Was kann man denn, hat mich ein Kollege von der Wirtschaftsuniversität gefragt, was

kann man denn viel über den Satz des Pythagoras sagen, dass man da einen ganzen Vortrag daraus bilden kann. Nun, meine sehr verehrten Damen und Herren, der Satz des Pythagoras ist wirklich ein ganz ein einfacher Satz. Also wir fangen mit einem ganz, einen einfacher Satz mit dieser Reihe an von Formeln, die unsere Welt veränderten.

Es ist aber ein Satz, der doch einige Konsequenzen in sich trägt und das alles möchte ich Ihnen heute andeuten. Hier zunächst einmal an diesem Baum gleichsam des Pythagoras, wo Sie sehen, dass sich da ein vielfältiges Gebilde entwickelt, aber der Keim dieses vielfältigen Gebildes, wo Sie eigentlich, wenn Sie sie genau betrachten würden und könnten,

unendlich viele Dreiecke sehen sollten, die sich aber meistens nur im Weiß verlieren, aber unzählig viele Dreiecke, aber das ursprüngliche Dreieck, das ist da hier mittendrin und ich werde es etwas vergrößern. Also Sie sehen, ein rechtwinkeliges Dreieck. Ein rechtwinkeliges Dreieck, an dessen zwei kürzeren Seiten, die sogenannten Katheten,

angehängt sind zwei Quadrate. Die eine kurze Kathete hat die Länge a und die Fläche von diesem Quadrat ist daher a mal a, was man schreibt als a Quadrat. Und die nächste Kathete, die zweitlängste Seite des Dreiecks, hat die Seitenlänge b und das Quadrat hat der Flächeninhalt b zum Quadrat.

Und die dritte Seite, die sogenannte Hypotenuse, das ist die Seite c, die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüber steht, und die Fläche unterhalb der Hypotenuse des Quadrates ist c Quadrat. Und die Aussage des Satzes ist einfach das a Quadrat, diese Fläche, plus b Quadrat, diese andere Fläche, wie es

c Quadrat ergeben sollte. Aber was ist eigentlich erstens einmal da dran an diesem Satz? Warum ist er eigentlich so wichtig? Was steckt dahinter? Und nun, meine Damen und Herren, darf ich beginnen, wirklich etwas ganz was Elementares zu versuchen Ihnen mitzuteilen. Gehen Sie mit mir in die

Ebene hinaus, einen Spaziergang. Hermann und Dorothea, nehmen wir uns vor, Hermann und Dorothea, wer kennt nicht dieses schöne poetische Werk von Goethe, Hermann und Dorothea gehen im Ebenengelände spazieren und Dorothea geht nach Osten und Dorothea geht vier Kilometer und Hermann

begleitet sie, hält aber nicht ganz durch, er geht nur drei Kilometer, also ein Asthmafall, und die Frage ist, wie weit sind sie dann, wenn sie so weit gegangen sind voneinander entfernt, und sie werden es nicht ahnen, das braucht man nicht abzumessen,

das kann man sich ausrechnen, sie müssen nur bilden 4 minus 3, und sie merken, sie sind ein Kilometer voneinander entfernt. Das ist wirklich nicht schwierig. Nun am nächsten Tage, sie gehen wieder von der gemeinsamen Hütte weg, aber jetzt schaut ihr nach einem Scheidungsfall aus, Dorothea geht nach Osten, Hermann geht nach Westen, Dorothea geht wiederum vier Kilometer und Hermann drei Kilometer,

und wieder können wir uns die Frage stellen, wie weit sind sie voneinander entfernt, und wieder, wir brauchen es nicht abzumessen, wir brauchen es nicht abzumessen, wir können es einfach glattwegs ausrechnen, denn wir müssen nur 4 und 3 radieren, und wir wissen, sie sind sieben Kilometer voneinander entfernt, und das ist

so einfach, dass ich mich fast schäme, es Ihnen hier gezeigt zu haben. Und nun betrachten wir wiederum einen Fall, also man streitet sich zusammen nicht, aber jetzt sagt Dorothea, ich gehe vier Kilometer nach Osten, und Hermann geht drei Kilometer nach Norden, und wie weit sind sie jetzt voneinander entfernt?

Und Sie sehen, das ist jetzt die Frage. Eindimensional, also nur in Ost-West-Richtung, können wir ohne Schwierigkeiten rechnen, und da kommt man aus mit Aadien und Subterrain, also das Eindimensionale Rechnen ist einfach einfach,

wie das Eindimensionale Denken ja auch einfach ist. Also Eindimensional zu rechnen ist wirklich leicht und bedeutet überhaupt keine Schwierigkeit, aber was passiert, wenn man in die zweite Dimension hinausschreitet? Und das ist eigentlich sozusagen der Kern dieses Satzes. Wir schaffen es auch

hier dieses Problem, wir müssen es natürlich jetzt gleichsam in der Vogelperspektive anschauen, also vier Kilometer nach Osten und drei Kilometer nach Norden. Ja, wie weit sind sie dann beide voneinander entfernt? Wir könnten sagen, nun das messen wir einfach ab,

physikalisch. Aber Physik ist nicht Mathematik, wir wollen es ja nicht abmessen, wir wollen wissen, wie lang ist diese Strecke, die sie voneinander entfernt sind, wie groß ist diese? Und auch das, und das ist die große Leistung des Pythagoras, auch das können wir berechnen.

Wir brauchen es nicht zu messen, wir können es mit Sicherheit berechnen. Also wir können auch die zweite Dimension erreichen, und wenn man das erreicht, dann erreicht man auch die dritte, vierte, fünfte. Also die Zahl zwei, das ist das Entscheidende. Also über das eine Dimension alle hinausgehen, ins zweite Dimension alle, und sonst schon sind sie im Unendlich Dimensionalen. Also der Schritt von eins auf zwei, das ist der eigentlich entscheidende Mathematische.

Wie kommen wir auf diese Strecke, die wir hier in diesem rechtwinkeligen Dreieck sehen, also dieses rechtwinkelige Dreieck, die rote Kathete ist drei lang, die blaue Kathete ist vier lang, und die Hypotenuse ist C lang. Und nun muss ich Ihnen sagen, es war nicht Pythagoras,

der die folgende Erkenntnis hatte, wer es genau war, wissen wir gar nicht. Es könnten Chinesen gewesen sein, die hatten diesen Satz, es könnten Inder gewesen sein, die hatten diesen Satz, es könnten Ägypter gewesen sein, die hatten diesen Satz, es könnten Babylonier gewesen sein, alle vor Pythagoras. Der Trick besteht darin, wir nehmen dieses Dreieck und zeichnen es noch einmal, aber diesmal so aufgestellt.

