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Isotherme und Adiabatische Volumenarbeit nach POISSON - Wie viel Arbeit benötigt die Kompression?

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Dies ist ein einfacher STIRLING-Motor Dieser Motor gewinnt Arbeit aus der Ausdehnung eines Gases. Genau um dieses Thema soll es heute gehen. Wie viel Arbeit man bei der Expansion eines Gases gewinnen kann – Wie viel Arbeit man für die Kompression eines Gases aufwenden muss. Diese Abbildung wird uns bei der Volumenarbeit
von Gasen immer wieder begegnen. Wir haben ein Gas in einem Zylinder - abgetrennt von der Umgebung durch einen beweglichen Kolben. Das ganze System ist entweder thermisch isoliert - der adiabatische Grenzfall oder mit ideal wärmeleitenden Wänden ausgestatten - der isotherme Grenzfall. Das Gas kann sich dann ausdehnen oder auch zusammenziehen. Die Formel, welche für die Berechnung der Volumenarbeit immer anwendbar ist, lautet Volumenarbeit gleich minus äußerer Druck mal Volumenänderung. Die Frage ist aber: Wie hoch ist der äußere Druck? und tatsächlich ist diese Frage die
zentrale Frage Vom äußeren Druck hängt es ab, ob überhaupt Arbeit im Spiel ist und wie groß diese Arbeit ist. Hier noch einmal die beiden Grenzfälle der Kompression bei variablem Druck Wenn das Gas dagegen ideal thermisch isoliert ist, in einem ideal wärmeleitenden Behälter komprimiert wird und die entstehende Wärme vollständig an die Umgebung abgegeben werden kann, so dass sich die Temperatur des Gases nicht ändert, so geändert spricht man von einem isothermen Prozess. Wenn dagegen das System ideal wärmeisoliert ist, so dass überhaupt keine Wärme fließen kann. so bleibt die Energie komplett im Gas und man spricht von einem adiabatischen Prozess, bei dem sich die Temperatur des Gases ändert. Isotherm und adiabatisch sind Grenzfälle; der isotherme Fall kann angenähert
werden durch ein sehr langsames Komprimieren. Sehr schnelle Prozesse sind dagegen in der
Regel adiabatisch: Die Wärme hat dann keine Zeit, an die Umgebung abgegeben zu werden. In der Realität findet man als die sog. polytrope "Mischform" dieser Grenzfälle: Ein Teil der Wärme bleibt im Gas; und ein Teil wird abgegeben. Wir berechnen, wie die von einem Gas geleistete Arbeit vom Druck abhängt. Was
ist z.B. bei p=0? Wir haben ein komprimiertes Gas; der Kolben ist befestigt mit der grünen Markierung. Der äußere Druck ist Null; wir
lassen den Kolben los und der Kolben bewegt sich spontan freiwillig zur roten Markierung. Die
Arbeit, die dabei abgeben wird, ist Null, denn wir haben keinen äußeren Druck bzw. keine äußere
Kraft. Wir können diese Arbeit im pV-Diagramm darstellen. Sie sehen die Zustände 1 und 2 aber entscheidend für die Arbeit ist der äußere Druck p(ex) Dieser befindet sich auf Null-Level. Das entsprechende Integral ist Null. Wir können mehr Arbeit gewinnen, wenn wir den Druck erhöhen. Die maximal mögliche Menge an Arbeit können wir gewinnen, wenn der äußere Druck immer genau so groß ist wie der Druck des Gases. Wir nennen dies den reversiblen Fall. Wir brauchen zwar einiges an mechanischem Aufwand, um diese Gleichheit von innerem und äußerem Druck zu bewerkstelligen, aber im Prinzip ist der reversible Weg realisierbar. Wenn jetzt das Gas expandiert - vom gleichen Anfangszustand zum gleichen Endzustand wie vorher - wird ein Gewicht angehoben und damit die maximal mögliche Menge an Arbeit gewonnen, die dann auch ausreicht, um den Prozess wieder umzukehren. Daher die Bezeichnung "reversibel". Im pV-Diagramm erhalten wir als Arbeit jetzt die Fläche, die zwischen der Isotherme (also der Boyleschen Hyperbel) und der x-Achse aufgespannt wird. Mehr Arbeit können wir nicht
