So, dann mal ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung, die die ungewöhnliche Situation hat, dass wir tatsächlich eine neue Vorlesung mit neuen Kapitel anfangen zu wollen. Neues Thema, kurz und bündig die

Überschrift Zusammenhang. Das ist natürlich die Frage, was meine ich damit? Ups, der Zusammenhang mit dem, was wir bisher gemacht haben, von dem Kapitel lässt sich am besten darüber herstellen, dass das Ziel ist, eine

Verallgemeinerung, ein Substitut für den Zwischenwertsatz zu kriegen. Erinnert sich auch, schöner Satz über stetige Funktionen auf R. Wenn eine stetige Funktion zwei Werte annimmt, nimmt sie auch jeden dazwischen an.

Nur ist in einem allgemeinen metrischen Raum das mit dem Zwischen so ein bisschen schwierig, weil keine Totalordnung und so weiter. Das heißt, den Zwischenwertsatz als solchen werden wir nicht retten können, aber wir werden etwas so ähnlich wie bei dem Satz über Minimum und Maximum auf kompakten Mengen. Wir können einen Satz formulieren, der,

wenn man ihn im Spezialfall R anschaut, genau den Zwischenwertsatz liefert. Im Zwischenwertsatz geht es darum, dass wenn sie eben zwei Punkte haben und eine Funktion, die auf dem Intervall von a bis b definiert ist,

dann ist das Bild des Intervalls a bis b wieder ein Intervall. So kann man es auch formulieren. Zwischenwertsatz sagt Bilder von Intervallen sind Intervalle, stetige Bilder von Intervallen sind Intervalle. Und in der Formulierung wollen wir ihn übertragen. Stetige Bilder von

Klumpen sind zusammenhängende Klumpen. Im RD gibt es jetzt keine Intervalle mehr, aber der Satz wird sein, stetige Bilder von zusammenhängenden Mengen sind zusammenhängt und die Frage ist jetzt nur, was ist zusammenhängt. Wir müssen also definieren, was bedeutet, eine Menge ist zusammenhängt und das ist ein Begriff, bei dem die Intuition völlig klar ist und die

Frage, wenn man sie mathematisch umsetzt, gar nicht so einfach. Meine Intuition ist, diese Menge hier ist nicht zusammenhängt und die Kartoffel ist zusammenhängt. So, aber wie formulieren wir das jetzt? Erste naive Idee, naja, das linke Ding zerfällt irgendwie in zwei Teilmengen,

die in zwei disjunkte Teilmengen. Das ist richtig, aber die hier hinten zerfällt natürlich auch locker in zwei disjunkte Teilmengen. Nehmen Sie als die eine Menge alles hier inklusiv der Linie und die andere Menge ist die hier ohne die Linie, haben Sie das Ding auch zerlegt in zwei disjunkte Teilmengen. Das ist nicht der Punkt. Der Trick ist, der Menge zu

verbieten, in zwei offene Teilmengen zu zerfallen, in zwei disjunkte offene Teilmengen zu zerfallen. Das ist, weil wenn Sie so einen zusammenhängenden Klumpen haben, dann können Sie den in zwei disjunkte Teile zerlegen, aber Sie werden ihn nie in zwei relativ offene disjunkte

Teile zerlegen können, weil diese Trennlinie müssen Sie irgendjemandem zuschlagen. Damit produzieren Sie immer den Rand und das ist genau der Punkt. Während hier, dieses Ding hier, können Sie problemlos zerlegen, ohne einen Rand zu produzieren. Das zerlegen Sie hier irgendwo in der Mitte. Das ist die Idee von der Definition von zusammenhängend, also im

ganzen Abschnitt sei M mit der Metrik D wieder ein metrischer Raum und dann können wir jetzt zusammenhängend genauso definieren. Eine Menge ist zusammenhängt, wenn man sie nicht zerlegen kann, in zwei offene disjunkte

Teile. Zwei offene nicht leere disjunkte Teile. Natürlich können Sie es immer zerlegen, aber das ist jetzt auch keine spannende Zerlegung. Also der metrische Raum M heißt zusammenhängt, wenn für jede

Zerlegung in offene Teilmengen, also wenn für alle O1, O2 Teilmenge M offen, gilt die folgende Implikation, wenn O1 vereinigt mit O2 ganz M ist und

der Schnitt von den beiden leer, also wenn sie M zerlegen können in zwei offene disjunkte nicht leere Teilmengen, nee, wenn sie M zerlegen können in zwei

offene disjunkte Teilmengen, dann geht das nur trivial, dann geht das nur so, dass entweder O1 die leere Menge ist oder O2 die leere Menge. Sie können jeden Raum M zerlegen in die leere Menge plus vereinigt mit M, das können Sie machen.

Aber eine zusammenhängende Menge kann man offen nur so zerlegen. Das ist das, was diese Definition sagt. Eine Menge ist zusammenhängt, wenn die einzigen Zerlegungen in zwei disjunkte offene Teilmengen, die banalen sind, leer und alles und alles und leer. So, das Entscheidende ist hier, dass da

offen steht. Ich habe jetzt hier wieder zusammenhängt für einen metrischen Raum definiert. Beachten Sie, damit macht auch Sinn zu sagen, diese Kartoffel hier oben ist zusammenhängt als Teilmenge von R2, weil jede Teilmenge von R2

ist ja ein metrischer Raum mit der induzierten Metrik. Also Zusammenhang für eine Teilmenge X von M wieder über die induzierte Metrik. Passen Sie X als metrischen Raum auf mit der induzierten Metrik und wenden

Sie dann die Definitionen. An der Stelle sei noch mal dringend an das Thema Offen in Teilmenge erinnert. Ich war mal so eine Warnung vor ein paar Wochen. Wenn Sie das so machen, also wenn Sie überprüfen wollen, ob eine Menge zusammenhängt ist, dann geht es um offene Teilmengen dieser Menge. Also

relativ bezüglich der induzierten Metrik, kommen wir nachher noch mal drauf. Das ist eine Stelle, wo man da auf diesen Punkt sehr aufpassen muss. So, bevor ich Ihnen ein, zwei Beispiele hinschreibe, vielleicht eine kurze Umformulierung dieser Definition. So ist es vielleicht ein

handlicher aufgeschrieben. M ist genau dann zusammenhängt, wenn er nur minimal wenige abgeschlossene Mengen hat. Im Englischen gibt es eben das

schöne Wort klopen für eine Menge, die offen und abgeschlossen ist. Kann man schön ins deutsch übersetzen mit abgeschlossen. Der ganze Raum und die leere Menge sind immer sowohl offen als auch abgeschlossen und Zusammenhang lässt sich so charakterisieren. Eine Menge ist, ein metrischer Raum ist zusammenhängt, genau dann, wenn das die einzigen sind, also

genau dann, wenn alles und nichts die einzigen Teilmengen von M sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Die beiden sind es

immer, aber in der zusammenhängenden Menge gibt es nicht mehr. Ja, das ist wie gesagt im Wesentlichen eine Umformulierung von der Definition. Insofern geht auch der Beweisrecht fix von links nach rechts. Also wollen

zeigen, es gibt keine anderen offen und abgeschlossenen Mengen als alles und nichts in dem zusammenhängenden Raum. Nehmen Sie sich eine Teilmenge X von M her, die offen und abgeschlossen ist, dann ist X offen und X-Komplement auch offen, weil X ist ja abgeschlossen.

Komplimente von abgeschlossenen Mengen sind offen. Also sind X und X-Komplement beides offene Mengen und es gilt also, dass X-Schnitt, X-Komplement leer ist,

weil die Menge mit ihrem eigenen Komplement geschnitten ist, immer leer und X vereinigt, X-Komplement ist nach der Definition vom Komplement alles. Das heißt, diese Menge X und die Menge und ihr Komplement bilden genauso eine Zerlegung, wie wir sie in der Definition von zusammenhängt haben. Aus dem Zusammenhang von M folgt also, dass entweder X gleich leer ist,

oder X-Komplement gleich leer und das heißt X gleich leer oder X gleich alles. Also kriegen wir raus, wenn sie eine offen und abgeschlossene

Menge haben. Jede Teilmenge von M, die offen und abgeschlossen ist, gibt ihnen eben eine Zerlegung von M in zwei offene, disjunkte Teilmengen und bei einer zusammenhängenden Menge geht das nur auf die triviale Weise. Umkehrrichtung, im Prinzip gleiche Idee. Wir müssen zeigen, wenn es keine

weiteren offenen und abgeschlossenen Mengen gibt als M und leer, dann ist M zusammenhängt, also müssen wir die Definition von Zusammenhang nachprüfen. Dazu geben wir uns zwei offene Mengen her, also O1, O2, Teilmenge M offen, die

eben die Voraussetzungen von diesem Zusammenhangsdefinition erfüllen, also eine Zerlegung in zwei disjunkte offene Teilmengen, mit erstens O1, Schnitt O2 ist leer, zweitens O1 vereinigt, O2 ist der ganze Raum M und

dann macht man im Prinzip die gleiche Argumentation, wie gerade eben rückwärts. Sie schauen sich das Kompliment von O1, also M ohne O1 an. Das ist dann O2, weil jeder Punkt, der nicht in O1 liegt, muss in O2 liegen,

weil O1 vereinigt, O2 M ist. Jeder Punkt, der in O2 liegt, liegt wegen dem, weil der Schnitt von O1, Schnitt O2 leer ist, nicht in O1, also in O1 Kompliment bei den Mengen stehen. So, jetzt ist O1 offen, O2 offen, also ist O1 offen und

abgeschlossen, also ist O1 nach Voraussetzung offen und es ist Kompliment von einer offenen Menge, also ist es abgeschlossen.