Und wir nehmen dasselbe Dreieck und zeichnen es noch einmal, aber diesmal so aufgestellt. Und wir nehmen noch immer wieder das gleiche Dreieck und zeichnen es noch einmal, aber diesmal so aufgestellt. Also Sie sehen, wir zeichnen dieses Dreieck viermal.

Viermal so, dass die Hypotenuse C, viermal gezeichnet, ein Quadrat einschließt. Das ist wirklich ein Quadrat. Also, dass diese Hypotenuse überall bei allen vier Seiten vorkommt, also dass es ein Rhombus ist, das ist klar. Also wir sind schon in der Nähe von Bayern, wir haben schon einen Rhombus, aber wir sind wirklich bei einem Quadrat,

denn es ist nämlich der Fall, dass die beiden Winkel an den Hypotenusen des rechtwinkligen Dreiecks einander zu 90 Grad ergänzen. Das heißt, es ist diese innere Figur, diese weiß gebliebene Figur, diese weiß gebliebene Figur muss ein Quadrat sein, und die Fläche von diesem Quadrat, die ist klar, die Fläche von diesem Quadrat, die ist C-Quadrat.

Also, wir merken uns, die weiße Fläche hat den Inhalt C-Quadrat. Und nun machen wir einfach eine Verschiebung. Das rechts oben befindliche Dreieck ziehen wir nach unten, das rechts unten befindliche Dreieck schieben wir hinauf,

und das links oben befindliche Dreieck schieben wir nach rechts hinüber. Einfach so, nebenbei gesagt, das sehen Sie tatsächlich, dass die beiden Winkel an den Hypotenusen einander zu 90 Grad ergänzen, sonst würden ja keine Rechte entstehen. Und jetzt ist aus der ursprünglichen weißen Fläche mit dem Inhalt C-Quadrat geworden, ein Paar von weißen Flächen, zwei weiße Flächen.

Und diese beiden weißen Flächen, die übrig geblieben sind, sind wieder Quadrate. Nämlich hier, das rechts unten stehende, das ist 3 mal 3 groß, also 9 Quadrat, weil die Kathete war ja 3 lang.

Und dieses links oben befindliche Quadrat ist 4 mal 4, also 16 groß. Und das muss mit der Fläche C-Quadrat übereinstimmen, also C-Quadrat muss 9 plus 16 sein. Und 9 plus 16, das ist 25. Und 25 erhält man, wenn man 5 mit sich selbst multipliziert.

Also, wenn C-Quadrat 25 ist, dann ist das C5. Und das ist die große Erkenntnis. Wir brauchen es nicht abzumessen. Und Sie können sich vorstellen, man kann ja in der Schule, also Pisa-Vorbereitung, Sie wissen das, also zeichnen einen Dreieck mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und missen ab die Hypotenuse.

Ich hab 4,9, ich hab 5,1, ich hab 7 oder so etwas. Und das ist so unmathematisch, wie es nicht anders unmathematischer sein kann. Denn man muss nicht, man soll gar nicht abmessen, denn man weiß, es muss genau 5 sein.

Und wenn jemand kommt und sagt, ich hab ganz genau gezeichnet, aber bei mir ist es 5 ,1 lang, kann man sicher sein, nein, du hast nicht genau gezeichnet oder du hast nicht genau gemessen. Es muss 5 sein. Also noch einmal dieser Beweis. Ganz allgemein gesehen, Sie haben also ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Eier einer Kathete A, mit der anderen Kathete B und der Hypotenuse C.

Und die Idee des Beweises, der sogenannte indische Beweis ist das, ist der, man zeichnet dieses Dreieck noch einmal und noch einmal und noch einmal, wir verschieben das rechte obere nach links unten. Ja, also in der Mitte haben wir C², das dürfen wir nicht vergessen, das ist C², also die

Fläche des inneren Quadrates ist C², das merken wir uns, also das weiße, was übrig bleibt, ist C² groß. Rechts obere Rechteck wird nach unten geschoben, das rechts untere Rechteck wird hinauf geschoben, das links obere Rechteck wird nach rechts geschoben. Meine sehr verehrten Damen und Herren, das ist jetzt so einfach geworden, dass man sagt, das brauch ich mir gar nicht mehr zu merken.

Denn das habe ich jetzt so gut verstanden, dass ich es jederzeit nachzeichnen kann. Und jetzt weiß ich, das rechte untere Quadrat, das hat ja die Seitenlänge A, ist also A² groß und das links obere Quadrat hat die Seitenlänge B, das ist also B² groß und diese beiden weißen Quadrate haben

denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat, C² und daher muss C² A² plus B² sein, für jedes rechtwinkelige Dreieck. Und dies ist der allereinfachste Beweis dieses Satzes des Pythagoras und Sie werden sagen, naja, vielleicht gibt es einen einsichtigeren Beweis.

Es gibt schon andere Beweise auch und wenn Sie wirklich ganz interessiert sind, welche anderen Beweise es auch gibt, dann darf ich Sie einladen, eine Woche später hinauf zu gehen ins Mathspace und da zeige ich Ihnen einen Beweis, den geführt hat Euclid,

wo wirklich angehängt werden an den Katheten die Quadrate und der den Satz gleichsam so beweist, was er wirklich aussagt, C² ist A² plus B², aber ob er so einsichtig ist wie dieser, das bezweifle ich. Und es gibt auch noch einen anderen Beweis, der mit Ähnlichkeit vor sich geht, es gibt verschiedene Beweise, man hat einige Dutzend gezählt.

Ein Beweis ist berühmt deshalb, weil ein amerikanischer Präsident, der tatsächlich Garfield geheißen hat, geführt hat und nebenbei gesagt, der Beweis von Garfield ist praktisch der Beweis, den ich hier geführt habe, nur zur Hälfte. Aber wenn Sie es wirklich interessiert, also ein paar Beweise kann ich Ihnen vorführen, es kommt immer das Gleiche heraus und

es ist ein tiefes Ergebnis, es ist ein tiefes Ergebnis, weil wir damit die Ebene, also die zweite Dimension erobert haben. Und wie ich Ihnen schon angedeutet habe, dieses Ergebnis ist bekannt gewesen allen frühen Hochkulturen, zum Beispiel den Ägyptern, die Ägypter brauchten dieses Ergebnis.

