Lassen Sie mich, meine sehr verehrten Damen und Herren, heute mit etwas beginnen, von dem wirklich viele behaupten, dass es die Welt verändert,

nämlich mit dem Geld, mit, nebenbei gesagt, mit wirklichem Geld, wo nicht Brücken von nirgendwo nach nirgendwo führen und nicht irgendwelche Fenster ins Nichts hinein zeigen, sondern wo ein Mensch dargestellt wird. Nebenbei gesagt, der größte Mathematiker der Neuzeit, Gauss. Und Sie

sehen Markschein, bei diesem alten Zehnmarkschein, neben dem Gesicht von Gauss, eine eigenartige mathematische Kurve. Hier sehen Sie es noch genauer. Das ist die berühmte Glockenkurve. Und diese Glockenkurve ist tatsächlich

dafür verantwortlich, dass wir die Welt nicht mehr so sehen, wie sie zum Beispiel noch Newton oder vielleicht sogar noch Laplace gesehen hat, dass alles genau berechenbar ist, sondern bei dieser Glockenkurve kommt zum ersten Mal zu tragen, dass der Zufall in dieser Welt eine wichtige Rolle spielt.

Aber die Glockenkurve ist auch etwas, was uns hilft, den Zufall zu zähmen. Die Mathematik zähmt den Zufall. Was heißt denn der Zufall? Also stellen Sie sich vor, meine sehr verehrten Damen und Herren, Sie haben da in die Wand einen Nagel, der diesen quadratischen Querschnitt hat.

Und wir lassen auf diesen Nagel fallen eine Kurve. Und zwar soll diese Kurve wirklich hundertprozentig symmetrisch auf diesen Nagel herunterfallen, so dass sie eigentlich, wenn sie wirklich hundertprozentig symmetrisch hinunterfällt, so stehen bleiben müsste. Was sie aber nicht tut, höchst

wahrscheinlich, weil wir kriegen ja die hundertprozentig zustande. So leise Zufälle werden das irgendwie hin und her, also aber wenn es sehr symmetrisch ist, wird es so sein, dass die Kugel entweder nach links oder nach rechts fällt und wenn das wirklich, also die Symmetrie gewahrt ist, wird 50

Prozent die Wahrscheinlichkeit sein, dass die Kugel nach links fällt und 50 Prozent die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach rechts fällt oder man könnte es auch so ausdrücken, würde man zwei Kugeln herabfallen lassen, so ist es sozusagen fast gerecht, dass einmal eine nach links und die andere nach rechts fällt. Und das Spielchen treiben wir weiter. Wir

lassen diese Kugeln dann weiter herabfallen, die könnten wiederum nach links oder nach rechts fallen. Also wir haben jetzt nicht einen Nagel, sondern wir haben jetzt ein ganzes Feld von Nägeln eingetragen in diese Mauer und lassen die Kugeln fallen. Also die erste Kugel fällt sozusagen da

drauf und dann entweder mit 50 prozentiger Wahrscheinlichkeit nach links oder nach rechts. Das heißt, wenn zwei Kugeln fallen, fällt eine nach links und die andere nach rechts. Oder wenn dann vier Kugeln fallen, dann wäre es naheliegend, dass beim weiteren Verzweigen eine ganz nach links fällt, zwei nämlich eine von links und eine von rechts in die Mitte und

eine ganz nach rechts. Oder wenn wir acht Kugeln fallen lassen, dann wäre es nur gerecht, wenn eine ganz links, dann drei eher links-mitte, weil eine von links, zwei von rechts, drei rechts-mitte, zwei von links, eine von

rechts oder eine ganz rechts fällt. Und so geht das Spiel weiter. Bei 16 Kugeln sollte die gerechte Verteilung, wenn es ganz symmetrisch ist, 1, 4, 6, 4, 1 sein. Und Sie sehen schon, wie diese Zahlen zustande kommen. Man notiert einfach die beiden oberen. Und das geht so weiter bei 32 Kugeln 1, 5, 10,

5, 1 und bei 64 Kugeln haben Sie 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. 128 Kugel haben diese Verteilung, 256 Kugeln diese Verteilung. Und wenn man dieses Experiment sehr, sehr oft durchführt, wird bei sehr vielen dieser Experimente die

Verteilung wirklich 1, 8, 28, ebenfalls praktisch erfüllt sein. Das ist diese berühmte Binomial-Verteilung. Und die Zahlen, die das letzte Mal hier anwesend war, wird sich noch daran erinnern, das sind die Zahlen der binomial, der binomische Formeln, das sind diese binomial-

koeffizienten. Aber für uns ist es einfach die Verteilung dieser Kugeln, die könnten wir gleich in einem Histogramm so aufschreiben. Also 1, 8, 28, noch mehr, 56, 70 in der Mitte, das ist das meiste. Und dann fällt es wieder runter, schön symmetrisch, 56, 28, 8, 1. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel ganz, ganz links fällt, ist nur

