Ein herzliches Willkommen heute zum weiteren Betrachten von Kurven und dann dem Einstieg

wirklich in Differenzierbarkeit in mehreren Variablen. Vielleicht einfach noch mal so zum Warmlaufen, was haben wir in der letzten Vorlesung gemacht. Wir haben uns um Kurven beschäftigt, also mit stetigen linearen Abbildungen von einem

Intervall in R. Das muss jetzt kein kompaktes sein. Für die Betrachtung, die ich gerade mache, bin ich gerne kompaktes Intervall ab. Allgemein in irgendeinem metrischen Raum, wenn wir das Zeug differenzieren wollen, nach Kd. Also Bild, was man im Kopf haben

sollte, ist das von einer Flugbahn fliegt entlang der Spur von Gamma des Weges nach Gamma von B. Dann haben wir solche Kurven abgeleitet, die differenzierbar waren.

Gamma Strich von T war für jedes Te bis Kd. Also wenn hier Gamma von T ist, war Gamma Strich von T der Tangentialvektor, der, wenn man sich das jetzt wieder vorstellt,

Teichfliege dieses Weg entlang gemäß Kurve Gamma, dann ist das jeweils der Geschwindigkeitsvektor an der Stelle. Und wir hatten da noch die Länge von Gamma definiert. Länge einer Kurve heißt die Norm der Geschwindigkeit integral von a bis b über die Norm von Gamma Strich von T.

Da waren wir am Schluss stehen geblieben und hatten uns noch ein Beispiel, ganz

Also Kurve von, definiert auf die mittlerweile 0,2 Pi nach R2, die gegeben ist durch R mal Cosulus T, R mal Sinus T. Da hatten wir uns die Kurvenlänge, das ist die Kurve, die hier bei 1,0 bei R0 startet und dann einmal

in positiver mathematischer Richtung den Preis umläuft. Wir haben uns angeschaut,

die Länge ausgerechnet und festgestellt, da kommt so ein Sinus 2 Pi ab. An der Stelle will ich jetzt noch kurz mit Ihnen den Begriff an der Länge einer Kurve diskutieren, weil an der Stelle jetzt die Frage, wie man die Kurve beschreibt, eine Rolle spielen könnte oder spielen kann und man jetzt auch noch mal stark

zwischen Spur und Kurve unterscheiden muss. Auf den ersten Blick sieht es so aus, das würden wir hier gar nicht die Länge von der Kurve, sondern die Länge einer Spur. Wir rechnen die Länge dieser Kreislinie, das heißt die erste Frage ist, wenn ich jetzt die

gleiche Spur habe, aber ich beschreibe die anders, ist dann diese Länge überhaupt eine vernünftige Größe. Also zum Beispiel könnten Sie diese einfache Kreislinie ja auch ganz anders parametrisieren, oder was heißt ganz anders, hier ist es natürlich ein nahes Beispiel, wie man es anders parametrisieren könnte.

Nehmen Sie eine Kurve, ich nenne die bei Gamma Schlange von T, die ist also auch von einem Intervall nach R2, ist R Sinus von 2T, R Sinus von 2T, aber jetzt nehmen Sie T nur aus einem Intervall von 0 bis Pi.

Was macht diese Kurve? Sie läuft genauso einmal um den Kreis herum, wenn Sie T gleich 0 einsetzen, sind Sie wie ein R0, wenn Sie T gleich Pi einsetzen, sind Sie bei Cosinus von 2P und Cosinus von 2T, die macht genau das Gleiche, nur doppelt so schnell.

Das Teilchen fliegt genau in die gleiche Kurve, nur mit doppelter Geschwindigkeit und die Spur von den Dingen sieht genauso aus. Wenn unser Längenbegriff irgendwie sinnvoll ist, dann sollte bitteschön hier auch 2P nachher ans Längen kommen. Können

wir hier mal ausrechnen, passiert, ist alles gut, Länge von Gamma Schlange, das müssen wir tun, jetzt müssen wir nur von 0 bis Pi integrieren, über die Ableitung von Gamma Schlange, den Raum davon. Wenn man das macht, stellt man fest, wenn man hier ableitet, also wir nehmen den 2 noch, kriegen

wir als Kurzlos der Ableitung von der ersten Komponente, Ableitung der ersten Komponente ist 2R Sinus von T, das ganze Ding zu Quadrat, plus Ableitung der zweiten Komponente ist 2R, Minus 2R Cosinus von T zu Quadrat.

Okay, haben wir jetzt hier ausrechnet, stellt man fest, was dabei herauskommt, ist 2 mal Integral von 0 bis Pi, R Quadrat Sinus Quadrat, plus R

Quadrat Cosinus Quadrat, plus R und T, also wir nützt nur die 2, die sich in der Länge des Intervalls haben, kriegen sie aus der Ableitung raus. Das ist ein ganz allgemeines Prinzip und es muss auch so sein, so eine Spur können Sie auf 100

verschiedene Weisen definieren, das haben wir einmal gemacht, das Ding läuft in der Zeit 2Pi einmal rum, einmal gemacht, das Ding läuft in der Zeit Pi doppelt so schnell einmal rum, jetzt können Sie es natürlich auch am Anfang langsam laufen lassen, und dann machen wir es schnell, wie Sie wollen, 100.000 Möglichkeiten und alle die müssen gefälligst

auf dieselbe Länge führen, und dass Sie das tun, kann man ganz allgemein nachrechnen, also das kann man ganz allgemein machen, wenn Sie eine

Kurve haben, dann ist der Wahl AW nach K differenzierbar, damit wir die Länge ausrechnen können, und jetzt parametrisieren Sie die irgendwie um, also

enden, enden die Kurve ab, ohne die Spur abzuändern, was heißt das, das heißt, Sie definieren die Kurve und die Umstände auf 100.000. Das kann man auch mit einem anderen Intervall, aber mit den gleichen Bildpunkten, das lässt sich modellieren,

indem Sie eine Abbildung Pi haben, von einem neuen Intervall Alpha Beta auf das alte Intervall AW, ebenfalls differenzierbar, und dann können Sie sich anschauen, die neue Kurve Gamma Schlange als Gamma nach Pi,

das heißt, die ist als Verkettung von differenzierbaren Abbildungen wieder differenzierbar, und die Spur von dem Ding, die

Spur vom Gamma Schlange, ist eigentlich nur vom Gamma, das Pi ist biaktiv von Alpha Beta nach AW, das heißt, wenn es mit Alpha Beta nach AW abgebildet wird, jetzt mit Gamma rübergehen, ist das die.

Dieses Pi, keine neuen Nullstellen der Ableitung, reingepickelt, dieses Ding haben wir gestern schon, Ableitung Null bei einer Kurvekarte, und erwartete Dinge erzeugen, also ich fordere noch, dass die Strich

von Pi umgleich Null ist, für alle T-Aushaltungen, also, dass Pi in irgendeiner Strich umgewachsen wird.