Jetzt haben wir eine offene und abgeschlossene Menge in M, dann folgt nach der Voraussetzung, die ist entweder leer oder alles, liefert O1 ist leer oder O1 ist M und das heißt nichts anderes als O1 ist leer oder O2,

was hier das Kompliment von O1 ist, ist leer und damit haben wir genauer die Definition von Zusammenhängen nachgeprüft, also ist M zusammenhängt.

Dann haben wir also einen Begriff eingeführt, der in einem beliebigen metrischen Raum dieser Anschauung von die Menge bildet, einen zusammenhängenden Klumpen und zerfällt eben nicht in zwei Teile transportiert. Schauen wir uns ein paar Beispiele an,

in dem wird auch nochmal deutlich, was ich vorhin gesagt habe, dass man aufpassen muss, worin hier offen gebildet wird. Nehmen Sie sich das abgeschlossene Intervall 1, 2 vereinigt mit dem abgeschlossenen Intervall 3, 4 in R.

Sinnigerweise ist das eine nicht zusammenhängende Menge, sonst wäre unsere Vorstellung irgendwie komisch. Also das soll bitteschön nicht zusammenhängend sein und die erste Idee, wie man das zerlegt, ist auch

klar, das Ding ist ja irgendwie die vereinigung von dem Intervall 1, 2 mit dem Intervall 3, 4 und dann kann man so im ersten Moment denken, ist aber blöd, weil ich brauche eine Zerlegung in zwei offene Teilmengen. Ja und da muss

man eben wieder jetzt daran denken, dass man in der relativ in der induzierten Metrik unterwegs ist, man beachte dieses abgeschlossene Intervall 1, 2 ist eine offene Teilmenge von dem Ding. Das abgeschlossene Intervall 1, 2 ist offen in 1, 2 vereinigt 3, 4. Warum? Weil entweder ganz nach

Definition, nehmen Sie sich irgendeinen Punkt raus, bilden Sie eine Kugel drum. Wenn Sie da eine Kugel drum bilden, müssen Sie diese Kugel in 1, 2

vereinigt 3, 4 bilden. Nehmen Sie eine Kugel mit radius 1,5 um 1. Das ist das Intervall von 1 bis 3,5. Das ist wunderbar da drin. Sie können es auch anders argumentieren und das ist sozusagen das

abstraktere aber vielleicht verallgemeinerbarere Vorgehen. Wir hatten diese Übungsaufgabe, eine Teilmenge von einer Teilmenge eines metrischen Raums ist offen, wenn es eine offene Menge in dem metrischen Raum gibt, so dass Sie diese Teilmenge schreiben können als Schnitt der

offenen Menge mit mit dem 1, 2 in dem Fall. In dem Fall können Sie dieses 1, 2, dieses Abschlussintervall 1, 2 schreiben, als das offene Intervall von was weiß ich ein halb bis bis 5 halbe offene Teilmenge von R geschnitten mit ihrer Menge hier und damit ist das eine relativ offene Menge

in diesem metrischen Raum 1, 2, 3, 4. Genauso ist auch 3, 4 eine offene Teilmenge von dem Ding. Es ist nicht in R offen, aber in dieser Teilmenge ist es offen und deswegen kann man das hier oben, da steht schon

die Zerlegung, das ist das Ding hier ist offen und das ist offen, also ist dieses Ding eine nicht zusammenhängende Menge, weil es zerfällt eben in zweites Jungte offene Teilmenge. So, ja zusammenhängende Mengen, jeder

normierte Vektorraum als ganzer ist zusammenhängend, insbesondere gut R, C, K, D oder auch zum Beispiel die Einheitskugel in K, D sind wunderbar zusammenhängende Mengen, wenn sie sich im K, D eine offene und abgeschlossene Menge hernehmen,

dann ist die entweder alles oder nichts. Das sind zusammenhängende Mengen und jetzt kommt ein ganz witziger Unterschied zwischen oder ein mag jetzt wie eine Bagatelle aussehen, ist aber in gewisser Weise der geometrisch

entscheidende Unterschied zwischen R und R, D für die Größe eins, wenn sie sich R hernehmen und einen Punkt rausnehmen, zum Beispiel die Null, dann ist das nicht mehr zusammenhängend. Den Zusammenhang von R kann man zerstören,

indem man einen Punkt wegnimmt. Warum ist das nicht zusammenhängend? Na ja, erstens anschaulich, aber zweitens auch nach Definition, man kann diese Mengen dann zerlegen in zwei, diesjunkte, offene Timing. Das ist nicht zusammenhängend.

Was passiert, wenn man im R, D mit D größer eins den Ursprung rausnimmt, also wenn man sich R, D anschaut, ohne den Ursprung, für D größer gleich zwei, gibt halt eine Ebene mit einem Loch drin oder einen Raum mit einem Löchlein

drin, aber wunderbar zusammenhängend bleibt das. Und mit dieser eigentlich banalen Beobachtung können wir gleich nachher einige vielleicht unerwartete Dinge machen. So, wie üblich hat man wahrscheinlich zumindest von der

intuitiven Vorstellung, in R oder in R, D werden sie keine großen Schwierigkeiten haben, zusammenhangend sich zu visualisieren. Wie gesagt, das Problem bei dem Begriff ist weniger die Vorstellung als die mathematische Umsetzung. Deswegen gehen wir vielleicht wieder in extremeremetrische

Räume, schauen wir uns mal die diskrete Metrik an. Was ist mit Zusammenhang, wenn D die diskrete Metrik ist. Und wie üblich ist die diskrete Metrik ein Extremfall, auch in diesem Zusammenhang. Viel

Zusammenhang gibt es da nämlich nicht. In einem diskreten, metrischen Raum ist jede Teilmenge, die mindestens zwei Punkte hat, nicht mehr zusammenhängt. Und das liegt wieder daran, dass in einem

diskreten, metrischen Raum jeder Einzelpunkt offen ist. Das heißt, wenn Sie eine Menge haben, die zwei Punkte enthält, dann können Sie die zerlegen in die Menge, die X enthält und die Menge, die Y enthält. Die Menge, die X enthält, ist offen. In einem diskreten, metrischen Raum ist jede

Menge offen. Also sind die beiden offen und damit haben Sie das Ding, die Menge, schon zerlegt in zwei disjunkte offene Teilmenge. Wenn Sie natürlich mehr als zwei Punkte haben, dann packen Sie die eine Hälfte in die eine und die andere Hälfte in die andere. Und wie Sie die aufteilen, ist völlig wurscht. Jede Teilmenge ist offen. Also kann man auch jede Menge, die

mindestens zwei Punkte hat, zerlegen in zwei nicht-gläretisjunkte offene Teilmenge. Das ist übrigens der Punkt, wo der Name diskret herkommt. Die Menge heißt, diese Metrik nennt man deswegen diskret, wegen dieser Eigenschaft. Weil was heißt das? Das heißt, die Punkte in so einem

metrischen Raum, die liegen alle komplett unzusammenhängend einzeln im Raum rum. Jeder dieser Punkte ist ein eigenes Universum und jeder von denen ist mit keinem anderen zusammenhängend, deswegen diskret. Die liegen an diskreten Stellen im Raum. Die haben alle nichts mehr zu tun. Da kommt der Name diskrete Metrik her.

Also das. Schlussendlich vielleicht noch mal nicht ganz banales Beispiel, den Q in R. Wie sieht es mit den rationalen Zahlen aus? Also die rationalen Zahlen mit der mit der von R geerbten Metrik, von der induzierten Metrik aus R. Das heißt,

mit der Metrik, die durch den Betrag auf Q gegeben ist, ist auch eine nicht zusammenhängende Menge. Warum? Na ja, ich kann Ihnen Q problemlos in zwei offene Teile zerlegen. Nehmen Sie alle rationalen Zahlen zwischen

Minus und Endlich und 2 mit Wurzel 2 und alle zwischen Wurzel 2 und Endlich. Also hier jeweils steht Q. Und dann haben wir eine Zerlegung in zwei offene, disjunkte, nicht leere Teile. So, jetzt habe ich schon gesagt,

diesen Begriff Zusammenhang, der kommt an verschiedensten Stellen vor. Er ist jetzt nicht der prominenteste Begriff in der Analysis, aber immer mal

widerspannend. Und insbesondere ein Punkt, wo man ihn braucht, ist, wenn man so was wie einen Zwischenwertsatz bauen will. Dann kommt der, kommt jetzt. Wie gesagt, den Zwischenwertsatz, so wie wir ihn in einer 1 formuliert haben, werden wir hier nicht kriegen, weil wir kein Zwischen haben. Aber wir

können jetzt, so ähnlich, wie wir das mit der Kompaktheit gemacht haben, wir hatten in R den Satz, stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an. Den haben wir umformuliert im metrischen Raumsetting. Einfach als stetige Bilder von kompakten Mengen sind kompakt. Ready?

Dann kommt der Satz in R als Spezialfall raus. Genauso können wir das hier machen. Stetige Bilder von zusammenhängenden Mengen sind zusammenhängend. Und dann, wenn Sie es jetzt in R anschauen, heißt das, stetige Bilder von Intervallen sind Intervalle. Weil die zusammenhängenden Mengen in R sind die Intervalle. Und dann kommt da genau der Zwischenwertsatz bei raus.