1 durch 256 und ganz, ganz rechts ist nur 1 durch 256. Wenn zum Beispiel das in die Mitte fällt, ist 70 durch 256. Oder wenn Sie diese Prozentzahlen angeben wollen, dann haben Sie hier die Prozentmaße. Und Sie sehen schon, wie diese Verteilung anfänglich wächst, zu einem Höhepunkt zustrebt

und dann symmetrisch wieder herabfällt. Das ist gleichsam ein diskretes Bild, das sich der Glockenkurve immer mehr und mehr annähert. Und hier habe ich jetzt die Glockenkurve darüber gelegt, diese Kurve, über die ich heute sprechen möchte. Die hat also einen Mittelwert, den nennt man meistens Mu, wo die

meisten hinfallen, Mu, wo die meisten hinfallen. Und eine Abweichung, eine Streuung, die errechnet man sich dadurch, dass man fragt, wo ist denn sozusagen der Anstieg der Glockenkurve oder der Abstieg der Glockenkurve am größten? Und das

sind die Werte der Streuung, Mu minus Sigma und Mu plus Sigma, Sigma für die Streuung. Je größer das Sigma ist, umso breiter ist die Glocke, je kleiner es ist, umso schmäler ist diese Glocke. Also, man kann sich dann überlegen, dass etwa 67 Prozent zwischen diesem Streumaß minus Sigma bis plus Sigma

liegen. Und wenn man das Streumaß verdoppelt, dann sind zwischen minus zwei Sigma und plus zwei Sigma schon fast alle gleichsam Kugeln hineingefallen. 95 Prozent, wenn Sie das Streumaß noch verdreifachen würden, würden Sie praktisch alle Kugeln bekommen. Da draußen ist fast nichts mehr. Also

dieses Objekt ist das Objekt unserer Begierde. Und das hat wirklich ins Besondere in jüngster Zeit die Welt stark verändert, denn man hat in der Finanzmathematik geglaubt, wir können die Börsenkurse voraussagen. Nicht, sonst sehen Sie so einen Börsenkurs, wer wackelt hin und her. Ein Börsenkurs

wackelt nämlich so hin und her, wie auch eine Kugel entweder nach links oder nach rechts oder nach links oder nach rechts, nach rechts, nach links fällt. Jetzt fällt halt der Börsenkurs nicht von oben nach unten, sondern von links nach rechts. Wenn er nach unten fällt, das kennen wir auch, aber eigentlich sollte er in der Zeit einmal von links nach rechts fallen, der eine oder der andere so oder der dritte so oder der vierte so. Und nun, wenn man

jetzt ein riesiges Portfolio von vielen börsennotierten Firmen hat, dann stellt man sich vor, wie sind denn die einzelnen Börsenkurse in der Zeit verteilt und am Anfang sind sie noch recht nah beieinander und da sehen Sie, die Verteilung ist also eine sehr schmale Glockenkurve und mit der

Zeit wird dann die Verteilung größer und Sie sehen, die Verteilung ist eine große Glockenkurve. Das einzige, was peinlich ist, bei den Börsenkursen ist die Verteilung leider nicht genau die Glockenkurve. Wäre sie das, dann könnte man wirklich ganz gute Prognosen stellen. Aber es gibt bei

den Börsenkursen leider die sogenannten Thick Tales, das heißt, außerhalb von passiert immer noch was und zwar nicht, wie man erwarten würde, in zwei oder drei Millionen Jahre. Nein, das kann schon nächstes Jahr passieren und das ist das Pech. Aber Sie sehen, diese Kurve ist entscheidend eigentlich für unser ganzes Dasein. Sie ist nicht nur bei den Börsenkursen wichtig, sie ist sogar

wichtig, wenn sich kleine atomare Teilchen fortbewegen, dann verschmiert sie sich immer mehr und mehr, auch im Rahmen dieser Glockenkurve. Diese Glockenkurve ist einfach sozusagen das Zentrum. Gauss hat selbst gewusst, er hat ja selbst auch mit Versicherungen sich beschäftigt, er hat selbst auch ein bisschen spekuliert nebenbei gesagt, ist als reicher Mann

gestorben. Also damals konnte man das noch mit dem spekulieren, wie dem auch sei. Dieser Glockenkurve wollen wir uns widmen und wir machen es, wir machen sie uns einfach, wir machen sie uns schön, wir nehmen an, der Mittelwert ist genau im Nullpunkt und die Strahlung ist genau eins. Und nun wollen wir es nur fragen, wie schaut denn diese Kurve aus?

Und jetzt muss ich Sie bitten, meine sehr verehrten Damen und Herren, so ein paar Gedanken der Reihe nach mit mir mit zu verfolgen. Einer nach dem anderen, nach dem dritten, nach dem vierten, ungefähr vier, fünf Gedanken werden es sein und dann zum Schluss werden Sie etwas finden, was, was meine Meinung nach

geradezu gespenstisch elegant ist. Also wir fangen zunächst einmal an, ganz einfach, ich möchte Ihnen zeigen, wie überhaupt eine mathematische Kurve entsteht. Eine einfache mathematische Kurve, zum Beispiel y ist gleich x quadrat halbe, wir zeichnen ein eine waagrechte x-Achse und eine senkrechte y-Achse und wollen diese Kurve y ist gleich x quadrat halbe zeichnen.

