Ideale Gasgesetze von BOYLE, GAY-LUSSAC, AVOGADRO und DALTON - wie beschreibt man ein Gas makroskopisch?

Eine Aufgabe der Thermodynamik ist es, Systeme zu beschreiben. Besonders einfache Systeme sind gasförmige Systeme. "Wie beschreibt man ein Gas makroskopisch?" - ohne Modellvorstellungen, zum Beispiel mit einer mathematischen Gleichung. Dies wird unser heutiges Thema sein Ein Einkomponentensystem kann repräsentiert werden durch eine Fläche im pVT-Raum. Bei hohen Temperaturen und niedrigen Dichten also in diesem Bereich (grün markiert) ist das Einkomponentensystem homogen gasförmig und kann besonders einfach beschrieben werden. Wenn wir diesen Bereich herauszoomen haben wir das Zustandsdiagramm eines Gases - genauer: eines idealen Gases oder perfekten Gases. Wenn wir ein Gas experimentell untersuchen, stellen wir sehr einfache Beziehungen fest zwischen den Zustandsgrößen p, V und T. (Druck, Volumen und Temperatur) Wenn wir zum Beispiel die Kompressibilität kappa untersuchen, (so wie das vor einigen hundert Jahren Boyle und Mariotte getan haben) wenn wir untersuchen, wie das Volumen vom Druck abhängt, dann stellen wir fest, dass bei konstanter Temperatur eine Verdoppelung des Druckes eine Halbierung des Volumens bewirkt. Wir können auch sagen: Druck und Volumen sind umgekehrt proportional. Das Produkt (p mal V) ist eine Konstante. p(1)*V(1) ist gleich = p(2)*V(2) oder: p ist umgekehrt proportional zu V. Das ist das Boyle-Mariottesche Gesetz, daraus kann man die Kompressibilität eines Gases einfach berechnen. Wenn wir das Boylesche Gesetz grafisch darstellen, erhalten wir im pV-Diagramm folgende Abbildung: (1) ist der Ausgangszustand - großes Volumen V1 keiner Druck p1 - (2) ist der Endzustand - kleineres Volumen V2, größerer Druck p2 - die beiden Punkte liegen auf einer Hyperbel mit der Gleichung p mal V gleich konstant. (p*V=constant) 2 bar mal 12,4 Liter ist genau so groß wie 1 bar mal 24,8 Liter. Die gleiche Darstellung im pVT-Diagramm ist eine Isotherme, eine Schnittlinie, (rot gezeichnet) ein Schnitt durch die Zustandsfläche bei konstanter Temperatur. Bei höherer Temperatur würde die Isotherme in dieser Form verlaufen (gelb). Wenn wir den

thermischen Ausdehnungskoeffizient alpha eines Gases untersuchen, kommen wir zu den Gesetzen von Charles und Gay-Lussac. Wenn wir den Druck konstant halten und die Temperatur verändern, verhält sich das Volumen proportional zur Temperatur. Doppelt so hohe Temperatur (in Kelvin) bedeutet doppelt so großes Volumen. Damit kann man dann den thermischen Ausdehnungskoeffizienten

alpha berechnen oder das Gesetz formulieren: V proportional T. Ähnliches gilt bei Veränderung des Druckes bei konstantem Volumen. hier gilt: der Druck ist proportional der Temperatur (in Kelvin), wenn das Volumen konstant ist. Das ist das sogenannte Charlessche Gesetz. p durch T ist konstant. p ist proportional T. Wenn wir dies grafisch auftragen, erhalten wir Nullpunkts-Geraden. Zustand (1) entspricht einem niedrigen Druck p1 bei einer niedrigen Temperatur T1; Zustand (2) entspricht einem höheren Druck p2 bei einer höheren Temperatur T2. Die beiden Zustände liegen auf einer Nullpunkts-Gerade:

