ein Abstand in irgendeinem Raum? In irgendeiner Menge? Das ist die Anfangsfrage.

Und diese Frage werden wir sehr, sehr allgemein beantworten. Aus wichtigem Grund, weil am Ende will man Analysis in ganz, ganz vielen Geometrien betrachten. Das erste, was uns einfällt, ist, wir wollen den R3.

Damit wir uns hier im Raum zurechtfinden. Damit man zum Beispiel eine Satellitenbahn berechnen kann. Ein klassischer Fall von Analysis in drei Dimensionen. Der R3 reicht aber nicht. Es gibt Funktionen von mehr Variablen. Man braucht den RD. Das ist jetzt eine banale Erweiterung. Aber man muss auch noch auf anderen Geometrien Analysis betreiben können.

Zum Beispiel für die Menschheit nicht so irrelevant eine Kugeloberfläche. Auf Kugeloberflächen haben wir manchmal zu tun. Weil unsere Erde mehr oder weniger eine ist. Eine Kugeloberfläche ist kein RD. Eine Kugeloberfläche ist was Gekrömmtes. Auch darauf würden wir gerne Analysis betreiben.

Was ist ein Abstand auf einer Erdoberfläche? Deswegen brauchen wir einen sehr allgemeinen abstrakten Abstandsbegriff. Das ist eine anschauliche Begründung. Es gibt auch noch eine intermathematische Begründung. In der modernen Analysis arbeitet man viel in unendlich dimensionalen Vektorräumen.

Das ist völlig absurd. So richtig machen werden wir das erst ab dem dritten Semester. Wenn wir die erste Nase da so kurz reinstecken. Deswegen will ich es jetzt gar nicht groß thematisieren. Aber auch in diesen unendlich dimensionalen Räumen wird man Grenzwerte angucken. Also z.B. im Raum aller stetigen Funktionen.

Das ist so. Ziemlich unendlich dimensionale Vektorräume. Wenn jetzt die Physiker abschnallen und sagen, da brauchen wir nicht zuhören. Nehme ich sie gleich mit. Die gesamte Quantenmechanik arbeitet im Raum der Quadratintegrat und Funktion. Der ist noch viel größer als der Raum der stetigen. Seien Sie bitte auch dabei dabei.

Auch Sie werden in unendlich dimensionalen Vektorräumen arbeiten. Das heißt, das Ziel jetzt am Anfang ist, einen Begriff von Abstand zu definieren. Der möglichst abstrakt und allgemein ist, damit er gleich alles auf einmal erschlägt. Die Kugeloberfläche, den RD, unendlich dimensionale Räume und noch 100.000 andere Sachen.

Und das ist der Begriff einer Metrik. Und dementsprechend heißt der erste Teil der Vorlesung metrische Räume. Dieser Teil hat jetzt im ANA-1-Skript relativ wenig Korrespondenz.

Weil diesen Teil konnten wir in ANA-1 relativ schnell abhaken. Wir definieren den Betrag. Dann haben wir einen Abstand. Dann sind wir fertig. Das wird hier ein bisschen komplizierter. Ich will Ihnen jetzt im ersten Abschnitt definieren, was ein metrischer Raum ist.

Aber was es von der Anschauung her ist, ein metrischer Raum ist eine Menge mit einem Abstand. Eine Menge, auf der ich für je zwei Punkte sagen kann, wie weit sie voneinander wechseln. Und als ersten Spezialfall will ich mich auf Vektorräume beschränken.

Erstens, weil nachher Vektorräume für uns der wesentlichste Spezialfall von metrischen Räumen sein werden. RD als Vektorraum. Und zweitens, wenn man damit schön starten kann.

Also es ist eigentlich von dem, wo ich hin will, ein Spezialfall, aber der für uns entscheidend wichtigste. Und deswegen fangen wir mit dem an. Also wir haben einen Vektorraum über R oder über C. Das ist wieder völlig wurscht. Auch in dieser Vorlesung habe ich die Konvention, dass ich, wenn es wurscht ist, über R oder C mal gleich K schreibe.

Mit der Aufforderung denken Sie natürlich R, damit man sich das gut vorstellen kann. Und hinterher wissen Sie, es geht auch für C. Also ich habe irgendeinen K Vektorraum. Denken Sie natürlich R3. Und dann kann man auf so einem Vektorraum einen Längenbegriff definieren.

Das ist eine Abbildung, die jedem Vektor eine Länge zuordnet. Diese Länge nennt man bei Vektoren Norm. Und so eine Abbildung ist eine Norm auf dem Vektorraum, wenn jetzt gewisse Axiome gelten. Typisch mathematisches Vorgehen. Wir führen einfach axiomatisch einen Längenbegriff auf den Vektorraum.

Was sollte für so eine Länge gelten? Das ist ein vernünftiger Längenbegriff. Erstmal brauchen wir einen Startpunkt. Was wir gerne hätten, ist, wenn ich den Nullvektor anschaue, was soll der für eine Länge haben?

Der soll bitte schön Länge 0 haben. Anschau dich irgendwie sinnvoll. Der Nullvektor hat Länge 0. Wie viele andere Vektoren sollen Länge 0 haben? Möglichst keine. Das packen wir in unsere Definition rein.

Die Norm von einem Vektor soll 0 sein, genau dann, wenn der Vektor 0 ist. Und sonst nie. Das nennt man Definität der Norm. Dann ist die Frage, wie verhält sich die Norm mit der eigenbriarischen Struktur vom Vektorraum?

Also mit der Skalarmultiplikation und mit der Addition im Vektorraum. Wenn ich einen Vektor x in V habe und einen Skalar lambda in k, was soll dann die Länge sein von dem um lambda gestreckten Vektor x? Wenn diese Länge etwas mit unserer Intuition von Länge zu tun haben soll, dann sollte bitte schön die

Länge von dem um lambda gestreckten Vektor x, Betrag lambda mal so groß sein wie die Länge von x. Das ist unsere Aktion. Die Länge von dem um lambda gestreckten Vektor ist Betrag lambda mal die Länge von x. Betrag lambda, wenn Sie den Vektor mit minus eins multiplizieren, soll seine Länge nicht ändern, sondern nur in die andere Richtung zeigen.

Das ist das zweite Normaktion. Das nennt sich Homogenität. Und das dritte Normaktion sagt, wie sich die Norm mit dem Addieren verhalten soll.

Für alle x, y und v soll gelten, dass die Norm von der Summe von zwei Vektoren kleiner gleich der Summe der Norm von den Vektoren ist. Das ist nichts Neues für Sie. Das Ding kennen Sie schon. Zumindest aus R und aus C. Das ist die Dreiecksungleichung.

Und was die Dreiecksungleichung im Sinne von Längen sagt, wenn das hier x und das hier y ist, dann ist bekanntermaßen das hier x plus y. Und was die Dreiecksungleichung sagt, ist der direkte Weg ist kürzer als der Umweg.

Der direkte Weg von oben in das Parallelogramm ist weniger lang, als wenn Sie erst über die andere Ecke laufen. Auch das ist eine ganz vernünftige Aktion. Egal wie, soll es länger sein, wenn man einen Umweg läuft, als wenn man direkt weg läuft.

Und die drei Aktionen erreichen. Jede Abbildung, die diese drei Eigenschaften hat, nennen wir eine Norm. Und jede solche Norm definiert uns einen Längenbegriff auf einem Vektorraum V. Ich habe jetzt noch nichts darüber gesagt, ob es sowas überhaupt gibt. Das ist einfach nur axiomatisch. So, und den Vektorraum V zusammen mit der Norm, das nennt man dann einen normierten Raum oder normierten Vektorraum.