Ich zeige Ihnen, wie das geht. Wir zeichnen zuerst einmal ein, eine Gerade, die bei x ist minus eins liegt, also eine Parallele zur y-Achse, aber genau eins links von der y-Achse entfernt und dann irgendwo rechts eine x,

einen x-Wert. Und nun machen wir Folgendes, wir werden jetzt zu diesem x-Wert, den halben x-Wert auf der y-Achse eintragen, also hier sehen Sie die Gerade, die die Tiefe hat von x halbe, weil dann nämlich dieses gelbe Rechteck, die Fläche besitzt x mal x halbe, also x quadrat halbe, diese

Fläche haben wir jetzt und die wollen wir jetzt aber einzeichnen als Kurve und das gelingt so, wir werden jetzt eine Diagonale legen durch den Schnittpunkt der beiden violetten Geraden, x ist minus eins und y ist

minus x halbe und durch den Ursprung und wo diese grüne, schräge Gerade die blaue Achse, die blaue senkrechte Achse schneidet, da zeichne ich mir eine blaue waagrechte Achse ein. Denn Sie werden sehen, meine sehr verehrten Damen und Herren, das ist für Sie ganz selbstverständlich, die beiden Dreiecke, das

hellgelbe und das dunkelgelbe, die sind natürlich beide flächengleich, klarerweise. Es wird ja nur eine Diagonale eines Rechtecks gezeichnet. Und die beiden kleinen unteren Dreiecke sind ja auch flächengleich, die können wir so wegnehmen, dann bleiben zwei flächengleiche hellgelbe und dunkelgelbe Figuren übrig, die beiden oberen Dreiecke sind auch flächengleich,

also sind diese beiden Rechtecke ebenfalls flächengleich, das heißt das x quadrat halbe, das ich rechts unten habe, ist auch das x quadrat halbe, das sich nach links oben erstreckt. Die Breite dieses Rechtecks ist aber

eins, daher muss die Höhe x quadrat halbe sein und wir haben daher den Punkt gefunden, wo an der Stelle x die y-Höhe genau x quadrat halbe ist. Ich will es Ihnen noch einmal zeigen, damit Sie sehen, wie schön eigentlich dieser

Gedanke funktioniert. Also irgendeinen x-Wert nehmen wir, den halbierten x-Wert zeichnen wir senkrecht nach unten auf, y ist gleich minus x halbe, dann hat dieses Rechteck die Flächenhalt x mal x halbe, also x quadrat halbe, wiederum zeichnen wir die grüne Gerade, die läuft entlang dieser Diagonalen, wo

die grüne Gerade die blaue schneidet, zeichnen wir eine blaue Waagrechte und wir wissen ja, die beiden großen Dreiecke, das helle und das wenn wir die kleinen linken unteren Dreiecke, die auch flächengleich abziehen,

bleiben die beiden hell und dunkelgelben Figuren flächengleich, wenn wir die beiden oberen Dreiecke abziehen, bleiben die beiden rechtecke flächengleich, die müssen flächengleich sein. Das untere rechteck ist x quadrat halbe groß, das obere daher auch, vom oberen ist aber die Breite eins, daher muss die Höhe x quadrat halbe sein und schon

wieder haben sie einen Punkt und so können sie Punkte über Punkte über Punkte zeichnen, immer für jeden x Wert, denn y Wert x quadrat halbe und sie bekommen dann eine Kurve, diese Kurve bekommt man dann heraus. Also wenn ich

noch einmal erwähnen darf, also Senkrecht x, die Höhe ist x quadrat halbe, wir haben hier dieses Rechteck gezeichnet mit der Fläche x quadrat halbe und nun stellen wir uns vor, wir geben zum x noch ein bisschen was dazu, das nennen wir dx, also ich betrachte jetzt die Senkrechte x plus dx,

ich gehe ein Stück nach rechts, da muss ich natürlich auch das halb so lange Stück wieder nach unten gehen, da haben wir y ist gleich minus x halbe minus dx halbe und da sehen sie, welche Fläche jetzt zum x quadrat halbe dazu kommt, nämlich es kommt dazu einmal dieses linke untere Rechteck, das ist

Breit x und dx halbe groß, also x mal dx halbe, es kommt dazu das obere Rechteck, das ist x halbe in der Höhe und dx in der Breite, also wenn man

die addiert, x mal dx halbe plus x halbe mal dx, da hat man x mal dx, x mal dx kommt dazu, dieses x mal dx, das dazu kommt, das kann man sogar einzeichnen und Sie können es mir glauben, das geht genau die Tangente in Punkte der Kurve

hinauf, genau diese Tangente, es geht natürlich nicht ganz hinauf zu dem neuen Kurvenpunkt, weil es fehlt noch ein kleines Stückchen, es geht nur so weit hinauf, wie weit es hinauf geht, nennt man dy und dann fehlt natürlich noch dieses kleine Rechteck da unten, das würde dann die Krümmung

sozusagen hinein bekommen, damit ich wirklich zum echten Punkt komme, aber das lassen wir weg, für uns ist wichtig, dass dieses dy, also dieses d von x quadrat halbe, das was sich das x quadrat halbe vermehrt, nichts anderes ist als x mal dx, meine sehr verehrten Damen und Herren, das ist der erste Gedanke, und der erste Gedanke nehmen wir so zur Kenntnis und wir

wischen ihn aus unserem Gedächtnis heraus, vielleicht lassen wir nur die Formel da unten stehen, irgendwann könnten wir sie brauchen, aber lassen wir sie einmal. Ein neuer Gedanke. Sie werden jetzt sagen, jetzt bin ich beim ersten Gedanken schon irgendwie ausgestiegen, wie kann ich den neuen Gedanken, meine sehr verehrten Damen und Herren, das macht gar nichts, weil, ich

darf es Ihnen ja sagen, das wird hier aufgezeichnet, was ich Ihnen hier sage, und Sie können dann auf YouTube und dann weiterschauen, also die Adresse ist ja bekannt, können Sie das dann noch einmal, sich langsam, dann plötzlich stopp machen und sagen, jetzt muss ich das wirklich nachvollziehen und schauen, ob es stimmt, kontrollieren Sie mich bitte wirklich