Also ganz allgemein für zwei metrische Räume M und N gilt, wenn Sie stetige Abbildungen von M nach N haben, dann überträgt die Zusammenhang, dann

folgt aus M zusammenhängend, dass das Bild von M, also F von M zusammenhängend in N ist. Das ist jetzt eine Teilmenge von N und dort auch eine

zusammenhängende Teilmenge. Denken Sie M und N gleich R, dann steht da oder denken Sie M eine Teilmenge von R, dann steht da, wenn M zusammenhängend ist, also wenn M ein Intervall ist, dann ist auch F von M zusammenhängend, also F stetig, dann ist F von M zusammenhängend, also sprich auch ein Intervall. Und das ist nichts

anderes als der Zwischenwertsatz. In diesem Sinne ist das hier eine Verallgemeinerung des Zwischenwertsatzes. Wir müssen uns natürlich jetzt einen komplett neuen Beweis einfallen lassen. Wenn Sie in die Zwischenwertsatz bewiesen haben, dann fliegen einem die kleinergleichs und

kleineres und größergleichs nur um die Ohren. Das wird hier nichts. Also das ist jetzt eine Stelle, wo ich mal nicht sagen kann, machen Sie es wie in der 1, hier müssen wir neu arbeiten. Aber wir haben hier auch ein neues Werkzeug, wir haben den Zusammenhangbegriff. Wir zeigen das ganze

Ding per Widerspruch oder per Kontraposition, wie Sie wollen. Wir nehmen an, unser F von M, der nicht zusammenhängt, also wir zeigen, wenn F von M nicht zusammenhängt, ist es auch M nicht zusammenhängt. Also eigentlich ein Kontrapositionsbeweis, wenn man ganz genau unterscheidet, aber egal. Also wir

nehmen an, F von M ist nicht zusammenhängt und dann wird am Ende rauskommen, dass dann auch M nicht zusammenhängt sein kann. So was heißt, F von M ist nicht zusammenhängt? Nach Definition heißt das, wir können diese Menge zerlegen in zwei nicht leere, offene,

disjunkte Timing. Also es gibt zwei Mengen X und Y, Timing von F von M, beide offen und jetzt aufgepasst, natürlich offen in F von M.

Also wenn man es mit Zusammenhang zu tun hat, ist immer offen in dem metrischen Raum gemeint, von dem man redet. Wenn ich zeigen will, F von M ist zusammenhängt, dann muss ich offen in F von M machen. Beide nicht leer. X, Y, beide ungleich leer. X Schnitt Y ist auch leer und die

Vereinigung von X und Y ist ganz F von M. Das ist Definition von nicht, also Kontraposition von zusammenhängend ist nicht zusammenhängt, heißt ich finde

zwei nicht leere, disjunkte, offene Teilmengen, die den ganzen Menge So, jetzt habe ich offen in F von M. Damit fange ich nicht so wahnsinnig viel an, ich hätte gern offen in N. Jetzt müssen wir uns erinnern an die Übungsaufgabe 2,4.

Die hatte ich heute schon mal angesprochen. Die sagt, wenn ich eine Teilmenge ist offen in F von M, also in der Teilmenge X ist offen in F von M, genau dann, wenn ich eine offene Menge in N finde, so dass mein X Schnitt dieser

Menge mit F von M ist. Also mal hingeschrieben. Übungsaufgabe 2,4 sagt, dieses X ist offen in F von M ist äquivalent dazu, dass es ein X-Schlange und gleich nachher genauso für Y-Schlange gibt, Teilmenge N. Offen,

so dass das X das X-Schlange geschnitten mit dem F von M ist und dass das Y das Y-Schlange geschnitten mit dem F von M ist. Teilmenge von F von M ist in F von M

offen, wenn ich sie schreiben kann, als eine offene Teilmenge von N geschnitten mit F von M. So, mit diesen X-Schlange, Y-Schlange können wir jetzt arbeiten.

Irgendwie müssen wir dieses ganze Konstrukt jetzt nach M rüber schaufeln. Wir haben jetzt mit N gearbeitet, aber wir wissen was über M, wir wissen, M ist zusammenhängend. Also müssen wir uns aus diesen X-Schlange und Y-Schlange irgendwie zwei Teilmengen von M bauen, die jetzt M zerlegen. Nahe liegen die

Ideen, nehmen Sie die Urbilder. Nehmen Sie die Urbilder von X-Schlange und Y-Schlange beziehungsweise die Urbilder von X und Y. Das Vorteil vom Urbild von X ist,

über X wissen wir was, der Vorteil vom Urbild von X-Schlange ist, das Urbild von X-Schlange ist automatisch offen. Weil F ist stetig, X-Schlange ist offen, also ist das Urbild offen. Charakterisierung von stetigen Funktionen. Ob das Ding offen ist, ist nicht so klar. X ist offen in F von M, das nutzt aber nichts.

Charakterisierung von stetigen Funktionen heißt, Urbilder offener Mengen in N sind offen in M. Das Schöne ist, ich kann Ihnen zeigen, diese ganze Debatte ist irrelevant, weil die beiden sind eh gleich. F hoch minus eins von X und F hoch minus eins von X-Schlange sind einfach dieselbe Menge. Warum? X können Sie schreiben als X-Schlange

geschnitten mit F von M. Das steht hier, haben wir gerade gemacht. So ist das X-Schlange gebaut. Jetzt fehlt wieder Erinnerung, was Erinnerung 5 eins wie immer, hatten wir lange auf der Folge stehen. F hoch minus eins von einem

Schnitt ist F hoch minus eins von der ersten Menge geschnitten, F hoch minus eins von der zweiten. F hoch minus eins von F von M ist jetzt aber ganz M, weil die Funktion ist auf M definiert. Wenn Sie das ganze Bild nehmen und das Urbild vom Bild von der ganzen Menge haben Sie wieder M. Also steht hier F hoch

minus eins von X-Schlange geschnitten mit M. F hoch minus eins von X-Schlange ist aber eine Teilmenge von M, weil F ist auf M definiert. Mehr als der Definitionsbereich kommt beim Urbild nicht raus. Also ist das hier einfach F hoch minus eins von X-Schlange. Das heißt, F hoch minus eins von X und F hoch minus eins von X-Schlange

sind freundlicherweise dasselbe. Ich hoffe, Sie finden es nicht überraschend, dass die gleiche Rechnung, wenn ich überreihe, statt X und Y hinschreibe, genauso durchgeht. Also F hoch minus eins von Y und F hoch minus eins von Y-Schlange sind auch dasselbe. So, das ist schön, weil über X und Y wissen wir, die

zerlegen unser F von M. Über X-Schlange wissen wir, es ist offen in N, also es ist Urbild offen in M. Damit kriegen wir jetzt schon mal, dass die beiden offen sind. Also damit sind F hoch minus eins von X und F hoch minus eins von Y

offene Teilmengen von M. Als Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen. Also damit nutzen Sie jetzt die Seite hier. Außerdem behaupte ich, zerlegen die

das ganze M. Warum? Naja, M ist F hoch minus eins von F von M. Haben wir gerade schon. F von M zerlegt sich als X vereinigt Y. X und Y waren so konnten wir so wählen, dass ihre Vereinigung F von M ist. Jetzt wieder

Urbilder von Vereinigungen sind Vereinigungen der Urbilder. F hoch minus eins von X vereinigt F hoch minus eins von Y. F hoch minus eins von X vereinigt F hoch minus eins von Y. Genau, das ist gleich F hoch minus eins von X-Schlange

vereinigt F hoch minus eins von Y-Schlange und das sind beides offene Teilmengen. So, jetzt haben wir M zerlegt in zwei offene Teilmengen. Müssen wir noch

sicherstellen. Wir wollen jetzt, wir wollen zeigen, M ist nicht zusammenhängend. Das heißt wir müssen zeigen, unsere beiden offenen Teilmengen von M, F hoch minus eins von X und F hoch minus eins von Y sind beide nicht leer und haben einen leeren Schnitt. Sie müssen disjunkt sein

und sie müssen einen leeren Schnitt haben. Warum sind sie nicht leer? Wir wissen, dass X-Schlange geschnitten mit F von M, das ist X. X ist aber

nach Voraussetzung nicht leer. Wenn Sie jetzt das Urbild davon angucken, also F hoch minus eins von X-Schlange. Was steht da vorne? Da vorne steht X-Schlange

hat mit dem Bild von F einen leeren Schnitt. Also es gibt den X-Schlange und den Punkt aus dem Bild, also ist das Urbild nicht leer. Dann muss der Punkt im Bild hier hergekommen sein. Genauso für Y, also F hoch minus eins von Y-Schlange ist keine leere Menge. Jetzt haben wir F hoch minus eins von X-Schlange, F hoch minus eins von Y-Schlange

sind offen. Sie zerlegen M, sie sind nicht leer. Das Einzige, was uns noch fehlt, ist sie haben einen leeren Schnitt, aber das kriegen wir auch sofort.