Wenn man ganz sauber ist, also ganz sauber formuliert, aber da Normen per Definition auf Vektorräumen leben, ist ein normierter Raum, ist eben ein Vektorraum mit einer Norm. Ich werde in der Vorlesung hier zumindest den Anschrieb nr schreiben zum Abkürzen.

So, damit haben wir eine Länge auf einem Vektorraum. Erste Frage, wie gerade schon angeklungen, gibt es sowas überhaupt? Also ein paar Beispiele, es gibt Unmengennormen. Ich bin eins, zwei.

Sie kennen schon einen normierten Raum. Nämlich die reellen oder die komplexen Zahlen mit dem Betrag. Der R1. In dem Sinne ist eben die ANA1 ein Spezialfall. Wir haben es im letzten Semester nicht so genannt. Wenn Sie Betrag auf R packen, dann haben Sie einen normierten Raum. Weil der Betrag ist Null.

Genau dann, wenn X Null ist, Betrag von Lambda mal X ist Betrag Lambda mal Betrag X. Und der Betrag erfüllt die Dreiecksumme gleich. So, unser wichtigster Vektorraum in dieser Vorlesung ist der Rd oder der Kd.

Und wenn es in R bis auf den Betrag oder Vielfalt vom Betrag keine weiteren Normen gibt, kann man sich mal überlegen, warum in R ist jede Norm ein Vielfaches vom Betrag. Kann man da aus den Axomen rausziehen. Gibt es in Kd eine ganze Menge?

Das können Sie sagen, dann ist unser Normbegriff doch irgendwie ein bisschen zu breit. Weil wir haben ja eine sehr genaue Vorstellung, was eine Länge R3 ist. Ja, diese Vorstellung ist auch durch eine Norm gegeben. Durch die sogenannte eukidische Norm, weil sie die Längenvorstellung der eukidischen Geometrie ist.

Oder auch Zwei-Norm genannt. Wenn Sie Ihre alltägliche Längenvorstellung im Rd haben wollen, dann müssen Sie die Länge im Folgendermaßen messen. Nach Pythagoras. Sie nehmen die Komponenten Ihres Vektors xj, quadrieren die alle, summieren die Quadrate aller Komponenten auf und bilden am Schluss wieder die Wurzeln.

Das ist die sogenannte Zwei-Norm. Oder auch eukidische Norm. Euklidische Norm nicht, weil Euklid die erfunden hat. Euklid hat mit dem Begriff Norm noch gar nichts angefangen.

Sondern weil die euklidische Norm die ist, die wenn Sie sie im R2 oder im R3 draufsetzen, zur euklidischen Geometrie führt. Zu flachen Geometrie. Zu der alltäglichen Geometrie, die wir kennen. Das ist in dem Sinne natürlich auch die wichtigste Norm im Kd und hat auch viele schöne Eigenschaften. Aber es ist eben nicht die einzige.

Hier sind noch zwei andere. Das erste wäre die sogenannte Unendlichnorm oder Maximumsnorm. Die kriegen Sie dadurch, dass Sie wieder die Komponenten von Ihrem Vektor nehmen. Alle jeweils den Betrag.

Und dann suchen Sie sich die betragsgrößte Komponente raus. Das ist die sogenannte Maximumsnorm oder auch Unendlichnorm. Wie die zu dem komischen Namen kommt, was das mit unendlich zu tun hat und warum die da unten den Index unendlich hat,

das sage ich Ihnen in 10 Minuten. Erst mal als Beispiel. Das ist eine Norm. Und noch eine dritte. Und von der dritten will ich Ihnen zeigen, dass es eine Norm ist. Und nicht immer kneifen. Das ist die sogenannte Einsnorm. Da machen Sie Folgendes.

Sie nehmen die Beträge Ihrer Komponenten und summieren die einfach auf. Gleich 1 bis D. Die Summe nennt sich auch manchmal Betragssummennorm. Wenn man eben die Beträge aufsummiert. Wenn man es anschaulicher haben will, gibt es auch die Bezeichnung Manhattannorm.

Warum das? Und das führt auch schon wieder ein bisschen auf die Frage zurück. Warum macht man den Normbegriff so allgemein und sagt nicht einfach, wir nehmen unsere euklidische Norm und gut ist, weil es eben viele Fragestellungen gibt, die sich nicht nur euklidischer Norm messen.

Zum Beispiel die Frage, wie weit ist es in Manhattan von dem Punkt zu irgendeinem anderen? Wie lang ist dieser Vektor, wenn ich mich in Manhattan bewege oder in Mannheim ein bisschen näher? Ich muss erst 2 Blöcke so rumlaufen und dann 3 Blöcke so.

Weil die nicht schräg laufen kann, weil da Häuser im Weg sind. Die Länge plus die Länge ist genau die Betragssumme. Es gibt also einen Längenbegriff im R2, der nicht der euklidische ist, aber ein sinnvoller Längenbegriff.

Von der 1-Norm will ich Ihnen gleich zeigen, dass es eine Norm ist. Lassen Sie mich vorher noch sagen, warum das 1-Norm heißt. Das Ding da oben heißt 2-Norm, wenn man die Quadrate mit der zweiten Wurzel nimmt. Das da unten können Sie sehen als Betrag xj hoch 1 und daraus die erste Wurzel.

Und auf die Weise kann man ganz, ganz viele Normen konstruieren. Nämlich indem Sie jeweils Betrag xj hoch p nehmen und daraus die pete Wurzel. Gibt immer eine Norm, wenn das p größer gleich 1 ist. Das will ich noch vorher erwähnt haben. Also für p größer gleich 1 kriegen Sie die sogenannte p-Norm von x.

Indem Sie jeweils die Komponenten nehmen hoch p. Die Beträge hoch p aufsummieren und am Schluss die pete Wurzel ziehen. Und das geht auch für reelle p. Also jedes p größer gleich 1. Also auch für p gleich dreieinhalb oder p gleich Pi gibt es eine Norm.

Wobei ich zugehe, mit der Pi-Norm habe ich noch nie irgendjemanden arbeiten sehen. Aber es geht. Dreieinhalb kommt mal vor, aber Pi ist wirklich absurd. Ich behaupte, das ist eine Norm. Ich zeige es Ihnen für die 1-Norm. Also jetzt wählen Sie für p gleich 2, kriegen Sie die 2-Norm, für p gleich 1 kriegen Sie die 1-Norm.

Ich behaupte, das sind alles Normen. Ich zeige es Ihnen für die 1-Norm. Und das ist, wenn ich ehrlich bin, wahnsinnig gekniffen. Ich empfehle Ihnen, zeigen Sie es für die unendlich-Norm. Und ich empfehle Ihnen, zeigen Sie es für die p-Norm, nur wenn Sie gute Nerven und viel Frusttoleranz haben. Das ist nämlich erstaunlich schwierig.

Auch für die 2-Norm zu zeigen, dass es eine Norm ist, so on foot, da geht nicht wahnsinnig viel ein. Da muss man jetzt nicht mit irgendeinem tiefen Theorien drauf donnern. Aber es geht nicht geradeaus. Und der Schuft ist die Dreiecksungleichung. Wenn Sie es probieren, werden Sie merken. Dreiecksunggleichung für die allgemeine p-Norm, die Kosteseite.

Das will ich mir hier jetzt gerade sparen. Ich zeige es Ihnen für die 1-Norm. Für die geht es ziemlich geradeaus. Aber das ist, wenn ich ehrlich bin, gemogelt. Also Nachweis der Norm für die 1-Norm.

Was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, dass die 3 Aktionen erfüllt sind. Das Ding ist definiert homogen und erfüllt die Dreiecksunggleichung. Für die Definität haben Sie 2 Implikationspfeile. Sie müssen zeigen, der Nullvektor hat Länge 0. Und nur der Nullvektor hat Länge 0. Das Erste ist ganz einfach. Was ist die Länge vom Nullvektor in der 1-Norm?