ganz genau, dass ich keinen Fehler gemacht habe. Also der nächste Gedanke, ich zeichne jetzt auf eine waagrechte Z-Achse und eine senkrechte Y-Achse, und da zeichne ich auf zum Beispiel die Zweierpotenzen, also 2 hoch minus 3, 2 hoch 3 ist 2 mal 2 mal 2, das ist 8, und 2 hoch

minus 3, das ist ein Achtel, also die Höhe ein Achtel trage ich bei der waagrechten Stelle von minus 3 ein, das ist der erste Punkt, 2 hoch minus 2, das ist ein Viertel, das trage ich jetzt bei der Stelle minus 2 ein, 2

hoch minus 1, das ist ein Halb und dann kommt, das ist ganz klar, jetzt 2 hoch 0, das brüllt ja danach, es wird immer mit 2 multipliziert, ein Achtel mal 2 ist ein Viertel, ein Viertel mal 2 ist ein Halb, ein Halb mal 2 ist 1, 2 hoch 0 ist 1, 2 hoch 1 ist 2, Sie sehen wie das ansteigt, 2 hoch 2 ist 4, 2

hoch 3 ist 8, das ist schon ein bisschen weiter oberhalb der Decke, jedenfalls das sind die Zweierpotenzen, Sie sehen auch das brüllt danach, dass man es gleichsam als Kurve darstellt, die Kurve y ist 2 hoch z, statt 2 als

Basis, können Sie natürlich auch 3 als Basis nehmen, natürlich, selbstverständlich, Sie können 3 hoch minus 3 bilden, 3 mal 3 mal 3, das ist 27, 3 hoch minus 3 ist 1 siebenundzwanzigstel, also praktisch ganz auf der Z-Achse

draufruhend, 3 hoch minus 2 ist ein Neuntel, also ein bisschen höher, sogar 3 mal so hoch, aber man spürt es noch kaum, 3 hoch minus 1 ist ein Drittel, noch wieder 3 mal so hoch, 3 hoch 0 ist wieder 1, 3 hoch 1 ist 3, 3 hoch 2 ist 9, wir sind schon im obersten Stockwerk, 3 hoch 3 ist 27, also wir haben das Dach

schon überschritten, das macht nichts, wir spüren trotzdem wiederum eine Kurve, y ist gleich 3 hoch z, bei der 3 hoch z Kurve sehen Sie, sie ist links viel flacher, aber nach rechts geht sie viel steiler hinauf, also es

explodiert gleichsam bei 3 hoch z viel schneller als bei 2 hoch z, explodieren tut es aber immer, lassen Sie mich noch einmal zu dem 2 hoch z zurückkommen, also 2 hoch minus 1 ist ein Halb und die Fläche, diese gelbe Rechtexfläche, die sich hier einzeichne, die ist ein halb groß, hoch und eins breit, also die Fläche ein halb und 2 hoch minus 2, das ist ein Viertel, also

dieses weitere Rechtex wiederum eins breit, ein Viertel hoch, das ist die Fläche ein Viertel und 2 hoch minus 3, das ist ein Achtel, wenn Sie jetzt zum Beispiel diese drei Flächen addieren, ein halb, da fehlt mir noch

eins, ein halb plus ein Viertel, das sind jetzt drei Viertel, fehlt mir noch ein Viertel auf eins, ein halb plus ein Viertel plus ein Achtel, das sind jetzt schon sieben Achtel, fehlt mir noch ein Achtel auf eins, also wenn ich da weiter und

weiter addierte, dann würden alle diese unendlich vielen gelben Rechtecke zusammen addiert bekommen genau die Summe eins, aber die Fläche unter der Kurve, da kommt ja noch dieses Ding dazu, die Fläche unter der Kurve hier ist etwas größer als eins, ein bisschen größer als eins, kriegen

wir es zustande, dass wir die Fläche genau eins bekommen, das könnte man bekommen, indem man statt der Basis zwei eine andere Basis wählt, also ich möchte hier nicht die Fläche haben, die größer als eins ist, sondern ich will eine Kurve haben, die etwas sozusagen weniger hoch ist im linken Teil, dafür

etwas steiler ansteigt im rechten Teil, sodass die gelbe Fläche wirklich exakt eins ist, also statt der Basis zwei muss man vielleicht eine etwas größere Basis nehmen und jene Basis, bei der diese Fläche genau

eins ist, die hat schon Euler gekannt und nach ihm werde sie benannt, sie hat es sogar schon früher gekannt, bereits Nepa hat es gekannt, diese Basis nennt man E ein bisschen größer als zwei, also wie groß es ist, ist uns eigentlich ganz egal, ungefähr 2,7, 2,7, 1,8, 2,8, 1,8, 2,8, 4,5, 9,0, es ist nicht so

wichtig, aber etwas größer als zwei, das ist also sozusagen jene Basis, bei der die Fläche links von Null H genau eins ist, das war der nächste Gedanke, Schnitt, wir haben noch immer nicht die Glockenkurve, wir kommen schon auf

die Glockenkurve, wir gehen jetzt wieder zurück, rechts sehen Sie eine X-Achse und interessanterweise eine Z-Achse senkrecht und ich trage wieder ein die Parabel, die wir schon gelernt haben, Z ist gleich X² halbe, nicht? Die habe ich eigentlich nur für die positiven X eingezeichnet, wie Sie sehen,

ich könnte ja X auch negativ wählen, das würde beim X² aber keinen Unterschied bilden, weil Minus zum Quadrat ergibt ja Plus, also ob ich negativ oder positiv betrachte, ist ganz egal, ich kann spiegeln um die Z-Achse, also das ist Z ist gleich X² halbe und Sie könnten diese Parabel, so