Also, zwei verschiedene Darstellungen der selben Spur, mit verschiedener Kurve, der Ball definiert wird, aber die Spur ist dieselbe, das Teilchen abläuft, ist dieselbe, er läuft nur in der anderen Schwierigkeit ab.

So, dann ist diese kombinierte Kurve Gamma Schlange differenzierbar, und sie hat die gleiche Spur, von Gamma Schlange, sowas, so eine Konstruktion nennt man eine Gutparametrisierung der Kurve,

die neue Kurve, wenn ihr das Teilchen nicht gleich kriegt, fliegt nur die Grundstätte in der T-Aushaltung, oder auch die Grundstätte im Knall.

Wenn man sich jetzt die Länge von dieser Kurve Gamma Schlange anschaut, dann ist die nach der Funktionsregel von Alpha bis Beta, für die Norm von Gamma Schlange Strich von TNT,

für die Norm von Alpha bis Beta, Gamma Schlange Strich können Sie nach der Kettenregel ausrechnen, die Ableitung Gamma Schlange ist nach der Kettenregel die Ableitung Gamma an der Stelle Phi,

Strich von T ist eine skalare Größe, Phi ist eine Funktion von Intervall auf Intervall, die eine Funktion, Strich, die können Sie also mit Betrag aus dem Rauch rausziehen, da steht Ihr Betrag wie Gamma Strich, direkt vor der Tür, dann noch ein

Problem, dass der Betrag nicht da wäre, dann wäre es die Substitutionsregel nach Beta,

also haben wir noch eine Fun-Unterscheidung und das Schöne ist, weil das Phi in der Ableitung keine Nullstelle hat, ist dieses Phi Strich entweder stricke negativ oder stricke negativ, Nullstelle haben ist eine Ableitung, also das Ding ist entweder negativ oder negativ, das heißt wir haben nur zwei Fälle.

Wir müssen jetzt nicht das Intervall in dem Bereich einteilen, wo wir das Problem diskutieren, wir haben einfach nur zwei Fälle, entweder unser Phi ist grundsätzlich wachsend oder grundsätzlich. Im ersten Fall, wenn das Phi Strich positiv ist, weglesen lassen, steht hier das Betrag

von Alpha bis Beta, wenn das Phi negativ ist, dann müssen wir das Minus Phi schreiben,

wenn Alpha steht hier Minus, bedeutet jetzt Phi Strich der Ball von Alpha bis Beta

und bildet das Phi, die stetig differenzierbar ist, entweder mit Positiv oder mit negativer Ableitung,

das heißt, damit es zwei Möglichkeiten entweder unser Phi hat gestrickt Positiv, wenn sie in dem Fall hier sind, dann wird das Alpha aus A abgebildet, das Beta aus B,

wenn sie im Phi Strich kleiner Null Fall sind, dann ist die Abbildung befallend, dann wird sich das Intervall sozusagen umdrehen, dann wird das Alpha aufs Beta abgebildet, aufs B abgebildet und das Beta aufs A.

Dementsprechend, das heißt, dass für die Kurve, für die Kurve heißt das, dass hier für die Kurve

Gamma ist, so rum, dann heißt das, wenn sie so die unparametrischen Phi mit positiver Ableitung haben, dann ist Gamma Schlange von Alpha hier und Gamma Schlange von Beta hier, wenn sie im

Fall negativer Ableitung sind, dann ist Gamma Schlange von Beta hier und Gamma Schlange von Beta hier,

das heißt, im Falle von der negativen Ableitung dreht sich die Durchlaufrichtung der Kurve um, dann läuft die Kurve nicht von der einen Kurve, von der anderen Kurve um. Deswegen nennt man Unparametrisierung mit positiver Ableitung orientierungserhaltender

Unparametrisierung, das heißt, die Orientierung der Kurve erhalten, die Blauen, also die mit negativer Ableitung, die heißt Orientierung, sind im

Zusammenhang häufiger aufgetaucht, aber eigentlich waren wir dabei, diese Länge zu bestimmen, wir könnten jetzt in jedem der Fälle hier wunderbare Substitutionsregeln draufladen, also es substituieren S

gleich Phi von T und wenn Sie Phi gleich S gleich Phi von T substituieren, dann kriegen Sie im ersten Fall S mit dem A von A bis B, Phi von Alpha ist A, Phi von Beta ist

B in dem Fall, Gamma Strich von S mit der Norm und aus dem Phi Strich von T dt wird genau die S. Im zweiten Fall ist ein Minuszeichen, Phi von Alpha ist in dem Fall B, Phi von Beta ist in dem Fall A, hinten passiert das gleiche noch.

Und jetzt sieht man, die beiden Fälle unterscheiden sich eigentlich gar nicht mehr, weil das Minuszeichen legt

mir genau wieder das mit dem A um, das heißt, in beiden Fällen rauskommt das mit dem A, das also rauskommt ist, durch die Unparametrisierung ändert sich die Länge. Was dann passiert ist nichts, das ist Substitutionsregeln.

Aber was das anschaulich bedeutet ist, wenn Sie eine Kurve Schnellschuss fahren, der jetzt nahe liegt, gar nicht stimmt, damit man aufpassen muss,

Man könnte jetzt auf die Idee kommen, die Länge ist ja auch gar

keine Eigenschaft der Kurve, sondern eigentlich ist es schon eine Eigenschaft der Kurve. Hier ist das, was man gesehen hat, ist das bescheuerte Beispiel, indem sich mit dem Einheitskreis einfach

zweimal rum, indem sich die Kurve Gamma Qt definiert auf dem Intervall von 0 bis 4P nach A2,

Gamma Qt, das geht schon die ganze Zeit, groß macht diese Kurve, startet auch wieder in R0, läuft

von 0 bis 2P einmal in den Kreis rum und läuft von 2P bis 4P, markiert das mal so.

Natürlich, wenn es einmal um den Kreis kommt, ist die Spur die gleiche wie die Spur bei der anderen, war ja einfach nur die Länge der Bildpunkte. Die Spur selber können Sie nicht entnehmen, wie oft das Ding da rumkommt. Im Sinne ist also auch die Länge nicht nur eine Eigenschaft der Spur, sondern sie ist eine Eigenschaft der Kurve.

Sie ist aber inder, Sie kann nicht an der Spur allein die Länge der Kurve, das ist Gamma Qt, das ist jetzt 4P-R, das ist mehrfach umlaufend.

Dann wird uns das Problem berühren, mit wem das Kurve das könnte. In gewisser Weise ist die Länge fast nur eine Eigenschaft der Spur und unter dem ist die Spur.

Ich will jetzt noch auf einen Zusammenhang hinweisen zu dem Kapitel, das wir vorher hatten.

Man kann sich vorlesen und überlegen, kann man jetzt matematisch beschreiben, dass so eine Menge ein Klumpen ist? Hat das kurtopologische Eigenschaft oder keine Zerlegbarkeit? Eine zweite sehr elegante Möglichkeit zu definieren.