Betrag von 0 plus Betrag von 0 plus Betrag von 0. Es ist halt 0. Umgekehrt. Wenn Sie ein x in Kd haben, sodass die 1-Norm 0 ist, dann bedeutet das, dass die Summe der Beträge xj 0 ist.

Nur ist das eine Summe mit lauter positiven Summanden. Und wenn eine Summe mit lauter positiven oder nicht negativen Summanden 0 ist, dann muss jeder Summand 0 sein. Falls Sie da echt positiven Summanden drin haben, werden Sie nie mehr 0. Also ist xj gleich 0 für alle j von 1 bis d.

Und das heißt x ist 1. Also tatsächlich eine definite Abbildung von unserem Vektorraum Kd nach R. Zweite Normaktion. Wir brauchen, dass das Ding homogen ist. Rechnen wir einfach nach.

Was ist die 1-Norm von einem lambda gestreckten Vektor x? Nach Definition der Norm nehmen Sie die Komponenten Ihres Vektors, also lambda xj, davon den Betrag und summieren Sie die alle auf. Jetzt haben wir da einen Betrag stehen, von dem wissen wir, dass wir ihn im Malzeichen auftrennen können.

Es gibt lambda-Betrag mal xj-Betrag. Jetzt können Sie das Betrag lambda vorziehen, weil es nicht von j abhängt. Und übrig bleibt die Summe j gleich 1 bis d Betrag xj oder eben die 1-Norm von x. Das geht geradeaus. Das geht mit allen P-Normen geradeaus.

Die beiden Sachen bringen Sie mit jeder P-Norm hin. Und jetzt kommt die Dreiecksumgleichung und die ist für P gleich 1 angenehm, für P gleich unendlich angenehm und für alle dazwischen ein bisschen mühsam. Also die 1-Norm von der Summe müssen wir euch zeigen.

Jetzt kleiner gleich die Summe der 1-Norm. Schreibt man sich erst mal hin, was diese 1-Norm ist. Was müssen Sie machen? Hier die Komponente Ihres Vektors nehmen. Also xj plus yj ist die j-Komponente. Davon den Betrag und die alle aufsummieren. Jetzt kann man hier innen drin die Dreiecksumgleichung in R benutzen.

In K, um genau zu sein. Das ist die Dreiecksumgleichung in K. Die kennen wir aus dem ersten Semester. Dann können wir da zwei Summen draus machen. Summe j gleich 1 bis d über Betrag xj plus eine Summe j gleich 1 bis d über Betrag yj.

Und das ist die 1-Norm von x plus die 1-Norm von y. Sie sehen schon, wenn Sie mal im Geiste jetzt nicht die ersten Potenzen von xj plus yj, sondern die Peten addieren, dann können Sie darunter auch die Dreiecksumgleichung machen.

Dann haben Sie aber am Ende der ersten Zeile hier oben ein P stehen. Mal so kurz reingeschmiert und damit heraus, wenn hier ein P steht, dann wird es jetzt ätzend. Am Schluss soll hier und hier ein P stehen. Und nach unten auch die Petewurzel richtig drüber.

Das macht keinen Spaß. Geht, aber macht keinen Spaß. Sie müssen auch keine Sorge haben, es taucht nicht auf dem Übungsblatt auf. Wie, also zumindest so weit ich das bisher gesehen habe,

wie macht man sich jetzt so eine Norm irgendwie anschaulich? Also gerade wenn man jetzt über R3 redet oder R2, dann könnte man ja hoffen, dass man so eine Norm sich noch vorstellen kann. Eine gute Methode, sich so eine Norm anschaulich zu machen, ist man schaut sich die sogenannten Einheitskugeln an. Was sind die Einheitskugeln?

Die Einheitskugeln sind die Kugeln um den Ursprung mit Radius 1. Wobei, das kann ich jetzt gleich für das ganze Semester sagen, wenn ich Kugel sage, denken Sie an etwas Dreidimensionales. Das wird jetzt nicht mehr lang dauern, dann sind Sie da auch flexibler.

Eine Kugel ist einfach die Menge aller Punkte, die von einem vorgegebenen Mittelpunkt höchstens Abstand R haben. Und zwar in egal welchen Gebieten. Es kann mir durchaus passieren, dass ich von einer Kugel in R rede. Eine Kugel in R ist ein Intervall. Eine Kugel um 0 mit Radius 1 in R ist ein Intervall von Minus 1 bis 1.

Also in dem Sinne ist hier Kugel gemeint. Kugel ist nicht unbedingt etwas Dreidimensionales. Wir werden noch sehr viele schläge Kugeln sehen. Zum Beispiel jetzt gleich. Was ist die Einheitskugel? Im Vorgriff auf spätere Notation nenne ich die mal K1 von 0.

Das ist die Menge aller X im Kd, sodass die Norm kleiner gleich 1 ist. Das ist die Einheitskugel. Und mal so ein paar von den Dingern kann ich Ihnen mal hinmalen. Also die Einheitskugeln jetzt im R2. Im R2 kann ich noch einigermaßen malen.

Ich werde den Teufel tun, ihn jetzt hier welche dreidimensionalen Einheitskugeln hinzumalen. Wenn man die für D gleich 2 gesehen hat, kann man sich vorstellen, wie die für D gleich 3 aussehen. Fangen wir mit dem einfachsten und nächsten Fall an. Nehmen wir die eukidische Norm. Wie sieht die Einheitskugel der eukidischen Norm aus? Das sind alle die Punkte, deren Abstand in unserem Alterigen Abstandsbegriff vom Ursprung höchstens 1 ist.

Das ist ein Kreis. Das ist natürlich für mich die schwierigste Fall, aber ich versuche es. Das ist die Einheitskreislinie.

Also alles innen drin ist die Einheitskugel. Im R2 mit Radius 1 in der eukidischen Norm. So wie sieht die in der 1-Norm aus? Wir hatten gesagt, die 1-Norm ist die Manhattan-Norm. Also muss ich alle die Punkte finden, die wenn ich nur entlang der Koordinatenachsen laufe,

genau 1 vom Ursprung weg sind. Das sind zum einen mal die Deckpunkte hier. Und dazwischen sieht die so aus. Zum Beispiel der Punkt 1,5 hat einen Abstand zum Ursprung von 1 in der 1-Norm.

1,5 plus 1,5 ist 1. Da sehen Sie schon, Sie müssen Ihren üblichen Begriff einer Kugel so ein bisschen flexibilisieren. Also dieses Grüne hier ist eine Kugel bezüglich der 1-Norm im R2. Früher hätten Sie so etwas Quadrat genannt.

Sie können überlegen, wie ein Quadrat in der 1-Norm aussieht. Das ist die 1-Norm. Hier sieht jetzt die Unendich-Norm aus. Die Unendich-Norm sind alle die Punkte, für die die größte Koordinate kleiner gleich 1 ist.

Also alle die, für die beide Einträge kleiner gleich 1 sind. Das ist auch ein Quadrat. Aber das hier, das ist p-gleich unendlich. Und wenn man jetzt irgendeinen p dazwischen hat, was ist nicht 3,5,

dann liegt die 3,5-Kugel halt irgendwie zwischen der 1 und der 2-Kugel. Also das sind Kugeln. Und an diesem Bild kriegt man schon eine Idee für den folgenden Satz.

Folgende Eigenschaft von diesen Kugeln im Kd. Die sind irgendwie alle ineinander drin. Also p-gleich 1 ist die kleinste. Und wenn ich jetzt das p größer mache, werden die Kugeln immer größer. Sprich, die Normen immer kleiner.