Also F hoch minus eins von X-Schlange geschnitten, F hoch minus eins von Y-Schlange ist zunächst mal, weil die beiden übereinstimmen, F hoch minus eins von X geschnitten, F hoch minus eins von Y. Das ist Eigenschaft der Urbildabbildung

dasselbe wie F hoch minus eins vom Schnitt von X und Y. Der Schnitt von X und Y ist aber leer. Das Urbild von der leeren Menge, das darf sich jeder selber ausrechnen, das ist die leere Menge. In die leere Menge wird nicht allzu viel abgebildet. Also ist tatsächlich der Schnitt von den beiden leer und damit haben wir

gezeigt, M ist nicht zusammenhängend. Wir haben jetzt M zerlegt in zwei offene, disjunkte, nicht leere Timing. Damit haben wir ja sozusagen das ganz

abstrakte Konstrukt, das dem Zwischenwertsatz entspricht, gezeigt und das ist auch ein schön formulierbarer, kurz prägnant formulierbarer Satz

stetige Bilder zusammenhängen, der Mengen sind zusammenhängen. Können Sie direkt in die Galeriestellen leben, stetige Bilder, kompakte Mengen sind kompakt. Das ist so eine ganze Serie von Sätzen von der Form, Stetigkeit erhält schöne Eigenschaften. Der Zwischenwertsatz kommt jetzt hier als Corollar raus.

Für den Zwischenwertsatz brauchen wir im Bild ein Zwischen. Also wir brauchen eine Funktion, die nach R geht. Wenn Sie einen zusammenhängenden metrischen

Raum M haben, A und B zwei Punkte in M und eine stetige Funktion F von M nach R, dann kommt jetzt wieder der Zwischenwertsatz raus, dann nimmt F alle

Werte zwischen F von A und F von B an. Mit eben der Begründung, wenn es F von A und F von B annimmt, das M ist zusammenhängend, also muss auch F von M

zusammenhängend sein. Wenn sie F von A und F von B annimmt, kann es keine Lücke geben, weil eine Lücke sorgt sofort dafür, vorhin gesehen, wenn Sie das R einen Punkt rausnehmen, haben Sie sofort was nicht zusammenhängendes.

Und wenn Ihre Funktion versucht, zwischen F von A und F von B ein Wert nicht anzunehmen, haben Sie sofort ein nicht zusammenhängendes Bild und das kann nicht sein. Also schreibt mir das weiß jetzt nicht formal sauber hin, aber das ist die Linie entlang dem Deckel. So, das hatte ich

vorhin gesagt, dieses Detail, dass R, wenn Sie einen Punkt rausnehmen, nicht zusammenhängend ist und Rd für D größer gleich zwei, wenn Sie einen Punkt rausnehmen, zusammenhängend bleibt. Das ist gar nicht so ein kleines Detail,

wie es aussieht, sondern ein wesentlicher Unterschied zwischen diesen Mengen. Das wird uns im Verlauf des Semesters immer mal wieder begegnen, aber ich will es an der Stelle schon mal ein bisschen plastisch machen, was man damit erreichen kann und zwar anhand von zwei

Beispielen. Das erste ist ein Beispiel aus dem aus dem Überlappungsbereich L.A. Anna. Man kann sich schöne Mengen aus der

Linie an Algebra auch mal analytisch anschauen, sorgt manchmal für interessante Einsichten. Ich weiß nicht, ob Ihnen insbesondere unter der Notation das Ding hier mal über den Weg gelaufen ist. Die allgemeine lineare Gruppe über R, General Linear Group, deswegen GL, falls nicht, ich schreibe

Ihnen hin, was das ist, kein Problem. Das sind, die kennen Sie sicher, das sind alle D-Kreuz-D-Matrizen, die invertierbar sind. Sie nehmen alle quadratischen Matrizen der Dimension D und schmeißen alle nicht invertierbaren weg. Die sind eh doof. Und was übrig bleibt, ist die Menge der

invertierbaren D-Kreuz-D-Matrizen und das ist eine schöne Gruppe. Da machen die Gruppen theoretiker tagelang Party drauf. Das ist eine wunderschöne Gruppe, weil es Produkt, also mit der Matrix-Multiplikation ist das eine schöne Gruppe. Weil das Produkt von zwei invertierbaren Matrizen ist invertierbar und dann kann man da wunderbar mitarbeiten.

Für hier ist interessant, dass man Invertierbarkeit schön über die Determinante charakterisieren kann. Die invertierbaren Matrizen sind genau die, für die die Determinante nicht Null ist. Und aus dieser Darstellung kann ich Ihnen jetzt sofort ziehen, dass die allgemeine Lineare Gruppe, die Menge,

die Gruppe aller invertierbaren Matrizen, die können Sie ja sehen als eine Teilmenge vom R, D-Kreuz-D oder wenn Ihnen das lieber ist vom R, D-Quadrat, dass das Ding nicht zusammenhängt ist. Man kann zeigen, das Ding zerfällt

genau in zwei zusammenhängende Klumpen, aber das Ding ist nicht zusammenhängt. Warum ist es nicht zusammenhängt? Nehmen Sie die Determinante als Funktion

von R, D-Kreuz-D nach R. Da muss man sich überlegen, dass das eine stetige Abbildung ist. Das ist aber, hört sich auf den ersten Blick vielleicht ein bisschen mühsam an. Ist es aber gar nicht so, weil was ist die Determinante?

Ich weiß jetzt nicht, wie haben Sie es definiert? Es gibt drei schreckliche Methoden, die Determinante zu definieren. Vermutation, okay. Dann sieht man natürlich erst recht gar nichts, aber doch, da sieht man es auch dran. Da, man sieht es dann jederdings. Die Determinante ist nach vielen, vielen Rechnungen am Ende ein Polynom in den

Koeffizienten. Was Sie machen beim Determinante ist, Sie multiplizieren und addieren stundenlang die Koeffizienten in Ihre Matrix rum, aber mehr als plus und mal passiert da nicht. Also im Ende ist es ein Polynom, ein kompliziertes Polynom, also bei einer 12 Kreuz-12-Marpe sind es auch kompliziertes Polynom, aber ein Polynom in den Koeffizienten.

Polynome sind sowas von stetig. Also wenn Sie in den Koeffizienten ein bisschen wackeln, dann bleibt das Ding stetig. Also ist eine stetige Abbildung vom Raum der Matrizen nach R und wenn ich jetzt mir das Bild

anschaue von der allgemeinen linearen Gruppe unter dieser stetigen Abbildung, dann kommt R ohne Null raus. Weil Null kommt natürlich nicht raus, weil Determinante Null haben wir gerade verboten und das ist nicht zusammenhängend. Also ist auch die allgemeine lineare Gruppe nicht

zusammenhängend. Das Problem ist eben, es gibt welche mit positiver und negativer Determinante, die zerfallen, die mit positiver und die mit negativer Determinante. Die mit positiver Determinante sind tatsächlich dann wieder, die sind

zusammenhängend, das ist aber nicht so banal. Da will ich mich jetzt nicht aus dem Fenster lehnen, da muss man ein bisschen Arbeit führen. Also das Ding zerfällt wirklich in zwei, die Siongte offene Timing. So, zweite Überlegung, die daraus sofort folgt, wenn Sie D größer 2 nehmen, also

ein F zu konstruieren, das den Rd bijektiv und stetig nach R abbildet. Gleiche Begründung, wenn es so eins gäbe, dann wäre das Bild von Rd ohne

Null, das muss man aufpassen, weil F bijektiv ist, ist dann das Bild von Rd ohne Null, das Bild von Rd ohne den Punkt F von Null. Das stimmt für eine

allgemeine Abbildung nicht, an der Stelle brauchen sie bijektiv, weil genau die Null geht nach F von Null und sonst nichts, es geht nichts anderes, es

fällt kein anderer Wert raus. Naja und das ist, bzw. es kann kein anderer die Lücke füllen, F von Rd wäre R, F von Null wäre halt irgendein Punkt und das ist wieder nicht zusammenhängend. Wohingegen das da

zusammenhängt ist und das wäre wieder F. Jetzt können Sie natürlich sagen, das ist ja nun überhaupt völlig klar, wie soll ich denn bitte den Rd bijektiv nach R abbilden, kann ja auch gar nicht gehen. Doch, den Rd nach R ist kein Problem.

Sie können auch den R bijektiv nach Rd abbilden, ist auch überhaupt kein Problem. Wer mal suchen will, suche nach dem Stiefwort Pianokurve. Pianokurve ist eine subjektive Funktion vom Intervall 0,1 aufs Quadrat 0,1

Kreuz 0,1, ist überhaupt kein Problem. Aber man kann es eben nicht stetig. Man kann es nicht stetig, siehe hier. Also man kann es jetzt, wenn ich fände, von R nach R2 kann man es mit stetiger Umkehrfunktion, stetig und bijektiv gierig. Ja, und das mag man vielleicht vermuten, aber das Schöne an dieser Argumentation ist,

der Beweis ist zweieinhalb Zeilen lang. Also man kann sehr schnell ausschließen, dass es so eine Abbildung gibt, einfach aus einem Zusammenhangsargument fertig. Das ist ein wichtiger Punkt, wo Zusammenhang oft verwendet wird. Damit kann man oft sehr schnell argumentieren.

Gut. Das Zusammenhangskapitel ist kurz, gerade mal eine dreiviertel Stunde lang. Ist wie gesagt jetzt auch nicht der zentralste Begriff, aber manchmal ganz praktisch. Jetzt ist damit der große Teil 1 beendet, kommt der große Teil 2 vom Skript. Wir werden uns jetzt allem zuwenden, was mit differenzieren zu tun ist.