nennt man diese Kurve, spiegeln an der X-Achse, dann bekommen Sie die Parabel so nach unten gerichtet und dieses nach unten spiegeln bedeutet, dass Sie es sozusagen Plus durch Minus ersetzen, also hier unten sehen Sie die Kurve, Z ist gleich Minus X² halbe und ein bisschen spüren wir schon, wir

nähern uns der Glocke, fühlen Sie es, jedenfalls in dem Bereich hier um Null herum, in dem Bereich um Null herum, beachten Sie die obere Kurve Y ist gleich E hoch Z, so um Null herum da wächst so dieses Y so wie 1 plus Z,

das ist die Tangente, ungefähr so wächst sie, bei Null ist das Y1, da ist das Y1 bei Null und dann kommt Z dazu und jetzt sehen Sie, wenn

Z gleich Minus X² halbe ist, das zeichne ich jetzt unten ein, dann sehen Sie hier Y ist gleich 1 Minus X² halbe, dann wird die Parabel, die Sie auf der rechten Seite sehen, links schön angeheftet bei der Spitze der Glockenkurve

und Sie spüren, dass das praktisch, das Y ist gleich 1 plus Z hier in diesem Bereich stimmt, ja und im äußeren Bereich E hoch Z, das Z fällt unglaublich

schnell nach Minus unendlich, Z ist gleich Minus X² halbe und wenn das Z nach Minus unendlich geht, sehen Sie oben bei der oberen Kurve, wie weiter das Z nach links geht, umso schneller gehen wir nach Null und die

auch rechts, aber das ist ja beim Z egal, das Z ist ja in beiden Richtungen Minus X² halbe, das heißt, wir können davon ausgehen, dass die Glockenkurve im Wesentlichen so ausschaut, wie E hoch Minus X² halbe, wie E hoch Z.

Das, meine sehr verehrten Damen und Herren, ist nur so eine Andeutung, das ist überhaupt kein Beweis, dass die Glockenkurve wirklich E hoch Minus X² halbe ist. Um es wirklich zu zeigen, müsste ich jetzt mit einem größeren Geschütz auffahren und das will ich mir ersparen, ja.

Also andeutungsweise stimmt es schon, Y ist gleich E hoch Minus X² halbe, jedenfalls diese Kurve hat sicherlich die Form von so einer Glockenkurve und was uns aber interessiert ist jetzt bei dieser Glockenkurve, wie groß ist da die Fläche, denn bei dieser Fläche kommt es darauf dann an, dass

man dann sagt, wenn ich diese Fläche habe, dann habe ich den Zufall, der hier dieser Fläche sozusagen drinnen steckt, gezähmt. Wie groß ist diese Fläche und nun gehen wir das Abenteuer an, diese Fläche auszurechnen und ich werde

Ihnen wirklich zeigen, wie Sie diese Fläche ausrechnen können, nicht sozusagen, wie Sie nachvollziehen können, wie diese Fläche ausgerechnet wurde, denn es ist wirklich ein mathematisches Wunderwerk gewesen und glauben Sie mir, das ist jetzt nicht etwas, wo man sagt, das ist so einfach wie der Satz des Pythagoras, das ist wirklich vom feinsten der Mathematik,

was ich Ihnen heute vorführen werde. Vom allerfeinsten. Ich werde Ihnen zeigen, wie man mit einer unglaublichen Raffinesse draufkommt, wie groß diese Fläche ist und Sie werden außerdem noch sehen, das Ergebnis ist atemberaubend, wirklich warm. Man muss einmal überhaupt auf die

Idee kommen, diesen Trick zu vollziehen. Man macht nämlich Folgendes, man nimmt diese Fläche und dreht sie um die Y-Achse herum. Man dreht sie um die Y-Achse herum und dann entsteht aus dieser Fläche eine wirkliche voluminöse Glocke, die von dieser gekrümmten Fläche begrenzt wird, die

Sie auch im Beginn des Vortrags am ersten Bild gesehen haben. Also das ist die Fläche, die entsteht, wenn man die Glockenkurve um die Y-Achse dreht. Diese schöne Gebilde, also eine wirkliche Glocke und von dieser Glocke

nehmen wir an, dass wir sie aufstellen auf ein Koordinatensystem, die Glocke ruht auf einer UV-Ebene und nach oben geht Y, wie auch links nach oben Y geht. Also die Glocke ruht auf einer UV-Ebene und wir greifen jetzt von

dieser Glocke eine ganz kleine Säule heraus. Eine kleine Säule. Welche der Säulen wir herausgreifen, ist eigentlich ganz egal. Ich nehme hier diese, weil sie sich am besten zeichnerisch darstellen lässt. Diese Säule, bei der man U sozusagen in die rote Richtung geht und V nach links in die

grüne Richtung. U und V sind sozusagen die Grundkoordinaten von diesem Säulenpunkt, den Sie da hier eingezeichnet sehen. U und V. Und die Säule hat ja eine Breite in der roten Richtung. Diese kleine Breite nenne ich dU, ein Stück

weiter noch nach vorne und sie hat auch eine Breite in der grünen Richtung dV, ein bisschen weiter noch nach rechts, so dass die Säule also eine Quadrate oder eine rechtliche Grundfläche hat dU mal dV. Das ist die rechtliche Grundfläche der Säule. Und X ist der Abstand von der Säule vom