Zusammenhängen, wenn ich je zwei Punkte kriege, ist auch eine Möglichkeit sich Zusammenhang vorzustellen. So eine Menge ist jedenfalls zusammenhängendes. Wenn ich für 2G zwei Punkte eine Kurve finde, die in der Menge liegt und die beiden kapiteln.

Und wenn eben die Menge nicht zusammenhängt, weil die Kurve ja nach der Funktion stetig sein muss, werden Sie keine Kurve finden, die hier losläuft und da ankommt, geht eben nicht. Das ist nicht stetig. Das liefert einen weiteren Zusammenhangsbegriff, den ich jetzt hier wirklich nur erwähnen will,

den ich damit aufhalten kann, aber der ist an verschiedenen Stellen auch wichtig. Den kann man wieder in den benötigen metrischen Raum formulieren. In den metrischen Raum M heißt M zusammenhängen.

Das gilt, was ich gerade gesagt habe, für jede Wahl von X und Y aus M. Es gibt eine Kurve, die die beiden verbindet. Also es muss eine Wahl geben und eine Kurve, die beiden verbindet.

Also Gamma von A muss X sein. Gamma von Definition, eine Kurve muss G liegen.

Und deswegen ist das hier eine Methode, zusammenhangsbegriffieren. Die Menge zusammenhängt, die zwei beginnige Punkte immer durch den Begriff. So, jetzt würden Sie sich zurecht fragen, warum habe ich jetzt nicht einen Satz formuliert,

die Menge ist zusammenhängt, genau, dann wäre die Eigenschaft gilt. Den habe ich aus guten Grund. Sondern warum hat er einen neuen Begriff eingeführt, der aber anders heißt? Intuitiv denke ich mir dann klar, Funmeng ist zusammenhängt, Begriffe fallen,

die Nuancen auseinander. Wenn Sie jetzt denken, ja, das Beispiel ist garantiert wieder irgendein bogischer Diskret. Trotzdem gibt es ein paar Zusammenhänge da,

wesentliche Zusammenhänge, wie die eben kurz als Satz 11 hinschreiben. Dann weiß sie, ihr nächstes Übungsblatt. Implikation gilt immer. Wegzusammenhang ist die stärkere Bedingung. Aus Wegzusammenhängen folgt unser Zusammenhang.

Die Wegzusammenhänge im ethischen Raum sind zusammenhängt. Das Problem ist die Umkehrung. Es gibt tatsächlich zusammenhängende Mengen, die nicht Wegzusammenhängen sind. Das Problem, was da da auftritt, ist, die sind zwar irgendwie zusammenhängt, aber so fragil, dass sie es nicht schaffen,

durch diese minimal zusammenhängenden Mengen, die noch entstehen. Also man kann zusammenhängende Gebilde bauen, die so fragil zusammenhängend sind, dass sie nicht mehr Wegzusammenhängen sind.

Trotzdem natürlich die spannende Frage, kann man jetzt garantieren, dass so ein Quatsch nicht auftritt, oder dass es gar nicht so schwer ist. Diese Rückrichtung ist im Allgemeinen falsch, aber sie wird richtig für offene Teilmengen von normierten Raum.

Wenn diese Menge eine offene Teilmenge eines normierten Raums ist und zusammenhängt, dann ist sie auch nicht so.

Sie gilt auch nicht allgemein im Normierten Raum. Der Zusammenhänge, der ist nicht in diesem Begriff des Wegzusammenhängens,

kann es nur nutzen. Damit habe ich das, was ich im Moment für Proben sage, für Proben sage gelacht, beschlossen. Ich will jetzt zum eigentlichen Kern dieses Kapitels vordringen und dieses Teils unserer Folisung vordringen.

Unser Ziel ist ja, wir bleiben im Hintergrund. Wir haben uns jetzt eine Stiebigkeit, eine ganz Menge, aus einer Funktion in mehreren Variablen ausstellen.

Das Ganze ist ein bisschen komplizierter als ein Dimensional, und ich will ihn jetzt zum Anfang vom nächsten Abschnitt

ein bisschen motivieren. Was die Schwierigkeit ist. Erst mal die Generalvoraussetzung.

Wenn wir ganz viele Funktionen im RD anschauen, brauchen wir die Definitionsbereiche. Und der Definitionsbereich in der Funktion wird immer eine offene Teilmenge des RD sein, und nicht mal grundsätzlich der RD offen.

Deswegen, weil die Definizierbarkeit beschäftigt wird, also das mit Punkten näher, ein bisschen die Mieten anschauen, und eine offene Menge kann man das RD schön, weil hier ist die Stufe schon eine Menge liegen. Und der Ziel der ganzen Angelegenheit ist,

der Anleitungsbegriff,

die jetzt auf G definiert ist, in der Vorstellung, bitte immer, die Teilmenge R2, bis auch jetzt.

Wenn ich weiß, was es ist, dann ist natürlich die erste Idee, man startet von dem, was man hat. Die Anleitung letztes Semester definiert, Anleitung von der Funktion,

Linus vom Differenzquotient, also der Linus x gegen x0, soweit nix schlimm ist, Grenzwert im RD über nix, Linus f von x0, durch x gegen x0, oder, wenn man mal einen Anspruch stellt,

man fässt der Versuch so ein bisschen, dass was da steht, der den Nachteil hat, nicht nur der Linus, insbesondere ohne den Linus, das ist der Schock. Oder was geht denn da? Im Zähler, f bildet RD nach RP ab,

also steht in dem Zähler, die Linus von f, also ein Vektor in RP, Linus Vektor in RP, das ist ein Element. Im Nenner steht x gegen x0, oder dieses h, x gegen x0, x gegen x0, beides Vektoren im Definitionsbereich, also in RD, also dieses h ist ein Vektor in RD. Jeder der mir erklären kann,

ich meine, ein Vektor in RP, durch ein Vektor in RD-Teil, kriegt ein Preis, aber ein Problem. Also, so geht es nicht.

Teilen durch Vektoren ist nicht. Also doch, natürlich in einem Wissen gibt es einen Spezialfall, nämlich für D gleich 1. Ja, 1 Vektoren können wir teilen, aber den Fall haben wir ja im letzten Kapitel abgefrühstückt.

Genau, den Fall D gleich 1, das ist der Fall von Bohrung, den haben wir im letzten Kapitel abgefrühstückt, der interessiert mich und braucht D größer als 1.

Jetzt kann man natürlich sagen, was ist das für ein dummes Argument? Was heißt das? Das sieht man ein, irgendwie formal geht es nicht, aber ist das jetzt ein kleines formales Problem? Oder steckt da auch irgendeine Struktur oder irgendwas dahinter, was tatsächlich,

ja, was man sich auch vorstellen kann? Da ist es vielleicht gut, sich wieder an dieses Bild von der Landschaft zu erinnern.

Hier ist es immer die Links. Das heißt, bei der Links ist es ein bisschen überquält. Ganz gruselig, da gehen wir mal nach rechts hin.

