So, dann mal ein herzliches Willkommen. Wir haben in der letzten Vorlesung am Ende den Begriff der Stetigkeit eingeführt, der

konzeptionell zum Glück und in schönem Kontrast zur Kompaktheit davor wieder sich direkt aus der Anna 1 ergeben hat, ersetzte Betrag von Differenz, also den Abstand durch die Metrik und wir können die Definition genauso hinschreiben. Ich habe sie hier auf der Folie nochmal aufgeschrieben, weil wir uns damit jetzt ja auch länger beschäftigen werden

und dann haben Sie sie nochmal vor Augen. In metrischen Raumkontext ist es immer oder sehr oft praktisch, alles möglichst in Umgebungen zu beschreiben, deswegen hier diese äquivalente Formulierung, die wir ganz am Ende hatten. Stetigkeit bedeutet für jedes noch so kleine Epsilon, für jede noch so kleine Umgebung

vom Funktionswert f von x0 muss es ein Delta geben, so dass das f eine Delta-Umgebung von x0 in diese Epsilon-Umgebung von f von x0 abgibt. So, wenn Sie sich jetzt an Anna 1 zurück erinnern, war die Definition, war dort

Definition und Satz genau vertauscht, die Definition in Anna 1 war, stetig heißt, wenn eine Folge Konvergenz in Konvergenz verwandelt und dann war drunter Satz, das ist genau dann der Fall, wenn diese Epsilon-Delta-Formulierung gilt, natürlich ganz egal wie rum man es definiert, hier jetzt also mal umgekehrt, in dem Fall nicht

aus einem besonderen Grund, sondern weil es irgendwie normalerweise so gemacht ist. Trotzdem brauchen wir jetzt natürlich, ist jetzt die Frage, gilt der Satz auch wieder umgekehrt, also ist Stetigkeit äquivalent zur sogenannten Folgenstetigkeit Und das ist Teil vom nächsten Satz, der Satz 5.4, also wir haben eine Funktion von

einem metrischen Raum n in einen anderen metrischen Raum, Punkt in x0, in m und dann kommen jetzt hier drei äquivalente Aussagen, zwei äquivalente Bedingungen

für Stetigkeit in x0, also die erste ist f ist stetig in x0, so definiert wie hier, dann das zweite ist Folgenstetigkeit, auch genau das gleiche Kriterium wird es aus Anna 1 kennen, dort war es die Definition für jede Folge xn im Definitionsbereich,

also in m, die in m gegen x0 konvergiert, gilt, dass die Folge der Funktionswerte f von xn für n gegen unendlich auch konvergiert und zwar gegen den Funktionswert von xn.

Ja, Frage? Echt? Sorry, dann habe ich es falsch in Erinnerung. Also gut, danke, Anna 1 war es auch so, kann sein. Gut, also dann ist es sogar ganz analog, wunderbar. So und jetzt gibt es noch eine dritte äquivalente Bedingung, die ja nicht

auch nur eine Umformulierung ist, aber wie gesagt, in metrischen Räumen redet man gerne in Umgebungen, also für jede Umgebung v von dem Bild f von x0 muss es eine Umgebung

u von x0 geben, u von x0, sodass f dieses u nach v abbildet, also dass f von u in v enthalten ist. Das ist ganz nah hier dran, also das, was hier steht, ist 3i für den Spezialfall von Kugeln

und 3i geht jetzt einfach um irgendwelche Umgebungen. Die drei Aussagen liegen alle sehr dicht beieinander, was man merkt, wenn man es beweist, das ist nämlich alles recht kurz, was heißt, oder ich kann es mir in manchen Stellen einfach machen, die Äquivalenz von 1 und 2 könnten Sie wieder aus dem letzten Semester abpinseln, überall wo Vertrag von x

minus y steht, schreiben Sie d von x,y hin und dann ist der Beweis des selben. So, also was wir uns noch kümmern müssen, ist, dass 1 und 3 oder 2 und 3 Äquivalent sind. Wie gesagt, dieses 3i ist von dem da nicht so wahnsinnig weit weg. Das einzige, was man tun muss,

ist, man muss eben den Fall von einer beliebigen Umgebung auf eine Kugel zurückspielen. Also, wir gehen zunächst von 1 nach 3, das heißt, wir nehmen an, f wäre stetig an der Stelle x0, wir wissen es für jede Kugel und müssen es für jede Umgebung zeigen. Also,

wir geben uns irgendeine Umgebung v in n her, eine Umgebung von f von x0 und jetzt müssen wir diese Umgebung u finden, so dass f von u, Umgebung u von x0 finden, so dass f von u Teilmenge v ist. Umgebung bedeutet nach Definition, ist eine Menge, die den Punkt enthält und um den Punkt eine ganze Kugel, also ist eine Menge, für die

dieser Punkt x0 ein innerer Punkt ist. Das bedeutet, wir finden eine ganze Kugel mit Radius z.B. epsilon größer 0 um f von x0, die noch ganz in v liegt. Auf diese Kugel können wir jetzt unsere Stetigkeitsdefinition anwenden. f ist stetig in x0, also, nehmen

Sie hier die unterste Zeile, gibt es dazu ein Delta größer 0 zu dem epsilon, so dass die Delta Kugel um x0 von f in die epsilon Kugel um f von x0 abgebildet

wird. Diese Delta Kugel nehmen Sie jetzt als u, dann ist das zunächst mal eine Umgebung von x0, eine offene Kugel um x0, insbesondere eine Umgebung von x0 und f von u wird abgebildet

nach o epsilon von f von x0 und von dem wissen wir, dass das in v liegt, also ist eine Umgebung von x0, die von f nach v abgebildet wird. Eine Richtung, umgekehrte

Richtung wird man auf den ersten Blick denken, dass da unten ein Spezialfall von dem 3i vor sich, ganz so einfach ist es nicht, dass da unten fordert, für jede Kugel um f von x0 finden wir eine Kugel um x0, für die das gilt. Natürlich können wir diese

u-Data Kugel, u-epsilon Kugel hier als v nehmen, dann liefert uns das 3i aber nur irgendein u, dann müssen wir uns da wieder eine Kugel suchen. Also das geht aber schnell, das müssen wir tun, müssen Stetigkeit nachprüfen, also das da, wir geben

ein epsilon größer 0 vor und betrachten die epsilon Kugel um f von x0, wenn ich das v nenne, dann liefert mir das 3i eine Umgebung u, also als eine offene Teilmenge, nein eine

Teilmenge von m, die eine Umgebung ist von x0 und die von f nach v abgebildet wird. Jetzt brauchen wir aber nicht irgendeine Umgebung u, die von f nach v abgebildet wird, sondern eine Delta Kugel, da das u aber eine Umgebung ist, finden wir da drin eine Kugel.

Also u ist eine Umgebung von x0, also existiert Delta größer 0, so dass die Delta Kugel um x0 ganz in u liegt und damit haben wir es, weil wenn wir jetzt diese Delta Kugel nehmen, dann ist das Bild von dieser Delta Kugel unter f enthalten im Bild von u und der f,

weil u größer ist, f von u geht nach v und v ist nichts anderes als die epsilon Kugel um f von x0. Also für jedes epsilon größer 0, gibt es ein Delta größer 0, so dass die Delta Kugel um

x0 in die epsilon Kugel um f von x0 abgebildet wird und das ist stetig. Gut, so was kann man mit Stetigkeit anfangen? Wir haben vieles gesehen, aber wir haben

insbesondere auch Stetigkeit immer für benutzt und Grenzwerte zu betrachten oder Stetigkeit mit Grenzwerten in Verbindung gebracht, mit Stetigkeit hier Grenzwert von der Folge f von x senden, aber wir haben auch Grenzwerte x gegen x0 angeschaut. Die müssen wir erstmal definieren, gibt es bisher noch nicht, funktioniert aber auch

genauso wie im Eindimensionalen. Also das ist die nächste Definition. Wo sind wir da?

Also wir haben wieder eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen. Für einen Grenzwert von der Funktion x gegen x0 war immer eine wesentliche Voraussetzung, dass dieses x0, auf das man den Grenzwert zubilden will, ein Häufungspunkt der Definitionsmenge von der

Funktion ist, sonst kann man keinen Grenzwert auf das x0 zubilden. Also setzen wir wieder raus, x0 ist ein Häufungspunkt von M und a, das ist der Wert des Grenzwerts, ist ein Element des metrischen Raums N. So und jetzt genau wie auch wie in Anna 1,

Funktion der Grenzwert x gegen x0 von f von x ist a, wenn für jede Folge xn, die in M liegt, aber nie x0 wird, also eine Folge in M ohne x0, die aber gegen x0 konvergiert,

also wenn für jede Folge xn, x0 gilt, dass der Grenzwert der Bildfolge n gegen unendlich f von

Es gelten die gleichen Sprüche und Aussagen dazu wie zum Thema Funktionsgrenzwert in einer Variablen. Wichtig ist, dass man jede Folge betrachtet, wichtig ist, dass nur Folgen zugelassen

sind, die nie x0 werden, denn die Funktionsgrenzwert x gegen x0 ist völlig egal, welches der Funktionswert an der Stelle x0 ist. Und damit es eben solche Folgen überhaupt gibt, also Folgen, die in M liegen, die x0 sind, aber gegen x0 konvergieren, muss x0 ein Häufungspunkt sein, deswegen diese Voraussetzung. So und entscheidend ist eben auch, das muss da

unten aus diesem Grenzwert n gegen unendlich von f von xn für jede Folge der gleiche Grenzwert herauskommen, dann gibt es einen Grenzwert, dann existiert der Grenzwert für x gegen x. So mit dem Ding hatten wir in Anna 1 eine ganze Menge gespielt, wir hatten ein paar