Aber vorher ist Prosa. So, dann würde ich gern die zweite Hälfte einsteigen mit frisch geputzt, frisch geputzter Tafel in einen ganz neuen Teil. Wie schon gesagt, Teil 2 dieser Vorlesung befasst sich mit allem,

was mit Differenziation zu tun hat. Also wir wollen jetzt den Ableitungsbegriff übertragen auf Funktionen in

komplizierteren Gebilden als R. Wir werden uns jetzt spezialisieren. Wenn man Ableitungen bilden will, wenn man differenzieren will, braucht man mindestens Differenzen. Ohne Differenzen ist Differenzieren schwierig, damit die Differenzen von Funktionswerten bilden können und von Argumenten

brauchen sie mal mindestens eine Vektorraumstruktur. Also wir werden jetzt den allgemeinen metrischen Raum im Wesentlichen verlassen. Der taucht vielleicht hier und da mal nochmal auf, weil man Resultate auch schön im metrischen Raum formulieren kann. Aber ab jetzt werden wir uns meistens in normierten Räumen bewegen und für die ganze Differenziererei hier in

der ANA2 werden diese Räume auch eigentlich immer RD oder meistens sogar nicht KD, sondern RD sein. Man kann in allgemeinen normierten Räumen, sagen wir mal in Banachräumen, rumdifferenzieren, aber das ist dann

höheren Vorlesungen vorbehalten. Also wir werden im Wesentlichen im RD differenzieren, das heißt Funktionen von mehreren Variablen, mit denen Ergebnisse, Vektoren sind im RP, so Dinger wollen wir differenzieren. Und da fangen wir erstmal mit, jetzt klappert man erstmal ab, was

einfach geht und arbeitet sich langsam zu den Schwierigkeiten vor. Und es gibt einen Fall, der so ein bisschen zwischen der ANA1 und dem steht, was wir hier machen. Wir bleiben zunächst mal bei einer

Variablen, aber wir schauen uns Funktionen an, nicht mehr von R nach R, sondern von R nach RP. Also Funktionen, die eine Variable als Argument haben, aber Vektoren als Ergebnisse ausspucken und das entsprechende mathematische Konstrukt, was dabei rauskommt, ist eine sogenannte Kurve.

Warum ist das eine Kurve? Was passiert, wenn Sie eine Funktion von einem R oder von einem Intervall in R nach R3 anschauen und sagen wir mal, das ist eine stetige Funktion und nicht völlig durchgeknallt ist, dann wird jeder Punkt auf dem Intervall nach R3 gelegt. Was dabei passiert ist, diese

Funktion nimmt sich das Intervall, streckt, staucht, verbiegt und vermurkst es und legt es irgendwie als Linie in den R3. So ein Ding ist dann eine Kurve. Da kommt der Begriff Kurve her. Also in dem ganzen Abschnitt sei i ein Intervall in R, kann auch ganz R sein,

i ist irgendein Intervall und zunächst mal noch wieder md, irgendein metrischer Raum. Und dann ist eine Kurve, eine Kurve ist eine stetige Abbildung von diesem, von einem Intervall i in den metrischen Raum m

und das war es schon. Also wenn Sie eine stetige Abbildung von i nach m haben, dann nennt man das eine Kurve in M. Und für eine Vorstellung von einer

Kurve die beste Methode ist, also so eine Kurve ist eine Funktion, wird meistens mit Gamma bezeichnet, fragen Sie mich nicht warum, Kurve oder so, keine Ahnung, die frisst ein Argument standardmäßig bezeichnet mit T und

Gamma von T ist dann ein Punkt in dem M und dieses Argument heißt nicht umsonst standardmäßig T, stellen Sie sich dieses T als eine Zeit vor. Gamma von T und Gamma von T ist dann der Ort in M, an dem sich irgendein Ding, irgendein Teilchen, ein Partikel zum Zeitpunkt T befindet. Also ich denke insbesondere an

Physikerinnen und Physiker hier ist das eine leichte Vorstellung. Gamma von T sagt Ihnen einfach, die Funktion Gamma sagt Ihnen zum Zeitpunkt T ist mein Teilchen am Ort Gamma von T ist eine Bahnkurve. So, da kommt auch schon dieses Wort Kurve vor. Ein paar in dem Zusammenhang naheliegend die Begriffe,

wenn, wie das oft der Fall ist, mein Intervall, ein kompaktes Intervall von A bis B ist und Gamma da drauf eben eine Kurve, dann nennt man den Punkt Gamma von A, den Anfangspunkt der Kurve, da fliegt das Teilchen los und

den Punkt Gamma von B, den nennt man den Endpunkt. Also was die Kurve macht ist, quatsch, sie nimmt sich das Intervall I von A bis B, hier ist mein

metrischer Raum M, dann wird das A irgendwo hin abgebildet, das B irgendwo hin abgebildet und die Punkte dazwischen landen auch irgendwo und auf die Weise wird das Intervall I in den metrischen Raum abgebildet. So,

dann noch ein weiterer Begriff in dem Zusammenhang, wenn ich so eine Kurve auf einem kompakten Intervall habe und die hat noch die schöne Eigenschaft, das Anfang zum Endpunkt übereinstimmen, dann nennt man so eine

Kurve eine geschlossene Kurve. So, jetzt hieß es anders, wieder mal eine Frage.

Wenn man über Kurven redet, muss man im Kopf ein bisschen aufpassen, weil wenn man eine Kurve redet und sie sich visualisiert, dann malt man natürlich so eine Linie hin. Achtung, diese Linie ist nicht die Kurve, eine Kurve ist eine Funktion, eine Kurve ist eine Abbildung, also zumindest eine Kurve im mathematischen Sinne, ich weiß eine Kurve von der Straße ist was anderes,

aber eine Kurve im mathematischen Sinne ist eine Abbildung, eine stetige Abbildung von einem Intervall in den metrischen Raum. Das heißt, diese Linie, die ich da hingemalt habe, ist nicht die Kurve, ist eine Visualisierung der Kurve oder auch die Spur der Kurve, also Spur von Gamma ist eben genau

das, was man hinmalt, Gamma von I, das Bild von I unter Gamma, also Gamma von T, wobei T durch ganz I läuft, das Ding heißt Spur von Gamma oder wird auch gern mal als Weg bezeichnet. Und ganz wichtig im Zusammenhang mit Kurven

ist, unterscheiden sie penibel die Kurve vom Weg. Die Kurve ist eine Funktion, eine Abbildung von einem Intervall nach M und der Weg ist eine

Verschiedene mathematische Objekte und meine Aufforderung an sie ist, seien sie vorsichtig, wenn sie formulieren und achten sie penibel darauf, die beiden nicht zu verwechseln. Das ist insofern durch die Natur der Dinge etwas

verkompliziert, als war mir sogar auch bewusst, habe ich beim Vorbereiten dieser Vorlesung wieder selbstschmerzlich erfahren, sich die mathematische Gemeinde mit der Nomenklatur an der Stelle nicht einiges. Es gibt durchaus Bücher, in denen das, was hier Kurve heißt, Weg heißt und das, was hier Weg heißt, Kurve heißt. Dann gibt es das Ganze

noch auf Englisch, da kann man jetzt Curve und Path und dann gibt es auch alle Permutationen. Also wenn Sie mit irgendeinem Buch arbeiten, das mit Kurven und Wegen zu tun hat oder mit Curves und Paths, dann schauen Sie bitte erst mal nach, wie die das definieren. Üblicherweise ist eins die Menge und eins die Funktion, aber welches welches ist. Also

mein Gefühl ist schon, dass das mehr Standard ist als das andere, aber es ist keine absolute Norm. Und hier für diese Vorlesung ist die Kurve die Funktion und die Spur oder der Weg die Punktmenge. Warum reite ich darauf so rum, dass es ein großer Unterschied ist? Die Kurve enthält

viel mehr Information als der Weg. Der Weg, wenn Sie das Beispiel, was ich hier unten hingemalt habe, nehmen, ist der Weg einfach diese Linie hier. Die Kurve sagt mir zu jedem Zeitpunkt T, die Kurve sagt mir, wenn ich diese

Zeit hier anschaue, dann ist mein Teilchen genau hier. Das sehe ich den Weg nicht an. Ich sehe den Weg nicht mal an, ob das Teilchen so rumgeflogen ist oder so. Ich sehe noch nicht mal, wie rum das Ding fliegt. Das Skript von Herrn Große Brautmann aus dem letzten Jahr angeguckt, der

schreibt das sehr schön. Die Weg ist die Bahnstrecke und die Kurve ist der ganze Fahrplan. Also der Weg sagt nur, da ist irgendwann mal ein Teilchen geflogen, die rum und wann weiß keine Sau. Die Kurve sagt Ihnen genau, wann das Ding wo ist. Das heißt, die Kurve enthält viel mehr Information als

der Weg. Gut, Kurven tauchen an hunderten Stellen auf. Wir werden uns insbesondere im nächsten Semester in der Complex Analysis viel mit Curves

beschäftigen. Aber auch, wie gesagt, eine gute Vorstellung ist immer, die so eine Kurve sich als eine Bahnkurve vorzustellen. Also jede Satellitenbahn ist mathematisch eine Kurve. Dementsprechend will man über die was wissen und dementsprechend will man die auch dringend ableiten. Weil

was ist die Ableitung der Bahnkurve? Physikerinnen und Physiker, das ist die Geschwindigkeit von dem Teilchen und die Geschwindigkeit von dem Teilchen interessiert einen natürlich massiv. Insbesondere die Geschwindigkeit von seinem Satellit würde man gerne wissen. So, also wollen wir das Ding ableiten und das schöne an Kurven ist, bei denen können wir einfach frech

unsere Definition vom letzten Jahr nehmen und vom letzten Semester nehmen und genauso weiterarbeiten. Damit wir das können, müssen wir eben jetzt aus dem allgemeinmetrischen Raumsetting raus. Also M ist ab jetzt ein Kd und Gamma geht von einem