Was ist denn? Was ist denn die Ableitung? Die Ableitung soll noch sein, sozusagen eine Änderungsrate der Funktion der Leitung. Wie viel ändert sich? Ich kann es jetzt vorstellen,

man ist als Wanderer in einem Gebäude unterwegs. Was ist denn die? Die ist sehr vielschichtig. Das kommt sehr darauf an, welche Änderungsrate,

die ist sehr vielschichtig. Die hat uns langsam mehr konzipiert

und bei der Änderungsrate die Steigung hängt davon ab, welche Richtung ich gucke, dann schaue ich doch erst mal in dort eine Richtung.

Dann halte ich noch mal eine Richtung fest. Wenn ich in eine Richtung schaue, in die Richtung gibt es eine schöne Steigung. Die wollen wir uns erst mal anschauen. Das führt auf den Begriff der sogenannten Richtungsableitung. Das ist die Ableitung, das kriegen wir, wenn sie übergestimmt wird.

Die können wir dann,

der wir uns jetzt starten wollen, ist, leite nur in eine Richtung. Ich kann Ihnen gleich dazu sagen, was dabei herauskommt,

ist ein sehr, sehr praktisches Süßmittel und das ist für die ganze Theorie höchst zentral, aber es ist nicht. Der weiß halt jetzt das Schluss. Dann werden wir jetzt diese Methode der basierten Ableitung und der Richtungsableitung präsentieren. Die werden wir auch brauchen. Die ist kein Rolltrip hier,

aber wir werden am Schluss feststellen, sie liefert keine brauchbare Theorie. Also es gibt sozusagen dieses strukturelle Problem, dass man die Ableitung nicht so einfach definieren kann, anzugehen, im Prinzip, zwei Lösungsansätze. Das eine ist jetzt diese Idee mit den Richtungsableitungen, die führt auf einen Ableitungsbegriff,

den man gut ausrechnen kann, noch nicht rechnen kann, der aber leider eine saumäßige Theorie. Wenn Sie nur diese Richtungsableitung haben und nicht mehr in der Infektion wissen, dann haben Sie die Richtungsableitung. Eigentlich gibt es die zweite, den zweiten Ableitungsbegriff, mit dem wir uns danach

beschäftigt werden, und dann eine totale Ableitung. Die hat eine super Theorie. Die ist eigentlich die wahre Verallgemeinerung der Einigung. Deswegen machen wir drei schrittig. Wir arbeiten erst Richtungsableitung ab,

totale Ableitung, und dann überlegen wir uns eine Verbindung zwischen den beiden, und dann werden wir feststellen, wenn wir die basären Ableitungen ausrechnen, die sind schön, dann garantieren uns, dass das Vitale auch existiert und sich aus den Richtungsableitungen ergibt, und dann haben wir alles. Das ist eine schöne Theorie.

Deswegen brauchen wir beide das. Um die basären Ableitung, die Richtungsableitung, rechnen zu können, und wir brauchen die totalen Ableitungen, um diese ausgerechneten Ableitungen irgendwie zu repräzieren. Das ist das Programm für die nächsten drei Wochen. Wenn wir jetzt alles wieder vergessen, werde ich auch wieder immer wieder darauf zurückkommen.

Jetzt erst mal ableiten. So, was macht man da? Visualisieren, was man tut. Die Idee habe ich schon gesagt.

Sie stellen sich auf ihr Gebügel, in den Punkt, gucken in die Richtung und schauen, wie stark es aufgeht. Also was tun wir?

Wir stellen uns an eine Stelle x0 im Depressionsbereich.

Also hier ist eine Funktion, die auf der 2 definiert ist. Und die Stelle x0 ist in diesem Bild hier der Nullpunkt, Stelle Null, also das Polymatenkreuz darunter. Und jetzt gebe ich mir, das ist der Punkt in Richtung zerblendet, ich gebe mir eine Richtung vor. Ich gucke in Richtung V.

Das heißt, ich gucke in Richtung V. V liegt in dem Bild hier in Richtung der der x-Achse. Das werde ich auch noch fragen.

Ich stehe in Nullpunkt. Also wenn ich mir vorstelle, ich stehe in Gebilde, stehe ich hier an dieser Stelle. Ich schaue in Richtung der x-Achse. Also ich stehe in diese Gebilde und schaue in diese... Was ich jetzt mache ist, ich schaue, wie stark steigt die Funktion an, wenn ich in diesen Punkt in diese Richtung schaue. Das heißt, ich nehme diese Ebene hier.

Jetzt steht diese Ebene mit der Funktionstrafe. Das ist jetzt eine Einstellung. Das heißt, ich schreibe meine Differenzen vorziell hin und einschränke sozusagen

auf die x-Achse und nütze dort konstant Nullsetzung beziehungsweise hier ist jetzt die Ebene. Hier habe ich jetzt eine allgemeine Stelle x0, die für mich zufällig Null ist. Also ich gehe von meinem Punkt x0 ein Stückchen in x-Richtung für eine Richtung. Ich schaue um die x gegen die x.

Ich nehme eine Funktion L an der Stelle x0, gehe ein kleines Stückchen Richtung V.

a ist wieder ein Parameter, der gegen Null geht. L von x0 plus h mal V ist ein Stück nach links oder rechts auf diesen Schnittgrafen gegangen. Minus L von x0 und ich schalte durch h.

Grenzenprozents für diese Einrichtung. Für diese Funktion von R nach R die Sie kriegen, das steht hier eben. Was? Und wenn der existiert, x0 Richtung V

bezieht sich jetzt nur in eine Richtung. Und dieses Ding hier, nennt man dann die Richtungsableitung.

Notiert wird, dass es keine ganz, also da gibt es verschiedene und nicht verschiedene mehr oder weniger Standardnotationen. Eine relativ übliche ist Grundes D Index V für die Richtung F in der Stunde. Als Ableitung von F in Richtung V an der Stunde. Grunde B als Zeichen

fürs Differential in Richtung V für dieses Ding Das ist jetzt das ist jetzt Vektor in Rp. Also Vektor in Rp. Und diese kurzen Sequenzen machen Sinn.

Oben stehen Vektoren in Rp, Bilder von F. Das heißt aber, in der Skalarengröße sind die Zahlen die Zahlen. Das heißt, durch das h, was da steht, h mal v ist ja einfach in der Skalarengröße dazu genutzt. Das heißt,

ich habe einen Vektor in Rp geteilt in den Zahlen. Das ist Vektor in Rp. Dieser Vektor, der heißt der Richtungsableitung

um Richtung Rp.