Satz der zwei Aussagen zusammengefasst, die genauso funktionieren wie dort, also auch wieder hier ohne Beweis, weil Beweis genauso wie in Anna 1, wieder eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen, x0 ein Häufungspunkt von M und a der Grenzwert aus N. So,

dann erst das praktische, also theoretisch praktische Resultat für Existenz vom Grenzwert. Man muss, um den Grenzwert zu bestimmen, sicherstellen, dass für jede

Folge, die nie x0 ist, aber gegen x0 konvergiert, ein Grenzwert n gegen unendlich f von xn, dasselbe herauskommt und das, was da rauskommt, ist der Grenzwert. Wir haben aber letztes Semester festgestellt, wenn man nur wissen will, ob es einen Grenzwert gibt und den ich bestimmen will, dann reicht es festzustellen, dass für jede solche Folge dieser Grenzwert f von xn existiert. Wenn er für jede Folge existiert, dann kann man zeigen, er ist

das ist der a-Teil. Also, wenn für jede Folge, wie oben, das heißt, für jede Folge xn,

die in M ohne x0 liegt, also eine Folge, die nie x0 wird, aber die gegen x0 konvergiert, Limous n gegen unendlich xn gleich x0, wenn für jede solche Folge die Bildfolge f von xn in n konvergiert, dann ist man schon sicher, dann existiert der Limous x gegen x0 f von x.

Nur damit dann zu bestimmen reicht es, wenn Sie für eine Bildfolge das Grenzwert ausrechnen, dann wissen Sie, egal welche xn Sie nehmen, es kommt gleich heraus. Argument

damals war, wenn jetzt für jeden Grenzwert existiert, aber es gibt eine Folge, wo es gegen Hü konvergiert, eine Folge, wo es gegen Hot konvergiert, dann bauen Sie sich dadurch, da aus den beiden Folgen durch zusammenschieben eine neue Folge, dann kriegen Sie eine Folge,

wo die f von xn divergieren, weil sie zwei Höfungswerte haben und dann ist das Widerspruch zur Voraussetzung. So, das ist das eine Kriterium für die Existenz vom Grenzwert und das andere auch wie in Anna 1. Man kann den Grenzwert auch über epsilon delta, über epsilon delta Kriterium

abfragen. Der Grenzwert existiert und ist gleich a, der Grenzwert x gegen x0 von f von x existiert und ist gleich a. Genau dann, wenn für jedes epsilon, für jede zulässige Abweichung von diesem Grenzwert, es ein delta gibt, sodass für alle x, die in der

delta Umgebung von x0 liegen, aber nicht x0 sind, wie gesagt, der Wert an der Stelle x0 spielt bei einem Funktionsgrenzwert in Lingerolle, gilt, dass f von x in epsilon Umgebung von a liegt. Das ist ein äquivalentes Kriterium für den Funktionsgrenzwert.

Gut, das als Wiederholung oder Anregung, nochmal so ein Beweis aus der Anna 1 zu nehmen und in den Sprachgebrauch von metrischen Räumen zu übertragen. Ich will, bevor wir dann

erst zu Beispielen und dann zu wichtigen Sätzen über stetige Funktionen kommen, noch weitere Charakterisierungen für Stetigkeit angeben, die jetzt sozusagen die ganz grundlegenden

Charakterisierungen sind, in gewisser Weise wieder auf das Level der Topologie zurückgehend. Das sind jetzt keine Charakterisierungen für Stetigkeit in einem Punkt, sondern für Stetigkeit auf ganz M. Aber wenn man Stetigkeit auf ganz M beschreiben will, dann reicht dazu

eben der Begriff einer offenen oder einer abgeschlossenen Menge. Und damit will ich, das will ich kurz im Satz 5.7 machen, weil es einen in verschiedenen Zusammenhängen wirklich sehr, etwas abstrakter, aber auch übersichtige Kriterium für Stetigkeit auf einem metrischen

Raum liefert. Das Ganze unter dem Überschrift topologische Stetigkeit, wie gesagt, also wieder eine Funktion von einem metrischen Raum mit den anderen. Und jetzt geht es darum,

äquivalent zu beschreiben, wann diese Funktion auf M stetig ist. Also nicht mehr in einem Punkt, sondern noch im ganzen Raum. So, erstens also äquivalent F ist stetig auf M,

zweitens, das ist das Wesentliche an dem Satz. Für jede Teilmenge O von N, für jede offene Teilmenge O von N, ist das Urbild von O unter F. Das ist jetzt eine Teilmenge von M. O ist

irgendwann von N. Jetzt schauen sich das Urbild unter F an und die muss offen sein in M. Wenn für jede offene Menge in N das Urbild unter F offen ist in M, behaupte ich, das ist äquivalent dazu, dass die Funktion F stetig ist auf ganz M. Jetzt kann man

offen immer durch Komplimentbildung in abgeschlossen übersetzen. Genau das Gleiche gilt, wenn Sie in richtigen Stellen abgeschlossen schreiben. Also für alle abgeschlossenen Teilmengen A von N muss gelten, dass das Urbild von A abgeschlossen ist in M. Das ist auch äquivalent. Also Stetigkeit bedeutet, kurz gesagt,

eine Funktion des Stetigs, wenn Urbilder offener Mengen offen sind. Das kann man sich vielleicht ganz gut merken und viel besser als ganz viele Epsilon und Deltas. So, woran liegt das? Was müssen wir machen? Wir haben drei äquivalente Bedingungen.

Wir machen, was machen wir? Machen wir, drei und zwei sind sehr schnell

ineinander überführt. Hauptarbeit ist von eins nach zwei und von zwei nach eins zu kommen. Also arbeiten wir uns einmal eins, zwei, drei nach unten und dann wieder drei,

Zunächst mal von I nach II. Wir wissen unser F ist stetig auf M und was wir zeigen müssen, ist für jede offene Menge ist das Urbild offen. Also nehmen wir uns eine offene Teilmenge von N her und dann müssen wir uns das Urbild angucken. Jetzt gibt es wieder einen

banalen Fall, den ich erstmal ausschließen will, nämlich wenn das Urbild leer ist, also sprich die offene Menge O ist nicht in der Bildmenge von dem F enthalten. Dann ist das Urbild leer, aber dann ist natürlich alles gut, weil die leere Menge wissen wir dies immer offen. Spannender Fall ist also, O trifft irgendwas vom Bild von F,

das Urbild von O ist nicht leer. Dann nehmen wir uns da einen Punkt raus und müssen zeigen, dass das ein innerer Punkt ist. Die Menge ist offen, also müssen wir für jeden Punkt

zeigen, der liegt da kuschelig warm drin, jeder Punkt ist ein innerer Punkt. So, dann nehmen wir mal unser X0 aus dem Urbild und bilden den wieder mit F ab nach N. Also wir schauen uns F von X0 an. F von X0, naja, wenn X0 den F auf Minus 1 von O ist,

dann ist F von X0 den F von F auf Minus 1 von O. So jetzt zahlt sie zum ersten Mal aus, dass ich ihnen nochmal die Erinnerung von der letzten Vorlesung da an die Wand schmeiße. F von F auf Minus 1, rechte Spalte, dritter Eintrag. Das Bild von dem Urbild von der

Menge ist immer der Menge enthalten. Also das da ist eine Teilmenge von O. Also ist F von X0 dann der Punkt. So, O ist offen. Wir müssen uns jetzt irgendwie irgendwo eine Epsilonumgebung her holen. O ist offen, also gibt es ein Epsilon größer 0 mit Epsilonumgebung

um X0, ist ganz in O enthalten. X0 ist ein Punkt in O, offen heißt, hier um jede Menge gibt es eine Kugel. So, jetzt sind wir aber genau im Fahrwasser, um die Stätigkeit

von F auszunutzen. Wir haben den Punkt X0 in M und wir haben eine Epsilonumgebung von F von X0. Epsilonumgebung von F von X0 und dann sagt uns die Stätigkeit zu

diesem Epsilon muss es ein Delta geben. Jetzt sind wir hier, für geht das Epsilon, finden wir ein Delta, sodass das gilt. Also, weil F stetig ist in X0, existiert jetzt

ein Delta größer 0, sodass, unterste Zeile hier auf der Folie oder letzter Teil von Bemerkung 5.3 aus der letzten Vorlesung, sodass F von der Delta Kugel um X0 enthalten ist in der Epsilon Kugel um F von X0. So, und das ist enthalten in O. Was haben wir

jetzt gezeigt? Wir haben jetzt eine Inklusion in O. Wir brauchen aber ein Urbild von

O. Also werfen wir da mal die Operation Urbildbildung drauf. Also, was gilt für das Urbild von O? Das enthält dann das Urbild vom Bild von der Delta Kugel von X0

um X0. So, jetzt haben wir da ein Urbild von einem Bild stehen. Gucken wir mal wieder in unserer Erinnerung. Erste Spalte, unterste Eintrag. Urbild von einem Bild ist Obermenge von der Menge. Das ist genauso wie es sein soll. Das ist eine Obermenge von Delta von X0. Was haben wir damit? Wir haben für jedes X0 in F auf Minus 1 von O einen