gewinnen. Wieder haben wir zwei Grenzfälle: Spontan: arbeitsfrei. Reversibel: maximale Arbeit wird gewonnen. Wir werden uns vor allem auf den idealen reversiblen Grenzfall konzentrieren, weil man damit gut rechnen kann. Reale Expansionen laufen so ab, dass ein Teil der möglichen Arbeit vergeudet wird, sind also immer mehr oder weniger irreversibel. Wir wollen jetzt rechnen: Volumenarbeit ist immer minus p(ex) mal d(V). Im reversiblen Fall ist p(ex) gleich p. Wir müssen also dieses Integral berechnen. Wir können die Zustandsgleichung für ein ideale Gas für p einsetzen. p gleich n mal R mal T durch V n mal R mal T kann vor das Integral gezogen werden, denn diese Größen sind konstant
(isothermer Prozess) Das Integral 1 durch V d(V) ergibt Logarithmus V. Wir erhalten diese wichtige Gleichung für die isotherme reversible Expansion eines Gases. W gleich minus n R T mal Logarithmus Endvolumen durch Anfangsvolumen. Diese Formel gilt auch für die
Kompression; in diesem Fall ist das Endvolumen kleiner als das Anfangsvolumen; die Arbeit wird dann positiv: die Arbeit, die wir aufwenden müssen, um ein Gas isotherm zu komprimieren. Die Indices der Arbeit W - also isotherm und reversibel - sind wichtig, denn Arbeit ist keine Zustandsgröße und wir müssen den genauen Weg angeben, auf dem wir uns bewegen - z.B. eben isotherm und reversibel. Die von uns berechnete
Arbeit entspricht der hier blau markierten Fläche. Der erste Hauptsatz für geschlossene Systeme - d(U) gleich d(Q) plus d(W) - erlaubt uns, auch die restlichen Energiegrößen zu berechnen: W haben wir errechnet. d(U) ist in diesem Fall gleich Null, denn wir haben ein ideales Gas, welches unter isothermen Verhältnissen seine Energie niemals ändert. Die innere Energie eines idealen Gases ist nur von der Temperatur abhängig. Wenn sich T nicht ändert, ändert sich auch U nicht. Wenn d(U) gleich Null ist, bedeutet das, dass Q gleich minus W ist. Bei der Expansion wurde also die Arbeit minus n mal R mal T ln V(E) durch V(A) abgegeben und entsprechend das negative dieses Wertes - plus n R T ln V(E) durch V(A) an Wärme aufgenommen. Wir haben hier also einen Prozess, bei dem Wärme komplett in Arbeit umgewandelt wird. Ein Teil einer Wärmekraftmaschine. Nach dem Boyle-Mariotte-schen Gesetz ist für isobare Prozesse p mal V gleich konstant. und so können wir in den Gleichungen die Volumina durch Drucke ersetzen. Bei isothermer Expansion ändert sich die Temperatur nicht und das Produkt p mal V ist konstant.. (dies gilt natürlich auch für die isotherme Kompression) Beim anderen Grenzfall, der idealen adiabatischen Expansion ist das Gas komplett wärmeisoliert. Dabei leistet das Gas ebenfalls Arbeit. Woher stammt diese Arbeit? Die Energie hierfür kann nicht aus der Umgebung kommen, denn diese ist thermisch isoliert, also muss sie aus der inneren Energie des Gases selbst kommen. Das bedeutet: Das Gas muss sich abkühlen. Diese Temperaturänderung werden wir nun berechnen. Wir werden diese etwas kompliziertere Formel ableiten. Wichtig ist der hier in rot gezeichnete Koeffizient kappa - der POISSONsche Adiabatenkoeffizient. (Quotient C(p) durch C(V)) Es gilt hier nicht "p mal V ist konstant" sondern "p mal V hoch kappa ist konstant" dies ist eine der drei POISSONschen Adiabatengleichungen. Kappa ist der Quotient aus C(p) und C(V) - aus der isobaren Wärmekapazität und aus der
isochoren Wärmekapazität. Hier sehen Sie eine Liste der Kappa-Werte verschiedener Gase. Offenbar korreliert diese Zahl mit der Molekülstruktur. Einatomige Gase - wie Helium, Neon, Argon, etc. haben einen kappa-Wert von ungefähr 1,66. Zweiatomige Gase haben einen Adiabatenkoeffizienten von etwa 1,4. Man kann diese Koeffizienten ausrechnen, wenn man die Energieverteilung in einem Gasmolekül betrachtet: Der Gleichverteilungssatz ordnet jedem Freiheitsgrad eine mittlere kinetische Energie von ein halb k(B) mal T zu. Damit errechnet sich die isochore Molwärme einatomiger Gase zu drei halbe R. und die isochore Molwärme zweiatomiger Gase fünf halbe R. Wir müssen ein R addieren, um zur isobaren Molwärme zu kommen, und hieraus ergibt sich dann der Koeffizient kappa zu fünf drittel bzw. sieben fünftel. Wir betrachten die adiabatische Expansion eines Gases: Wir diskutieren den reversiblen Weg, der äußere Druck ist gleich dem Druck des Gases. Wir haben die allgemeine Gleichung für die Volumenarbeit, wir haben den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, wir haben das totale Differential der Inneren Energie, mit dem Binnendruck pi(T) und der Molwärme C(V). und wir arbeiten adiabatisch, das bedeutet die Wärme d(Q) ist