Ich habe jetzt hier so einen Differenzinfuzienten Vektorschreibweise hingestiegen. Ich habe gesagt, das ist im Prinzip ein Differenzinfuzient über eindimensionalen Funktionen, die Sie hier kriegen. Dass das so ist, lade ich Sie ein,

dass das, was hier steht, eine eindimensionale Ableitung ist. Oder die Ableitung von der Funktion einer Variablen. Nehmen Sie sich das x5 durch h mal v

und g liegt als f von x0

dasselbe wie dieses h, g, v hier. Die Frage ist,

soll man eine Ableitung in Richtung des Nullvektors oder soll es eine Ableitung in Richtung des Nullvektors sein? Andererseits kann man hier

erstmal hinschreiben, sei v eine Richtung und bitte v nicht 0. Deswegen habe ich mich hier entschieden, die Definition die Definition macht wunderbar Sinn, wenn v eine Nullvektor ist. Wenn v eine Nullvektor ist, steht da oben f. Was da rauskommt ist, jede Funktion, gar nicht wüsst sich, es ist an jeder Stelle

abrichtungsabhängig des Nullvektors. Es bringt auch niemanden was. Aber es ist schade nix. Deswegen ist also hier die Richtung, der Nullvektor in Richtung zugelassen. Im Wesentlichen, damit ich ab jetzt nicht immer aufpassen muss, dass es Null abschließt.

Nullvektor ist einfach ein Nullvektor. So. Das ist der D-Ableitung. Es gibt natürlich

die D-Ableitung ist gleicher als andere. Wunderschön. Normalerweise gestandene Farben.

Ich würde jetzt gerne in die zweite Hälfte einsteigen und zu dem Begriff kommen, der dem ganzen Abschnitt den Namen gegeben hat.

Nicht der partiellen Ableitung, sondern die Richtungsableitung definiert. Aber die partielle Ableitung ist konzeptionell überhaupt nichts Neues. Wichtig ist, dass man die Idee in der Richtungsableitung verstanden hat. Weil die partielle Ableitung ist einfach ein Nullvektor. Das ist ein Nullvektor. Das ist ein Nullvektor. Das ist ein Nullvektor. Partielle Ableitungen sind einfach ganz spezielle Richtungsableitungen.

Das sind die Richtungsableitungen in Richtung der Koordinatenachsen. Das wird sich nach einigen Mühen in den nächsten Wochen rausstellen, dass wenn die Funktion kraft genug ist und man kennt die Ableitungen in alle Richtungen der Koordinatenachsen, dann kann man sich daraus

alle Richtungsableitungen wieder zusammenbauen. Vektorraum. Das sorgt dafür, dass man daraus den Vektor konstruieren kann, wenn die Funktion kraft genug ist. Ableitungen in Richtung der Basisvektoren sind alle in Richtung zusammen.

Deswegen sind die Ableitungen in Richtung der Standardbasisvektoren wichtig. Deswegen kriegen die den eigenen Namen an. Und das sind die Kameraden, die es jetzt auch im Kolben am meisten geht. Also wir nehmen uns eine Funktion wieder, auch eine Teilwege von Rd.

Dann nehmen wir uns die Richtungsableitung. Dann nehmen wir uns die Richtungsableitung

speziell in Richtung der Standardbasisvektoren her. Also d, j, f von x0, die Richtungsableitung von f in x0 in Richtung d, j, wenn die existieren für jede Koordinate, aber ein einzelnes d,

so nennt man f x0 partiell differenzierbar. Partiell differenzierbar, wenn man eben partiell an einzelnen Ableitungen, an einzelnen Koordinaten ableitet und nicht die ganze Funktion

leitet eben nicht nach x ab, sondern nur in Richtung d, 1 und 2 differenzierbar. So, und jetzt kommt ein unschönes Kapitel der mehrdimensionalen Differenzierbarkeit und der platziellen Ableitung.

Das ist überschrieben mit Notation. Platzielle Ableitung sind die Dinge, mit denen man arbeiten wird, mit mehrdimensionalen Differenzationssachen zu tun hat. Die tauchen deswegen an vielen, vielen

also die vier Gebeugnisse. Also, was wir nicht beschreiben werden, was natürlich stimmen würde, wäre b, e, j, f von x0. Das ist die

Richtungsableitungsnotation. Richtungsableitung in Richtung d, j. Und allein deswegen, wenn Matematiker faul sind, dass e völlig redundant ist. Daraus ergibt sich die erste und von mir preferierte Schreibweise platzielle Ableitung in Richtung d, j.

Dann gibt es die, vor allem mit Ingenieurs und Physikbereiten, platzierte Notation. Platzielle Ableitung von f nach der Koordinat die zur Variabel x, j gehört von x0.

Das ist eine auftauchende Notation, die völlig anders ist. Ich weiß gar nicht, ob ihr mit nichts durchgeht. Nämlich, dass man die Variabel, nein, die Koordinate nach der man ableitet in den Index schreibt, f abgeleitet

nach der Koordinat in x, j Richtung die eigentlich bräuchlichste Notation. Wir wollen jetzt vor allem die erste d, j, f verwenden.

Aber es bringt nichts, sie da zu schonen und zu schützen, weil sie dann mit allen drei zur Variabel gehen. Ich glaube, Physik wird eh hauptsächlich mit Nummer 2 sehen.

Nummer 2 ist auch physikalisch sinnvoll, wenn ich mich auch noch umrechnen kann, zu sagen. Nummer 3 haucht hier und da überall mal auf.

Das ist einfach die Richtige. Das Ding heißt, schon mehrfach verwendet, platzielle Ableitung f, x, 0

nach der j-Koordinat. Die sind mir mit der Zunge noch zu sagen, warum ich das die andere habe. Ich denke, der rennt erstmal ein bisschen damit, dann haben sie ein bisschen

mehr Gefühl für die Dinge und dann bringe ich die auch noch ein. So, jetzt kommt die übliche zweite Teil, wenn man Differenzierbarkeit definiert. Wenn f in allen x, 0 aus g partiell differenzierbar ist,

die partiell differenzierbar ist. so heißt f auf g oder in g partiell differenzierbar ist. Und wenn Sie das haben, dann haben Sie

wieder gegen Punkt x, 0 Wert dieser Ableitung. Es gibt eine neue Funktion. Die heißt jetzt natürlich entsprechend djf oder df nach dj oder df nach Das ist eine Funktion von g nach g. Die eben gegen Punkt in x, 0 die partielle Ableitung nach

der j-Koordinat in x, 0 zuordnen. Das ist dann die partielle Ableitung oder ganz sauber formuliert.

Das ist die partielle Ableitung. Wieder, die partielle Ableitung ist schon mal ganz schlecht.

Die kann man auch gleich hier noch mit auf in die Definition. Die Begriffe der stetigen partiellen Differenzierbarkeit können Sie jetzt alle selber formulieren. Ist f in g partiell differenzierbar?

Die partielle Ableitungsfunktion dann djf auf g jeweils stetig für jedes g also djf 1, 2 g dann nenne f

die partielle Ableitung. Jetzt können wir erstmal die partielle Ableitung ausrechnen. Beispiel gesehen haben, wo man direkt mit der Definition arbeiten kann, nehmen Sie sich eine sehr

einfache Funktion.