Delta gefunden, sodass die Delta Kugel um X0 in F auf Minus 1 von O ist. Und das heißt die Menge ist offen. Also ist F auf Minus 1 von O offen in M. Und wir

haben festgestellt, wenn unsere Funktion F stetig ist, dann ist das Urbild jeder So, das war 1 nach 2. So, jetzt kommt die Äquivalenz zwischen 2 und 3. Die geht recht

schnell, weil abgeschlossen und offen hängt ja eng zusammen. Mengen sind abgeschlossen, genau dann, wenn die Komplimente offen sind und umgekehrt. Also was machen wir, um nachzuweisen, dass wenn jedes Urbild von offenen Mengen offen ist, dann auch jedes Urbild von abgeschlossenen Mengen abgeschlossen ist. Wir nehmen uns eine abgeschlossene

Teilmenge von N her. Dann schauen wir uns das Kompliment an. Das Kompliment von A ist dann offen in N. Einfach nach Definition von abgeschlossenheit. Wenn das Kompliment offen ist, dann wissen wir nach Ii, dass das Urbild von der Menge auch offen ist. F auf

minus eins von A Kompliment ist dann offen in M. Jetzt ist aber wieder da zweite Spalte, letzter Eintrag. F auf minus eins von einem Kompliment ist das Kompliment von F auf

minus eins von der Menge. Also das Kompliment von F auf minus eins von A ist offen. Wenn aber das Kompliment von der Menge offen ist, dann ist die Menge selbst abgeschlossen. Also der Beweis ist wirklich nur einmal das Kompliment durchschieben. Und das entscheidende,

sozusagen das, warum es geht, ist, dass das Urbild von einem Kompliment das Kompliment ist. Die umgekehrte Richtung von drei nach zwei läuft im gleichen Fahrwasser wie zwei nach

drei. Schreiben Sie es hin, aber es kommt keine große neue Erkenntnis raus. Spannender ist jetzt wieder von zwei nach eins zurückzukommen. Also zu zeigen, wenn das

Urbild jeder offenen Menge offen ist, dann ist die Funktion stetig in jedem Punkt. Was müssen wir also tun? Wir müssen uns irgendein Punkt hernehmen und zeigen, die Funktion ist stetig in dem Punkt. Also sei x Null irgendein Punkt in M. Und jetzt müssen wir Stetigkeit nachweisen über die Definition. Wir geben uns also irgendein Epsilon größer Null vor.

Und dann schauen wir mal, wie uns da Urbilder offener Mengen sind offen helfen kann. Was heißt? Was müssen wir tun? Wir müssen uns die Epsilon Umgebung von F von x Null anschauen und eine Delta Umgebung von x Null finden, die in dieser Epsilon Umgebung abgebildet

wird. Also fangen wir mal mit dieser Epsilon Umgebung von F von x Null an. Das ist eine offene Kugel in N. Also das Ding ist insbesondere offen in N. Dann können wir unsere Voraussetzung drauf werfen und diese Kugel mal. Mal das Urbild davon angucken. Also dann wissen wir das Urbild von dieser offenen Menge, das Urbild von

der Epsilon Kugel um F von x Null. Das ist jetzt genug Klammern. Das Urbild von dieser Epsilon Kugel. Das ist offen in M. Das ist die Voraussetzung. Urbilder von offenen Mengen sind immer offen. Wir haben ein Urbild von einer offenen Mengen. So,

einen Punkt in diesem Urbild von dieser Epsilon Kugel kennen wir. Ich behaupte, x Null ist da drin. Mittlerweile stehen da so viele Klammern und Symbole, dass es vielleicht gut ist, mal kurz drüber nachzudenken. Warum ist x Null da drin? Naja,

weil f von x Null wissen wir, ist banalerweise in der Epsilon Umgebung um F von x Null drin. Also jeder Kreis enthält seinen Mittelpunkt. So, aber wenn f von x Null da

ist, x Null ist da drin und das Ding ist eine offene Menge, liefert uns wieder eine Kugel. Und zwar genau die Kugel, die wir brauchen. x Null ist in einer offenen Menge, also gibt es wieder einen kleinen Radius, Delta größer Null, sodass die Kugel um x Null mit Radius

Delta enthalten ist in unserer offenen Menge. Also in diesem ungetümen Urbild von der Epsilon Kugel um F von x Null mit drei Klammern zu. So, warum ist diese Kugel Delta u Delta von x Null jetzt die, die wir wollen? Ganz steht es noch nicht da. Wir

wollen zeigen, dass f in x Null stetig ist. Das heißt, wir wollen zeigen, dass f von dieser Delta Kugel enthalten ist in der Epsilon Kugel. Aber das sieht schon fast gut aus. F von der

Delta Kugel enthalten in der Epsilon Kugel. Jetzt muss ich nur noch das f und das f um minus eins in der richtigen Richtung mit dem mit der Teilmenge wegmachen. Dann hoffen wir mal. Also f von der Delta Kugel um x Null ist nach dem Ergebnis da enthaltenen f vom Urbild von der

Epsilon Kugel von F von x Null. Jetzt haben wir endgültig zu viele Klammern. Aber jetzt sind ja auch zwei Sachen, die so im Wesentlichen wegfallen. F von F auf minus eins. Vorsicht, das sind jetzt keine Umkehrfunktionen oder sowas, sondern Urbild und Bild. Also da können sie nicht einfach wegstreichen. Aber unser was ist das? F von F um minus eins. Der dritte

Punkt der zweiten Spalte sagt uns zumindest mit Teilmenge ist gut. Also das da ist wiederum enthalten in der Epsilon Kugel um f von x Null. Das Relationszeichen ist zum Glück richtig.

Also ist die Delta Kugel um x Null enthalten in der Epsilon Kugel um f von x Null. Gut. Es ist sozusagen, wenn Sie wollen die allgemeinste Formulierung von Stetigkeit. Stetigkeit bedeutet Urbilder offener Mengen sind oft. Werden wir auch hin und wieder mal verwenden. Die

Charakterisierung ist manchmal ganz nützlich. Gut. Der Rest von dem Abschnitt 5 ist Beispiel gewinnen. Beispiel für Stetigkeit, Beispiel für Unstetigkeit und wichtigen

Abbildungen. Für Stetigkeit auf R hoffe ich, haben sie mittlerweile einigermaßen ein Gefühl. Aber jetzt schauen wir uns noch mal andere Dinge an. Also ich will mit Ihnen zuerst noch mal ein bisschen in exotische Metrik schauen. Also die diskrete Metrik. Mal überlegen, was bedeutet Stetigkeit, wenn irgendeine Metrik diskret ist. Und dann will ich mit Ihnen in

RD gehen und in R2, um genau zu sein, um mal schauen, was kann da so passieren an Stetigkeitsfragen. Weil Funktionen in mehreren Variablen, also Funktionen von RD nach RK ist das, was wir dann im weiteren Verlauf des Semesters hauptsächlich anschauen. Also

sollten wir so eine auch mal hier betrachten. Also zunächst mal Beispiel. Was ist, wenn man den Extremfall diskrete Metrik hat? Wir hatten schon verschiedentlich gesehen, die diskrete Metrik ist ein Extremfall und das fällt jetzt auch hier bei Stetigkeit wieder auf.

Jetzt kann natürlich, wir haben eine Funktion von M nach N. Jetzt kann natürlich die diskrete Metrik vorne im Definitionsbereich liegen oder die diskrete Metrik hinten im Zielbereich oder das kann auch beides die diskrete Metrik sein. Gucken wir uns also die beiden Möglichkeiten an. Was ist denn, wenn im Definitionsbereich die Metrik diskret ist? Also wenn die Norm auf

M, also F ist wieder eine Abbildung von M nach N. Wenn die Metrik im Definitionsbereich die diskrete Metrik ist, dann hatten wir uns schon überlegt, in einem Raum mit der diskreten Metrik ist jede Teilmenge offen. Uns war das unsere Erkenntnis, als wir die diskrete Metrik als

Beispiel bei offen und abgeschlossen angeschaut haben. Um jeden Punkt gibt es eine Kugel, die ganze Menge liegt. Nehmen Sie die Kugel mit Radius ½, die offene Kugel mit Radius ½, die enthält nur den einen Punkt. Also ist jeder Punkt offen. So und damit ist jede Menge offen.

Das heißt, in dem Fall haben wir mit Stetigkeit leichtes Spiel, weil Stetigkeit heißt, siehe gerade eben, das Urbild von jeder Teilmenge, jeder offenen Teilmenge von N muss offen sein. Naja, aber jedes Urbild von offenen Teilmenge in N ist irgendeine Teilmenge von M. In M sind alle Mengen offen. Also wenn vorne die diskrete Metrik ist,

dann ist jede Funktion stetig. Das ist die schönste aller Welten. Dafür ist die diskrete Metrik halt ein bisschen sperrig. Diskrete hier. Also, wenn Sie eine Funktion haben und auf den Definitionsbereich die diskrete Metrik, dann können Sie alle Stetigkeitsuntersuchungen sofort einstellen. Das ist sowieso stetig. Umgekehrt, was ist, wenn im Zielbereich Sie

diskrete Metrik haben, müssen Sie sicherstellen. Damit F von M nach N stetig ist, muss dann

das Urbild von jeder offenen Menge offen sein. Also muss F auch minus eins von X offen in M sein. Jede offene Menge X, Teilmenge von N. Aber das ist jede offenen M sein. Für jede Teilmenge von N. Das ist nun wiederum eine sehr harte Anforderung.