Aber trotzdem, wenn ich diese p-gleich-1-Kugel mit einem geeigneten Faktor multipliziere, wird sie größer als die p-gleich unendlich-Kugeln. Die sind irgendwie vergleichbar. P-gleich unendlich-Kugel ist größer als die 1-Kugel. Und wenn ich die 1-Kugel mit Wurzeln 2 multipliziere in der Größe,

dann enthält sie die unendlich-Kugel. Und das machen wir jetzt für alle p-Normen. Das ist der erste Satz zu dem Thema. Satz 1,4. Wenn Sie sich irgendeinen x im Kd hernehmen,

dann ist die unendlich-Kugel die größte, das heißt die unendlichen Normen die kleinste Norm. Dann ist die unendlich-Norm kleiner als die p-Norm für jedes p. Also auch hier für alle p. Für alle p größer als 1.

Und für alle x im Kd ist die unendlich-Norm kleiner als die p-Norm. Und das ist wiederum kleiner als die p-Wurzel aus der Raumdimension D, mal die unendlich-Norm. Das ist meine Behauptung.

Und das kann man direkt und einfach nachrechnen. Was ist die unendlich-Norm? Die unendlich-Norm von so einem Vektor ist das Maximum der Beträge seiner Koordinaten.

Naja, wenn ich jetzt jede dieser Koordinaten hoch p nehme und hinterher das Maximum wieder durch die p-Wurzel jagt, dann ändere ich nichts. Es liegt im Wesentlichen dran, dass die Wurzel und die Potenzfunktion monoton sind.

Das ist immer wieder das Problem, aber es wird nicht oft funktionieren. Das habe ich schon ein paar Mal gesagt. In dem Fall geht es, weil ich den Übergang nicht brauche. Aber wenn eine Rechnung von einer Tafel auf die andere läuft,

dann toben sie zurecht, wenn ich beides wegmache. Also im Normalfall, jetzt gerade kann ich es machen. Es sei denn, jemand braucht noch die Formel für die p-Norm. Aber ich denke, die kann man sich nicht mehr.

So, also wir haben jetzt den Ausdruck hier ein bisschen aufgepustet. Hoch p hoch 1 durch p passiert nichts. Und was ich jetzt mache, ich will jetzt zur p-Norm kommen. Unter dieser p-Wurzel, die lasse ich stehen, steht jetzt zurzeit

die p-Potenz des größten, der größten Koordinate von x. Jetzt sumiere ich einfach alle p-Potenzen auf. Dann mache ich die Sache auf jeden Fall größer. Und wenn ich die da unten größer mache, mache ich auch die p-Wurzel größer, weil die p-Wurzel monoton ist. Also hier schreibe ich jetzt die Summe aller p-Potenzen der Beträge der Koordinaten hin.

Das ist mehr als der maximale Wert. Die p-Wurzel ist monoton, er hält das Vorzeichen, das Relationszeichen. Und was jetzt da steht, ist die p-Norm. Also erste Ungleichung gezeigt. Die unendliche Norm ist immer kleiner als der p-Norm. So, jetzt müssen wir weiterkommen. Müssen wir nämlich zur unendlichen Norm zurückkommen.

Wir schätzen weiter nach oben ab, indem wir nicht alle Koordinaten summieren, sondern immer nur die größte. Also jedes x, j schätzen wir durch das maximale x, k ab.

Und dann das ganze außen hoch 1 durch p. Naja, das können wir hier auch kürzer schreiben. Das ist Summe j gleich 1 bis d über die Maximumsnorm von x. Hoch p hoch 1 durch p.

Diese Summe über j sieht zwar hübsch aus, aber macht keinen großen Nährwert mehr, weil wir summieren jetzt d mal dasselbe. Da steht also einfach d mal die unendlichen Normen von x hoch p und das ganze hoch 1 durch p. Und jetzt kommt hier raus d hoch 1 durch p mal die unendliche Norm von x.

Also in diesem Sinne sind diese beiden Normen vergleichbar. Oder was heißt alle diese Normen vergleichbar? Also jede p-Norm kann ich mit der unendlichen Norm vergleichen. Und damit kann ich Ihnen jetzt auch eine Begründung dafür lieben,

warum die unendliche Norm so komisch unendliche Norm heißt. Nehmen Sie mal den Satz 1, 4 und lassen Sie mal p gegen unendlich laufen. Wenn Sie da p gegen unendlich laufen lassen, dann geht die p-Wurzel aus D gegen 1.

Also die p-Wurzel aus D geht gegen 1. Und dann haben Sie einen wunderschönen Sandwich da stehen. Links steht die unendliche Norm, rechts steht die unendliche Norm. Also kriegen Sie das wenn Sie p gegen unendlich schicken. Also nehmen Sie irgendein Vektor x, bestimmen die p-Norm und lassen p gegen unendlich laufen.

Dann kommt genau die unendliche Norm aus. In dem Sinne ist die unendliche Norm der Grenzfall der p-Norm für p gegen unendlich. Deswegen heißt es so. Gut. Dann haben wir erstmal Päuschen. Und nochmal nutzen, dass dieses Semester das mit den Pausen klappt.

Und dann machen wir in 10 Minuten. So, dann würde ich gern in den zweiten Teil einsteigen. Wir hatten gerade gesehen, dass wir im endlich dimensionalen Vektorraum Kd, Rd,

zumindest die p-Normen, das sind die, die wir zurzeit kennen. Es gibt natürlich noch mehr. Wir werden auch im weiteren Studium sicher noch mehr Normen kennenlernen. Dass man die p-Normen alle vergleichen kann. Und zwar nach oben wie nach unten.

Das ist das Entscheidende im Satz 1,4. Die sind nach oben und nach unten vergleichbar. So ein Verhalten von zwei Normen zueinander ist was sehr Wertvolles. Wie wertvoll werden wir erst in den nächsten Wochen sehen? Im Moment geben wir diesem Verhalten einfach mal einen Namen. Das ist die Definition 1,5. Für alle, die sich gewundert haben, wo das 1,5 geblieben ist.

Also wir haben irgendeinen K-Vektorraum. Und da drauf zwei Normen. Jetzt brauchen wir eine Notation. Also zum Beispiel die eine so und die andere so. Also das sind zwei Normen auf V.

Und wenn die so ein Verhalten zueinander wie in Satz 1,4 haben, dann nennen wir die Äquivalent. Die heißen Äquivalent. Falls es Konstanten gibt, Klein C, Groß C, beide strikt positiv.

Sodass für alle x sind V gilt. Sie können die eine Norm mit der Konstanten C so multiplizieren, dass sie immer unterhalb der anderen liegen. Und die liegt immer unterhalb Groß C Norm x, die hier. Das ist genau die Struktur, die wir da haben.

Mit Klein C gleich 1 und Groß C gleich Pete Wurzen D. Und zwei Normen, die so ein Verhalten zueinander haben, nennt man Äquivalent. Wichtig ist, dass hier ein strikt größer steht.

Also die beiden Konstanten müssen strikt positiv sein. Der Hintergrund ist, wenn sie zwei, wir werden später feststellen, wenn sie zwei Normen haben, die zueinander Äquivalent sind, das sagt, so ist auch der Begriff schon angelegt, dann ist die Analysis, die diese beiden Normen erzeugen, dieselbe. Konvergenz bezüglich der einen ist Konvergenz bezüglich der anderen.

Stetigkeit bezüglich der einen ist Stetigkeit bezüglich der anderen. Die unterscheiden sich nichts, was ihre Analysis angeht. Natürlich liefern sie verschiedene Längen, aber sie sind im Sinne der Analysis identisch. Oder liefern das gleiche Ergebnis. Deswegen ist das richtig, aber im Moment einfach nur erstmal ein Begriff.

So, wir haben jetzt ein paar Normen auf dem RD gesehen oder auf KD.