Die die Richtungsableitung von der Identität an der Stelle x0. Die Richtungsableitung in Richtung v,

sie nimmt eine Funktion an der Stelle x0 plus h, also minus hg0, und Identität von x0 plus h mal v, minus Identität von x0,

minus h mal v plus x0 mit h, x0 fällt weg, es ist nur noch v.

Also insbesondere, wenn wir uns jetzt die finanziellen Ableitungen angucken, die finanzielle Ableitung in der Richtung der J-Koordinatenachse von f, x0, e, j, das für alle x0.

Der konstante Ableitung und zwar richtungsableitende

Schwierigkeiten, das Thema Ableitungen ausrechnen, abzuschalten, das ist die meiste praktische Berechnung von so einer finanziellen Ableitung,

dass es sich nämlich auf eine selben übersichtliche ist, in dem sie sich eine Funktion und vielleicht mal nach der ersten Koordinat

d1, f, von x1, x2, x3, was ist dann die erste finanzielle Ableitung von f, die erste finanzielle Ableitung nach der ersten Koordinaten Richtung, ist die Richtungsableitung

in Richtung des ersten standard Basisvektors, da steht noch die Differenz jetzt für die Richtungsableitung dann schreiben wir es hier das ist der Niemanns a gegen 0, f von der Stelle an der ich ableiten will,

also x1, x2, bis xd, das ist ja das Argument hier von der Ableitung, das ist die Stelle an der ich ableite, transponiert, plus a mal die Richtung, die Richtung ist jetzt der erste Standard Basisvektor, minus f an der

Stelle x, steht jetzt auf dem Platz, x1, x2, bis d, und das ganze geteilt durch h, die Differenz der Richtungsableitung, x plus h mal die Richtung, minus f von x, geteilt durch h,

wenn man das jetzt mal aufschreibt, was da eigentlich steht, dann ist dieses ganze erste, diesen Argument von diesem f, ist nichts anderes als x1 plus h, und dann x2, x3, bis d, bleibt unverändert,

minus f von x1, bis x2, bis xd, geteilt durch h. Wenn Sie sich diesen Ausdruck jetzt mal anschauen, da steht dann ganz komisch, da steht dann komisch, da steht dann,

Funktion, die x2, x3 bis xt festgehalten, für die Fixed-Parameter, das x1 abbildet auf f von x1. Nochmal x2, x3, also das x2 bis xt als Fixed-Parameter behalten und das x1 als Parameter.

Das entspricht einer ganz ungewöhnlichen eingemensionalen Ableitung, der Funktion, die t abbildet auf f von t, x2, x3 bis xt, an der Stelle t gleich x1.

Was man also tut, ist, man behandelt die Koordinaten, nach denen gerade nicht abgeleitet wird, als Fixed-Parameter

und leitet nach der, nach der gerade abgeleitet wird, die Gewohnheit. Also eine Rechnung von t und f durch das statt bei Gewohntes Ableitung absteht und betrachtet,

wer diese, die sich das jetzt total abgehoben, angehört hat.

Ein konkretes Beispiel, ich hoffe, daran wird es vollkommen. Hier ein ganz konkretes Beispiel, eine Funktion von f3 nach r, als f von drei Variablen, f, x, z, f, x, e hoch, x, z plus x.

So, was ist dann die erste partielle Ableitung von f?

So wie gerade gesagt, was tun sie? Schauen, welche Variabe steht der ersten Koordinaten, das ist das x. Wir nehmen den Ausdruck, der da steht, nun so, als wäre y0, z konstant und leiten nach x und y einfach konstant.

Und wir leiten nach x ab, das gibt eine Produktregel. Nach dem x hier abgeleitet ist 1 mal e hoch, x, z in das y-Quadrat plus das x-Stehenlast, weil die Funktion Ableitung bei z, den ausgedehenden Ausdruck, der da steht, leiten wir einfach nach x ab und tun so, als wäre das z.

Für die zweite partielle Ableitung, also die nach der zweiten Koordinate, schauen Sie, welche Variablen steht in der zweiten Koordinate, das ist das y-Koordinaten und leiten nach y-Koordinaten ab. Die dritten Ableitung ist das x vorne und konstant, die innere Ableitung ist 2y,

die dritte partielle Ableitung, schauen Sie, was steht in der dritten Koordinate, da steht die Variabe z, leiten Sie nach z ab, leiten Sie nach z ab, jetzt wieder das x steht vorne.

Die Berechnung ist also genauso wie bei einer 1, nur dass wir hier Buchstaben ausstellen. Dass Sie sich von den anderen Buchstaben irritieren, leiten Sie einfach an dem Beispiel vielleicht kurz

noch mal einen Kommentar zu den verschiedenen Notationen los. Ich habe gesagt, die erste ist die nie für sich übliche, aber ich will vor allem mal über die erste Vereinigung sprechen.

Das habe ich hier gesagt, für die dritte Ableitung in Richtung der dritten Koordinatenachse, das ist jetzt die Partizipation, die Richtungsableitung in Richtung der dritten Koordinatenachse,

müssen Sie schauen, wie heißt gerade Variablen in der dritten Koordinatenachse, Physiker würden dafür schreiben, EF nach EZ und x nach z. Schauen Sie total, auf den ersten Blick, die viel schönere Schreibweise,

weil ich musste nicht schauen, da steht schon, leiten Sie nach z ab. Das ist für den Physiker die dritte Ableitung.

Kein Physiker kann das machen. E3 ist T, Punkt.

Dementsprechend ist in einer physikalischen Formel das Z immer die dritte Koordinate und keiner muss sich drüber legen, was das jetzt bedeutet oder was nicht. Das ist aber kein mathematisches Muss, die Nase, wenn ich Ihnen dann sowas hier gebe.

Was bitte ist, EF nach EY von z, x, y.

Weil das Y steht in der dritten, aber das Y ist jeweils in der zweiten. Keinem Physiker jemals passiert. Weil der erste Physiker, der so einen Schwachsinn hinschreibt, FI. Mathematisch ist es doch genauso sinnvoll, wie das andere auch.

Mit z, x, y, da haben Sie schon einen Raum. Und deswegen lehne ich massiv, insbesondere, wenn man mit dem Zeug anfängt, benutzen Sie diese Schreibweise, weil dies eine Ableitung nach der dritten Koordinate und ob die jetzt gerade z, FI entfand, der Kanonkugel heißt, ist sowas von egal.

Aber wenn Sie anfangen, was man hier tut, ist, man schmeißt Variablen und Koordinaten durch hier rein. Das darf jede Physikerin und jeder Physiker tun, weil bei denen die Koordinaten immer die gleiche Variablen bezeichnet haben.

Aber bitte, wenn Sie das tun, muss Ihnen klar sein, was Sie da tun. Wenn da mal eine Verwirrung auftaucht, dann decken Sie die Kugel an, und vielleicht stellen Sie eine Nase rein. Deswegen ist der Physik okay, der Mathematik mit Vorsicht okay.