Also wenn die Metrik im Zielbereich diskrete ist, bedeutet das jedes mögliche Urbild muss eine offene Menge sein. Das ist je nachdem, was die Metrik auf M ist. Wenn die Metrik auf M auch diskret ist, ist sie wieder gut. Wenn die Metrik vorne diskret

ist, dann ist immer alles stetig. Aber wenn die Metrik vorne nicht diskret ist, ist das unter Umständen sehr, sehr schwer. Das hängt jetzt von der Metrik auf M ab. Aber ich schreibe mal so ein bisschen sloppy hin. Im Allgemeinen sehr wenige stetige

Funktionen. Also das hängt jetzt eben davon ab, was auf M für eine Metrik ist. Aber wenn die Metrik auf M irgendwas schönes glattes ist, dass da sich Betrag auf R oder eine Norm in einem Vektoraum oder sowas, dann haben sie so gut wie keine stetigen Funktionen. So, das ist jetzt nochmal dieser Extremfall diskrete Metrik.

Und was ich mit Ihnen jetzt anschauen will, wie gesagt, sind Funktionen, oder was ich mit Ihnen fast den restlichen Semester anschauen will, sind Funktionen von Rd nach Rk.

Ein Nachteil an Funktionen von R7 nach R19 ist, dass man sie sich so wahnsinnig schlecht grafisch darstellen kann. Also meine Funktion von R nach R, da denkt jeder von Ihnen sofort an schönen Graphen. Entweder eine schöne Linie in der Ebene oder wenn ich sie mittlerweile schon

ein bisschen desillusioniert habe, dann vielleicht nicht unbedingt eine Linie, sondern ein wildes Gekröse. Aber so eine Funktion kann man sich hinmalen. Eine Funktion von R3 nach R17 könnte sich auch hinmalen, nämlich mit 20-dimensionalen Raum. Ich kann das nicht so gut. Das einzige, was man sich noch ein bisschen visualisieren kann,

und das ist der Fall von der Funktion von R2 nach R. Weil von der Funktion von R2 nach R brauchen Sie für die Visualisierung des Graphen drei Raumdimensionen. Das kriegt man so gerade noch hin. Und das hört sich an wie ein lächerlich blöder Spezialfall,

ist es natürlich irgendwie auch. Andererseits eben der einzige, den wir uns irgendwie darstellen können und deswegen empfehle ich Ihnen, sich so eine Vorstellung zu entwickeln für eine Funktion von R2 nach R. Eine gute Vorstellung für mich ist, den Graph einer

Funktion von R2 nach R sich vorzustellen als eine Landschaft. Also die Funktion ist an der R2, ordnen Sie irgendeinen Wert zu und stellen Sie diesen Wert vor als die Höhe,

die die Landschaft an der Stelle hat, als Höhenlinienprofil, als Landkarte. Und dann tragen Sie über jeden Punkt ab, wie hoch der liegt und dann kriegen Sie, je nachdem wie wild die Funktion ist, irgendein Gebirge. Das ist eine sehr gute Vorstellung von Funktionen. Na ja, sagen wir mal, Sie ist ungefähr so gut wie die Vorstellung von der Linie in R,

aber immerhin. Und ja, ich sage das jetzt so lang und ausführlich, weil das was ist, was immer wieder hilft, sich vorzustellen, was dann später kommt, zum Beispiel, wenn wir Ableitungen von solchen Dingern machen wollen. Was ist die Ableitung von so einem

Gebirge? Da kommen wir ja auch noch zu. So, im Moment sind wir ja noch nicht beim Ableiten, sondern einfach bei Stetigkeit. Und ich habe Ihnen jetzt einfach mal zwei Gebirge mitgebracht. Als Beispiel 5, 9. Also ganz bewusst zwei Funktionen von R2 nach R, damit man sich mal

einen Graf hinmalen kann. Und zwar, was jetzt? Die beiden hier. So, ich habe mal versucht,

das zu plotten, weil wenn ich Ihnen das jetzt hinmal, dann sehen Sie gar nichts. Also das sind die beiden Funktionen, wie es geht. Fast genau gleich bis auf so ein publikes Quadrat. Also x mal y durch x Quadrat plus y Quadrat und x Quadrat mal y durch x Quadrat

plus y Quadrat. Was Sie hier sehen, ist die Landschaft, die dadurch entsteht. Und ich will jetzt an den Funktionen ein bisschen Stetigkeit diskutieren. Stetigkeit, man sieht es den Funktionsvorschriften schon an. Die spannende Frage in Sachen Stetigkeit

ist jetzt hier der Nullpunkt. An der Stelle 3, 5 sind die beiden Funktionen wunderbar

stetig. Also wir wollen Stetigkeit an der Stelle 0, 0 angucken. Fangen wir mal mit

der Funktion links an. Die sieht ein bisschen wilder aus. Funktion f von x, y. x mal y durch x Quadrat plus y Quadrat. Solange ich nicht an der Null bin und an der Stelle

0 setze ich es immer 0. So, der einfache Teil ist, das Ding ist natürlich stetig, wenn ich nicht in Null, Null bin. Begründung kann ich es mir jetzt leicht machen und

sagen. Bausatzprinzip für stetige Funktionen habe ich zugegebenermaßen noch nicht formuliert. Also was meine ich damit? Summen von stetigen Funktionen sind stetig, Vizienten sind stetig, Funktionen sind stetig. Solange man nicht durch Null teilt und solche Dinge, gilt alles hier genauso. Solange es Sinn macht, auf einem allgemeinen

metrischen Raum gibt es keinen Quotient von Funktionen, aber wenn das Sinn macht, gilt das alles hier genauso. Das alles aus Dana 1 rüber zu ziehen ist eine Einladung auf dem nächsten Übungsblatt. Zumindest teile davon. Aber was wir hier haben ist Polynom durch Polynom und solange das Polynom unten nicht Null ist, ist das schön stetig.

Also spannend ist die Stelle 0. Wie sieht es an der Stelle 0, 0 aus? Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Wanderer in diesem Gebirge. Was heißt Stetigkeit? Stetigkeit heißt, wenn Sie durch das Gebirge auf dem Wanderweg laufen und jetzt laufen Sie auf einem Punkt zu, dann geht es rauf oder runter, aber es geht gemächlich rauf oder

runter und Sie haben, also wenn Sie sich in der Ebene auf einen Punkt zu bewegen, dann bewegt sich Ihr f von xn auf f von x0 zu. Das heißt die Wege sind kontinuierlich.

Wie sieht das hier aus? Stellen Sie sich vor, Sie gehen in diesen Canyon da unten, also Sie laufen auf der Diagonalen, von unten rechts ist der Punkt 1, 1, minus 1, hinten zum Punkt minus 1, 1. Wenn Sie das machen, dann laufen Sie hier die ganze

Zeit auf Höhe minus 1,5 und an der Stelle 0 ist dann plötzlich 0, dann wieder minus 1,5. Wenn Sie oben auf dem Grad lang laufen, dann wird er immer schmaler und irgendwann in der Mitte bricht man plötzlich wieder nach 0 runter und umgekehrt können Sie aber

auch auf der x-Achse laufen. Was auf der x-Achse passiert, sieht man hier sofort. Setzen Sie mal y um gleich 0, ist die Funktion konstant 0. Also wenn Sie auf der x-Achse laufen, dann können Sie schön glatt durchlaufen. Auf der x-Achse ist alles gut, weil an der Stelle 0,0 ist hier 0 definiert. Damit Sie aber auf dem Grad laufen könnten, müssten Sie es an der Stelle 0 als 1,5 definieren und damit Sie

unten im Canyon laufen können, müssten Sie es als minus 1,5 definieren. Das sieht nicht wirklich stetig aus, ist es auch nicht. Und die Idee, wie man jetzt zeigt, dass es nicht stetig ist, die ist in dem ganzen Gesammel schon drin gewesen. Was müssen wir nur tun? Wir müssen irgendeine Folge finden. xn, die gegen 0 konvergiert,

sodass f von xn, yn nicht gegen f von 0,0, also nicht gegen 0,0, können wir zum Beispiel oben auf dem Grad laufen. Also wir schauen uns Stetigkeit in 0,0 an. Dazu betrachten wir eine spezielle Folge. Nehmen Sie die Folge an, ist 1

durch n, 1 durch n. Eine schöne Folge in R2, von der wissen wir, die konvergiert gegen die Stelle 0,0. Sie ist nie 0. Das ist praktisch, weil wenn wir

sie jetzt in die Funktion einsetzen, müssen wir keine Falleinderscheidung machen. Und für alle n aus n kriegen wir das f von an, also f von 1 durch n, 1 durch n, ist dann, setzen Sie es ein, 1 durch n mal 1 durch n, ist 1 durch n²,

geteilt durch 1 durch n² plus 1 durch n². Da steht zwar viel, aber da steht nur ein halb. Und wenn wir jetzt davon den Grenzwert für n gegen unendlich anschauen, dann ist er immer noch ein halb. Aber das ist nicht 0. Und 0 wäre der

Funktionswert an der Stelle 0,0. Stetigkeit heißt, haben wir gerade gesehen, Folgenstetigkeit für jede Folge, die gegen die kritische Stelle geht, muss f von der Folge gegen den Funktionswert an der kritischen Stelle gehen, tut es nicht, also ist f unstetig. So, wie sieht es mit der

Funktion g aus? Fieserweise sieht die von der Funktionsvorschrift ja fast genauso aus. Das eine lumpige Quadrat, was soll das schon machen?