Ich hatte vorhin schon gesagt, es gibt noch deutlich größere und andere Vektorräume. Ich will so gerade noch wenigstens ein, zwei Normen auf einem unendlich dimensionalen Raum hinschreiben. Nehmen Sie den Vektorraum aller stetigen Funktionen auf einem Intervall i,

wobei i ein kompaktes Teilintervall von R ist. Also nehmen Sie das Intervall abgeschlossen, Intervall von 0 bis 1 und darauf alle stetigen Funktionen. Das ist ein Vektorraum. Wenn Sie gleich überlegen, Summe von stetigen Funktionen.

So, und darauf gibt es jetzt auch Normen, sogar mit den gleichen Konstruktionsprinzipien. Auch da gibt es eine P-Norm. Die kriegen Sie folgendermaßen. Nehmen Sie alle Koordinaten Ihres Vektors, die Beträge davon, die Pt-Potenz,

summieren Sie sie alle auf und nehmen Sie dann die Pt-Wurzel. Das ist die kontinuierliche Entsprechung der P-Norm. Sie nehmen jede Koordinate, so eine Funktion hat viele Koordinaten, nämlich lauter Werte. Davon die Pt-Potenz, summieren Sie auf, summieren heißt jetzt Integral, Integral über i,

und dann nehmen Sie die Pt-Wurzel. Das ist die P-Norm und das ist wieder eine Norm, wenn das P größer als 1 ist. Es gibt auch hier eine Supremumsnorm oder Maximumsnorm.

Und die ist recht simpel. Schauen Sie sich alle Funktionswerte Ihrer Funktion an. Die Funktion ist auf einer, also Beträge, Beträge von allen Funktionswerten. Die Funktion ist auf dem Kompakt, der bei 01 definiert hat. Also maximal, der Betrag f ist stetig da drauf, hat Maximum. Das Maximum nehmen Sie sich hier.

Das Maximum aller Betrag f von t. Das ist die Unendlichnorm oder Supremumsnorm oder Maximumsnorm.

Besonders wichtig ist auch hier der Fall P gleich zwei. Warum, wenn wir noch sehen. Und auch hier kann man mit ein bisschen List und Tücke zeigen, wenn Sie mit der P-Norm P unendlich jagen, kommt die Unendlichnorm raus.

Genau das gleiche Verhalten. Und auch hier gilt, ich empfehle Ihnen sehr an, für die Eins-Norm nachzuweisen, dass es eine Norm ist. Wenn er Herausforderung braucht, nehme ich die zweite P. So, im Zusammenhang mit Norm gibt es einen zweiten Begriff,

den ich eher kurz behandeln will, weil er vor allem auch in der linearen Algebra dann durchgearbeitet wird oder hoffentlich vielleicht auch schon ist. Da bin ich jetzt nicht so sicher. Das ist der Begriff des Skalarprodukts.

Mal so eine kurze Stimmungstest. Wer hat Skalarprodukt hier schon in der L-Auflösung gesehen? Das würde ich mal schätzen, das ist die Abteilung Physik. Und die Abteilung Mathematik sagt, Gott, kommt noch. Was ist ein Skalarprodukt?

Ein Skalarprodukt ist eine Multiplikation von zwei Vektoren. Also eine Abbildung von V, Kreuz V in den Grundkörper K. Die meisten werden es aus der Schule so irgendwie ein bisschen kennen. Aber das ist jetzt der abstrakte Begriff eines Skalarprodukts. Also eine Abbildung, die zwei Vektoren nimmt,

in gewisser Weise multipliziert und das Ergebnis ist ein Skalar. Also so eine Abbildung nennt man ein Skalarprodukt, wenn wieder drei Aktionen erfüllt sind.

Die sehen auch schon sehr ähnlich aus wie bei den Normen. Zunächst mal haben wir wieder eine Definität. Wenn Sie einen Vektor mit sich selbst skalar multiplizieren, soll das Ergebnis immer eine positive reelle Zahl oder Null sein. Also diese Bedingung ist vor allem wichtig, wenn Sie in einem komplexen Vektorraum sind.

Das Skalarprodukt von einem Vektor mit sich selbst muss immer reell sein. Und größer gleich Null. Und außerdem soll gelten, wenn ein Skalarprodukt von einem Vektor mit sich selbst Null ist, dann muss der Vektor schon Null sein. Und wenn der Vektor Null ist, ist das Skalarprodukt Null. Das ist die Definität beim Skalarprodukt.

Dann haben wir als zweites sogenannte reellen Symmetrie. Im Komplexen nennt man es Hempitizität. Das ist im Reellen die Kommutativität von dem Ding. Also man vergleicht das Produkt von x, y mit y, x.

Man würde sowas erwarten und das gilt auch fast. Im Komplexen müssen Sie queren. Also Symmetrie bzw. Antisymmetrie. Wenn Sie das Skalarprodukt umdrehen, kassieren Sie im Querstrich.

Im Reellen ist Ihnen das egal. Das ist das zweite. Und das dritte ist Linearität im ersten Argument. Also wenn Sie sich drei Vektoren hernehmen, x1, x2 und y, und zwei Skalare, Lambda 1, Lambda 2 in K, dann ist, wenn Sie sich ins erste Argument eine Linearkombination schreiben,

Lambda 1, x1 plus Lambda 2, x2 und das mit y mal nehmen, dass das selbe wie die Linearkombination der einzelnen Skalarprodukte, also Lambda 1 mal x1, y plus Lambda 2 mal x2, multipliziert mit y.

Das heißt, das ganze Ding ist Lydia im ersten Argument. Gepaart mit der Symmetrie kriegen Sie eine Antilinearität im zweiten Argument aus den beiden sp2 und sp3 raus.

So, warum komme ich jetzt hier mit Skalarprodukten, weil es einen ganz engen Zusammenhang mit Normen gibt und nur der interessiert mich jetzt hier im Moment wie gesagt für alles weitere verweise ich auf die lineare Algebra an der Stelle. Es gilt nämlich, wenn ich ein Skalarprodukt habe, dann habe ich automatisch eine Norm,

dann kann ich mir aus dem Skalarprodukt eine Norm definieren und zwar indem ich das Skalarprodukt von einem Vektor mit sich selbst nehme und daraus die Wurzel.

Man beachtet, das macht Sinn wegen hier, Skalarprodukt von einem Vektor mit sich selbst ist immer eine nicht positive reelle Zahl, also kann ich daraus eine Wurzel ziehen und die Behauptung ist, das ist dann immer eine Norm auf dem Vektorraumform. Auf die Weise

kann man sich aus einem Skalarprodukt eine Norm bauen und zwei Normen, die Sie schon gesehen haben, sind jeweils durch Skalarprodukte gegeben und das ist das Besondere an der zwei Norm. Die zwei Norm ist in diesem Sinne etwas Besonderes. In den beiden obigen Beispielen

ist die jeweilige zwei Norm durch ein Skalarprodukt gegeben. Im Kd ist das zugehörige Skalarprodukt, das sogenannte Standardskalarprodukt, das behaupte ich kennt jeder, Summe j gleich

1 bis d, x, y, y, y, quer wahrscheinlich, die, die es aus der Schule kennen, kennen es ohne den Querstrich. Das ist das Standardskalarprodukt im Kd und wenn Sie jetzt x gleich y setzen und die Wurzel daraus nehmen, haben Sie genau die zwei Normen. Man beachtet, dafür

ist der Querstrich entscheidend, weil durch den Querstrich wird x, y, x, y, quer ist dann Betrag x, y². Sonst hätten Sie im Komplexen den Betrag nicht und dann ist was anderes. Aber auch die zwei Norm hier drüben, im Beispiel 1, 7, auf dem Raum der stetigen Funktion ist durch ein Skalarprodukt gegeben und das ist ein ganz entscheidendes