Ursprung. X. Und da sehen wir ja ein rechtwinkeliges Dreieck. Und dieses rechtwinkelige Dreieck hat X diesen Abstand als Hypotenuse. Die blaue Strecke

ist gerade dem rechten Winkel gegenüber. Das ist die längste Strecke. Und die beiden anderen Seiten, die sogenannten Katheten, das sind einfach das U und das V. Und nun appelliere ich an den Satz des Pythagoras. Das X-Quadrat, die

Hypotenuse zum Quadrat, ist O-Quadrat plus V-Quadrat. Ja, und dieses X, das ist der Abstand der Säule vom Ursprung und das ist ja entstanden alles durch die Drehung der Glockenkurve. Also die Glockenkurve im Abstand X hat ja die Höhe, Y ist gleich E hoch minus X-Quadrat halbe, so wie es

links unten steht. E hoch minus X-Quadrat halbe. Aber was X-Quadrat ist, wissen wir. X-Quadrat ist U-Quadrat plus V-Quadrat. Also haben wir hier oben stehen E hoch minus X-Quadrat halbe, welches ist E hoch minus U-Quadrat halbe minus V-Quadrat

halbe. Und jetzt können Sie sagen, Sie haben eine Potenz und oben steht die Summe von minus U-Quadrat halbe und minus V-Quadrat halbe. Eine Zahl hoch A

plus B ist diese Zahl hoch A mal dieser Zahl hoch B. Das heißt wir können hier schreiben E hoch minus U-Quadrat halbe mal E hoch minus V-Quadrat halbe. Also E hoch minus X-Quadrat halbe ist E hoch minus U-Quadrat halbe mal E hoch minus

V-Quadrat halbe. Das war die Höhe der Säule. Ja. Und wie groß ist das Volumen der Säule? Das Volumen der Säule ist ganz einfach. Das Volumen der Säule ist die Höhe E hoch minus X-Quadrat halbe mal der eine Breite, die

U, mal der anderen Breite, die V. Das ist das Volumen dieser Säule, dieser eine Säule. Aber wir wissen ja schon, was E hoch minus X-Quadrat halbe ist. E hoch minus X-Quadrat halbe ist E hoch minus U-Quadrat halbe mal E hoch minus V-Quadrat halbe. Und das eine mal die U, die V. Das heißt da könnte ich

sozusagen die U nach vorziehen. Da habe ich E hoch minus U-Quadrat halbe mal die U, mal E hoch minus V-Quadrat halbe mal die V. Bitte beachten Sie. Das

E hoch minus U-Quadrat halbe mal die U. Das ist ja die Fläche von diesem kleinen Rechteck, das ich da oberhalb der U-Achse gezeichnet habe. Das hat die Breite die U und die Höhe E hoch minus U-Quadrat halbe. Und das E hoch minus V-Quadrat halbe, die V, das ist die Fläche von dem grünen kleinen

Rechteck. Die Breite ist die V und die Höhe ist E hoch minus V-Quadrat halbe. Und diese beiden Breiten miteinander multipliziert, diese beiden Flächen miteinander multipliziert, ergeben das Volumen der Säule. Das Volumen der

gesamten Glocke, das bekomme ich, wenn ich alle diese Säulen addiere, dann bekomme ich das Volumen der gesamten Glocke. Aber ich bekomme das Volumen der gesamten Glocke ja dadurch, dass ich sage, ich addiere mir alle rechten,

alle roten Rechtecke, alle roten Rechtecke addiert, ergeben aber das Volumen von dieser roten Flächenkurve, also von dieser Fläche unterhalb der roten Glockenkurve. Das ist die Fläche unterhalb der Glockenkurve. Und dann

muss ich das noch multiplizieren mit der Fläche von der grünen Glockenkurve. Die beiden Flächen miteinander multipliziert, diese beiden Flächen miteinander multipliziert, ergeben das Volumen von der gesamten Glocken. Also

das Volumen der gesamten Glockenkurve unterhalb der gesamten Glocke, das Volumen unterhalb der gesamten Glocke ist die Fläche unterhalb der Glockenkurve mit sich selbst multipliziert. Das Volumen ist die

Fläche zum Quadrat. Wobei wir von der Fläche noch gar nicht wissen, wie groß sie ist. Aber wir werden bald lernen, wie groß das Volumen ist. Das ist jetzt der letzte Gedanke und dann sind wir schon fertig, meine sehr verehrten Damen

und Herren. Wir brauchen nur noch einmal das Volumen auszurechnen. Am besten machen wir so, wir schauen von oben wie ein Vöglein auf die Glockenfläche hinab. Also das ist der Blick von oben herunter. Da sehen wir jetzt also diese Glocke im Grundriss. Ganz in der Mitte ist in

der Höhe und dann fällt sie schnell herab und dann verliert sie sich in die Ebene. In welcher Ebene? Na ja in der UV-Ebene, die ich hier eingezeichnet habe. Das war diese UV-Ebene. Und da haben wir wiederum einen Punkt, der x entfernt ist vom Ursprung. Dort ist die Glockenkurve e hoch minus x

Quadrat halbe groß. Das können Sie natürlich nicht sehen, weil Sie schauen ja von oben drauf. Das sticht ja gleichzeitig in unser Auge. Aber wir können einzeichnen den Kreis. Den Kreis mit Radius x, wobei x die