gleich Null. Mit diesen fünf Gleichungen können wir die POISSONschen Adiabatengleichungen ableiten. Bei idealen Gasen ist der Binnendruck gleich Null, das vereinfacht unser totales Differential. Jaahre Wir nutzen die Zustandsgleichung
eines idealen Gases. p mal V gleich n mal R mal T das erleichtert unsere Integration. Wenn wir die erste und die dritte Gleichung mit den letzten beiden Gleichungen kombinieren, erhalten wir d(W) gleich C(V) d(T) gleich minus p d(V). In dieser Gleichung steht rechts die Änderung des Volumens (d(V)) und in der Mitte die Änderung der Temperatur (d(T)). Wir wollen einen Zusammenhang genau dieser Größen erhalten. Wir stellen die Gleichung um, ersetzen den Druck nach dem idealen Gasgesetz, wir trennen die Variablen: Temperatur-Größen nach links und Volumen-Größen nach rechts. Wir können die entstehende Gleichung integrieren zwischen Ausgangszustand (Ausgangs-Temperatur, Ausgangs-Volumen) und Endzustand (End-Temperatur, End-Volumen). Beide Integrale haben die Form 1 durch x (1 durch T bzw. 1 durch V) Wir wollen den Faktor n mal R durch C(V) etwas umformulieren. Für ideale Gase ist die Gaskonstante R gleich der Differenz von C(P) und C(V). Unter Verwendung der Definition für kappe
(gleich C(p) durch C(V)) erhalten wir den Faktor kappa minus 1 vor dem rechten Integral stehen. Jetzt können wir integrieren, erhalten zweimal den natürlichen Logarithmus, und bringen den Faktor kappa minus 1 als Exponent in den Logarithmus hinein. wir erhalten ln T(E) durch (TA) gleich ln V(E) durch V(A) hoch minus kappa minus 1 Wir invertieren den Quotienten entsprechend der Logarithmenregeln; delogarithmieren. und erhalten dann eine der drei POISSONschen Adiabatengleichungen T mal V hoch kappa minus 1 gleich konstant. Wir haben jetzt eine Beziehung zwischen Anfangs-Zustandsgrößen und End-Zustandsgrößen beim adiabatischen Expansions-Prozess. Die beiden weiteren POISSONschen Gleichungen beschreiben Beziehungen zwischen T und p und p und V. Die Änderung
der Temperatur ergibt sich zu dieser Gleichung. Durch Substitution von T durch p V durch n R
erhalten wir die bekannteste Form der POISSONschen Gleichung p mal V hoch kappa ist konstant. Schließlich können wir auch eine Beziehung finden zwischen p und T Je nachdem, welche Aufgabenstellung vorliegt, nutzen wir die eine oder andere Gleichung, um Adiabatenprozesse zu berechnen. Bei isothermer, also langsamer Expansion p mal V gleich konstant. bei adiabatischer, schneller Expansion gilt gilt p mal V hoch kappa gleich konstant. Graphisch aufgetragen ist eine Isotherme eine Hyperbel
(rote Kurve) eine Adiabate (blaue Kurve) ist
Kompression
Kompression
Gasphase
Kompression
Gasphase
Verdichtetes Gas
Gasphase
Diamantähnlicher Kohlenstoff
Vorlesung/Konferenz
Gasphase
Vorlesung/Konferenz
Kompression
Chemischer Prozess
Gasphase
Druckbelastung
Molekülstruktur
Internationaler Freiname
Vorlesung/Konferenz
Molwärme
Gasphase
Ausgangszustand
Sonnenschutzmittel
Vorlesung/Konferenz
Vorlesung/Konferenz

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Isotherme und Adiabatische Volumenarbeit nach POISSON - Wie viel Arbeit benötigt die Kompression?
Serientitel Einführung in die Thermodynamik
Teil 14
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/15658
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch
Produktionsjahr 2013
Produktionsort Jülich

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Chemie
Schlagwörter Physikalische Chemie
Thermodynamik

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