Skalarprodukt. Auch hier freundlichen Grüß an alle, auch an die Physikerinnen und Physiker, mit denen werden sich auch viele rumschlagen. Skalarprodukt von zwei Funktionen, Standardskalarprodukt für Funktionen auch in einem Intervall. Sie integrieren

das Produkt f von t mal g von t quer dt. Für f und g stetige Funktion. Also das heißt aus Gründen, die in der Anna 4 klar werden, L2 Skalarprodukt und an der Stelle Entschuldigung

an Physikerinnen und Physiker, wo andererseits auch nicht Entschuldigung, sondern warum um Himmels willen machen sie alles andersherum. Und ein Hinweis an alle Mathematikerinnen und Mathematiker, wenn sich bei einem Physiker unterhalten, dann sagt er, das ist totaler

Quatsch. Alles, was hier über Skalarprodukte steht, ist Blödsinn. Weil Skalarprodukte sind nämlich linearen. Zweiter Argument. Also bei einem Physiker zählt das Skalarprodukt hier so aus. Warum die den Querstrich auf die erste Funktion nicht auf die

Also auch an alle, die vielleicht Mathematik mit Nebenfachphysiker haben, lassen sie sich nicht verwirren. Das ist nur bescheuert. Wenn sie mit Physik Skalarprodukten zu tun haben, drehen sie die immer einfach um. Dann haben sie Mathe Skalarprodukt. Dann umgekehrt die Physikerinnen und Physiker drehen hier das Mathe Skalarprodukt um. Dann haben sie Physik Skalarprodukt. Warum? Also es gibt in der physikalischen Grunde,

der quankt mich gar nicht, das so rum zu machen. Das sehe ich ein. Dann frage ich mich, warum es die Mathematiker andersherum gemacht haben. Ich weiß es nicht. Also da bitte nicht verwirren lassen. Wenn sie im Querstrich zu viel an einem Skalarprodukt, dann ist es eine Physik-Matte-Verwechslung. So, aber für uns ist der Querstrich hinten und

das Ding ist linear am ersten Argument, weil das eine Mathe-Vorlesung ist. Die Korrespondenz zwischen Skalarprodukt und Norm geht nur in die eine Richtung. Also jedes Skalarprodukt gibt eine Norm. Die meisten Normen gehören nicht zum Skalarprodukt. Also alle anderen,

die ich jetzt hier hingeschrieben habe, alle P-Normen für P nicht, zwei, alle Maximumsnormen sowieso nicht, sind alle nicht auf diese Weise mit einem Skalarprodukt assoziiert. Aber wann immer Sie ein Skalarprodukt haben, kriegen Sie sofort für geschenkt gratis eine Norm mit dieser Konstruktion. Habe ich Ihnen jetzt auch nicht nachgewiesen, sind aber drei Zeilen. Also schnell ein Papier schnappen und aus den Skalarprodukt-Aktionen,

die Norm-Aktionen für das Ding runterschreiben gehen. Schnell. So, sammeln wir noch so ein paar Eigenschaften von Normen und Skalarprodukten. Also wir haben irgendeinen normierten Raum,

also ein Vektoraum mit einer Norm. Dann gelten die folgenden Aussagen für alle x, y und v. Zunächst mal, als jeder sagt, ja das ist ja wohl banal, aber das steht bisher

in den Axiomen nicht drin. Die Norm ist immer größer gleich nun. Wäre ja auch es negative Längen gäbe, haben wir aber in den Axiomen noch nicht drin stehen. Müssen wir noch kurz zeigen, geht aber fix. Und zweitens, ein alter Bekannter aus dem ANA 1, die umgekehrte

Dreiecksungleichung. Norm von x minus y ist immer größer gleich, den Betrag von Norm von x minus Norm von y. Das ist die umgekehrte Dreiecksungleichung. Auch die geht für Normen. Und das Gute ist, wenn Sie den Beweis brauchen, schlagen Sie

das ANA 1 Skript auf, nehmen den Beweis von der umgekehrten Dreiecksunggleichung und pinseln den 1 zu 1 ab. Nur an manchen Stellen müssen Sie halt statt einem Strich zwei Striche hin machen. Aber das ist die einzige Unterschied. Deswegen werde ich den jetzt hier auch nicht weiter vertiefen. Und die Aufgabe für Sie ist, sich zu

überlegen, an welchen Stellen Sie den zweiten Strich brauchen und wo nicht. Das werden wir noch häufiger haben, dass solche Beweise sich 1 zu 1 übertragen. Klar, wir übertragen ja auch gerade eine ganze Vorlesung. Wir machen eine ganze Vorlesung nochmal. Zum A-Teil kurz. Darum sind Normen immer positiv. Das ist ein blöder einfacher

Trick mit der Dreiecksunggleichung. Wir wissen, die Norm vom Nullvektor ist Null. Null können Sie als x-x schreiben. Wenn man Lust zu hat, werfen Sie die Dreiecksunggleichung

drauf. Kriegen Sie das ist kleiner gleich Norm x plus Norm x. Das Minuszeichen machen wir einfach zu einem Plus. Das kann man bei der Dreiecksunggleichung immer machen. Ist ein bisschen brutal, aber macht ja nix. Also kriegen wir raus, dass Null immer

kleiner gleich zweimal die Norm x ist. Teilen Sie die gleichen durch 2 und kriegen Norm x größer gleich. Und wie gesagt, B wie in einer 1 mit. Jetzt habe ich es so eng

geschrieben und gar nicht sieht. Mit Strich, Strich statt Strich. Und dann noch ein Satz zum Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm, den ich hier im Wesentlichen als Werkzeugkasten

zitiere, weil wir ihn dauernd brauchen werden, weiß die lineare Algebra. Ich weiß wahrscheinlich auch noch nicht, weil ich habe mal so in das Skript vom Herrn Brunier geguckt und der macht ganz am Ende von der LA2 so einen völlig allgemeinen Satz namens Cauchy-Schwarzunggleichung,

von dem das hier der Spezial-Spezialfall ist. Aber den verrate ich Ihnen jetzt einfach schon mal und den Beweis sehen Sie am Ende von der LA2. Also wir haben den K-Vektorraum mit Skalarprodukt und zu diesem Skalarprodukt gibt es hier oben immer eine zugehörige Norm.

Und dann sagt die Cauchy-Schwarzunggleichung, wenn Sie sich jetzt zwei beliebige Vektoren

hernehmen und deren Skalarprodukt bilden, dann ist das betragsmäßig immer kontrollierbar, höchstens die Norm vom einen mal die Norm vom anderen. Also Skalarprodukt von zwei Vektoren ist im Betrag nie größer als das Produkt der Norm. Das ist eine obere Kontrolle für Skalarprodukt.

Und man kann sogar genau charakterisieren, wann das gleich ist. Also im Allgemeinen gilt hier kleiner gleich und man kriegt gleich genau dann, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, dann ist es nicht allzu

schwierig, dass dann gleich ist. Wenn y Lambda mal x ist, dann steht da x. Oder wenn x Lambda mal y ist, steht da Lambda mal y mit y. Das Lambda dürfen Sie wegen linear herausziehen. Steht da Lambda y mal y und dann steht die Norm von y schon da. So, aber es sind eben genau nur

die Fälle, wo das Zeug linear abhängig ist. Wie gesagt zum Beweis will ich mich hier vertiefen, den erledigte Herr Brunier für mich oder der Herr Bartsch oder weiß nicht,

wer macht gerade die Englische? Also auf jeden Fall gibt es da freundliche Kollegen. Ah, der Englische war er schon. Ok, danke. Was man hier jetzt auch sieht, es wird den ein oder anderen im Verlauf dieser Vorlesung erfreuen oder ärgern. Das ist ein Effekt,

der vielleicht unerwartet ist. In der ANA 2 wird es anfangen, dass die LR und die ANA so ein bisschen sich verzahnen. Bisher sind die so ziemlich nebeneinander gelaufen und jetzt kommt plötzlich hier was von linear abhängig in der ANA vor. Das ist ein Begriff, der hier bisher nicht so wirklich unterwegs war. Da werden wir noch viel mehr von erleben.