Entfernung dieses Punktes vom Ursprung ist. Das ist vielleicht größer als der Kreis mit Radius 1. Da zeichne ich einen Kreis mit Radius 1, also wo u gleich 1 ist. Denn beim Kreis mit Radius 1 kann ich einzeichnen den Winkel, den der blaue Strahl zur U-Achse einschließt. Den nenne ich vielleicht alpha. Das ist dieser Winkel. Der Winkel, meine sehr verehrten Damen und Herren, das ist also der Bogen auf dem

Einheitskreis. Solang dieser Bogen auf dem Einheitskreis ist, das ist der Winkel alpha. Schön. Und nun betrachte ich ja nicht nur den Punkt allein, ich will ja eine ganze Säule betrachten. Eine Säule, die uns natürlich ins Auge sticht. Also

wir geben zum x ein Stück dx dazu. Zum x geben wir ein Stück dx dazu. Und zum Winkel alpha geben wir ein kleines Winkelstück d alpha dazu. Da werden Sie sagen, ja aber lieber Herr, das haben Sie schlecht gezeichnet. Wir müssten jetzt sozusagen das d alpha im Kreis entlang laufen lassen. Aber Sie können sich daran

erinnern, das ist die Krümmung, die vergessen wir bei den ds. Also da gehen wir immer der Tangente entlang. Also das d alpha geht ein bisschen so auf. Das ist aber von der Säule noch weg, das müssen wir sozusagen zur Säule hinübertragen. Das geht aber leicht. x mal d alpha, das ist die Breite. dx ist

sozusagen die Länge der Grundkante und x mal d alpha, das ist die Breite. Dann sehen wir hier die Säule, wie sie uns ins Gesicht sticht. Also das Gelbe ist die Oberfläche von der Säule. Sie können sich daran erinnern. Und die Grundfläche der Säule, die sehen wir. Die Grundfläche der Säule ist dx mal x mal

d alpha. Und die Höhe der Säule ist e hoch minus x quadrat halbe. Das heißt, meine sehr verehrten Damen und Herren, was da unten steht, ist e hoch minus x quadrat halbe. Das ist die Höhe der Säule mal dx, das ist die eine Breite von der Grundfläche, mal x d alpha, das ist die andere Breite von der

Grundfläche. Und wo das x als Faktor steht, das ist ihm eigentlich egal. Ich könnte das x auch vorne schreiben. Sie sehen jetzt das gleiche. e hoch minus x quadrat halbe mal x dx, schreibe ich halt, mal d alpha. Und jetzt rufe ich

Ihnen wieder den ersten Gedanken in Erinnerung. Das d von x quadrat halbe, Sie können sich daran erinnern, damals ganz am Anfang, wie ich begonnen habe, Ihnen die Parabel zu zeichnen. Das d von x quadrat halbe, das

ist ja x mal dx. Und x mal dx, das steht ja in dieser Formel dort oben. Das sehen wir ja, x mal dx. Das heißt, das x mal dx, das da in der zweiten Seile steht, das kann ich ersetzen durch d von x quadrat halbe. Das heißt,

ich habe hier stehen e hoch minus x quadrat halbe mal d von x quadrat halbe mal d alpha. Und statt x quadrat halbe kann ich auch in den anderen Buchstaben schreiben, darf mir niemand verbieten. Ich schreibe halt dafür wiederum, Sie können sich daran erinnern, z e hoch minus z mal dz, z ist x

quadrat halbe, nicht? e hoch minus z mal dz mal d alpha. Und jetzt haben wir das gesagt. Machen Sie, das e hoch minus z, also z geht ins negative, dz. Das ist ja die

Fläche e hoch minus z dz. Das ist die Fläche, die Sie links sehen. e hoch minus z, wir gehen nach links, dz. Und diese Fläche haben wir gesagt, ist

Wie groß? Die ist eins. Diese Fläche ist eins. Das heißt, die Fläche eins ist dieser gelbe Strahl, den ich da waagrecht eingezeichnet habe vom Ursprung weggehend. Das ist die Fläche eins. Und diese Fläche eins, die drehe ich,

damit ich das gesamte Volumen von der Glocke bekomme. Die drehe ich, solange der Winkel alpha mich führt. Und wohin führt mich der Winkel alpha? Der führt mich von null bis zu zwei pi. Zwei pi ist der Umfang des Kreises mit

Radius eins. Also eins mal zwei pi. Ein mal zwei pi, das ist zwei pi, das ist das Volumen unterhalb von dieser Glockenfläche. Zwei pi ist das

Volumen unterhalb der Glockenfläche. Wir wissen, das Flächen zum Quadrat ist zwei pi. Das heißt, die Fläche können wir jetzt ausrechnen. Das ist die Wurzel davon. Die Fläche ist die Wurzel aus zwei pi. Sie müssen sich vorstellen, wer das

zum ersten Mal entdeckt hat, muss sich gewundert haben. Wie kommt verdammt noch einmal bei der Verteilung von Kugeln, die herunterfallen bei einem sogenannten Galtonbrett, also bei diesen Nägeln. Wie kommt da plötzlich pi ins Spiel? Noch dazu zwei pi und die Wurzel davon. Das ist

unglaublich. Und das Eindruckende ist, das ist nicht ungefähr zwei pi. Das ist nicht so, dass man sagen kann, es ist etwa zwei pi. Aber es ist bis in die allerletzte Dezimale, und die gibt es gar nicht, es ist bis alle Dezimalen

ist das genau zwei pi. Natürlich könnte es sein, dass jemand zu sagen, das ist halt so und sie sagen zur Kenntnis, ja das ist so und ja, das wird halt gelernt. Das wäre das falsche. Das richtige ist, dass sie sehen, mit

was für einer Raffinesse plötzlich ein Ergebnis der Mathematik, und zwar wirklich kein einfaches, herauskommt. Viele Gedanken müssen zusammengeführt werden und plötzlich kommt ein Resultat heraus, das beeindruckend ist. Die Fläche unterhalb von e hoch minus x quadrat halbe ist zwei pi. Und genau das

steht auf der Banknote auch drauf. Ich habe es jetzt sozusagen hervorgehoben als Banknotenfelscher. Aber es ist ja eh nichts mehr wert.