Wenn man sich das Bild anschaut, sieht es schon viel freundlicher aus. Es hat da so einen kleinen Origami-Knick in der Null, aber ansonsten könnte man sagen, es könnte stetig sein. Also ich würde jetzt eher versuchen zu zeigen stetig, als zu versuchen, zu zeigen nicht stetig, zumindest vom Bild her. Also versuchen wir zu

zeigen, das Ding ist stetig. Was heißt das nun? Das heißt, wir müssen zeigen für jede Folge xn,y,n, die gegen 0,0 geht, müssen wir zeigen g von xn,y,n gegen g von 0,0, also gegen 0. Also ich setze g von 0,0 natürlich wieder 0. So, machen wir das.

Also b, wir schauen uns an, die Funktion g von x,y ist x²,y durch x² plus y², solange x,y nicht 0,0 ist und ist 0 im Ursprung und wir zeigen, die Funktion ist stetig.

In dem Sinne ist jetzt wichtig, dass ich 0 an der Stelle 0 genommen habe. Bei der Funktion f war es ziemlich wurscht. Da können Sie 0 nehmen oder ein halb oder minus ein halb oder eins durch Pi. Es wird nie stetig, egal was Sie da nehmen. Im einen Fall machen Sie halt den

Weg auf der x-Achse glatt und dafür fällt man vom Grad runter. Im anderen Fall machen Sie Grad glatt, dafür klappt es im Canyon nicht. Hier ist die 0 jetzt entscheidend, aber ich behaupte, das Ding ist in 0,0 stetig. Wie zeigen wir das? Jetzt kommt das übliche

Problem, wenn man irgendwas widerlegen will, ist immer einfach. Da reicht ein konkretes Beispiel, wie vorhin beim f. Jetzt müssen wir Stetigkeit, da müssen wir zeigen, für jede Folge geht es gut, egal wie der Wanderer übers Gebirge läuft. Er stolpert nicht. Also was wir uns hernehmen, ist eine Folge a n in R2, die gegen 0 konvergiert

und jetzt aber irgendeine beliebige Folge. Und wir müssen zeigen, dann geht f von a n gegen f von 0, also gegen 0. G von a n gegen g von 0. So eine Folge a n in R2 hat zwei Komponenten.

Ich will die mal kurz taufen. Ich nenne die mal x n und y n. So was muss ich tun? Ich muss zeigen, ich muss mir anschauen, g von a n und muss zeigen, das geht gegen 0.

Alter Reflex, ich muss zeigen, irgendwas geht gegen 0, erstmal Betrag. Weil wenn ich zeigen muss, irgendwas geht gegen 0, dann zeige ich Betrag gegen 0, das ist genauso. So jetzt ist natürlich die Frage, was ist g von a n? a n könnte zufällig mal auch 0,0 sein. Ja,

es ist ja nicht verboten. Wir gucken uns kein Funktionsgrenzwert an, wir überprüfen Stetigkeit. Müssen wir also irgendwie Fallunterscheidungen machen. Wir fangen mal an mit dem spannenden Fall, wenn x n nicht 0 ist. Wenn x n nicht 0 ist, dann ist x n, y n nicht 0,0. Also dann gilt obere Zeile von der Definition von g. Dann ist das dasselbe wie x n² mal y n

durch x n² plus y n². Betrag, habe ich ja gesagt. So der Betrag, der betrifft nicht besonders viel. Das ganze Quadratzeug ist e-positiv, x n² durch x n² plus y n².

Was übrig bleibt, ist der Betrag y n. Wenn man jetzt genau hinschaut, dann schreit ein das Sandwichtheorien geradezu an, weil das Ding hier ist ja kleiner gleich 1. Wenn er größer als Zähler oder größer gleich Zähler. Also ist das da kleiner gleich Betrag y n. Betrag y n geht aber gegen 0, weil x n, y n gegen 0,0 geht.

Das ganze ist größer gleich 0. Also nach dem Sandwich. Jetzt müssen wir noch aufpassen. Das ganze war nur für x n ungleich 0. Wobei für x n gleich 0 ist das das Gleiche. Weil für x n gleich 0 ist wurscht, was y n ist, g von a n immer 0.

Also entweder ist y n auch 0, dann sind wir in der unteren Zeile und wenn y n nicht 0 ist, dann steht aber in dem g 0 mal y. Naja und 0, 0 konvergiert auch gegen 0. Also 0 ist auch kleiner gleich Betrag y n. Also egal wie, Betrag g von a n liegt immer

zwischen 0 und Betrag y n. Und dementsprechend kriegen wir mit dem Sandwich Theorien, dass der Limous n gegen unendlich von Betrag g von a n 0 ist und damit auch der Limous n gegen unendlich von g von a n 0. Und das bedeutet gerade g ist stetig. Das ist

g von 0,0. Also ist g stetig. So, das war einfach als Beispiel für solche Funktionen. Noch viele, viele solche Funktionen werden folgen. Auch die Bilder werden wir

mindestens einmal in der Vorlesung sehen. Was man mitnehmen kann ist, so eine Vorstellung von solchen Funktionen zu entwickeln ist gut. Das ist dann natürlich nicht unbedingt eine Vorstellung für eine Funktion von R7 nach R19, aber eine Krücke, um sich es wenigstens annäherungsweise vorzustellen. Und das andere, was man mitnehmen kann,

ist, ob so eine Funktion sich stetig nach 0 fortsetzen lässt oder nicht, ist bei diesen Mistblistern leider mit dem Auge sehr schwer zu sehen. Hängt an diesem einen publiken Quadrat an. Das ist entweder, da hat man damit sehr viel Erfahrung oder man muss halt jedes Mal wieder gucken oder das ist das Tolle heutzutage, Rechner

anschmeißen und sich mal einen Plop machen lassen. Da hätten sich die Leute vor 30 Jahren, glaube ich, sehr drüber gefreut. So, jetzt ist erstmal genug gequatscht. So, ich würde dann gern in den zweiten Teil, wenn auch nicht mehr ganz die zweite

Hälfte einsteigen. Und Thema jetzt, das ist wieder sowas wo ich sagen würde, das ist ein Beispiel im weiteren Sinne. Verschiedene von Ihnen werden mich dafür schlagen, dass ich das Beispiel nenne. Das weiß ich, weil es ist jetzt

nicht wie gerade eben ein Beispiel mit mit klaren X und Y, sondern ein Beispiel für eine ganze Klasse von Funktionen, mit deren Städtigkeit ich mich jetzt auseinandersetzen will. Wir gehen vom allgemeinen metrischen Raum weg. Wir gehen in den normierten Raum. Wir gehen in den Vektorraum. Was sind die wichtigsten Abbildungen auf normierten Vektorräumen? Lineare Abbildungen oder

sozusagen die einfachsten Abbildungen. Sagen wir mal außer konstanten. Das sind immer die alle einfachsten, aber die sind meistens langweilig. Aber die nächsten spannenderen Abbildungen, mit denen Sie sich ja jetzt auch in der Parallelvorlesung lineare Algebra akribisch und viel beschäftigen, sind lineare Abbildungen. Spannende Frage, wie sieht es mit

Städtigkeit von linearen Abbildungen aus? Würde man jetzt erst mal annehmen, es soll es schön, dass es lineare Abbildungen geben. Lineare Abbildungen müssen doch stetig sein. Vorsicht, nicht immer. Trotzdem haben sie ein paar bemerkenswerte Eigenschaften, was die Städtigkeit angeht. Und die fassen wir erst mal zusammen und im Lauf der

nächsten Volllesung unterhalten wir uns dann über die Frage, ob und wann die immer stetig sind. Also wir schauen uns lineare Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen an. Kleiner Gruß an die Parallelveranstaltung. Das einzige, was jetzt hier zusätzlich zur linearen Algebra

dazu kommt, ist der hier. Also wir haben jetzt nicht nur zwei Vektorräume, sondern zwei normierte Vektorräume. V mit einer Norm auf V und W mit einer Norm auf W. Was mir jetzt natürlich passieren kann, ist, dass ich in den Notationen furchtbar abweiche. Aber ich werde mich wahrscheinlich eh nicht auf

eine mit Ihnen einigen können, weil wahrscheinlich ist in der linearen Algebra für Physikerinnen und Physiker auch schon wieder alles anders als in der linearen Algebra bei uns. Also nehme ich einfach meine Notation. Also zwei normierte Vektorräume und eine lineare Abbildung. Ich nenne die jetzt mal Groß T. Da gibt es verschiedenste Varianten. Als ich im Studium war,

waren lineare Abbildungen, große griechische Buchstaben. Dann habe ich hier kennengelernt, dass es auch Leute gibt, die kleine F schreiben oder sowas. Ich nehme jetzt mal Groß T. Groß T, lineare Abbildung von einem Vektorraum in den anderen. Und dann gilt die folgende, zu

Teilen bemerkenswerte, Äquivalenz von Aussagen. Zunächst mal T. Wir charakterisieren, wann ist T stetig auf V? Also wann ist T eine stetige lineare Abbildung? Und ich behaupte, das ist genau dann der Fall, wenn es einen

Punkt in V gibt, in dem T stetig ist. Für lineare Abbildung gilt das sogenannte Musketierprinzip alle für ein. Sprich der Existenzquanto als gleich der Alquanto. Wenn es einen Punkt gibt, in dem das Ding stetig ist, dann ist

sie überall stetig. Wenn sie irgendwo nicht stetig ist, ist sie in Das ist schon mal eher überraschend. Liegt aber an der Linearität, werden Sie gleich sehen. Man kann sozusagen Stetigkeit an einem Punkt über die Linearität überall anders hinschieben. Dann drittens, für lineare Abbildung

fallen sehr viele Stetigkeitsbegriffe zusammen. Stetigkeit ist für lineare Abbildung nämlich gleichbedeutend mit Lipschitzstetigkeit. Wir haben in der 1 gesehen, da ist eigentlich ein großes Loch dazwischen. Aber für lineare Abbildung ist entweder alles oder nichts. Also sowohl im Sinne von entweder

überall oder nirgends und wenn stetig, dann gleich Lipschitzstetig. Und dann gibt es noch eine dritte äquivalente Bedingung, die jetzt erstmal nice to have ist, die uns dann im fünften Semester in der Funktionalanalysis sehr, sehr beschäftigen wird. Das ist die folgende. So eine Abbildung ist genau dann stetig eine lineare Abbildung, wenn es eine konstante C

gibt, sodass die Norm von allen Bildern, also die Norm in W von Tx kontrolliert werden kann durch C mal die Norm von x in V. Und das muss gelten für alle x. Das will ich jetzt noch zeigen, dass diese vier Aussagen alle Äquivalenzen.