Warum? Die Ägypter hatten ja Mathematik deshalb betreiben müssen, weil die Landvermesser nach jeder Überflutung des Landes durch den Nil das Land neu vermessen mussten und den Bauern wieder zuteilten. Der Nil hat ja das Land überschwemmt und furchtbares Schwemmland vom Oberlauf gebracht, sodass

man wieder neue Seen und neue Ernten konnte, aber alle Bauern wollten jetzt gleichsam ihre alten Felder wieder bekommen und die Vermesser mussten hinausgehen und die Felder wieder abstecken. Um die Felder wieder abzustecken, brauchte man, also eine Parkettierung, wenn Sie so wollen, dieser ägyptischen Ebene um den Nil

herum mit Rechtecken, aber wie finde ich bei einem Rechteck den rechten Winkel, sodass ich sagen kann, das ist die Länge des Rechtecks, das ist die Breite des Rechtecks, richtig abgesteckt, sodass Länge und Breite im rechten Winkel zueinander sind. Wie gelingt das? Wie konstruiere ich den rechten Winkel? Und man nimmt an, dass diese ägyptischen

Vermesser genommen hatten eine Schnur und in dieser Schnur haben sie eingepflockten Knoten, also elf Knoten zunächst einmal, sodass jeder Schnurteil gleich lang ist, von einem Knoten bis zum nächsten immer gleich lang.

Dann haben wir hier diese Schnur vor uns und da hängt noch etwas herunter und das ist wichtig, dass es herunterhängt, denn das verknoten wir auch, damit die Schnur zwölf Knoten hat. Zwölf Knoten, eine heilige Zahl, und von einem Knoten bis zum nächsten Knoten ist immer die gleiche Länge.

Und dann machen die ägyptischen Vermesser folgendes, es sind sagen wir mal drei an der Zahl, die da herumlaufen und die Ecke neu vermessen, sie spannen die Schnur so an, dass die kürzeste Seite drei Einheiten lang ist, die zweite Seite vier Einheiten lang ist und die dritte genau fünf lang ist.

Und das ist das Dreieck 3, 4, 5. Und dieses Dreieck 3, 4, 5 ist das rechtwinkelige Dreieck, das wir vorher gesehen haben. Das muss ein rechtwinkeliges Dreieck sein.

Und wir wissen nicht, ob die Ägypter gesagt haben, das wird schon ungefähr ein rechter Winkel sein und das reicht, oder ob die Ägypter geglaubt haben, das wird genau ein rechter Winkel sein, aber wir wissen nicht warum, oder ob die Ägypter gesagt haben, das wird sicherlich ein rechter Winkel sein und wir wissen warum.

Wenn es der dritte Fall wäre, dann wären wir also gleichsam im Stadium der Ägypter, weil wir wissen, dass es ein rechter Winkel sein muss und wir wissen auch warum. Aber höchstwahrscheinlich, den Ägyptern war es höchstwahrscheinlich so, dass sie gesagt haben, das wird für ihren rechten Winkel wohl ausreichen. Also so haben die Ägypter ganz einfach vermessen können, ihr Land und das Land einteilen können.

Und diejenigen, die das gemacht haben, haben natürlich das Prinzip des rechten Winkels für sich geheim gehalten. Denn wer das kann, braucht nur mehr das Land zu vermessen, sehen, ernten, pflügen, dreschen und alles andere, das wissen dann die Bauern.

Und wenn alle Bauern das wüssten, dann würden sie vermesser werden und dann würde nicht mehr gesät, geerntet, getroschen und gefuttert werden können. Also es war wichtig, dieses wichtige Wissen geheim zu halten. Und auch die Babylonier im Babylon hatten eine Ahnung von dem

Pideochoräischen Leersatz und zwar höchstwahrscheinlich hatten sie eine sehr, sehr tiefe Ahnung. Babylonier hatten ja auch gebaut, so nicht Pyramiden, aber hohe Bauten höchstwahrscheinlich deshalb, selbst wenn ein Sandsturm herrscht in der Nacht, oben auf der Spitze dieser Gebäude, kann man immer die Sterne ganz genau beobachten, die Gestirne.

Und man kann messen die Winkel von der Erde zu den Gestirnen und man kann Dreiecke hinaufziehen zum Himmel. Dreiecke hinauf zum Himmel, Dreiecke hinauf bis zu den Göttern. Also die Kenntnis der Dreiecke, die war sehr wichtig.

Und tatsächlich hatten die Babylonier schon in Urzeiten Kenntnisse gehabt von rechtwinkelten Dreiecken. Und das wissen wir, weil es sind gefunden worden einige Schriften der Babylonier, also der Benzopotamier, die man heute noch so lesen kann, also Steine in Stein eingeritzt, diese Keilschriftzeichen.

Sie haben also Lehm genommen, das geschrieben und dann wurde der Lehm gebrannt. Das sind die besten Datenträger der Welt, meine sehr verehrten Damen und Herren. Papier kann brennen. Und was auf einem USB Stick ist oder was auf einer CD ist, wird man in 100 Jahren höchstwahrscheinlich nicht mehr lesen können.

Es besteht durchaus die Gefahr, dass das erste Jahrhundert im dritten Jahrtausende dann als das dunkle Jahrhundert gelten wird, weil man da keine Daten mehr hat. Weil wir haben es nicht auf Stein geschrieben, es muss auf Stein geschrieben sein. Dann hält es Jahrtausende.

Und auf diesem einen Stein, den Sie hier sehen, hatten die Babylonier aufgeschrieben, und das ist unglaublich, hatten aufgeschrieben die Längen von zwei Katheten und der dazugehörigen Hypotenuse eine riesige Liste. A, B, C, A ist die Länge der einen Kathete, B die Länge der anderen Kathete, C die Länge der Hypotenuse

und als erstes steht dort 3, 4, 5. Das rechtwinkelige Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5. Aber dann geht es weiter. Sie schreiben auch auf 5, 12, 13. Auch das ist ein rechtwinkeliges Dreieck, denn 5² ist 25, 12² ist 144,

25 und 144 ergibt 169 und 13 mal 13 ist 169. Und Sie hatten aufgeschrieben 15, 8, 17. Und auch das ist ein rechtwinkeliges Dreieck, denn 15 mit sich multipliziert ergibt 225 und 8 mit sich multipliziert ergibt 64, 64 plus 225 ist 289 und 289 ist 17².

Und es geht weiter die Liste. 7, 24, 25. Auch ein rechtwinkeliges Dreieck. Und die Liste geht weiter. 21, 20, 29. Ein sehr interessantes Nimmwerk gesagt. Da sind die beiden Katheten fast gleich groß.

21 und 20. Fast gleich groß. Hypotenuse ist 29. Und dann 9, 40, 41. Oder 35, 12, 37. Oder 11, 60, 61. Oder 45, 28, 53.