Und deswegen bin ich großer Fan von dieser Notation. Ich empfehle Ihnen allen, solange Sie so richtig sattelfest damit sind, benutzen Sie die, und schreiben Sie es im Notfall hinterher um, wenn die Physiktutoren dann aber am Regierungsfeld einen Ärger machen.

Das ist der Hintergrund meiner Kritik an dieser Notation. Sie ist, wenn man damit gut umgehen kann, super, ich benutze sie auch viel. Man muss sich aber klar sein, dass dieses Z, das hier steht, das bezeichnet nicht die variablen Z. Sondern es bezeichnet die Z-Koordinaten.

Vielleicht auch noch was, wo man sich das klar machen kann. gf nach gz von t, t, t ist nicht Null. Also f natürlich Nullfunktion ist schon.

Wenn Sie dann eine Funktion z haben, dann ist das hier die partielle Ableitung nach der dritten Koordinate, und dann eingesetzt t, t, t. Gehe das Beispiel mal. f von x, y, z ist x mal y mal z.

Dann ist das, was hier steht, die Ableitung nach z, also x mal y, und dann ist das hier x mal y und dann t, t eingesetzt, also t, t. Sieht komisch aus, weil ich leite nach z ab, und hier steht nirgendwo z.

Jeder denkt, das ist Null, aber nein, das ist nicht. Weil das ist nicht die variablen Z, sondern von nacht. Deswegen, ich lieber d3f von t, t, t. Ich glaube gar nicht. Jetzt habe ich da ganz viel gespielt, weil ich mich vorbereite.

Ich hoffe, ich habe den Punkt übergebracht. Wenn Sie die Notation verwenden, sagen Sie, Sie können klar darüber reden, hier verändern. Das haben wir ganz viel eingeführt,

und in der ganzen Vorlesung noch nicht eine einzige Sache bewiesen. Wir haben jetzt partielle Ableitungen eingeführt, eine Funktion von rd nach rp. Bisher war es immer so, wenn Sie eine Funktion mit Werten in rp haben,

dann kann man Eigenschaften an anderer Funktion abgeben. So steht die ganze Funktion. Das ging auch fürs Differenzieren, das ist der erste Satz. Eine Funktion ist genau dann partiell differenzierbar, wenn jede Koordinatfunktion, das ist der Satz 9,9,

die Koordinatfunktion wie üblich f1, f2 bis fp, eine partiell differenzierbare Funktion von r nach r.

Partiell differenzierbar ist x0 für alle j bis t,

also für jede Koordinatfunktion. In jedem Fall kriegen Sie die partielle Ableitung einfach dadurch, dass man die eingefälligen Vektoren schreibt. Also der rp-Vektor dj f von x0 ist dann gegeben durch dj1 von x2 von x0,

bis Vektorwertige Funktionen differenzieren wollen.

Differenziert sind die Koordinatfunktionen einzeln.

In diese Weise ist jetzt das Problem, partiell differenzierte Ableitungen auszurechnen glücklich, reduziert auf Ableitungen für Funktionen von r nach r. Und der Grund ist ganz banal, der Grund ist wieder, dass Grenzwerte koordinatweise gebildet werden können.

Also f von x0, Partiell differenzierbar, wenn der Grenzwert h gegen 0, f von x0 durch h mal j,

der existiert, ist d. Jetzt haben wir hier stehen, hier wird das Grenzwert stehen, Grenzwert in rp, dieser Differenzivorzient hier,

ist ja jeweils Vektor in rp, ich mache hier einen Grenzwert in rp, Grenzwert in rp gegen koordinatetweise. Also man hat diesen Grenzwert genau dann, wenn die koordinatete Grenze dieses Vektors konvergiert. Das heißt, der Hauptpunkt folgt jetzt aus dem Satz,

über der man Grenzwerte ausrechnen kann. Das ist jetzt die Frage, die Aufgabe,

berechnen Sie partielle Ableitungen von irgendeiner Funktion von r nach rp, zurückgeführt auf lauter eine partielle Ableitung.

Und Sie können jede Koordinatenfunktion von f einzeln ableiten, dadurch haben Sie jetzt d mal p, 1 koordinatet, d mal p Ableitungen von r nach r. Die gute Nachricht dabei ist, wir brauchen keinen Differenzivorzient, wir brauchen Vektor schon, wir können alle Ableitungen,

alle partiellen Ableitungen ausrechnen, weil wir haben die ganze Werkzeugkasse vom Letzten Satz. Das drehen hat keine Bemerkungen von 10, sondern was ich jetzt tun will, hier sieht man jetzt auch schon einen Fuchs an der Anna 2, an dieser mehr-dimensionalen Ableiterei,

die ist ziemlich gut. Sieht ihr schon, j läuft von A bis Z viel mehr, deswegen will ich ein bisschen aufräumen. Wenn man so eine Situation hat, j läuft von A bis Z, k läuft von A bis Z, dann ist der Begriff der Matrix erstmal weg.

Was wir jetzt machen können, ist diese d mal p partiellen Ableitungen, die man ausrechnen kann. Man kann jetzt jedes fj, jedes sk nach jedem xj differenzieren. Es gibt d mal p partielle Ableitungen, die sortieren alle schön mit Matrix zusammen.

Das ist jetzt der Inhalt von der Funktion von 11,

partiell differenzierbar. Dann gibt es jetzt d mal p partielle Ableitungen. Sie können jedes fk nach jedem xj differenzieren. Die können wir jetzt mal alle sortieren. Sie können f1 nach der ersten Koordinaten differenzieren.

Sie können f1 nach der zweiten Koordinaten differenzieren. Und so weiter bis zur p-Koordinat, bis zur p-Koordinat. Da können Sie mit f2 machen und p2 mit p2.

Das Ganze gibt jetzt eine p x d-Matrix. Wir sehen auch viele Interessierter,

die sich schon häufiger reingekündigt haben. Diese Sortierung aller partiellen Ableitungen, die kriegt einen Namen.

Das ist die sogenannte Diakoni-Matrix von f. Der ist im Prinzip alle Informationen gespeichert, die man über die partiellen Ableitungen trifft. Wir haben alle partiellen Ableitungen drin. Das ist y-Index f,

y-Index f von dem schuldesten Matrix aller partiellen Ableitungen. Es gibt eine p x d-Matrix. Wenn es so viele Zeilen wie f Zeilen hat, dann gibt es so viele Spalten wie f. In einem wichtigen Spezialfall, der wichtigste Spezialfall überhaupt, hängt ein 1.

Also eine Funktion in mehreren Variablen, aber mit einem reellen Ergebnis. In dem Fall schreibt man die Tradition, oder wie auch immer, eigentlich nicht jf hin. Natürlich kann man sich in dem Fall die Diakoni-Matrix hinschreiben. Das ist der Dektor d1f x0,

d2f x0, ddf x0, hier ist p gleich 1. Das ist ein Vektor. Dieser Vektor, der wird nicht Jakomi-Matrix genannt, sondern Gradient von f x0, und der hat auch ein eigenes Symbol, nämlich auf der Spitze steht das Dreieck,

f von 0. Das ist Symbol. Gradient von f ist auch nichts anderes, das ist eine spezielle Jakomi-Matrix.