Bei 0 Kelvin, also -273,15 °C, würden sowohl der Druck als auch das Volumen eines idealen Gases verschwinden. Auch die Charlesschen Isochoren oder Gay-Lussacschen Isobaren können wir in das dreidimensionale Zustandsdiagramm einzeichnen, es ergeben sich Geraden auf der Zustandsfläche. Wenn wir Druck und Temperatur konstant halten, und nur die Stoffmenge eines Gases ändern, dann kommen wir zu einem ganz einfachen Zusammenhang, nämlich: Volumen V proportional Stoffmenge n. Eigentlich eine triviale Beziehung: Ein Mol eines Gases haben die Hälfte des Volumens wie zwei Mol eines Gases. Das molare Volumen (Molvolumen) eines Gases hat aber eine ganz besondere Eigenschaft. Avogadro hat festgestellt, dass das Molvolumen eines Gases unabhängig von der Gasart immer dasselbe ist; Das Molvolumen eines Gases bei Standardzustand beträgt 24,8 Liter pro Mol. Das Molvolumen bei Normzustand 22,4 Liter pro Mol. Gleiche Anzahl Gasteilchen nehmen gleiche Volumina ein. Wenn wir diese vier Gas-Gesetze kombinieren, erhalten wir das sogenannte ideale Gasgesetz welches diese Zustandsfläche im pVT-Raum mathematisch beschreibt. Das ideale Gasgesetz ist eine Funktion von zwei Variablen. Wenn wir formulieren: p gleich R mal T durch Vm beschreiben wir den Druck p als Funktion der Temperatur T und des Molvolumens Vm. Die Proportionalitätskonstante R ist die universelle Gaskonstante und ist für alle Gase identisch. Aus dem idealen Gasgesetz kann man problemlos - durch einfache mathematische Umformung - das Gay-Lussacsche Gesetz ableiten oder das Boyle-Mariottesche

Gesetz ableiten. Grafisch entspricht dies Projektionen auf die pT-Ebene oder die pV-Ebene. Das ideale Gasgesetz beschreibt die Zustände aller Gase und Gasmischungen. Häufig wird es als p*V=n*R*T formuliert: p: der Druck, V: das Volumen, n: die Stoffmenge, T: die Temperatur und R: die Gaskonstante. In SI-Einheiten (J/(mol*K) beträgt die Gaskonstante 8,314; in Liter*Atmosphäre/(mol*K) beträgt sie 0,082 (R=0,082 L*atm/(mol*K)) Mit dem idealen Gasgesetz sind wir in der Lage, jeden beliebigen Zustand auf dieser Fläche zu berechnen. Wenn wir nicht die Stoffmenge n, sondern die Anzahl der Gasteilchen N angeben wollen, müssen wir in der Gleichung statt der Gaskonstante

R die Boltzmann-Konstante k verwenden. Mit dem idealen Gasgesetz kann man die Molmasse eines Gases ermitteln. Ein gasförmiges Stickoxid mit dem Stickstoff/Sauerstoff-Verhältnis von 1:2 hat entweder die Formel NO2 oder N2O4. Eine Untersuchung eines Zustands dieses Gases unter Verwendung des idealen Gasgesetzes kann hier Klarheit schaffen. Wir ermitteln die Masse einer Probe dieses Stickoxids, ermitteln Druck, Volumen und Temperatur. und können aus diesen vier Daten die Molmasse ermitteln. Die Molmasse M ergibt sich als Quotient aus Masse m durch Stoffmenge n. n ist nach dem idealen Gasgesetz gleich n=p*V/(R*T). Zusammengefasst ergibt sich diese Formel. Nach Einsetzen der Werte in SI-Einheiten errechnen wir eine Molmasse von 0,092 kg/mol. Es handelt sich offensichtlich um das Gas N2O4 (Distickstofftetroxid). Das

ideale Gasgesetz gilt auch für Gasmischungen: Wenn wir den Gesamtdruck dieser Mischung ausrechnen, nehmen wir die gesamte Stoffmenge

n(ges), multiplizieren mit R*T und dividieren durch V. Wenn wir uns alle Komponenten bis auf eine (hier rot) wegdenken, können wir ebenfalls einen Druck ausrechnen - dieser Druck nennt sich Partialdruck. Der Partialdruck der roten Komponente ist der Druck, den diese Komponente ausüben würde, wenn

nur sie im Volumen vorliegen würde. Jede Komponente einer Gasmischung besitzt einen Partialdruck. Die Messung des

Partialdrucks erfordert zwar etwas Aufwand - man benötigt dann selektive Drucksensoren - aber zur Berechnung lässt sich die einfache ideale Gasgleichung verwenden. Die Partialdrücke p(i) addieren sich - genau wie die Stoffmengen n(i) zum Gesamtdruck (bzw. zur Gesamt-Stoffmenge). Wenn wir den Partialdruck in Relation setzen zum Gesamtdruck, erhalten wir den

Quotienten aus Stoffmenge n(i) zur Gesamtstoffmenge, also den Molenbruch y. Das sind die beiden Formulierungen des Daltonschen Partialdruck-Gesetzes. Eine wichtige Gasmischung ist Luft. Trockene Luft besteht aus ca.

78 Mol-% Stickstoff und 21 Mol-% Sauerstoff. Bei einem Gesamtdruck von 1 bar beträgt der Partialdruck von Stickstoff p(N2) gleich 0,78 bar und der Partialdruck von Sauerstoff p(O2) gleich 0,21 bar. (Zusammenfassung ideale Gase und Gasmischungen) Die Zustandsfläche eines Gases im pVT-Diagramm ist mathematisch gut beschreibbar durch die ideale Gasgleichung. p