Eine Unzahl von rechtwinkeligen Dreiecken hatten Sie aufgeschrieben. Eine Unzahl. Und man darf annehmen, dass dieser Stein gleichsam wie ein Tafelwerk gedient hat, um Rechenaufgaben zu lösen. Also gleichsam die ägyptischen Kinder haben alle zu einem Stein bei sich gehabt und mussten mit dem in die Schule gehen, damit sie ihre Mathematikaufgaben lösen.

Also die Babylonischen Kinder. Die unglaublichste Zahl, die Sie aufgeschrieben haben, war 12.709, 13.500 und 18.541. Und Sie können mir glauben, 12.709 mit sich multipliziert,

plus 13.500 mit sich multipliziert, ergibt das Gleiche wie 18.541 mit sich multipliziert. Was man sich dann fragt, ist, wie kommt man auf diese Zahlen? Und natürlich, die Babylonier haben es nicht verraten.

Denn nur der, der das weiß, ist mächtig. Sie haben es nicht verraten. Wie kommt man auf diese Zahlen? Und natürlich, meine sehr verehrten Damen und Herren, das muss ich Ihnen ja auch sagen, ich werde es Ihnen jetzt auch nicht verraten, aber in einer Woche.

In einer Woche werde ich Ihnen zeigen. Es hat ein griechischer Mathematiker, Diofantos, hat dann gezeigt, wie man auf diese Zahlen systematisch kommen kann. Und höchstwahrscheinlich haben die Babylonier das System schon gekannt. Von Diofantos weiß man nicht sehr viel. Man weiß nicht einmal, ob er 100 vor Christus oder 300 nach Christus gelebt hat.

Das ist völlig unklar. Man weiß nur, dass er 84 Jahre alt geworden ist. Das weiß man gesichert, weil auf seinem Grabstein ist ein Zahlenrätsel, woraus sich ergibt, dass er 84 Jahre alt geworden ist. Aber man weiß, er hat ein Buch geschrieben, in dem dort steht, wie man auf diese Zahlen a, b, c kommt, sodass a² plus b²

immer c² ist. Also ein rechtwickeliges Dreieck entsteht. Und um die Geschichte noch ein bisschen romantischer zu erzählen, dieses Buch des Diofantos hat um 1630 herum ein französischer Rechtsanwalt, ein gewisser Pierre de Fermat, gelesen und das studiert und hat draufgeschrieben an die Seite,

a² plus b² ist c². Da kommen alle diese Zahlen aus Lösungen heraus. Aber bei a³ plus b³ ist c³ und a⁴ plus b⁴ ist c⁴. Und überhaupt, bei jeder höheren Potenz aⁿ plus bⁿ ist cⁿ,

gibt es überhaupt keine Lösung. Und dann schreibt noch Fermat dazu, ganz klein, ich habe dafür einen wunderbaren Beweis gefunden, nur kann ich ihn auf diesem Rand nicht unterbringen. Und erst 100 Jahre später hat der große Schweizer Mathematiker

Leonhard Euler gezeigt, Fermat hat Recht gehabt für den Fall 3. a³ plus b³ ist c³ hat wirklich keine Lösung in Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, also in ganzen Zahlen Größe 0. Und da wollte Euler zeigen, dass es auch für 5 stimmt,

für die Potenz 5, für die Potenz 7, es kommt auf die Primzahlen Wirklichkeit an. Also für diese Potenzen und ist nicht auf die Lösung gekommen. War sehr unglücklich, hat geschrieben nach Frankreich, man möge beim Nachlass des Fermat nachschauen, ob da irgendwo dieser Beweis von dem Fermat geschwärmt hat, aufzufinden wäre, man hat ihn nicht gefunden. Es wird wohl so sein, dass Fermat

irgendwann gemerkt haben wird, dass sein Beweis nicht richtig ist. Er wird einen Fehler gemacht haben. Der muss ganz toll gewesen sein, der Fehler. Weil Fermat war ein großer Mathematiker, war ein unglaublich geschickter Mensch. Also diesen Fehler zu finden, das wäre eine große Aufgabe. Es gibt gewisse Ideen,

welchen Fehler gemacht haben könnte. Aber die Vermutung, wie immer gesagt, ist richtig. Ende des 20. Jahrhunderts, so um 1990 herum, hat ein Brite, Andrew Wiles, gezeigt, Fermat hat tatsächlich Recht. Aber für die 2. Potenz stimmt es. In gewisser Hinsicht, meine sehr verehrten Damen und Herren, ist es ein Wunder, dass uns der liebe Gott geschenkt hat,

dass wir in der 2. Potenz wirklich die Ebene, den Raum, ja alle Dimensionen erobern können. Und dass da gerade diese wunderbaren Zahlenlösungen sind. 3, 4, 5, 5, 12, 13, 15, 8, 17 und so weiter. Aber wie kommt man auf diese Zahlen? Nun, aber eine

sozusagen kleine Kostprobe kann ich Ihnen geben. Ich werde Ihnen zeigen, wie man auf ein Paar von diesen Zahlen kommt. Und jetzt kommt endlich unser Held, Pythagoras. Bevor er da kommt, aber will ich Ihnen noch etwas anderes zeigen. Nämlich, wie es so eine Pisa-Aufgabe im alten Babylon ausgeschaut hat.

Damit Sie sehen, was man mit diesen Tafeln machen kann. Das ist tatsächlich eine alte Aufgabe aus Mesopotamien. Und die lautet folgendermaßen, eine 30 Fuß lange Leiter lehnt senkrecht an einer Wand. Also halbwegs senkrecht. Aber

sechs Fuß ist sie von oben herabgerutscht. Und jetzt kommt die Frage, wie viele Fuß ist sie nach vorne gerutscht? Das ist ein Babylonisches Schulbeispiel. Und dann steht in diesem Schulbuch auch drinnen, wie die Lösung geht. Also das sind schöne,

brave Schulbücher, wo auch die Lösung drinnen steht. Und zwar schreibt da der Autor, 30 weniger 6. Also er sieht die Leiter, die 30 lang war, und die jetzt 6 Fuß herabgerutscht ist. Und er sagt, 24 siehst du. Das ist diese blaue

Linie. Und diese blaue Linie ist schon eine Kathete eines rechtwinkelten Dreiecks. 24 ist die eine Kathete lang. 30 ist die Hypotenuse lang. Das ist nämlich die Länge der Leiter. 30 Fuß. Und wie viel sie nach vorne gerutscht ist,

das ist die Frage. Und nun hat also das Schulkind sich zu überlegen, 30 das ist doch 5 mal 6. Und 24 das ist 4 mal 6. Also habe ich vor mir das rechtwinkelige Dreieck. Jetzt habe ich ja meinen Stein mit meiner Liste. Aber es ist das einfache rechtwinkelige Dreieck. Mit 5

als Hypotenuse, 4 ist der eine Kathete, da muss die andere Kathete 3 sein. Und 3 mal 6 das ist 18. Und schon ist das Beispiel gelöst. Und schon schreibt dann der Schulbuchautor, 18 Fuß ist sie nach vorne gerutscht.