Und unser Beweis läuft so, wir gehen von 1 nach 4 und dann mühsam die Also ein Ringschluss 1, 2, 3, 4, 1. 1, 4, 3, 2, 1. So, wobei es natürlich am Anfang in den

Fingern juckt, erstmal von 1 nach 2 zu gehen, weil der Beweis von 1 nach 2 ist schwierig. Aber so rum ist ein bisschen effizienter, also geht ein bisschen schneller. Also wir fangen an mit 1 nach 4. Wir wollen zeigen, wenn T stetig ist, dann gibt es

höchstens um den Faktor C streckt, dass das ja was da steht. Das Bild unter T von einem Vektor ist immer höchstens ein Faktor C größer als der Vektor selbst. So, erstmal wie sieht es aus,

wenn x 0 ist. Wenn x 0 ist, dann steht bei 4 auf der linken Seite 0 und auf der rechten Seite 0, weil lineare Abbildungen vor allen Dingen, weil sie 0 nach 0 schicken. Dann geht die Aussage da unten für jedes C. Also x gleich 0 ist okay. Egal was wir jetzt machen,

x gleich 0 erfüllt das auch. So, also ab jetzt x ungleichen. Ich will gleich durch die Norm von x teilen, deswegen müssen wir uns das vorher überlegen. So, wir wissen T ist stetig auf ganz V. Ich nutze nur, dass T in 0 stetig ist. Das reicht schon. Also T ist stetig in 0 als

V. Also Stetigkeit ausnutzen ganz nach Definition. Geben Sie sich einen Epsilon vor. Ich nehme mal Epsilon gleich 1. Zu Epsilon gleich 1 gibt es ein Delta größer 0, so dass der Abstand von

y zu 0 kleiner ist als Delta. Mal kurz überlegen in Abständen und Metriken und so weiter. Die Metrik im Vektoraum ist ja jetzt Norm von der Differenz. Also was ich hier hingeschrieben habe für Epsilon gleich 1. Hier Epsilon gleich 1 gibt es ein Delta größer 0, so dass für

jedes x in V das Abstand zu x 0, x 0 ist hier 0, also wo der Abstand zu 0 kleiner ist als Delta, also jedes Y, das Abstand zu 0 kleiner ist als Delta, ist das Bild f von x, also T y

minus T 0 kleiner als Epsilon. Epsilon ist 1. Das ist Stetigkeit mit Epsilon gleich 1 im Vektoraum. Natürlich steht hier

Nichts anderes als die norm von t y, weil t 0 ist 0 und das hier ist natürlich auch einfach die norm von y. Das war nicht so schlau.

Also was haben wir jetzt? Wir wollen ja eigentlich 4 zeigen, also wir wollen zeigen, dass die norm in W von t x kontrolliert werden kann durch eine Konstante mal die norm von x in V. Also geben sie sich irgendein x in V vor.

Also und zwar ein x in V, das nicht 0 ist. Die 0 haben wir ja schon abgearbeitet. Also für alle x in V, das nicht 0 ist, können wir das, was hier unten steht, gar nicht anwenden, weil das gilt ja nur für y, also für y

der Betrag, der norm kleiner ist als delta, nur für kleine. Aber das schöne im Vektoraum ist, sie können skalieren. Also was wir uns anschauen können, ist, nehmen sie mal den Vektor delta x geteilt durch 2 mal die norm von x in V.

Warum mache ich das? Naja, schauen sie mal an, was die norm von dem ist. Die norm von dem ist, ziehen sie mal alles raus, was Skalar ist. Das ist alles Skalar, können sie mit Homogenität rausziehen,

bleibt die norm von x in V übrig und dann kürzen wir ein bisschen und dann ist das Ding, hat das Ding Länge kleiner. Ich habe den Vektor x so zusammengestaucht, dass seine Länge delta halber ist. So, das heißt aber, dieser Vektor hier, der ist eine zulässige Setzung für das y da drüben. Also,

was wir uns anschauen müssen, ist Txw. Jetzt will ich aber ja diesen gestauchten Vektor haben und jetzt rettet mich die Linearität von T. Jetzt kann ich innen drin

T von delta x durch 2 norm x V-Norm von x nehmen und damit ich das wieder gut mache, schreibe ich einfach davor, 2 mal die V-Norm von x geteilt durch delta. Weil T linear ist, können wir das Ding da reinziehen, kurz sich alles raus, steht T.

Also, das ist jetzt, an der Stelle geht massiv ein, dass das T nicht irgendeine Funktion ist, sondern T eine lineare Funktion ist. Gut. Jetzt ist die Norm in W genauso homogen, das heißt, diesen ganzen

Skalarkwatsch da vorne, können sie nach vorne ziehen, das ist 2 norm V-Norm von x geteilt durch delta. Mal die T-Norm, mal die Norm von T angewandt auf delta x, mal 2 mal die, geteilt durch 2 mal die Norm von x. So, dieses delta x durch 2 norm von x hat aber Länge delta halber, kleiner als delta.

Ist also so ein y, das heißt, die Norm von T y ist kleiner als 1. Also das ganze Ding hier, also stellen sich das hier als ein y vor, dann kriegen sie raus, das Ding ist kleiner als 1,

also ist das kleiner als 2 durch delta mal Norm x in V und das ging für alle x. Was jetzt da steht, ist die W-Norm von T x lässt sich beschränken. Durch eine positive Konstante, nehme ich 2 durch delta, mal die Norm von x. So, damit sind wir bei 4. Jetzt müssen wir von 4 wieder rauf,

von 4 nach 3, von 3 nach 2, von 2 nach 1. Also gehen wir von 4 nach 3, wir wollen zeigen, wenn so eine lineare Abbildung diese Eigenschaft 4 hat, also dass sie,

dass sie keine Länge keines Vektors und mehr als den Faktor c erhöht, dann ist sie Lipschitz stündig. Keine Länge erhöht und mehr als den Faktor c, hört sich schon verdammt Lipschitz städtisch an. Ist auch ganz nah dran, schreiben sie es einfach hin. Für alle x, y in V

müssen wir was anschauen, müssen uns anschauen, den Abstand von T x zu T y in W und Lipschitz städtisch heißt, wir können das abschätzen durch eine Konstante, meistens L genannt, mal Norm von x-y. So, jetzt hilft uns wieder die Linearität.

T x-T y ist wegen T linear dasselbe wie die Norm von T x-y. Das ist wieder Linearität von T, Sie sehen, in jedem Schritt geht das ein. Jetzt kann ich 4 verwenden, das ist kleiner gleich Konstante, mal Norm von x-y in V und was da steht, ist Lipschitz städtisch.

4 ist extrem nah an Lipschitz städtisch dran. Gut, weiter nach oben, von 3 nach 2, das ist der schönste Teil von dem Beweis überhaupt. Was müssen wir zeigen? Jede Lipschitz städtische Funktion ist städtisch in einem Punkt.

Irgendwo geht es mal mächtig den Hang runter. So, das ist hier. Bleibt noch 2 nach 1. 2 nach 1 ist die Magie, die vorhin angesprochene, was wir jetzt zeigen ist, wenn eine lineare Abbildung an einer Stelle städtisch ist, dann überall. Das ist eine absolut tolle Eigenschaft von linearen Abbildungen, das würde ich mir so oft wünschen, wenn eine Funktion, die an einer Stelle städtisch ist, dann ist sie überall stehen.

Das ist übrigens ein Effekt, der man bei linearen Abbildungen häufiger mal hat. Also, dass schöne Eigenschaften, die es an einem Punkt gibt, sich auf alles, nicht immer, aber viele schöne Eigenschaften gilt das. Und der Trick, wie man das hinkriegt, ist immer der, wie er jetzt auch kommt, dadurch, dass das Ding linear ist, kann man sich alles auf die Stelle, wo man was weiß, hinschieben.

Was meine ich damit? Also wir gehen davon aus, dass unsere Funktion T städtisch in irgendeiner Stelle x0 aus v ist. Und wir müssen zeigen, sie ist dann auch städtisch in y und y ist irgendeine beliebige Andere.

Was müssen wir dafür, oder können wir dafür tun, um Städtigkeit in y nachzuweisen, wir nehmen uns eine Folge her, die gegen y kombiniert und zeigen Txn gegen Ty. Also, wir nehmen uns eine Folge, Folge in v, die gegen dieses y konvergiert und stellen fest, jetzt müssen wir uns anschauen, was macht Txn.

