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Kinetische Gastheorie und MAXWELL-BOLTZMANN - Wie beschreibt man ein Gas mikroskopisch?

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Wir haben gesehen, dass man Gase mathematisch sehr gut mit der Zustandsgleichung p*V=n*R*T beschreiben kann. Wir wollen nun versuchen, dieses Verhalten von Gasen aufgrund von Modellvorstellungen zu erklären. Die Modellvorstellung, die wir heute diskutieren wollen, heißt "kinetische Gastheorie" Das ideale Gasgesetz beschreibt ein Gas makroskopisch - nämlich mathematisch. Die kinetische Gastheorie beschreibt ein Gas mikroskopisch - mit einer Modellvorstellung. Bisher war ein Gas für uns eine Black Box. Wir konnten Messungen daran vornehmen, und konnten makroskopische Zustandsgrößen wie Druck p, Volumen V, Temperatur T, Viskosität eta, Wärmeleitfähigkeit lambda, Diffusionskonstante D etc. ermitteln. Jetzt wollen wir ein Modell aufstellen, welches uns gestattet, ein tieferes Verständnis für ein Gas zu bekommen und welches diese makroskopischen (messbaren) Größen zurückführt auf mikroskopische Größen (die primär nicht so einfach messbar sind) Diese mikroskopischen Größen hängen mit den molekularen Eigenschaften der Gasteilchen zusammen, zum Beispiel mit der Anzahl N der Teilchen, Masse m der Teilchen, Größe sigma der Teilchen, Geschwindigkeit v der Teilchen, usw. Bei der kinetischen Gastheorie in der einfachsten Form geht man davon aus, dass ein Gas aus vielen Massenpunkten besteht. Diese Massenpunkte sind sehr viel kleiner als das Volumen, das das Gas einnimmt. Diese Massenpunkte haben auch keinerlei Wechselwirkung miteinander, es sei denn, sie stoßen zusammen. Die Teilchen sind in ständiger Bewegung, stoßen miteinander zusammen und auch mit den Behälterwänden. Weil wir sehr viele Teilchen haben und weil deren Geschwindigkeiten
und Energien sich ständig ändern, sind wir gezwungen, mit Mittelwerten zu operieren. Mittelwerte werden symbolisiert durch einen Querstrich über der Größe oder mit zwei eckigen Klammern. Der Mittelwert der Geschwindigkeit (v quer) ist also die Summe aller Einzel-Geschwindigkeiten dividiert durch die Anzahl der Teilchen. Lassen Sie mich die wichtigsten Aussagen der kinetischen Gastheorie vorweg nehmen. Wenn wir ein Gas haben, welches aus vielen Teilchen besteht, die sich heftig bewegen, dann ist die Temperatur dieses Gases direkt proportional der mittleren Translationsenergie der Teilchen. In der Tat ist "Temperatur" nur eine andere Bezeichnung für die mittlere Translationsenergie der Gasteilchen. In Formelschreibweise: E trans quer gleich drei halbe mal Boltzmannkonstante mal Temperatur. Ein Teilchen hat drei
Möglichkeiten, sich im Raum fort zu bewegen. Pro Raumrichtung sind das ein halb k mal T Translationsenergie. Der Druck ist ein Maß für die Energiedichte in einem Gas. 1/2 mv² entspricht der kinetischen Energie Division durch das Volumen ergibt die Energiedichte Der Druck ist ein Maß für die Energiedichte Bei Raumtemperatur (etwa 300 K) ist die mittlere Translationsenergie eines Teilchens etwa 6E-21 Joule (0,039 eV, 3,7 kJ/mol). Wenn wir zwei Gase vergleichen, zum Beispiel Sauerstoff (O2) und Wasserstoff (H2) bei
Standardbedingungen, dann haben diese beiden Gase in der Regel unterschiedliche Dichten. Sauerstoff 1,3 g/L - etwa so dicht wie Luft; der Wasserstoff deutlich weniger dicht (0,08 g/L). Weil beide Gase bei gleicher Temperatur vorliegen, besitzen beide Gase die gleiche kinetische Energie der Translation, nämlich 3,7 Kilojoule pro mol Gleiche Temperatur - gleiche kinetische Energie. Kinetische Energie kann man als 1/2 m v² ausdrücken. Wenn man dies für beide
Gas-Arten so formuliert, kann man eine Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten und den Massen aufstellen. Man kommt zum sog. Grahamschen Gesetz, welches aussagt, dass die mittleren Geschwindigkeiten sich umgekehrt proportional zu der Wurzel aus den Massen verhalten. Weil die Masse von Wasserstoff 16 mal kleiner ist als die Masse von Sauerstoff, ist die mittlere Geschwindigkeit von Wasserstoff Wurzel(16), also 4-mal größer als die mittlere Geschwindigkeit von Sauerstoff. Sauerstoff hat eine mittlere Geschwindigkeit von 444 m/s; Wasserstoff von weit 1700 m/s. Die
kinetische Gastheorie ist eng verknüpft mit den beiden Wissenschaftlern Maxwell und Boltzmann. Diese Gleichung hier beschreibt die sog. Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas. Salopp formuliert gibt die Formel an, wie viel Teilchen sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit fortbewegen. Auf der x-Achse tragen wir die Geschwindigkeit v auf Geschwindigkeit Als y-Achse haben wir die Anzahl der Teilchen - und jetzt kommt die Präzisierung - die sich in einem Geschwindigkeitsintervall dv befinden. Sie sehen, dass sich die meisten Sauerstoff-Teilchen (blaue Linie) mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 400 Meter pro Sekunde bewegen. Es gibt in dem Gas aber auch sehr schnelle Teilchen, die sich mit über 1000 Meter pro Sekunde bewegen.