Also das ist Pisa in Babylonien. Nebenbei gesagt, gleich danach stellt der Schulbuchautor die folgende Aufgabe. Eine 30 Fuß lange Leiter lehnt senkrecht an einer Wand. 18 Fuß ist sie nach vorne gerutscht. Wie viel Fuß ist sie von oben herabgerutscht? Ja, das ist ganz klar.

Dieses Beispiel ist dann durch die Jahrhunderte hindurch gegangen. Ein gewisser Leonado von Pisa, also noch einmal Pisa, ein Leonado von Pisa, ersetzt die Leiter durch einen Speer. Aber die gleiche Aufgabe. Die selbe Aufgabe nur statt der Leiter ein Speer. Pisa

ist ja ein bisschen kriegerischer. Also wie gesagt, auf zu Pythagoras. Pythagoras nämlich und das ist glaube ich seine Leistung, ist nicht von der Geometrie ausgegangen. Pythagoras ist von den Zahlen ausgegangen. Und hat gesagt, mit den Zahlen begreife ich die ganze Welt.

Die Zahlen sind es. Und er schreibt die Zahlen trotzdem in geometrischen Formen. Er schreibt also nicht die Zahlen mit eigenen Zeichen, so wie wir sie schreiben mit dem arabischen Zeichen für eins und zwei und drei und vier. Auch nicht mit den römischen Zeichen. Er schreibt die Zahlen nicht einmal mit den griechischen

Zeichen. Alpha ist eins, Beta ist zwei, Gamma ist drei. Sondern er schreibt die Zahlen mit Punkten an. Also das ist eins. Eins ist einfach ein Punkt. Und eins ist eine Quadratzahl. Wenn Sie so wollen, die einfachste Quadratzahl, also eins, ist eins Quadrat. Ja, also eins bleibt eins. Und nun sagt Pythagoras, die nächste Quadratzahl bekomme ich, indem ich

zu diesem Einser drei dazugebe. Eins, zwei, drei wird dazugegeben. Eins plus drei. Und eins plus drei, das ergibt vier. Und Sie sehen vier ist wieder eine Quadratzahl. Und nun komme ich zur nächsten Quadratzahl, zu der komme ich, indem ich zu vier oben zwei Punkte, rechts zwei Punkte

und rechts oben noch einen Punkt, also insgesamt fünf Punkte dazugebe. Also vier plus fünf. Und vier plus fünf ergibt die Quadratzahl neun. Quadratzahlen heißen Quadratzahlen, wenn man sie wie ein Quadrat schreiben kann. Und zu neun geben wir jetzt sieben dazu, drei Punkte oben, drei Punkte rechts,

rechts oben noch einen Punkt, sieben. Und bekomme so die Quadratzahl sechzehn. Und dieses Schema geht immer weiter. Das hört nicht auf. Ich kann auch jetzt zu sechzehn wiederum eine ungerade Zahl dazugeben. Wie groß muss die ungerade Zahl sein? Vier Punkte oben, vier Punkte rechts, einen Punkt rechts oben.

Also neun muss ich dazugeben. Und da dürfte Patagoras auf eine Idee gekommen sein. Sechzehn ist eine Quadratzahl, aber die ungerade Zahl neun ist ja auch eine Quadratzahl. Also damit Sie dieses Schema

ganz klar sehen. Sie gehen aus von einer Quadratzahl, N-Quadrat, also N-Punkte in der Zeile N-Zeilen, N-Quadrat-Punkte, N-Quadrat-Punkte und nun geben wir dazu rechts N-Punkte und oben geben wir dazu N-Punkte,

also insgesamt zwei N-Punkte. Und eine Punkt rechts oben noch dazu, N-Quadrat plus zwei N-plus-eins. Und das muss die nächste Quadratzahl ergeben. Das muss sein N-plus-eins zum Quadrat. Da muss ich sagen, das ist mir eh klar. Das ist die sogenannte binomische Formel. Da haben Sie ganz recht, aber da sind Sie ein bisschen

zu flott, denn die binomische Formel wird erst der nächste Vortrag sein. Und ich muss Sie jetzt noch ein bisschen zurückhalten. Sie müssen beachten, wir haben links stehen N-Quadrat, also eine Quadratzahl. Rechts stehen N-plus-eins zum Quadrat, auch eine Quadratzahl. Und dazu kommt

noch zwei N-plus-eins. Und was Pythagoras so erdacht hat, ist, na, N-Quadrat ist eine Quadratzahl. Es könnte ja zwei N-plus-eins vielleicht auch eine Quadratzahl sein. Nicht zum Beispiel wie bei neun. Wenn das der Fall wäre, hätte ich eine Form von A-Quadrat, nämlich N-Quadrat,

plus B-Quadrat, nämlich zwei N-plus-eins, ist gleich C-Quadrat. Wieder eine Quadratzahl. Und so würde ich Zahlen bekommen, die die Katheten sind und die Hypotenose von rechtwinkelten Dreiecken. Und das klappt tatsächlich. Also in unserem rechten Beispiel sehen Sie es ja.

Sie setzen zwei N-plus-eins einfach gleich neun. Wenn zwei N-plus-eins neun ist, dann ist zwei N natürlich acht. Die Hälfte davon ist N. N ist vier. Und tatsächlich haben wir ja vier zum Quadrat plus neun. Also vier zum Quadrat plus drei zum Quadrat ist fünf zum Quadrat. Und wir haben schon das erste

dieser sogenannten Pythagorasischen Trippel, also ganze Zahlen A, B, C, sodass A-Quadrat plus B-Quadrat und C-Quadrat ist bekommen. Vier, drei, fünf. Schön. Aber das kann man ja weitergehen. Ganz systematisch. Es könnte ja zwei N-plus-eins die nächste ungerade Quadratzahl sein, 25. Wenn zwei N-plus-eins

25 ist, dann ist zwei N 24. Dann ist N die Hälfte davon, also zwölf. Also muss sein zwölf zum Quadrat plus 25. Also zwölf zum Quadrat plus fünf zum Quadrat muss 13 zum Quadrat sein. Und wir haben schon das Trippel zwölf, fünf, 13.