Wir wissen was an der Stelle x0. An der Stelle x0 wissen wir, da ist das T städtisch.

Wir können uns denn aus dieser Folge xn eine bauen, die gegen x0 konvergiert. Auf die gnadenlose Methode, nehmen Sie die Folge xn, ziehen Sie den Grenzwert y ab und packen Sie den Grenzwert x0 dazu. Also wir schauen uns an, die Folge xn plus x0 minus y. Das ist immer noch eine Folge in v.

Und was ist jetzt deren Grenzwert? Naja, Linearität vom Grenzwert. Limes von xn plus x0 minus y. xn geht gegen y, das ist also y plus x0 minus y und das ist eigentlich in jedem Vektorraum x0.

So, also ist das eine Folge, die gegen x0 konvergiert. Jetzt wissen wir also, was T von dieser Folge macht. Und damit kriegen wir jetzt auch raus, was Txn macht, weil unsere Abbildung freundlicherweise linear ist. Also was uns interessiert ist, der Limes n gegen und endlich von Txn.

Und dann geht es da am Schluss, T von y steht, ist alles gut. xn geht gegen y, wir wollen Städtigkeit, wir wollen zeigen Txn geht gegen Txn. So, über xn wissen wir nicht viel, außer das gegen y konvergiert, aber unsere Folge xn plus x0 minus y, die ist toll.

Also müssen wir dafür sorgen, dass die auftaucht. Also xn plus x0 minus y minus x0 plus y. Die richtige Null zur richtigen Zeit hilft viel.

Jetzt ist wieder unser T linear. Super. T ist linear. Also können wir dafür sorgen, dass auch T von unserer, über die wissen wir viel Folge dasteht, Limes n gegen und endlich von T von xn plus x0 minus y plus T von y minus x.

Linearität von T. Das hintere Ding, den Grenzwert von dem hinteren da, der ist freundlich, weil der hängt nicht von n ab. Konstante Folge ist immer gut. Das vordere konvergiert gegen x0, gegen Tx0.

Also können wir den ganzen Grenzwert da ausrechnen. Also ist das gleich.

Also ist das gleich. Der vordere Grenzwert ist Tx0, wegen der Stetigkeit von T in x0. Aber das Gleiche hat er gehabt.

Stetigkeit von T in x0, die Folge geht gegen x0, also geht Limes von T von der Folge gegen Tx0. Das da hinten ist konstant, ist T von y minus x0.

Noch ein letztes Mal Linearität von T. Das ist Tx0 plus Ty minus Tx0. Na ja, das ist Ty. Also ist T stetig in y. So, damit sind wir jetzt von 4, 3, 2, 1.

Haben wir unseren Ringschluss fertig. Und haben gezeigt, dass diese ganzen Eigenschaften für lineare Abbildungen dasselbe sind. Die Frage ist, ob Lipschitz stetig nicht unbedingt stärker ist als stetig. Doch natürlich nur bei linearen Abbildungen nicht.

Also Lipschitz-Stetigkeit ist weiterhin ein deutlich stärkerer Begriff als Stetigkeit, weil es immer noch viele stetige Funktionen gibt, die nicht Lipschitz-Stetig sind. Aber lineare Abbildungen. Für lineare Abbildungen ist das das gleiche. Eine stetige lineare Abbildung ist automatisch Lipschitz-Stetigkeit. Aber eben nur eine lineare Abbildung. Also das ist grundsätzlich an diesem Satz wichtig.

Wenn man stundenlang und jahrelang mit linearen Abbildungen arbeitet, dann hat man manchmal so den Reflex, so im Überschwangen jede Abbildung als lineare Abbildung zu behandeln. Ich weiß nicht, ob das Ihnen auch schon mal passiert ist, dass man eine Funktion in der Anna hat und soll zeigen, sie ist injektiv und rechnet mal den Kern aus.

Und dann irgendwann merkt er so Quatsch. Also natürlich gibt es nicht lineare Abbildungen, deren Kern nur die Null enthält, die trotzdem nicht injektiv sind. Nehmen Sie zum Beispiel x². Null, Null ist trotzdem nicht injektiv.

Aber das kann einem hier natürlich auch passieren. Aber der Satz gilt natürlich nur für stetige, nur für lineare Abbildungen. Die Welt ist hier nicht insgesamt so schön. Aber lineare Abbildungen sind wichtig und wir haben gesehen, die haben schöne Eigenschaften. Noch ein bisschen.

Hier steht es schon nicht mehr da. Wir haben gesehen, ich schreibe es nochmal hin, Bemerkung 5.13, 5.12 kommt auch gleich, keine Sorge. Bemerkung 5.13.

Wir haben gesehen, T, also T-lineare Abbildung von V nach W, dann ist äquivalent T stetig. Genau dann, wenn diese Eigenschaft 4 gilt, es gibt eine Konstante größer als Null,

sodass die W-Norm von T x immer kontrolliert werden kann durch Konstante mal die V-Norm von x. In dem Zusammenhang gibt es einen Begriff, den ich Ihnen sagen will und auch gleich warnen will,

dass man mit dem vorsichtig sein muss. Für diese Eigenschaft, dass T x durch C mal Norm x kontrolliert wird, liest man oft und ist typisch eingespielte Sprechweise, T ist beschränkt. Die lineare Abbildung T ist eine beschränkte lineare Abbildung. Und der Satz oben sagt dann,

für lineare Abbildung gilt beschränkt genau dann, wenn stetig. Vorsicht mit diesem Begriff. Ich weiß nicht, ob Sie es schon gemerkt haben, eine lineare Abbildung, die beschränkt ist, ist nicht im Sinne einer Funktion beschränkt. Also für Funktionen hatten wir beschränkt definiert, als das Bild von der Funktion ist eine beschränkte Menge.

Aus dem Ding folgt niemals, dass so eine lineare Abbildung beschränkt ist. Nehmen Sie die Identität auf R 3, ist eine wunderbare lineare Abbildung und nicht so wirklich beschränkt. Erfüllt aber das natürlich mit C gleich 1. Also wenn jemand sagt, eine lineare Abbildung ist beschränkt, dann ist üblicherweise das gemeint,

beschränkt lineare Abbildung im RD gibt es nicht so wahnsinnig viele, beschränkt im Sinne von Funktion ist genau die Nullabbildung, sonst nix. Weil eine lineare Abbildung muss ja linear wachsen, wenn irgendwie Sie was einsetzen, was linear wachsen ist. Geht ja gar nicht anders. Deswegen ist an der Stelle auch nicht viel Gefahr, dass man es verwechselt,

weil eine beschränkte im normalen Sinne lineare Abbildung ist ein sinnfreier Begriff. Deswegen gibt es diese Überladung des Begriffs, aber man muss eben aufpassen, dass das ein überladender Begriff ist. Also wenn jemand sagt beschränkt lineare Abbildung, ist üblicherweise diese Form der Lebensschützstädigkeit gemeint.

So das war der eine Kommentar. Aber den Begriff, der ist extrem eingeführt und taucht hundertfach auf, vor dem kann ich Sie nicht schützen. Ich werde ihn auch hundertfach benutzen, insofern sage ich es Ihnen lieber gleich. Das nennt man lineare Abbildung ist beschränkt.

So, warum mache ich so ein Gewesen um viele äquivalente Bedingungen? Ist nicht jede lineare Abbildung stetig? Nein, es ist nicht jede lineare Abbildung stetig und damit Sie mir das glauben, habe ich Ihnen eine Übungsaufgabe mitgebracht als Beispiel. Jetzt könnte ich ganz fies sagen, Übungsaufgabe finden Sie eine nicht stetige lineare Abbildung.

Wo ist sie? Bin ich aufgeschrieben? Ja, da müssen Sie in den Skript gucken.

Da weiß ich aber, dass eine drin steht. Das ist die 515, genau. Sie sehen, ich komme gerade mit meiner Reihenfolge völlig durcheinander. Das hat aber ein System.

Also, ein Beispiel für eine nicht stetige lineare Abbildung wäre, nehmen Sie sich die stetig differenzierbaren Funktionen auf einem kompakten Intervall, zum Beispiel 01 mit der unendlichen Norm, und nehmen Sie darauf einfach die Ableitung.

Ableiten ist eine wunderbar lineare Abbildung. Die Ableitung von alpha f plus beta g ist alpha mal f' plus beta g'. Linearer geht gar nicht. Ableiten ist etwas wunderbar lineares, und aus einer stetig differenzierbaren Funktion wird durch das Ableiten eine stetige Funktion.

Also ist dieses Ableiten, kann man abstrakt auffassen, als eine lineare Abbildung von den stetig differenzierbaren Funktionen die stetige Funktion. Jetzt nehmen Sie bei den beiden eine Norm, zum Beispiel die unendliche Norm, und dann behaupte ich, auf die Weise können Sie, dieses Ding ist nicht stetig.

Und wenn Sie noch einen Hinweis brauchen, dann gucken Sie sich mal die Funktionenfolge an. Fn von t ist gleich Sinus von n²t geteilt durch n.

Und damit lässt sich zeigen, das Ding ist keine stetige Lineare. Also es gibt tatsächlich unstetige lineare Abbildungen. Insofern lohnt es sich, die stetigen linearen Abbildungen besonders herauszuheben.