Intervall I in diesen Kd. Sonst gibt es keine Differenzen. So, also jetzt Ableitung von der Kurve, Definition 8.3. Wir nennen eine Kurve auf dem Intervall I nach Kd. Differenzierbar. Falls, na was macht man? Man schaut sich

den Differenzenprozenten an. Gamma von T minus Gamma von T0 geteilt durch T minus T0. Limes T gegen T0. Was da steht, macht voll auf Sinn. Gamma von T

kann ich Gamma von T0 abziehen. Das Ganze dividiert durch die reelle Zahl T minus T0. Grenzwert T gegen T0. Kann sein, dass der Grenzwert nicht existiert, aber wenn er existiert, nenne ich das Ding differenzierbar und der Grenzwert

ist die Ableitung und da niemand Lust hat, sich eine neue Notation einfallen zu lassen, ist das Gamma Strich von T0. So, also für alle T0 in I, das Ding hier existiert. So, im Prinzip könnte man, habe ich jetzt

ein bisschen verkürzt, noch wieder definieren, differenzierbar an einer Stelle T0 und differenzierbar halt als Ganzes, wenn in jeder Stelle T0 differenziert. So, das werden wir uns nachher im allgemeinen Fall mit Freude wünschen, dass das so schön geht, aber hier geht es so schön. Sie nehmen einfach den Differenzenprozenten und der macht auch Sinn, wenn da im Zähler ein

Vektor statt einer Zahl steht. So, diese Größe Gamma Strich von T, diese Ableitung ist jetzt was? Was ist das für ein Ding? Wir haben oben im Zähler ein Vektor in Kd stehen, durch den Skalar ist immer noch ein Vektor in Kd, der Grenzwert

hier ist ein Grenzwert in Kd, also das ist ein Vektor in Kd für T in I und diesen Vektor ist der Ableitungsvektor, der hat noch einen Namen, den nennt man den Tangential Vektor von Gamma in T. Warum nennt man den

Tangential Vektor? Kommen wir gleich zu, weil der tangential an die Kurve liegt. Also, erstmal eine Bemerkung zur Berechnung dieser Ableitung, auch da gute Nachrichten, sie müssen überhaupt keine neuen Ableitungsregeln lernen und gar

nichts. Warum? Was da steht, ist ein Grenzwert in Kd, wie rechnet man ein Grenzwert in Kd aus? Man rechnet jede Koordinate den Grenzwert aus, ne? Konvergenz gleich koordinatenweise Konvergenz, also was sie hier machen können, wenn sie diesen Ableitung bestimmen wollen.

Also der Grenzwert kann eben koordinatenweise bestimmt werden. Das ist, ich habe mir sogar eine Nummer aufgeschrieben, 6,5a.

Das heißt, die Ableitung von Gamma an der Stelle t0 ist jetzt koordinatenweise der Grenzwert t gegen t0 von den eindimensionalen Differenzsensvizienten Gamma j von t. Also Gamma j ist die j-te Koordinate von Gamma, Koordinatenfunktion,

minus Gamma j von t0 durch t minus t0, j gleich 1 bis d. Also die Ableitung kriegen Sie einfach, indem Sie jede Koordinatenfunktion von Gamma differenzieren. So, das heißt gar nichts Neues, einfach nur statt einer D-Ableitung ausrechnen.

So, was bedeutet jetzt diese Ableitung, warum ist die interessant, das habe ich gerade schon angedeutet.

Richtige Vorstellungen in dem Zusammenhang ist, die von einer Bahnkurve stellen sich vor, dieses Gamma von t sagt, t ist ein Zeitparameter und Gamma von t sagt, mein Teilchen ist im Zeitpunkt t an der Stelle Gamma von t. Also wenn ich jetzt diesen Stift eine Zahl werfe, dann ist es zum Zeitpunkt t gleich 0 bei mir in der Hand und dann können Sie für jedes t danach sagen, wo ist sie.

Physikerinnen und Physiker hier können das ausrechnen und die anderen können sich vorstellen, dass man das ausrechnen kann. So, was bedeutet dann jetzt diese Ableitung, diese Ableitung ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit

und die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist immer die Geschwindigkeit. So, die Geschwindigkeit von diesem Stift, der durch den Raum fliegt, ist jetzt keine Zahl mehr, sondern ist ein Vektor, weil eine Geschwindigkeit hat ja nicht nur einen Betrag, sondern die hat eine Richtung. Ich laufe in irgendeine Richtung. Das ist in R kein Problem. In R können wir die Geschwindigkeit als

Zahl angeben, weil das Vorzeichen der Zahl sagt, ob sie rechts oder links rumlaufen und mehr als rechts oder links rum gibt es nicht. In Rd, in R3 gibt es mehr Richtungen, da muss man die Ableitung als Vektor angeben, um zu sagen, in welche Richtung fliegt das Ding wie schnell. Also dieses Gamma-Strich von T ist der Geschwindigkeitsvektor, den das Teilchen, das die Bahnkurve gamma von T entlang fliegt, zur Zeit T hat.

Also zur Zeit T, bei Bewegung längs der Spur von gamma, gemäß des Fahrplans gamma, also wieder das Bild von vorhin aufgefrischt.

Wir haben den Intervall AB, das wird von meiner Abbildung gamma zu einer gebogenen

Linie im Raum, gut jetzt hier im R2, weil da kann ich es gut malen. Wenn ich mir jetzt hier einen Zeitpunkt T0 rausfische, dann liegt hier irgendwo gamma von T0 und die Ableitung an dieser Stelle

ist der Vektor, der in T0 tangential an der Kurve liegt und seine Länge gibt jetzt an, wie schnell das Teilchen fliegt, das sehe ich der Spur nicht an, wie schnell das Ding fliegt, das muss ich in der Kurve A nachgucken, das hängt jetzt vom gamma ab. Das gamma könnte ja so sein, dass sich das ganz langsam von A nach gamma von A nach gamma von B bewegt,

das könnte sich ganz schnell bewegen, wenn das Intervall AB kurz ist, das könnte auch langsam anfangen und immer schneller fliegen oder umgekehrt. Das hängt jetzt davon ab, welche Kurve man nimmt, die zu dieser Spur gehört. Wenn Sie eine Spur haben, können Sie da immer ganz viele verschiedene Kurven zudefinieren,

aber je nachdem welche Kurve Sie nehmen, kriegen Sie hier verschiedene Geschwindigkeitsvektoren. Die Richtung liegt durch die Spur fest, aber die Länge von dem Vektor, die ist nur in der Kurve codiert. So, machen wir ein paar konkrete Beispiele.

Das sind zunächst mal Beispiele, die einfach diese Begriffe, die wir jetzt hatten, mal zeigen, aber es sind gleichzeitig sozusagen die zentral wichtigsten Kurven, die am häufigsten vorkommen. Insofern sind die auch ausgewählt als wichtige Beispiele.

Das erste ist sozusagen das banalste Beispiel, eine gleichförmig gerade Bewegung. Wenn Sie sich zwei Vektoren P und V im RD hernehmen, dann können wir uns eine Kurve definieren von R nach RD,

einfach als Gamma von T ist P plus T mal V, T aus R. Was macht diese Kurve, wenn hier P ist und das der Vektor V, also gut für V gleich Null ist ganz langweilig, dann ist die Kurve konstant P.

Wenn das P ist und das V, dann ist mein Teilchen zum Zeitpunkt T gleich Null hier und fliegt dann entlang von V weiter. Das heißt, die Spur ist einfach die Gerade mit auf Punkt P und Richtung V. Und die Geschwindigkeit, mit der das Teilchen fliegt, ist, wenn man es so macht, konstant.

Deswegen nennt man das eine gleichförmige Bewegung entlang der Geraden, die durch den auf Punkt P und den Richtungsvektor V gegeben ist.

Diese Gerade ist auch gerade die Spur von Gamma. Und wenn Sie jetzt, anschaulich ist jetzt auch klar, wie der Geschwindigkeitsvektor diese Bewegung aussehen muss.

Mein Teilchen, das da in Richtung V fliegt, hat eine Geschwindigkeit in Richtung V. Und das kommt aber natürlich auch raus, was passiert, wenn Sie Gamma Strich von T bilden, Limes von, schreiben wir es hin, also Gamma Strich von T Null,

Limes T gegen T Null, Gamma von T also P plus T V minus Gamma von T Null, P minus T Null V durch T minus T Null, Limes T gegen T Null, T minus T Null V durch T minus T Null,

Na ja, SV. Kommt erst, Geschwindigkeit konstant V aus. Alles aus der Physik sitzt hier schon lang und gähnt vor sich hin, aber ich wisse den anderen irgendwie. So, was Sie hieran auch sehen,

und so ein bisschen, nein, ich meine, rein didaktisch darf ich Sie darin nicht unterstützen, aber von der Grundidee her, man darf bei solchen Sachen relativ gnadenlos so ableiten, wie man denkt, das passiert. Wie würden Sie P plus T mal V ableiten nach T?

Na ja, P ist eine Konstante, fällt weg, T mal V gibt V. Man muss es sich dann immer koordinatenweise hinschreiben, dann sieht man, das stimmt, aber passt. Wenn man es ein paar Mal gemacht hat, glaubt man es. So, also das ist die banalste Kurve, deswegen taucht sie gar nicht so oft auf,

weil wenn das gleichförmig geradeaus fliegt, muss ich es nicht als Kurve beschreiben, dann kann ich mir alles so überlegen. So, jetzt kommt ein wirklich ganz zentrales Beispiel, mit dem man viel arbeitet. Geben Sie sich irgendein R größer 0, ein Radius größer 0 vor

und definieren Sie sich eine Kurve auf dem Intervall von 0 bis 2π nach R2 mit Gamma von T gleich R mal Cosinus T R mal Sinus T. Was macht diese Kurve?