Beide sind einfach die Sammlungen aller partiellen Ableitungen.

Kleine Bemerkung zum Gradienten, oder zum Zusammenhang zwischen Jakomi-Matrix und Gradient. Wenn Sie sich die Jakomi-Matrix nochmal anschauen, stellen Sie fest, die Jakomi-Matrix ist die Matrix, deren Zeilen genau die Gradienten der Koordinatenfunktion sind.

Also die Kartezeile von der Jakomi-Matrix ist der Gradient von den Karten. Die Koordinatenfunktion f1 bis fd sind eine realwertige Funktion, denn jeweils ein Gradient, und was da jeweils steht, wie es in den Zeilen steht, ist relativ allgemein keine quadratische Matrix zu kriegen,

weil die Funktion natürlich beschieben viele Argumente. Das ist eine ganz wichtige Größe.

Eine ganz anschauliche Bedeutung

ist die Gebirge, die Funktion von R2 nach R. Der Gradient gibt in jedem Punkt die Richtung, das ist ein Vektor, das ist der Gradient Vektor R2 und er gibt in jedem Punkt

und sein Betrag sagt, wie viel ist die Richtung, die Richtung geht an, welche Richtung du steigst drauf, und die Länge des Gradients sagt, wie steigend ist. Und auf dieser Eigenschaft des Gradients gehören sehr, sehr viele

Optimierungsverfahren.

Solche Optimierungsmethoden sind ein Maximum,

aber sie sind im Allgemeinen und danach starten wir nicht das globale Maximum, sondern nur irgendwann. Hier in Kogelsberg loslaufen wir über den Gradienten nach und das ist die Bedeutung des Gradienten.

Wie gesagt, dass er das tut, kann ich Ihnen erst in ein, zwei Wochen beweisen, weil wir im Moment, wo wir dann nächste Vorlesung sehen werden, was die Theorie, was heißt die Theorie, was die geometrische Interpretation von Ableitung ist, haben wir im Moment noch gar keine.

Wir haben diese Idee, dass diese Richtungsableitung und die Steigung in eine Richtung angeht. Das ist die Idee dahinter. Wir werden feststellen, mit diesem Ableitungsbegriff können wir noch keine geometrische Interpretation verbinden.

Wenn die Funktion glatt genug ist und alles schön, dann gibt der Gradient die Richtung des steilsten Anstiegs.

Kommen wir genau zu diesem Thema. Was bedeutet denn eigentlich diese Ableitung geometrisch? Anstieg in eine Richtung

und wenn ich an einer Stelle stehe, eine Richtung. Jetzt möchte ich mit Ihnen folgende Funktion anschauen. Die kennen wir auch alle schon. Die nennt man R2 nach R. Y, Y, ist X mal Y

durch X², Y. Das kennt ihr alle schon.

Das ist die linke.

Das ist der Graben. Diese Funktion hier links, die wir letzte Woche angeschaut haben und festgestellt haben, wir sind ursprünglich stetig. Wie sieht es denn hier mit Differenzierbarkeit aus?

Erste einfache Antwort. Wenn Sie außerhalb vom Ursprung sind, ist das Ding wunderbar partiell differenzierbar. Wir können auch sofort die Ableitung ausrechnen, weil platiell differenzieren ist ja nichts anderes als eindimensional differenzieren.

Das müssen wir tun. Für die erste partielle Ableitung schauen Sie, welche Variablen in der ersten Folge hergestellt sind. Das ist X. Nehmen Sie diese Funktion und leiten Sie nach X ab. Y ist eine Konstante. Wir leiten nach X ab. Wir leiten nach X ab und kriegen nach Prozentenregel Y mal den Nenner.

Y mal X² mal Y² minus XY mal Ableitung von Nenner. Drei durch Y minus 2X² Y

Ableitung machen. Die zweite partielle Ableitung kürzen Sie mal ab. Geben Sie X auf 3.

Also auch nur, um nochmal zu zeigen, platzielle Ableitung auszurechnen, ist wirklich nicht schwieriger. Was ist denn in 00? Das können Sie natürlich sagen. Was will Ihr denn überhaupt in 00 rumdifferenzieren?

Wir haben auch gesehen, das Ding ist in 00 nicht mehr stetig. Die Form oder die Differenzierbarkeit kann schön eingemäht werden. Aber schauen Sie mal auf, was passiert, wenn ich die erste platzielle Ableitung mit 00 anschaue. Das ist noch Definition. Wir nehmen das H durch 0

und wir wackeln ein bisschen in die X-Richtung der ersten Richtung. F von H0 minus F von 00 durch H F von H0 X gleich H X dann gleich 0 ist 0 durch H² ist 0 durch H

und dann 0. Genauso können Sie rechnen in die zweite platzielle Ableitung. Was ist denn? Was machen wir denn, wenn wir die platzielle Ableitung

in X-Richtung anschauen? Wir stellen uns in den Ursprung an der Stelle 00 und jetzt schauen wir Stuhl in Richtung der X-Achse.

Was macht diese Funktion auf der X-Achse? Die ist wunderbar. ZY-Achse, mit den platziellen Ableitungen

und auch mit dem Riesling, das steht in Ihrer Wahrnahme. Die schauen einfach nur in eine Richtung Stuhl heil, das Chaos traubt das Ding völlig wurscht und kommen sich in die eine Richtung an, stellen fest, die Funktion ist wunderbar, die platzielle Ableitung existiert.

Und das ist das Problem mit den platziellen Ableitungen, weshalb die allein einfach keine interpretibleren Ergebnisse liefern. Was bedeutet das, dass an diesem Ursprung die platziellen Ableitungen nicht mehr als das, wie ihr Bleiben die Ableitung für die Funktion global

am Ursprung heißen würde? Insbesondere, wenn wir mit platzieller Ableitung arbeiten, haben wir noch nicht mal den Satz, hier ist irgendwie von Zyper aus noch biometrisch nichts.

Mit diesem Problem müssen wir uns auseinandersetzen. Das ist der Punkt, weshalb platzielle Ableitungen alleine nicht reichen. Und darüber werden wir uns dann bald unterhalten. Ich will aber dann in der nächsten Vorlesung erstmal alles zum Thema platzielle Ableitungen abschließen. Sprich, wir werden mehrfach

mit platziellen Ableitungen was untersetzen. Aber wie ich heute schon mal gezeigt habe, platzielle Ableitungen alleine reichen nicht, weil nur aus platzieller Differenzierbarkeit folgt nichts. Folgt keine Anschauung, keine interpretationsfähige, geometrische Eigenarten abzuholen. Soviel für heute.

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit. Schöne Sorgen.