Ja, und jetzt haben wir ein Schema gefunden. Wir nehmen zwei N-plus-eins ist die nächste ungerade Quadratzahl, das ist 49. Also dann ist zwei N 48. Also ist N 24. Ja, wenn N 24 ist, habe ich damit 24 zum Quadrat plus 49. Also 24 zum Quadrat plus

sieben zum Quadrat ist 25 zum Quadrat. Also das Trippel 24, 27, 25. Ja, und das geht systematisch so durch. Die nächste ungerade Quadratzahl ist 81, zwei N ist daher 80, N ist daher 40. Daher wissen wir, dass 40 zum Quadrat plus 81, also 40 zum

Quadrat plus 9 zum Quadrat, 41 zum Quadrat sein muss. Und wir haben gefunden das Trippel 40, 9, 41. Jetzt geht das ohne Ende so weiter. Also unendlich viele rechtwinkelige Dreiecke mit ganzzahligen Katheten und Hypotenusenlängen,

unendlich viele haben wir schon gefunden. Alle noch nicht bitte. Sie können sich vielleicht erinnern an 20, 21, 29. Das wird nicht vorkommen. Aber ein paar haben wir gefunden. Was heißt ein paar? Unendlich viele haben wir gefunden. Das ist natürlich schon

eine große Leistung. Jetzt liegt es nahe, alle diese rechtwinkeligen Dreiecke auch zu zeichnen. Die zeichnen wir. Also wir zeichnen das Dreieck mit den Seiten 4, 3, 5. Wir machen es vielleicht so, dass wir alle diese Dreiecke so zeichnen, dass die Hypotenuse immer gleich lang ist. Also sagen wir, die ist eins lang.

Wenn die Hypotenuse eins lang ist, ist die eine Kathete vierfünftel lang und die andere Kathete ist dreifünftel lang. Ich meine, man kann es so zeichnen oder man kann es auch gleichsam komplementär zeichnen. Das selbe Dreieck. Du eine A und B vertauscht. Und ich kann das nächste Dreieck zeichnen

mit 12, 5, 13. Also Hypotenuse ist eins lang, die rote Kathete ist zwölf dreizehntel und die blaue Kathete fünf dreizehntel lang. So und so gezeichnet. Und das nächste, das Petagos gefunden hat, das war 24, 7, 25.

Also 24, 25. Die rote Kathete, 7, 25. Die blaue Kathete, eins die Hypotenuse. So und so gezeichnet. Und das nächste ist 40, 9, 41. Also rote Kathete, 40, 41. Blaue Kathete, 49. Hypotenuse also eins, 41, 41.

So und so gezeichnet. Und da kann man eigentlich unendlich viele dieser rechtmöglichen Dreiecke einzeichnen. Und wenn man immer dafür sorgt, dass die Hypotenuse eins lang ist, sehen Sie, dass diese rechtmöglichen Dreiecke so an diese rechten oberen Dreiecke

einschließen oder einen Kreis. Jetzt werden Sie sagen, na gut. Und was habe ich davon? Das ist doch die übliche Frage. Was habe ich

davon, wenn ich das weiß? Und Sie können es ahnen. Wenn Pythagoras einen Schüler in seiner großen Gruppe gehabt hätte, der ihm gesagt hätte, und große Pythagoras, und was habe ich davon? Er wäre hinausgeworfen worden. Denn was man davon hat, ist Erkenntnis. Was will man mehr? Erkenntnis.

Aber tatsächlich, meine sehr verehrten Damen und Herren, diese Erkenntnis verändert auch die Welt. Und ich will Ihnen noch ein Beispiel zeigen. Und dieses eine Beispiel steht paradigmatisch für eine ganze, sozusagen für eine ganze Geschichte. Das Beispiel geht davon aus,

dass das hat man ungefähr so um 300 vor Christus sozusagen vollzogen ist das Beispiel, dass in Alexandria, dort, wo der Nil ins Meer mündet, und um 300 lebten in Alexandria schon Griechen, eine griechische Stadt,

bedeutete die griechische Stadt mit einer riesigen Bibliothek. Der Herrscher von Alexandria, Ptolemaios, hat dafür gesorgt, dass möglichst viele Bücher in die Bibliothek hineinkommen, weil er wollte ein geistiges Zentrum bilden, in Bewusstsein dessen, dass Bildung sich rechnet. Bildung zählt, so sagte Ptolemaios,

der erste und letzte Bildungspolitiker. Und diese Bibliothek verwaltete der große Bibliothekar Eratosthenes, der in jedem Fachgebiet einer der besten war. Und in diesem Alexandria hat Eratosthenes seine Bibliothek nicht nur verwaltet, sondern auch gewusst, dort gibt es einen riesen hohen Obelisken.

Obeliskos heißt eigentlich Bratspis, also man hat aufgestellt, damals die Ägypter so große Obelisken, um darzustellen, so gehen die Strahlen der Sonne herab auf die Erde. Die sind ganz senkrecht gebaut, senkrecht über den Erdboden. Und 800 Kilometer

südlich, am Oberlauf des Nils, 800 Kilometer südlich, gibt es die Stadt Syene, die berühmt war dafür, dass in Syene ein sehr tiefer Brunnen war. Und der Brunnen von Syene wurde ganz senkrecht gebaut, so dass also das Senkreis direkt hinunterzeigte in die Mitte des Wassers von Brunnen.

Und warum war dieser Brunnen so berühmt? Weil am 21. Juni, am Tag, wo die Sonne am höchsten steht, um 12 Uhr mittags, die Sonne genau hinein geleuchtet hat in den Brunnen von Syene. Also, wir halten fest, Alexandri und Syene sind 800 Kilometer voneinander entfernt. Und am 21. Juni,

um 12 Uhr mittags, leuchtet die Sonne hinein in den Brunnen von Syene, das heißt, die Sonnenstrahl steht direkt senkrecht oberhalb von der Erde. Aber die Erde ist ja eine Kugel. Meine sehr verehrten Damen und Herren, das hat man damals schon längst gewusst. Pythagoras

war jedenfalls einer, der behauptet hat, ich muss auf einer Kugel leben. Denn ich bin der gottgleiche Pythagoras, ich muss leben auf dem vollkommensten geometrischen Körper. Ich kann nicht leben auf einer Scheibe oder auf dem Schild von einer Schildkröte. Ich muss auf einer Kugel leben. Er hat nebenbei gesagt sogar, dass diese Erdkugel sich bewegt im Universum. Sehr interessant.