Die nimmt sich das Intervall 0,2π. Sie sehen, das ist ein total gerades Intervall, ein Stück R. So, und bildet das ab nach R2. R2 ist gut, kann ich gut malen.

Also was passiert mit dem, was ist Gamma von 0? R mal 1, R0, also R0, Gamma von 0 ist hier. Also wenn hier R ist, ist Gamma von 0 hier, was ist Gamma von 2π? Na ja, Cosinus und Sinus sind 2π, periodisch ist auch R0.

Das ist eine geschlossene Kurve. Der Vektor da oben ist R mal Cosinus T, Sinus T, Cosinus T, Sinus T, von 0 bis 2π läuft einmal den Einheitskreis lang. R mal das Ding läuft einmal den um R gestreckten Einheitskreis lang. Und die Spur von dem Ding ist das hier einmal in mathematisch positiven Richtung rumgelaufen.

Also diese Kurve beschreibt den Rand des Kreises mit Radius R, einmal im mathematisch positiven Sinne umlaufen. Das ist eine geschlossene Kurve.

Jetzt kann man sich auch hier wieder überlegen, was ist die Ableitung von dem Ding? Wie leitet man das Ding ab? Na ja, komponentenweise, Ableitung vom Cosinus ist der Minus Sinus, also Minus R Sinus T. Ableitung vom Sinus ist der Cosinus R mal Cosinus T. Was jetzt da steht ist R mal Minus Sinus T Cosinus T.

Das ist genau der Vektor, der senkrecht steht auf Cosinus T, Sinus T. Das heißt, wenn sie an so einer Stelle hier sind, dann ist das hier der Vektor R Cosinus T, A Sinus T. Und der Senkrechte dazu ist Gamma Strich von T.

Und auch das passt sehr gut zur Anschauung. Was ist die Geschwindigkeit von einem Teilchen, das im Kreis fliegt? Tangentiale Dinge. Das ist eine Geschwindigkeit, die sich ständig ändert. Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich ständig, deswegen macht Karussell fahren sonst was.

Was sich nicht ändert, ist, zumindest wenn man es in der Euclide-Norm misst, was wir ja üblicherweise tun, der Betrag der Geschwindigkeit, die Euclide-Norm von diesem Geschwindigkeitsvektor,

das ist das, was wir, wenn wir nicht genau aufpassen, im normalen Leben gerne als Geschwindigkeit bezeichnen. Niemand von Ihnen sagt, der Zug fährt 120 kmh in Richtung Sowieso, was man eigentlich tun müsste. Meine Geschwindigkeit ist ein Vektor, sondern wir geben mal den Betrag an. Und das ist dieses hier.

Was ist der in dem Fall? Zwei Normen, Wurzel aus erster Komponente, Quadrat mal plus zweite Komponente, R², R²cos²t, ne, das ist die zwei, wir wollen die zwei Normen von der Ableitung, also R²sin²t plus R²cos²t.

Und jetzt sieht man, cos² plus cos² gibt 1, gibt eine Wurzel aus R², gibt R. R ist größer 0, deswegen darf ich jetzt, ja ja, R ist größer 0, R ist größer 0. Und ich spaß mir jetzt. Also,

eine konstante, konstanter Betrag der Geschwindigkeit, aber eben ändernde Richtung, eine gleichförmige Kreisbewegung. Mit dieser Kurve kriegt man insbesondere viel zu tun,

wenn man den R² als komplexe Zahlen begreift. In den komplexen Zahlen spielt der Einheitskreis eine sehr große Rolle. Und eine Kurve, die einen Kreis parametrisiert, die so einen Kreis beschreibt, braucht man ständig. In den komplexen Zahlen

kann man diese Kurve auch wunderschön kurz darstellen, wie die hier schon mal erwähnen. Also als, ich nenne es mal Gamma mit Index C, eine Kurve von 0,2π nach C, das ist aber genau die gleiche wie die hier, R² hier, identifizieren Sie mit C,

aber in C kann man sie schön schreiben als Gamma C von T ist Re hoch It. Meine E hoch It ist ja genau Cos T plus I mal Sinus T. Und Cos T plus I mal Sinus T ist der komplexe Punkt Cos T Sinus T. Das ist genau diese Kurve.

So. Noch ein drittes Beispiel, das ist jetzt mehr eine Spielerei. Das ist die sogenannte Zykloide.

Was ist das, da erzähle ich jetzt auch vielleicht mal mit dem einen oder anderen Physiker was Neues. Das ist die folgende Kurve. Das ist eine Kurve von R nach R² mit Gamma von T ist T minus Sinus T 1 minus Cosinus T.

Kann man hinschreiben, kann man alles. Das ist halt eine Kurve. Das ist eine stetige Funktion von R nach R². Hat aber eine ganz anschauliche Bedeutung. Und jeder von Ihnen, warum er mit dem Fahrrad hierher gekommen ist, hat Unmengen Zykloiden produziert. Sehr, sehr viele Zykloiden produziert.

Oder nein, wenn man so will, eine Zykloide produziert. Was macht die Zykloide? Das ist die Kurve, die einen Punkt auf dem Rand ihres Reifens am Fahrrad beschreibt, wenn sie das Fahrrad vorwärts schieben. Wenn Sie das Fahrrad vorwärts schieben,

dann geht der Punkt am Reifen hoch und wieder runter, weil das Rad sich dreht, aber gleichzeitig bewegt er sich vorwärts. Das heißt, der macht irgendwie so was. Und die Kurve, die er da macht, das ist genau die Zykloide. Das ist die Formel dafür. Also die sieht folgendermaßen aus. Zum Zeitpunkt 0 sagen wir mal, Sie nehmen den Punkt,

der unten am Reifen startet. Radius ihres Fahrradreifens sei mal der Einfachheit halber natürlich 1. Wir sind schließlich in der Mathematik. Das sind alle Fahrradreifen mit Radius 1. So, das heißt, wenn Sie den Reifen um eine halbe halb gedreht haben, um Pi gedreht haben,

ist Ihr Punkt nicht mehr unten, sondern oben. Zwei weg vom Boden. Wenn Sie ihn einmal umgedreht haben, ist er wieder am Boden. Jetzt geht er aber natürlich nicht in den Boden rein, sondern geht wieder hoch. Das ist die Zykloide. Also so ungefähr.

Ein Grund, warum ich Ihnen das Ding hinmal, ist eine auf den ersten Blick Paradox, in dem man hier begegnet, wo ich Sie dafür sensibilisieren will. Sieht ja auch erstmal alles ganz

normal aus. Und dann hat man da diese Kurve. Nehmen Sie die Formel, plotten Sie sich das Ding mal mit einem Maple oder was, und dann sehen Sie, das kommt auch so raus. Aber was einen verwundern kann, die Frage ist jetzt, ist die Kurve differenzierbar? Da haben wir den Begriff der Differenzierbarkeit eingeführt. Und dann sagt,

guckt man sich die Kurve an und sagt, klar ist die differenzierbar. Ich meine, nichts einfacher als das. Gamma Strich von T ist komponentenweise erste Komponente T minus Sinus T 1 minus Cosinus T zweite Komponente, die 1 ist eine Konstante, fällt weg, minus Cosinus T macht Sinus T.

Wunderbar, Differenzierbar. Man kann aber ins Grübeln kommen, wenn man sich jetzt das Bild dazu anguckt, weil das Bild hat auch da unten Ecken. Ja? Und das sind auch wirklich Ecken, das sind sogar Kuspen. Also das ist nicht irgendwie rund, und ich hab's nur zu denen gemalt.

Die passen eine Ecke bitte mit Differenzierbar zusammen. Und das ist eine fiese Subtilität, die bei so was auftaucht. Es geht deswegen, rechnen Sie mal kurz aus, was die Ableitung für T gleich 2P ist, oder für T gleich 0. Nehmen Sie T gleich 0 ist einfach.

Was ist die Ableitung für T gleich 0? 0, 0. Das Ding hat Geschwindigkeitsbetrag 0 an dieser Ecke. Das heißt, das läuft, also das Ding bewegt sich da rein, bleibt an der Stelle 2P sozusagen punktuell stehen. Natürlich nicht wirklich, aber die Geschwindigkeit wird beliebig klein, und dann läuft's

wieder los. Und an so einem Punkt, wo die Ableitung 0 wird, können Sie sozusagen dem Teilchen Richtung wechseln, unterjugeln, den es nicht merkt. Weil er nicht weiß, wo es herkommt. Deswegen kann so eine Kurve einen Knick haben, obwohl sie wunderbar differenzierbar ist.