Sie sehen, die Formel ist dann noch mit einem mu und mit einem sigma gespickt, das ist aber fast uninteressant. Das Spannende ist, dass diese Fläche, Wurzel aus zwei pi, unterhalb von dieser Glockenkurve verstehen können. Und für Gauss war das auch ein fantastisches Resultat. Und

wenn Gauss gesagt hat, das ist ein großes Resultat, das ist sogar würdig auf eine Banknote zu kommen, wo ein Abbild drauf ist, dann ist es wirklich ein tiefes mathematisches Resultat. Das ist nicht einfach. Also sind sie jetzt

Menschen daran herumgedacht, wo viele Menschen daran herumgedacht haben und zum Schluss also voll stolz sein können. Ja, wir haben hier ein Ergebnis gefunden, das erstens einmal für alle Zeiten gilt, aber nicht nur das, ein Ergebnis gefunden, dessen Herleitung also so geheimnisvoll, so

raffiniert, aber so stringent ist, dass man davor nur vor Begeisterung verstummern kann. Das will ich jetzt gleich tun. Also meine sehr verehrten Damen und Herren, jetzt zuerst habe ich Ihnen gesagt, die Kurve ist wichtig und

jetzt habe ich Ihnen etwas gezeigt, was die Mathematik mit der Kurve machen kann. Das einzige sozusagen, was hier noch ein bisschen falsch ist, mit der Erkenntnis, dass die Wurzel zwei pi die Fläche von dieser Glockenkurve ist, können Sie natürlich kein Geld verdienen. Das noch nicht. Aber das ist ja

nicht der Sinn des Ganzen. Was ist der Geldschein wert im Vergleich zu der Erkenntnis? Nichts. Blank nichts. Die Erkenntnis ist das Entscheidende. Obwohl natürlich diese Erkenntnis von anderen verwendet wird, um damit die Welt tatsächlich zu verändern. Also wir sind gekommen, um Erkenntnis zu

sammeln und zu verstehen, dass andere das Erkenntnis nehmen, um die Welt zu verändern. Die anderen müssen wir dann auch irgendwo hören, aber das ist halt hier nicht der Fall. Hier hören Sie nur von Verstehen und von Erkenntnissen etwas. Aber das ist Geld genug wert. Nebenbei gesagt, auch unsere Förderer, die geben uns ja auch dieses Geld, das

wir Erkenntnis vermitteln. Sie sehen sie hier unten angelistet. Also das ist, das machen sie deshalb, damit wir als bewusste, als aufgeklärte Wesen denen, die dann sagen, ja, wir werden diese Erkenntnis anwenden, auf die Finger schauen können. Das ist sehr sehr wichtig.

Im letzten Vortrag dieser Reihe möchte ich Ihnen nämlich eine Formel vorstellen, die in praktisch jedem Buch, das überhaupt über Naturwissenschaft vorkommt, eine Rolle spielt. Sie wissen ja, E ist gleich im C-Quadrat. Hawking hat einmal geschrieben, er hat gehört vom Verleger, das Buch wird die Hälfte nur von Verkaufszahlen haben, wenn man eine Formel mehr hineinschreibt. Also je mehr Formeln, umso weniger. Das geht also mit 2 hoch

minus Z. Das geht also ganz schnell runter. Aber er traut sich doch eine Formel hineinzuschreiben in seinem Buch E ist gleich im C-Quadrat. Natürlich hat er sie nicht bewiesen, sondern einfach nur hingeschrieben. Das werden wir aber auch noch machen, meine sehr verehrten Damen und Herren. Eine Ahnung dafür geben, wie kommt man denn auf dieses komische E ist gleich im C-Quadrat.

Am 13. Juni werden Sie dann spüren, dass dieses E ist gleich im C-Quadrat auch aus etwas hervorkommt und Niemberger sagt, das ist das Hübscheste, es wird gleich eine Quintessenz von den drei Vorträgen vorher in sich All das wird ein bisschen wieder eine Rolle spielen. Und das E ist gleich im C-Quadrat eine

Formel, die die Welt verändert hat. Das können Sie mir wahrhaft glauben, meine sehr verehrten Damen und Herren. Und auch das werde ich Ihnen zeigen. Es wird an diesem 13. Juni in gewisser Hinsicht, was die Welt anlangt, ziemlich heiß werden. Eine Formel, die wirklich das einzig jammervolle ist, ist keine mathematische Formel. Insofern

dilettiere ich dann weit hinaus in ein anderes Gebiet hinein. Aber ich würde mich freuen, wenn Sie mich dann trotzdem verfolgen und wieder mir treu bleiben und kommen dann zu dieser einsteinischen Formel, damit wir dann im Sommer diese Reihe sozusagen mit der einfachsten, aber wirklich wichtigsten Formel beschließen können,

die diese ganze Reihe, die der ganze Reihe den Namen gegeben hat. Meine sehr verehrten Damen und Herren, ich danke Ihnen für die Aufmerksamkeit.