Er war nicht von einer Erdkugel ausgegangen, die im Zentrum des Universums ist. Im Zentrum des Universums hat Pythagoras angenommen, gibt es ein Zentralfeuer. Das ist nicht die Sonne. Die Sonne bewegt sich auch um das Zentralfeuer herum und das Zentralfeuer bescheint die Sonne, beleuchtet die Sonne, sodass wir also von dem Zentralfeuer sozusagen den

Widerschein auf der Sonne sehen. Das Zentralfeuer sehen wir selbst nicht, weil wir auf der Zentralfeuer abgewandten Seite leben. Für immer. Das war so die Idee des Pythagoras. Aber wir leben auf einer Kugel. Und Aristoteles nebenbei gesagt hat sogar bewiesen, dass es eine Kugel sein muss, worauf wir leben. Jedenfalls ein kugelförmiger Körper.

Denn, wenn sich die Erde stellt zwischen Sonne und Mond und man hat eine Mondfinsternis, so sieht man den Schatten der Erde auf dem Mond und der Schatten der Erde auf dem Mond ist immer kreisförmig mit dem Rand. Und nur die Kugel wirft einen kreisförmigen Schatten in jeder Position. Der Zylinder manchmal, aber manchmal auch nicht, manchmal kann der Schatten auch rechteckig sein, der Kegel manchmal, aber manchmal auch nicht,

kann der Schatten dreieckig sein, aber bei der Kugel ist der Schatten immer kreisrund. Also müssen wir auf einer Kugel leben. Aber wie groß ist sie? Und Aristoteles ist draufgekommen, durch dieses Wissen, dass am 21. Juni um 12. Mittags die Sonne genau im Zenit über Zeene steht, kann ich die Größe der Erdkugel bestimmen.

Denn er sagt in Alexandria, in Alexandria, da leuchtet auch die Sonne am 21. Juni um 12. Mittag, aber nicht im Zenit. Der Obelisk von Alexandria wirft einen Schatten. Und Aristoteles misst ab

das Dreieck, das Dreieck, das dieser Schatten beim Obelisken von Alexandria bildet. Und er sagt, dieses Dreieck spiegelt sich ja wieder hier auf der Erde. Und er stellt fest, dieses Dreieck, das ist ja praktisch ein rechtwinkeliges Dreieck,

das ist ein bisschen kleiner als das phytochoreische Dreieck 112, 115, 113. Das kann man ja bekommen. Und das phytochoreische Dreieck 144, 17, 145 ist ein bisschen kleiner. Das Schatten ist mit diesem Dreieck

ziemlich genau in der Mitte dazwischen. Also diese beiden Dreiecke bestimmen dann die Größe der Erde, sagt er. Denn Sie müssen sich vorstellen, die kurze Kathete, 15 bzw. 17, die steht für den Abstand von Alexandria zu Siene.

Und die Hypotenose, 113 und 145, die steht für den Radius der Erde. Also das Verhältnis von 15 zu 113, also 113 durch 15 mal 800 Kilometer muss ungefähr

mindestens den Erderadius ergeben. Mindestens. 800 Kilometer mal 113 durch 115 durch 15 ergibt 6027 Kilometer. Also der Erderadius muss mindestens 6027 Kilometer groß sein. Und jetzt nehmen wir das kleinere Dreieck.

Also 145 durch 17, 145 durch 17, wenn Sie das mit 800 Kilometer multiplizieren, bekommen Sie 6824 Kilometer. Also der Erderadius kann am höchsten 6824 Kilometer sein. Und weil dieses Dreieck praktisch in der Mitte liegt, kann man annehmen, dass der Erderadius etwa in der Mitte

zwischen 6027 und 6824 Kilometer liegen wird. Die Mitte zwischen 6000 und 6800 sind 6400 Kilometer. Und damit kriege ich den Erderadius. Also genau ist es 6370 und irgendetwas.

So unglaublich. Also wir haben was davon, dass wir die Pythagoreischen Satz haben. Und das war der Beginn einer Erfolgsgeschichte. Denn damit habe ich die Vermessung der Welt durchgeführt.

Die erste Vermessung der Welt. Wir wissen, wie groß die Erdkugel ist. Jetzt muss ich Ihnen eine traurige Geschichte erzählen. Diese Vermessung der Erdkugel wurde weitergeführt und weitergeführt. Auch die Römer haben sie durchgeführt. Die Römer waren schlampiger im Messen. Und die Erde ist immer kleiner geworden.

am Ende des römischen Reiches war dann die Erde nur 27000 Kilometer Umfang. Während vorher hat sie 40.000 Kilometer Umfang gehabt. Also bei Eratosthenes hat sie 40.000 Kilometer Umfang. Was auch stimmt. Während bei den Römern war es nur 27.000 Kilometer Umfang. Was die Römer natürlich glücklich gemacht hat. Weil das römische Reich ist dadurch

viel größer geworden. Denn das hat man ja auch schon verstanden. Man vermisst sein Land mit Hilfe von Dreiecken. Man spannt Dreiecke auf und vermisst die Länder. Und bei jedem Dreieck, das man aufspannt zieht man von einem Eckpunkt in Höhe auf die gegenüberliegende Seite und hat zwei rechtwinkelige

Dreiecke. Und schon verwendet man welchen Satz? Den Satz des Pythagoras. Und so vermisst man die Länder. Schon im römischen Reich und dann im Mittelalter. Und natürlich dann in der Neuzeit. Bis hinauf in die neueste Zeit wird alles trianguliert. Mit solchen Instrumenten

wird die ganze Erde vermessen. Also wir wissen wie die einzelnen Festländer wie groß die sind. Und wie groß die Erdkugel ist. Das weiß man jetzt. Früher von Eratosthenes 40.000 Kilometer im Umfang. Später von den Römern 27.000 Kilometer im Umfang. Die 27.000 Kilometer, an die hat Christoph Kolumbus geglaubt. Er wäre nie nach Westen gesegelt.