Obwohl man sagt, ich sage nicht so, wie soll das differenzierbar sein? Das ist deswegen differenzierbar, weil die Kurve an der Knickstelle eine 0 Geschwindigkeit hat. Das heißt, wenn Sie sichergehen wollen, dass Sie eine Kurve haben, die keine Knicke hat, reicht es nicht, vorauszusetzen, dass das Ding differenzierbar ist, sondern man muss zusätzlich voraussetzen,

dass die Ableitung die 0 wird. Das nennt man dann manchmal auch eine glatte Kurve, eine stetig differenzierbare Kurve, deren Ableitung nie 0 wird, ist eine glatte Kurve. Und man sieht hier ein Beispiel, dass man diese Zusatzbedingungen wirklich braucht. Andere Kurven, bei denen das Phänomen auftritt,

wenn ich Ihnen gerade auch noch mitgebe, ist die sogenannte Nilsche Parabe. Die sieht total harmlos aus, ist die Kurve t²t³. Blocken Sie sich die mal hin. Ich bin jetzt nicht sicher mit der Orientierung, aber die sieht im Wesentlichen so aus. Und die hat auch an der Stelle 0 so einen

blöden Kuspenknick drin. So, jetzt haben wir Kurven, Geschwindigkeitsvektor. Interessante Frage wäre ja zum Beispiel,

wenn Sie Ihr Rad, Ihr Fahrrad nehmen und drehen, fahren so weit vor, dass sich Ihr Rad genau einmal gedreht hat. Wie weit ist denn der Punkt jetzt gelaufen? Das Fahrrad hat sich um den Umfang des Rades vorwärts bewegt. So weit ist die Sache einfach. Aber mein Punkt auf dem Radreifen ist ja nicht geradeaus 2π weit gelaufen,

sondern hat den Bogen gemacht. Wie lang ist denn der Bogen? Das ist eine schöne Frage. Wie lang ist dieser Bogen? Wie lang ist eine Kurve? Da kann man jetzt natürlich anfangen. Erst die Idee, wir nähern die Kurve mit Stückweise linearen

Dingern und fangen an zu integrieren, fangen an die zu summieren, mal einen Grenzprozess. Kann man machen, führt auf das, was ich Ihnen jetzt zeigen werde. Man kann auch nochmal wieder kurz die Physikerinnen und Physiker hier zu Wort kommen lassen. Wie komme ich auf die Länge? Na, ich integriere die Geschwindigkeit auf. Wenn ich von A nach B die

Geschwindigkeiten aufaddiere, was heißt das? Dann addiere ich alle Geschwindigkeiten und komme raus, wie weit ich gekommen bin. Also wir brauchen das Integral über die Geschwindigkeit, genauer gesagt über den Betrag der Geschwindigkeit, weil für die Länge wie weit ich komme ist egal in welche Richtung ich fliege. Weil es geht ja um die Länge der Kurve, es geht nicht um die Länge des zurückgelegten Weges, also nicht um die Länge der

Luftlinie, sondern die Länge, die das Teilchen fliegt. Und das ist schlichtweg das Integral der Beträge der Geschwindigkeit. Und das ist die nächste Definition. Definition 86. Also damit wir dann ein vernünftiges Integral dastehen haben, schauen wir uns eine Kurve auf einem

kompakten Teilintervall von R an. Also gamma sei eine Kurve vom Intervall A B in den Kd, damit ich differenzieren kann, sei das bitte schön eine differenzierbare Kurve. Und dann definiere ich

L von gamma, also das Integral von A bis B über den Betrag der Geschwindigkeit, den Zahlwert der Geschwindigkeit ohne die Richtung, die Norm von der Geschwindigkeit dt. Und das nennt man die Länge von gamma. Im Normalfall

wird da die Zweinaum stehen. Also zumindest wenn jetzt Sie als Physikerin, Physiker später irgendeine Satellitenbahn Länge berechnen, dann nehme ich an Sie rechnen in der Zweinaum, weil das ist das was Ihre Auftraggeberinnen und Auftraggeber wissen wollen. Aber mathematisch erstmal die Norm, die gerade

um die Wege ist. So. Jetzt können Sie natürlich fragen, wenn eine Kurve nicht differenzierbar ist, wie legt dann die Länge aus? Dann wird es komplizierter. Also definieren jetzt die Länge nur für differenzierbare Kurven.

Wenn Sie tatsächlich eine nicht differenzierbare Kurve haben, dann müssen Sie anfangen mit Stückchenweise linear zu nähern und Grenzwert zu machen. Das führt dann auch auf ein Integral. Aber das ist die Frage, auf welches. Nicht auf dieses, weil dafür braucht man Differenzierbarkeit. Schauen wir mal, ob dieser Längenbegriff

irgendwie zu dem passt, was wir so meinen. Der war ja jetzt so ein bisschen wischiwaschi motiviert. Wir können das ja gut überprüfen an dem Beispiel hier. An unserer Kreiskurve. Also wenn dieser Längenbegriff irgendwie

sinnvoll sein soll, dann muss ich, wenn ich über diese Kurve hier die Länge bestimme, bitte schön zweimal Pi mal R rauskriegen. Dann nehme ich den Kreisumfang. Schauen wir mal, ob das klappt. Also wir nehmen wieder Gamma von T ist R mal Cosinus T

R mal Sinus T für T aus 0,2 Pi. Das ist dann die Länge von Gamma nach unserer Definition. Das ist Integral von A bis B, also von 0 bis 2 Pi über die

Zwei-Norm, weil wir wollen ja in unserem üblichen, also Kreisumfang ist natürlich nur in der Zwei-Norm 2 Pi R. In der Zwei-Norm über T integriert. Jetzt haben wir diese Zwei-Norm vorhin ausgerechnet. Diese Zwei-Norm ist Konstant R und das Integral kriegen hoffentlich alle noch hin.

Das ist 2 Pi R. Also sieht gut aus. eine Stichprobe vom Umfang 1, dass es nicht abwegig ist. Man kann mit diesem Längenbegriff für die Kurve

jetzt schon sehr schöne Dinge anstellen. Also zum Beispiel, das gebe ich Ihnen an. Dann können Sie mal ausrechnen, wie viele Meter Ihr Punkt auf dem Fahrrad zurücklegt. Nehmen Sie die Zykloide, die Ableitung und bestimmen Sie das Integral von 0 bis 2 Pi über den Betrag von der Ableitung, kriegen Sie die Länge von dem Zykloidenbogen raus.

Wissen Sie, was Ihr Fahrradreifen jeden Tag für Strecken zurücklegt. Was ich jetzt mit Ihnen machen will, ist, geben Sie sich irgendeine differenzierbare Funktion von R nach R vor. Dann macht man das übliche

Bildchen hin. Da ist A, da ist B. Da kann man sich den Graphen irgendwie visualisieren. Spannende Frage, wie lang ist der Graph? Wie lang ist der Graph von irgendeiner Funktion? Die Antwort ist jetzt gar nicht so kompliziert, weil so einen Graphen können Sie sehr,

sehr einfach als Kurve parametrisieren. Und Graph ist eine wunderbare, also Graph von der differenzierbaren oder von der stetigen Funktion lässt sich wunderbar als Spur einer Kurve darstellen. Also das Ziel ist, diesen Graph von F als die Spur von einer Kurve Gamma

zu realisieren. Wie machen wir das? Wir definieren unsere Kurve auch auf dem Intervall A, B. Und jetzt müssen wir dafür sorgen, dass wenn das T von A nach B läuft, Gamma von T genau den

Graph abläuft. Aber das ist nicht kompliziert. Das machen Sie einfach, indem Sie T, F und T abläufen. In jeder Stelle T ist die zweite Komponente F von T und was diese Kurve jetzt macht, ist, sie fängt in A, F von A an und läuft genau den Graph entlang nach B,

F und B. Das heißt, die Länge vom Graph kriegen wir über die Länge dieser Kurve. Jetzt ist es nur noch einsetzen in die Formel. Wo kriegen wir die Länge vom Graphen her?

Also L von Gamma Idee ist dann, dass das die Länge vom Graphen ist. L von Gamma ist dann Integral von A bis B

über Gamma Strich von T. Ich messe jetzt wieder in der Zweinorm. Das ist das, was man üblicherweise hat. Gut. Was muss man also tun? Wir müssen Gamma Strich ausrechnen. Das ist hier nicht kompliziert. Die erste Komponente wird eins. Die zweite Komponente wird F Strich. Also Gamma Strich von T

ist eins F Strich von T. Davon die Zweinorm gibt es Integral von A bis B über Wurzel aus eins plus F Strich von T Quadrat dT Und das ist eine wunderbare Formel

für die Länge vom Graphen. Wenn Sie F haben, können Sie jetzt die Länge vom Graphen ausrechnen. Vorausgesetzt, man findet eine blöde Stammfunktion für das Integral hier. Das ist jetzt der limitierende Punkt. Gut.

Kurven tauchen im Verlauf der Vorlesung ein paar Mal auf. Tauchen vor allem, wie gesagt, in der Komplexanalysis noch reichlich auf. Ich habe jetzt noch zwei, drei Bemerkungen übrig. Die mache ich am Anfang der nächsten Vorlesung. Ansonsten werde ich die Kurven

danach erstmal wieder ein bisschen als Akter legen und den für das Differenzieren schwierigeren Fall anschauen, wenn die Funktion mehrere Argumente hat. Hier ist jetzt eben nur ein Argument, aber mit Vektoren als Ergebnisse. Wir wollen uns jetzt die Vektoren als Argumente anschauen.

Aber wir werden zu den Kurven zurückkommen. Sie sehen, bei Kurven hat man schnell mit Integralen zu tun. Im Kapitel über Integration haben wir nochmal ein bisschen mit tauchen Kurven dann nochmal auf. Wie gesagt, am Anfang der nächsten Vorlesung noch ein paar Bemerkungen auch hierzu. Aber für heute sind wir erstmal am Ende. Und ich danke für die Aufmerksamkeit.

Bis Donnerstag.