Diese haben dann auch eine entsprechend hohe Energie. Genauso gibt es auch Teilchen, die sich sehr langsam bewegen. Die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung ist mathematisch gesehen ein Produkt aus einer Parabelfunktion (v²) mit einer Exponentialfunktion - damit ergibt sich ein Maximum der Gesamtfunktion bei etwa 400 Metern pro Sekunde für Sauerstoff. Für Wasserstoff (rote Kurve) ist die Maxwell-Boltzmannsche Verteilung deutlich flacher, aber auch weiter nach rechts verschoben. Diese Geschwindigkeitsverteilung ist nicht symmetrisch, sondern etwas nach rechts verschoben. (nicht vergleichbar einer Gaussschen Glockenkurve) Es gibt drei Geschwindigkeiten, die unsere besondere Aufmerksamkeit verdienen. Einmal die häufigste Geschwindigkeit - diese entspricht dem Maximum der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. man kann sich aus einer einfachen Kurvendiskussion erhalten: (am Maximum wird die erste Ableitung gleich Null). Wir erhalten den Term (2*k*T/m) hoch ½ bzw. die Wurzel daraus. Die wichtigste Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit v quer. (etwas rechts vom Maximum) v quer gleich Wurzel (8*k*T/pi*m) Es gibt noch eine weitere wichtige Geschwindigkeit - es ist die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat (Root Mean Squared) Das ist die Geschwindigkeit der Teilchen, die genau die mittlere Energie haben. Man kann diese drei Formeln entweder mit dem Quotienten k/m (Boltzmannkonstante durch Masse eines Teilchens) formulieren. oder R/M (Gaskonstante durch Molmasse). Wichtig ist, dass man in jedem Fall SI-Einheiten verwendet. Die Teilchen stoßen mit der Wand und mit sich selbst zusammen. Wenn man die Anzahl der Zusammenstöße eines Teilchens mit anderen Teilchen berechnen will, dann geht man vom Konzept des Stoßquerschnitts aus. Wir müssen mathematisch klar definieren, was ein Zusammenstoß ist: Ein Teilchen B bewegt sich von links nach rechts mit einer Geschwindigkeit v. Um den Geschwindigkeitsvektor des Teilchens B stellt man sich eine Art Zylinder vor, dieser Stoßzylinder hat den Querschnitt sigma (Stoßquerschnitt). Wenn ein anderes Teilchen mit seinem Schwerpunkt in diesem Stoßzylinder liegt, dann erfährt dieses Teilchen einen Zusammenstoß. Teilchen A´ (links unten) liegt mit seinem Schwerpunkt außerhalb des Stoßzylinders, wird also keinen Zusammenstoß erfahren. Teilchen A wird hingegen mit B zusammenstoßen, weil sein Schwerpunkt innerhalb des Stoßzylinders liegt. Man muss nun die Anzahl der Teilchen in diesem Stoßzylinder ermitteln. Der Stoßzylinder besitzt die Grundfläche sigma, hat die Länge v quer (also das Volumen sigma mal v quer) (Wurzel 2 als Korrekturfaktor für die
Relativbewegung) und die Teilchendichte des Gases ist N/V. Mit dieser Gleichung lässt sich z - die Stoßfrequenz eines Teilchens - berechnen. Der Stoßquerschnitt sigma kann geometrisch abgeschätzt werden als pi mal d² (d: Teilchendurchmesser). Mit den Werten für Argon bei Standardbedingungen mittlere Geschwindigkeit 400 m/s, Teilchendichte von 2,4 mal 10 hoch 25 Teilchen pro m³; Atomradius von 0,17 nm, Stoßquerschnitt von 0,36 nm², ergibt eine Stoßfrequenz von 4,9 GHz. Jedes Teilchen stößt in einer Sekunde mit 4,9 Milliarden anderen Teilchen zusammen. Damit kommen wir zu einer der wichtigsten Größen der kinetischen Gastheorie, der mittleren freien Weglänge. Gasteilchen sind zwar sehr schnell (etwa 400 m/s) kommt aber nicht so recht voran, weil es mit sehr vielen anderen Teilchen zusammenstößt. Ein Gasteilchen bewegt sich im Zick-Zack auf einem