Wir werden noch die eine oder andere Matrix Rechnung hier durchführen. So, das erstmal so ganz zur Einführung zum Begriff Norm kommt immer wieder. Wir werden uns viel mit Normen auseinandersetzen. Nochmal für den Hintergrund. Warum? Die Norm gibt uns

die Länge und über die Länge einen Abstand. Der Abstand von zwei Vektoren ist Norm von der Differenz. Norm von x-y ist der Abstand von x zu y. Und dieser Abstand ist das zentrale Mittel für Analysis. Also man sieht sofort in der Definition ein Grenzwert. Wir müssen

Abstände bestellen, aber sie werden noch sehen. Abstände sind Grundlage von wahnsinnig viel. Das hätte ich aber gesagt. Im Prinzip sind diese normierten Räume ein Spezialfall von dem, was wir angucken wollen, weil wir eben, um so einen normierten Raum zu definieren, einen Vektorraum brauchen. Das ist eine schöne algebraische Struktur, aber es gibt viele Dinge im Universum, die keine Vektorräume sind.

Und ich will einen allgemeineren Begriff haben. Was ich dann vergessen kann, vorhin in der Pause kam schon jemand mit der Idee Norm auf einem Kreis. Norm auf einem Kreis kann nicht funktionieren, formal, weil es kein Vektorraum ist, aber schon einmal auch deswegen. Was mir fehlt,

ist auf dem Kreis einen Anfangspunkt, einen Ursprung. Ich kann hier überhaupt nicht die Länge eines Punktes auf dem Kreis angeben. Was ich nur angeben kann, ist der Abstand zwischen zwei Punkten. Abstände geht, Länge geht nicht. Natürlich sagen wir die Länge der Strecke von Hamburg nach Berlin ist so und so viel Kilometer, aber damit meinen wir einen

Abstand. Eine Länge ist die Länge eines Punktes im Raum. Das ist die Norm. Das ist okay, solange ich eine Vektorraumstruktur habe, weil ich dann einen Ursprung habe, an dem ich den Vektor festkleben kann. In einer allgemeinen Menge habe ich keinen Ursprung. Das heißt, eine Länge eines Punktes kann keinen Sinn machen, sondern was Sinn macht, ist ein Abstand. Was ich jetzt machen will, ist mit Ihnen unsere

naive Vorstellung eines Abstands zu axiomatisieren. Wir brauchen ein Axiomsystem für eine Abbildung, die einen Abstand darstellt. Das ist die Definition 1.11. Also was sind vernünftige Forderungen an einen Abstand? Und das Tolle,

das führt uns dann auf den Begriff der Metrik. So eine Metrik ist ein Abstand. Und das Tolle ist, diesen Begriff kann man definieren auf einer beliebigen Menge. Brauchen wir keine Rechenstruktur, wir brauchen keinen Vektorraum, wir brauchen nicht, wir brauchen einfach eine Menge. Damit es nicht langweilig ist, bitte schön eine nicht leere Menge. Abstände auf der leeren Menge dürfen Sie selber machen. Also wir nehmen uns irgendeine

Menge her, die nicht leer ist. Und dann nennen wir eine Abbildung D. Das heißt jetzt Abstand, Abstand zwischen zwei Punkten. Ich muss je zwei Punkten eine Zahl zuordnen. Ich muss sagen, der Punkt da, der Punkt da, die sind 27 Meter. Also ich brauche eine

Abbildung, die sich zwei Punkte nimmt, die auf M Kreuz M definiert ist und in die reellen Zahlen läuft. Und so ein Ding nenne ich eine Metrik auf M, falls und jetzt brauchen wir auch hier wieder drei Axiome für alle x, y und z aus M, soll gelten. Erstens,

was wir bei der Norm auch schon hatten, definiert halt der Abstand von dem Punkt zu sich selbst ist sinnigerweise Null. Aber sinnigerweise auch, soll unsere Metrik alle Punkte unterscheiden können. Das heißt, wenn ich zwei verschiedene Punkte füttere, soll sie bitte nicht Null

liefern. Weil, wenn ich zwei verschiedene Punkte mit Abstand Null hätte, dann kann die Metrik die beiden Punkte nicht unterscheiden. Dann sind die für die dasselbe und das ist schlecht. Dann ist der Punkt irgendwie weg, der zweite. Also das erste ist der Abstand von zwei Punkten soll Null sein, genau dann, wenn x gleich y ist. Das ist

wieder das, was man Definite nennt. Zweitens, ob ich von x nach y renne oder von y nach x, das soll bitte schön egal sein oder anders formuliert, der Hinweg ist

gleich lang wieder Rückweg, Symmetrie. Und was ist die dritte? Die dritte Bedingung an unsere Metrik, an unseren Abstandsbegriff ist wieder, wenn ich einen Umweg mache,

muss das länger sein. Den Umweg darf sich nicht auszahlen, das wird die Dreiecksungleichung. Wie schreiben wir die Dreiecksungleichung jetzt hin? Naja, der Abstand von einem Punkt zum anderen, den kann ich nicht verbessern, indem ich einen Umweg laufe. Das heißt, wenn ich erst von x nach z gehe und dann von z nach y, dann muss das immer größer

sein oder größer gleich. Das ist die Formel gewordene Idee, der Umweg ist länger als der Direkt. Und das Ding heißt wieder Dreiecksungleichung. So, das ist das

Aktionsystem, das zu einem vernünftigen Metrikbegriff für die Mathematik fehlt. Ganz allgemeines Konzept, ganz bewusst allgemeines Konzept. Wir werden das auch voll ausreizen. So, und wenn man so eine Menge mit so einer Metrik hat, dann nennt man

diese Menge zusammen mit dem Metrik eben einen metrischen Raum. Und in der Vorlesung, im Skript habe ich mich, habe ich es nicht gemacht, mit der Vorlesung schreibe ich

So, Metriken gibt es viele. Wir werden gleich ein paar Beispiele sehen. Natürlich ist jetzt aber erstmal die Frage, wie hängen jetzt unsere Metrik und unser Normbegriff

zusammen? Sinnvollerweise, wenn ich eine Länge habe, wie vorhin schon gesagt, definiert mir diese Länge auch irgendwie meinen Abstand. Im Vektoraum, wenn ich zwei Punkte habe, ist der Abstand von den beiden Punkten. Nehme den Verbindungsvektor y-x und

nehme davon die Länge. Sinnigerweise sollten wir also zeigen können, dass an irgendwelchen Normen auf die Weise eine Metrik entsteht. Das werde ich jetzt tun, zusammen mit noch ein paar anderen Eigenschaften von Metriken. Das ist der Satz 112. Also wir haben einen metrischen Raum, also eine Menge M mit einer Metrik D und wir haben einen normierten

Vektoraum, einen Vektoraum V mit einer Norm. Dann, ähnlich wie gerade eben, steckt nicht in den Axiomen drin, müssen wir noch zeigen. Der Abstand zwischen zwei Punkten wird nie negativ.