Wenn Sie sich die Übungsaufgabe anschauen, stellen Sie fest, um so eine unstetige lineare Abbildung hinzuschreiben, habe ich wieder irgendwelche wilden unendlich dimensionalen Räume genommen. Das ist kein Zufall. Wir werden noch sehen, jede lineare Abbildung auf einem stetigen, auf einem endlich dimensionalen Raum ist tatsächlich stetig. Also solche Gemeinheiten können nur auftreten in unendlich dimensionalen.

Jetzt kann man daraus zwei Schlussfolgerungen ziehen. Entweder unendlich dimensional fand ich schon immer bä, oder die richtigere, im unendlich dimensionalen fängt die spannende Mathematik überhaupt erst an. Und ich habe aber auch schon mehrfach gesagt, niemand hier ist voll dem unendlich dimensionalen sicher.

Insbesondere alle Fachrichtungen, die hier sitzen, kriegen mit dem Zeug zu tun. Auch die Physik, wie gesagt Quantenmechanik. In der Quantenmechanik beschäftigt man sich dreiviertel der Zeit mit ungeschränkten Linearenoperatoren auf einem Hilbertraum.

Eigentlich ist Quantenmechanik nur Theorie von ungeschränkten Linearenoperatoren auf dem Hilbertraum. Und unstetigen Linearenoperatoren auf Hilbertraum. Zum Beispiel Ableiten. Deswegen lohnt es sich, die linearen Abbildungen, die brav sind,

auszuzeichnen mit dem Label stetig und in eine schöne Menge zu packen. Also sein wie der V und W normierte Räume. Dann notiere ich jetzt hier mit geschwungen L von VW die Menge aller linearen und stetigen Abbildungen von V nach B.

Also wenn ich dieses geschwungene L schreibe, dann heißt das immer lineare Abbildungen von dem vorderen in den hinteren Raum und stetig. Dann gibt es noch die Kurzform L von V. Das steht einfach für stetige lineare Selbstabbildungen von V.

So, das ist jetzt erstmal nur eine Menge. Die Menge der stetigen linearen Abbildungen von V nach W. Das ist nicht nur eine Menge, das ist etwas wunderschönes. Wenn V und W normierte Vektoräume sind, ist nämlich diese Menge der stetigen linearen Abbildungen

wieder ein normierter Vektorraum. Das kennen Sie aus der Linie an Algebra. Die Menge aller linearen Abbildungen von da nach da ist auch wieder ein Vektorraum. Aber er ist nicht nur, in dem Fall nicht nur ein Vektorraum, sondern wir können auch eine Norm drauf definieren. Das ist der Inhalt vom Satz 512. Also V und W. Ich brauche jetzt gleich drei.

Also V, W und X seien normierte Räume mit jeweiliger Norm. Normierte Räume. Und damit das, was dann hinten steht, auch sauber stimmt, habe ich mich ein Tutor freundlicherweise darauf hingewiesen,

müssen V und X interessante Vektorräume sein und nicht der Nullraum. Gut. Und dann behaupte ich, jetzt können Sie sich die stetigen linearen Operatoren von V nach W angucken oder die stetigen linearen Abbildungen von V nach W. Und ich behaupte, auf denen kann man wieder eine Norm definieren.

Und zwar eine Norm, nicht nur irgendeine, man kann natürlich viele Normen darauf definieren, aber man kann eine Norm darauf definieren, die zu den Normen auf V und auf W passt. Ich schreibe die mal mit T, Index, V nach W. Und zwar bilden Sie das Maximum

in W von T, X, wobei X in V ist und die Norm von X in V gleich 1. Also nehmen Sie sich alle Lektoren X mit Norm gleich 1. Eine der Gründe dafür, warum V nicht der Nullraum ist. Setzen Sie ins T ein, schauen Sie sich die Längen an

und nehmen Sie sich die maximale Länge dabei aus. Gut, für den Moment schreibe ich da vielleicht besser Supremum, da noch nicht klar ist, dass das auch existiert. Das kommt gleich heraus. Also Supremum von dieser Menge. Dass das Supremum existiert, also dass die Menge beschränkt ist, ist klar,

weil T ist eine stetige Abbildung. Das heißt, dieses T, X wird höchstens um die konstante C größer, um so eine konstante C größer. Die Beschränktheit von stetigen linearen Abbildungen. Also diese Operatornorm, diese Norm hier, ist gleichzeitig das beste C in dieser

das beste C in dieser Beschränktheitsabschätzung aus Bemerkung 513. So, aber die Behauptung von dem Satz ist erst mal, das Ding ist eine Norm, ist eine Norm auf den stetigen linearen Operatoren von V nach B. Das Ding wird üblicherweise als Operatornorm bezeichnet

oder im endig-dimensionalen Setting auch gern assoziierte Matrixnorm oder nur Matrixnorm. Im endig-dimensionalen können Sie natürlich zu den linearen Abbildungen eine Matrix assoziieren. Deswegen entspricht das dann der Norm von der Matrix.

Mit den assoziierten Matrixnormen werden Sie sich in den Numerikvorlesungen viel beschäftigen. Die spielen da eine große Rolle. So, diese Norm aus A hat ein paar schöne Eigenschaften. Hier sind zwei. Erstens, wenn Sie jetzt irgendeinen X aus V nehmen

und die W-Norm von T, X anschauen, dann ist das immer kleiner gleich der Operatornorm von T mal die V-Norm von X. Das gilt für jede lineare Abbildung von V nach W und jetzt für jedes X in V.

Wenn X-Norm 1 hat, ist das klar. Dann ist das genau die Definition der Operatornorm. Aber ich behaupte, das gilt auch für beliebige X in V. Und das zweite ist die sogenannte Submultiplikativität

der Operatornorm. Wenn Sie zwei lineare Abbildungen hintereinander schalten, also jetzt ist dann, T ist dann eine lineare Abbildung von V nach W und S ist eine lineare Abbildung von X nach V. Dann macht T S Sinn.

S geht von X nach V, T von V nach W. Also geht das Ganze hier von X nach W. Und die Behauptung ist, die Operatornorm von der Hinterlanderausführung ist kleiner gleich der Operatornorm von T ist jetzt ein Operator von X nach V von V nach W

mal die Operatornorm von S als Abbildung von X nach V. So, den ganzen Kram überlasse ich Ihnen als Übung. Das ist alles nicht besonders schwer. Also muss halt die Normaxiome nachrechnen von dem Ding da und dann diese Ungleichung zeigen.

Und dann als weitere Anregung in dem Zusammenhang, ist es gut, sich mal für spezielle Wahlen von, einfache Wahlen von V, W, X und den Normen da drauf zu überlegen, wie sieht denn diese komische Operatornorm jetzt aus.

Also nimmt man sich mal zum Beispiel den R2, den R3 oder den RD und packt da mal irgendeine einfache Norm drauf, zum Beispiel auf beide die unendliche Norm. Und dann kann man tatsächlich ausrechnen, wie sieht diese Operatornorm aus. Also wir nehmen mal V, RD mit der unendlichen Norm

und W, meinetwegen nehmen Sie eine andere Dimension, RP mit der unendlichen Norm und dann eine lineare Abbildung von V nach W. Da schreibe ich jetzt mal A. Dann denken Sie alle schon mal an eine Matrix. Also eine lineare Abbildung von V nach W,

gegeben durch eine Matrix. Ja, insofern... Also die lineare Abbildung und die Matrix geht bei mir hier jetzt durcheinander. Alle Linear Algebra Profs bitte weggucken. Dann ist die Operatornorm der zur A gehörigen linearen Abbildung

genau gegeben durch folgenden Ausdruck. Sie nehmen das Maximum über die Spalten von der Matrix und bilden in jeder Zeile die Einsnorm der Zeile. Also sie nehmen den Betrag AJK,

AJK die Matrixeinträge, bilden in der J-Zeile jeweils die Einsnorm, die Zeilensumme und dann nehmen sie die maximale Zeilensumme. Deswegen nennt das Ding sich auch Zeilensummenorm.

Und die Einladung ist nachzuprüfen, dass das tatsächlich die Operatornorm ist, die man mit obiger Definition kriegt, wenn man diese Wahlen von V und W trifft. Im weiteren Skript oder der weiteren Vorlesung

werde ich diese Norm immer mit dem Index ZS wie Zeilensumme betiteln. Die brauchen wir noch ein, zwei Mal. So, also wir haben jetzt gezeigt,

nicht unbedingt jede lineare Abbildung ist stetig, aber wenn sie irgendwo stetig ist, ist sie überall stetig und auch sofort Lipschitz stetig. Dazu Äquivalent ist beschränkt. Wir haben alle linearen Abbildungen in eine Menge gepackt, alle stetigen linearen Abbildungen in eine Menge gepackt und festgestellt, diese Menge wird dann wieder normierter Vektoraum

mit einer schönen Norm, die schöne Eigenschaften hat. Das sind alles so Sachen, auf die wir dann im weiteren Verlauf der Vorlesung und der folgenden Vorlesung wieder zurückgreifen werden. Im Moment wäre damit das einleitende Kapitel

zur Stetigkeit beendet. Und in der nächsten Vorlesung schauen wir uns dann Eigenschaften stetiger Funktionen an. Das heißt, das Ziel ist wieder sowas zu finden wie stetige Funktionen auf einem Kompaktum mit Maximum und Minimum an, wobei Max und Min natürlich auf einem metrischen Raum mit Vorsicht zu genießen ist.

Aber eben Sätze über stetige Funktionen, das ist das Ziel der nächsten Vorlesung für heute. Danke für die Aufmerksamkeit, wünsche schönes Wochenende und bis nächste Woche.