Zufallsweg ("random walk") durch das Gas hindurch. Die Strecke, die ein Teilchen im Mittel zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt, heißt mittlere freie Weglänge lambda. v quer: die Strecke, die in einer Sekunde zurückgelegt wird z: die Anzahl der Stöße in einer Sekunde also ist lambda quer gleich v quer durch z. Wenn wir die Formel für z einsetzen, erhalten wir diesen Ausdruck. Mit den bekannten Daten von Argon bei Standardbedingungen erhalten wir lambda quer gleich 82 nm. (etwa das 400-fache des Durchmessers des Argon-Atoms). Ein Gasteilchen bewegt sich etwa 400
mal so weit wie der eigene Durchmesser, bevor es mit einem anderen Teilchen zusammenstößt (und seine Richtung und Geschwindigkeit ändert). Die Teilchendichte N/V kann nach dem idealen Gasgesetz als p/kT ausgedrückt werden; wir erhalten dann diese Gleichung die mittlere freie Weglänge ist proportional der Temperatur und umgekehrt proportional dem Druck. Auch die System-Wände werden von den Gasteilchen getroffen. Wir können die Anzahl der Wandstöße abschätzen: Die Wandstöße werden umso häufiger sein, je dichter das Gas ist die Teilchendichte N/V wird in der Formel vorkommen. die Wandstöße werden umso häufiger sein, je schneller die Gasteilchen sind, v quer wird in der Formel vorkommen. Der Stoßquerschnitt spielt keine Rolle, denn die Wand wird auf jeden Fall von den Gasteilchen getroffen. Der
Korrekturfaktor 1/4 berücksichtigt, dass nicht jedes Gasteilchen in Richtung Wand fliegt. Bei Standardbedingungen erhalten wir eine sehr große Anzahl von Wandstößen: Ein Quadratmeter Wand wird pro Sekunde von 2,4 mal 10 hoch 25 Gasteilchen getroffen. Durch diese Stöße entsteht der Druck. Wir betrachten einen elastischen Stoß eines Gasteilchens mit der Wand. Das Gasteilchen hat vor dem Stoß die Impulskomponente m*vx, nach dem Stoß die Impulskomponente m*(-vx) Der Impulsübertrag 2mvx macht sich als Kraft auf die
Wand bemerkbar. Dividiert man die mittlere Kraft durch die Wandfläche erhält man den Druck. Die mittlere freie Weglänge und die mittlere Geschwindigkeit von Gasteilchen spielen eine
große Rolle in der Vakuum-Technik, etwa in der Massenspektrometrie. Um verschiedene Ionen nach ihren Massen aufzutrennen, dürfen diese Ionen auf dem Weg von der Erzeugung zum Detektor nicht mit anderen Teilchen zusammenstoßen. Wir benötigen in einem Massenspektrometer einen Druck, welcher eine mittlere freie Weglänge der Ionen ermöglicht, die größer als die Gerätedimension ist. (wir benötigen also Hochvakuum oder Ultrahochvakuum) Auch diverse Methoden der Oberflächenbeschichtung
Gasphase
Wasserstoff
Sauerstoff
Vorlesung/Konferenz
Gasphase
Wasserstoff
Sauerstoff
Stoffdichte
Gasphase
Met
Lignin
Ableitung <Bioelektrizität>
Wasserstoff
Sauerstoff
Vorlesung/Konferenz
Schlag <Landwirtschaft>
Teilchengröße
Vorlesung/Konferenz
Argon
Gasphase
Schlag <Landwirtschaft>
Massenspektrometer
Ionene
Massenspektrometrie

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Kinetische Gastheorie und MAXWELL-BOLTZMANN - Wie beschreibt man ein Gas mikroskopisch?
Serientitel Einführung in die Thermodynamik
Teil 6
Autor Lauth, Günter Jakob
Mitwirkende Lauth, Anika (Medientechnik)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/15650
Herausgeber Günter Jakob Lauth (SciFox)
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch
Produktionsjahr 2013
Produktionsort Jülich

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Physik, Chemie
Schlagwörter Physikalische Chemie
Thermodynamik

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