Allgemeine Konduktionsgleichung und FOURIERsches Gesetz - Wie schnell geht Wärmetransport ohne Strömung?

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Formal Metadata

Title
Allgemeine Konduktionsgleichung und FOURIERsches Gesetz - Wie schnell geht Wärmetransport ohne Strömung?
Title of Series
Part Number
9
Author
Lauth, Jakob Günter (SciFox)
Contributors
Lauth, Anika (Medientechnik)
License
CC Attribution - NonCommercial 3.0 Germany:
You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor.
DOI
Publisher
SciFox
Release Date
2013
Language
German
Production Year
2013
Production Place
Jülich

Content Metadata

Subject Area
Keywords
Physikalische Chemie
Thermodynamik
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Lecture/Conference Transport Process (computing)
Species Lecture/Conference Transport
Metal Lecture/Conference Friction Styropor Gas Transport Styropor Structural analog Compartment Gefälle <Wasserbau>
Hydrogen Nitrogen Lecture/Conference Density Gas XENON Dark Matter Search Experiment
Gas chromatography Argon Gas XENON Dark Matter Search Experiment Nachweis
Leichtes Gas Lecture/Conference Gas
Bei vielen technischen Prozessen ist Wärme- und Stofftransport ein wichtiges
Thema. Generell unterscheidet man beim Transport zwischen erzwungenem Transport durch Strömung (Konvektion) und freiwilligem Transport durch Konduktion. In einer Heizungsanlage
haben wir beide Arten des Transportes: Zum einen wird das warme Wasser vom Heizkessel zum Heizkörper mittels Strömung transportiert, (durch Konvektion) zum anderen wird durch den Heizkörper hindurch die Wärme durch Wärmeleitung - Konduktion - transportiert. (in einem festen Körper ist gar keine Strömung möglich). Als Ingenieur
wollen wir die Transportphänomene quantitativ beschreiben. Wir wollen uns hier auf die Konduktion beschränken. Konduktiver Transport kann mit der Bewegung eines Gegenstandes auf einer schiefen Ebene verglichen werden. Die Geschwindigkeit eines Körpers auf einer schiefen Ebene ist proportional der Steigung - analog ist die Geschwindigkeit des konduktiven Transports proportional dem Gradienten der transportverursachenden Größe. Die Proportionalitätskonstante - hier mit k abgekürzt - kann man im mechanischen Analogon mit der Reibung vergleichen, die zwischen Gegenstand und schiefer Ebene herrscht. Hier ist die generelle Transportgleichung des konduktiven Transports formuliert. Flussdichte ist proportional Gradient. Bei der Wärmeleitung ist die Wärmeflussdichte - also die Wärme pro Fläche und Zeit - proportional dem Temperaturgradienten, also der Änderung der Temperatur mit dem Ort. Die Proportionalitätskonstante heißt Wärmeleitfähigkeit lambda. Das negative Vorzeichen entstammt der mathematischen Konvention, dass der Transport in Richtung einer negativen Steigung (also eines Gefälles) erfolgt. In diesem Beispiel haben wir links ein niedriges Temperaturniveau, rechts ein hohes Temperaturniveau und dazwischen ein lineares Temperatur- Profil. Das Gefälle ist überall gleich groß – entsprechend ist auch die Wärmeflussdichte überall gleich. Wir sprechen von stationärem Wärmetransport. Wir können an diesem Schaubild den Gradienten der Transport-verursachenden Größe dT/dx (grün) einzeichnen sowie die Flußdichte dQ/(A dT) (lila). Zwischen diesen Größen schreiben wir die Proportionalitätskonstante - lambda. Wenn der Temperaturgradient nicht überall gleich ist, sprechen wir von instationärer Wärmeleitung. In diesem Fall ändert sich die Temperaturprofil mit der Zeit - dies kann man mit dem zweiten FOURIERschen Gesetz berechnen. Ein
Temperaturprofil ist in jedem Fall Voraussetzung für einen konduktiven Wärmetransport. Die Steinigung des Profils (dT/dx) bestimmt die Geschwindigkeit des Transportes. die Krümmung des Profils (d²T/dx²) bestimmt die Änderungen der Temperatur mit der Zeit. Metalle leiten die Wärme sehr gut, andere anorganische und organische Materialien leiten die Wärme deutlich schlechter. Gase sind besonders schlechte Wärmeleiter - allerdings müssen sie in Ruhe sein - es darf keine Strömung auftreten. Diese Situation haben wir in idealer Art und Weise im Styropor (R), bei welchem Gas in kleine Kompartimente eingesperrt ist. Die Wärmeleitfähigkeit von Gasen lässt sich aus der kinetischen Gastheorie abschätzen. Ausgangspunkt für die Rechnung ist diese Situation: Aufgrund des Temperaturverteilung bewegen sich aus der einen Richtung energiereichere Teilchen als aus der anderen Richtung.
Die Wärmeleitfähigkeit eines Gases hängt zusammen mit der Wärmekapazität C(V), mit der Dichte des Gases n/V, mit der mittleren freien Weglänge lambda und mit der mittleren Geschwindigkeit v. Leichte kleine
Teilchen haben demnach eine besonders hohe Wärmeleitfähigkeit. Verglichen mit Stickstoff ist Wasserstoff viel kleiner und viel leichter, d.h. H2 hat die deutlich größere Wärmeleitfähigkeit. Xenon als sehr schweres und voluminös Gas hat entsprechend eine
relativ geringe Wärmeleitfähigkeit. Eine mit Xenon gefüllte Glühbirne leuchtet deutlich heller auf als eine mit Argon gefüllte Glühbirne, weil die Wärme im ersteren Fall schlechter von der Glühwendel wegtransportiert wird. Tatsächlich ist eine Glühbirne eine Art Wärmeleitfähigkeits-Detektor und man nutzt diese Art Detektoren zum Beispiel in Gaschromatographen zum Nachweis verschiedener Gase.
(Zusammenfassung Wärmeleitung) Wärmeleitung ist konduktiver Wärmetransport. Es gilt die allgemeine Transportgleichung für die Konduktion: Ein Temperaturgradient erzeugt eine Wärmeflussdichte - die Proportionalitätskonstante nennt man Wärmeleitfähigkeit lambda. Das zweite FOURIERsche Gesetz beschreibt die Temperaturänderung bei
nicht-stationärem Wärmefluss. Für Gase können wir die Wärmeleitfähigkeit abschätzen: kleine leichte Gase
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