Bei 40.000 Kilometer Erdumfang. Weil das hätte er niemals Indien erreichen können. Er hat sie auch nicht erreicht. Aber die Vermessung der Welt mit Hilfe von rechtwinkigen Dreiecken. Welch großartige Leistung. Und jetzt müssen Sie sich

aber noch dazu vorstellen. Pythagoras sagt, das interessiert mich nicht. Das ist eine Erkenntnis, die sich nur auf diese plumpe Erde bezieht. Aber meine Erkenntnisse sind im Kopf. Meine Erkenntnisse sind jene, dass ich es zustande bringe, diese Zahlen A,

B, C, die rechtwinkelige Dreiecke bilden, herauszufinden. Die schon die Babylonier gefunden haben. Und in der Schule des Pythagoras wurde das verraten, wie das vor sich geht. Aber nur in der Schule. Niemand durfte es nach außen verraten. Schule war damals etwas, was ein geschlossener Kreis

war. Ein Geheimbund. Es durfte nicht nach außen gehen. Ganz im Unterschied von Schule heute. Schule heute besteht ja darin, dass man es allen sagen möchte. Die Schwierigkeit ist die. Damals haben alle Pythagoreischen Schüler zugehört und gesagt, ja, wir wollen es wissen. Und heute sagt man es allen Schülern und sie sagen, wir wollen es gar nicht wissen. Aber das ist

ein großer Fehler. Denn es ist wirklich... Sie müssen sich vorstellen. Die Erkenntnis des Pythagoras ist 500 ungefähr vor Christus. Und die erste Anwendung war erst 300 vor Christus. Also 200 Jahre später. Vorher war dieses Wissen rein akademisches Wissen. Nutzlos. Man weiß von keinem

Wissen, ob es nutzlos ist. Mathematisches Wissen wird sich immer irgendwie als nützlicherweise. Das ist unser fester Glaube. Irgendwie. Und wenn der letzte Nutzen nur darin besteht, dass wir wissen, ist das auch ein Nutzen. Sie sehen vielleicht

bei dieser Figur, damit möchte ich heute schließen, Sie sehen bei dieser Figur, das sind rechtwinkelige Dreiecke, aber sie stauen sich. Sie stauen sich da auf der waagrechten und auf der senkrechten. Und sie werden sich immer mehr und mehr stauen, je weiter der Pythagoras rechnen würde. Aber in der Mitte sind so Lücken.

Ja, diese Lücken kann man füllen. Zum Beispiel mit 20, 21, 29. 20, 21, 29. Das wäre ja ein Dreieck, wo die beiden Katheten fast gleich lang sind. Aber wie ist das mit dem Dreieck, wo die Katheten gleich lang sind?

Geht das auch? Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck, wo die Katheten gleich lang sind? Natürlich geben Sie dieses Dreieck schon. Aber gibt es ganze Zahlen, sodass die Seitenlänge der beiden Katheten und die Hypotenuse ganze Zahlen sind und die beiden Katheten sind

gleich lang? Man ist ja schon fast dran bei 20, 21, 29. Und man kann, wenn man weiter rechnet, mit dem Babylonischen Tafeln, sogar immer näher und näher dran kommen. Aber kommt man genau hin auf dieses gleichschenkelgerechtwinklige Dreieck? Und es zeigte sich, und das war das tiefste

Geheimnis in der Pythagoreischen Schule, ein gewisser Hippasos vom Metapont, soll es gefunden haben, oder soll es jedenfalls verraten haben, jedenfalls wurde er dafür ins Meer gestürzt von seinen Freunden aus der Schule. Das passiert auch. Er hat gefunden, das ist nicht möglich. Dieses

Dreieck gibt es nicht so, dass man ganze Zahlen finden kann, dass die beiden Katheten eine ganze Zahl sind und die Hypotenuse eine andere. Aber auf der anderen Seite, dieses Dreieck gibt es doch, denn ich kann es doch zeichnen.

Also es gibt etwas, was es eigentlich nicht geben dürfte. Meine sehr verehrten Damen und Herren, das ist die zweite große Anwendung. Das ist nämlich der Beginn der Grundlagenkrise. Die erste Krise. Und Sie wissen, was Krise bedeutet.

Diese Krise, in der wir jetzt in der ökonomischen Krise leben, die kann man vielleicht lösen. Aber bei dieser Grundlagenkrise war Pythagoras überzeugt, das wird sich ja nicht lösen lassen. Was machen wir da? War ein tiefes, tiefes, tiefes mathematisches Problem.

Das Wesentlichen dann dadurch gelöst worden ist, wie man heute wahrscheinlich auch die Krise lösen wird, man schaut weg. Aber die Krise ist dann später wiedergekommen und sie ist dann wiedergekommen. Sie lässt sich nicht so leicht abschütteln. Und auch das ist etwas, was ich Ihnen versprechen werde, was ich Ihnen in einer Woche

erzählen werde, warum es dieses gleichschenkelgerechtige Getreieck einerseits nicht geben kann, weil es keine ganzen Zahlen gibt, wo die Seiten diese Länge haben. Aber es gibt es doch. Also das werde ich Ihnen auch noch zeigen. Also ich hoffe, Sie sind so interessiert und kommen dann bei der

Vorlesung, die Sie heute gehört haben, können Sie sagen, es möchte nicht wissen, was hat er wirklich genau gesagt. Sie sehen in der ganz untersten Zeile, wo Sie dann in Kürze bei YouTube reingehen können und dann wird dieser Vortrag, den Sie heute gehört haben, noch einmal gespielt und Sie können das Ganze wiederholen. Sie werden dann sehen, welche sprachlichen Fehler ich gemacht habe und wo ich mich

geirrt hatte. Sie können dann auch nachrechnen und feststellen, ob ich wirklich rechtwinkelige Getreieckinnen angeboten habe oder vielleicht geschummelt habe. Ich glaube, ich habe nicht geschummelt. Außerdem sehen Sie angekündigt dann, was Sie am 18. April erwartet. Wir machen weiter über die pädokoräische Formel

hinaus zu einer etwas allgemeineren Formel, wie sie dann zeigen wird, zu einer sogenannten binomischen Formel. Also wir werden eine weitere Formel betrachten. Sie sehen, die Formel sind gar nicht so schwer und es steckt eigentlich viel Philosophie dahinter. Und zwischen meiner Ankündigung und der Ankündigung der YouTube-Sendung sehen Sie dann auch unsere Förderer, die dafür gesorgt

haben und dafür sorgen, dass es uns möglich ist, dass so viele von Ihnen sich für den Satz des Pythagoras interessieren, wo Sie in der Schule doch gesagt hatten, was soll das? Also ich hoffe, Sie sagen es nicht mehr und Sie sagen es Ihren Kindern, dass das wirklich etwas bietet. Krisen bietet es,

Erkenntnisse bietet es und wir können damit die ganze Welt, die riesige Welt, 6.400 Kilometer und wir haben es einfach mit einem einfachen Dreieck beschrieben. We are the masters of the universe, weil wir Mathematiker sind. Das ist die Botschaft, die ich Ihnen geben wollte und ich danke Ihnen für die Aufmerksamkeit.