Schauen Sie sich die Axiome nochmal an. Steht formal nicht da. Steht nur da, wenn es null ist, aber nicht, dass es positiv oder negativ sein soll. Geht aber genauso wie gerade bei Normen recht einfach zu zeigen. Aus den Axiomen folgt sofort eine Metrik, das ist immer positiv. Dann, zweite wichtige, schöne Eigenschaft von Metriken. Wenn Sie eine

Metrik auf einer Menge haben und Sie gehen zu einer Teilmenge über, dann kriegen Sie da automatisch auch eine. Und zwar einfach durch Einschränkung gnadenlos. Also wenn Sie

sich eine Teilmenge von M hernehmen, ich nenne die mal N. Und jetzt nehmen Sie Ihre Metrik, die ist ja auf M Kreuz M definiert und schränken die ein auf N Kreuz N, dann behaupte ich, das ist dann eine Metrik auf N. Das ist ein großer Vorteil gegenüber Normen. Wenn Sie

einen Vektoraum haben und eine Norm drauf, wenn Sie jetzt irgendeine Kartoffel in den Vektoraum nehmen, das weiß ich, den Tisch hier im R3, dann ist es natürlich kein Unter- Vektoraum. Insofern haben Sie da auch keine Norm drauf. Aber eine Metrik. Metriken kann man sofort einfach einschränken und es wird wieder eine Metrik. Die heißt dann auch,

die nennt man dann üblicherweise die induzierte Metrik. Also die auf N, die Metrik auf N induziert eine auf N und Notation nicht einheitlich, aber wenn mir sowas mal rausrutscht,

D mit Index N ist so eine relativ übliche Notation für diese Einschränkung der Metrik, um nicht immer D eingeschränkt auf N Kreuz N schreiben zu müssen. Das B hört sich toll an,

ist toll, ist aber, wenn man sich überlegt, wenn man es beweist, eigentlich eine totale Banalität. Wenn man sich die Aktionen von der Metrik anguckt, dann sind es lauter Allaussagen. Für alle x, y aus N gilt irgendwas. Wenn es für alle x, y in N gilt, gilt es natürlich auch für alle x, y in N, wenn es eine Teilmenge ist. Also der Beweis ist

Haken dran. Aber es ist eine schöne Eigenschaft von einer Metrik, weil man eben auf die Weise, sobald ich einen metrischen Raum habe, eine Menge mit der Metrik habe ich auf jeder Teilmenge ein. So und jetzt noch das gerade angekündigte dritte. Wenn Sie einen

normierten Raum haben, jede Norm erzeugt Ihnen eine Metrik und zwar genauso wie gerade eben gesagt. Wie bestimmen Sie den Abstand von zwei Vektoren? Sie schauen sich die Differenz an und bestimmen davon die Normen. Also wenn Sie auf diese Weise für jedes x paar x, y aus V das D

definieren, dann gibt es eine Metrik. Das heißt, ich kann diesen Tisch hier im R3 nicht mit einer Norm ausstatten, aber ich kann ihn mit einer Metrik ausstatten, nämlich mit der Metrik, die durch die Norm im R3 gegeben ist und davon dann die induziert. So, Beweis davon,

der A-Teil ist im Prinzip eine Kopie von dem A-Teil, der noch da oben steht, dass da oben war die entsprechende Aussage für Normen. Im Prinzip hätte ich vorhin sagen

können, warten Sie kurz, wenn wir jetzt hier A und C bewiesen haben von dem 1,12, haben Sie das Ding von oben automatisch. Aber beweisen wir es halt nochmal, das Argument ist genau das gleiche. Für alle x, y in M starten wir wieder mit dem Abstand von x zu x, von dem wissen wir,

der ist 0, das ist die Metrik A 1. Jetzt kommt die Dreiecksungleichung, das ist kleinergleich D von x, y plus D von y, x. Wenn Sie in Umweg laufen, wird das höchstens länger. Jetzt

können Sie die Symmetrie verwenden, dieses D von y, x dahinten ist dasselbe, das ist Metrik A 2, WD von x, y, also steht hier eigentlich zweimal der Abstand von x zu y, jetzt dividieren Sie die zwei raus und dann haben Sie da stehen, Abstand von x zu y,

das ist größergleich 0. So, jetzt ist also im Wesentlichen jedes Normaxium einmal drauf geworfen und dann ist das. Kriegt man das? Zu B habe ich schon alles gesagt, alle Aussagen auf M, geben alle Aussagen auf N, bleibt noch C, also warum erzeugt uns jede

Norm eine Metrik? Was wir tun müssen ist, dass wir für diese Bildung, Norm von x minus y, die drei Axiome hier nachprüfen, Definitätssymmetrie und Dreiecksunggleichung

und dann werden wir sehen, jeweils die Normaxiome liefern uns die entsprechenden Metrik eignet. Also wir brauchen zunächst die Definitei. Definitei hat wieder zwei Implikationen, wir müssen zeigen, wenn x gleich y ist, dann ist die Abstand 0 und so weitens, wenn der Abstand 0 ist, ist x gleich y. Also für x gleich y ist der

Abstand von x zu y nach Definition unserer durch die Norm gegebenen Metrik, Norm von x minus y. Es ist aber x gleich y, also ist das die Norm von 0 und die Norm vom 0-Vektor ist 0. So und andere Richtung, wenn sie wissen, dass der Abstand von x zu y 0 ist, dann

ist, wenn der Abstand ist definiert als die Norm von der Differenz, dann ist x minus y 0. Jetzt benutzen sie die Definitei der Norm. Von Norm wissen wir schon, wenn

die Norm von dem Vektor 0 ist, dann ist der Vektor selber 0. Also ist dann x minus y gleich 0 und das liegt an der Definitei der Norm. Und jetzt müssen sie nur noch

im Vektoraum rechnen, dann kriegen sie das x gleich y. So, das war M1. M2 Symmetrie geht ganz schnell. Der Abstand von x zu y ist nach Definition die Norm von der

Differenz. Ich will am Schluss Abstand von y zu x dastehen haben, ich will also x und y tauschen. Das mache ich, indem ich die Minus 1 rausziehe. Jetzt ist die Norm aber homogen. Das ist die zweite Aktion bei den Normen. Das ist also Betrag von Minus 1 mal y minus x. Der Betrag von Minus 1 schenke ich gerne her, der bringt

nicht viel, ist die Norm von y minus x und das ist der Abstand von y zu x. Also ist die Metrik auch symmetrisch oder diese Funktion, die wir über die Norm definiert haben und der wir hoffen, dass es eine Metrix ist, auch symmetrisch.

Bleibt noch die Dreiecksungleichung. Die Dreiecksungleichung für die Metrik folgt direkt aus der Dreiecksungleichung für die Norm. Also wir haben Abstand von x zu y und wir wollen jetzt noch ein z reinschieben und das ganze abschätzen durch Abstand von x zu z plus Abstand von z zu y. Wir wissen, unser Abstand ist

definiert als die Länge des Vektors x minus y. Jetzt müssen wir das z reinschmuggeln. Naja, das macht man auf die auf die übliche, wir addieren die richtige Nullweise. Dann Dreiecksungleichung für

die Norm. Die Norm erfüllt die Dreiecksungleichung, ist Norm von x minus z plus Norm von z minus y. Das ist nach Definition unserer Abbildung d der Abstand von x zu z plus der Abstand von z zu y und wenn sie

jetzt ganz pingelig sind, nutzen sie noch die Symmetrie, die wir oben schon gezeigt haben, ist d von x z plus d von z y. Ne, das steht schon richtig da. Alles gut. Alles so, wie es soll. Gut. Also ist das Ding

auch, erfüllt auch die Dreiecksunggleichung und damit haben wir, dass uns jede Norm eine Metrik erzeugt. In dem Sinne ist also das, was ich vorhin sagte zu verstehen, die Norm sind Spezialfall von Metriken, wenn sie Norm haben, dann sind wir eine Metrik. Nicht aber umgekehrt, das ist

tatsächlich Metriken gibt, die nichts mit Normen zu tun haben. Machen wir dann im nächsten Beispiel. Das findet dann am Donnerstag statt. Bis dahin danke ich für die Aufmerksamkeit und ich hoffe, ich mache jetzt das Skript möglichst schnell nachher online.