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Dimensions | Kapitel 9

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Manoa
Mao und
eine von Mathematik zu betreiben das bedeutet für einen man seine Behauptung auch das heißt es die haben bereits gesehen dass die Stereo grafische Projektion die Kreise auf das Sphäre die nicht durch den Projektion zur Sprung verlaufen Kreise auf der Ebene hat aber jetzt werden wie dies auch ist auch wenn dieser Satz bereits recht lange bekannt ist die ich hatte man es sein der ihn Euch versteht man mich gelegentlich damit dass man von der riemannschen Sphäre spricht Achtung der da sich das ist deutlich mehr als nur ein Sachverhalt hinzuweisen es genüge nicht in festzustellen dass eine Kurve so ähnlich wie ein Kreis aussieht umgeht es sicher zu gehen dass es sich tatsächlich um einen Kreis kann ein mathematischer da es muss durch eine Begründung überzeugt das heißt muss erklären warum es sich um einen Kreis an es werde große Euklid 3. Jahrhundert vor Christus der die Regeln der Mathematik spielt formuliert hat in seinem Element in einen Beweis gründet sich auf Fakten die selbst wiederum bewiesen sein müssen aber ganz am Anfang seiner muss man doch mit einer beginnt die unbewiesen bleiben dies sind die Axiome die Mathematik erscheint also als ein riesiges Gebäude des Fundaments die Axiome sind und wo jeder aus Stein auf einem vorhergehenden Baustein auftaucht und den Satz von der Stereo graphischen Projektion zu beweisen müsste man als Prinzip ist auf die Axiome zurückgehen natürlich haben wir dafür hier nicht die Zeit nehmen der stattdessen einfach an dass die klassischen Sachverhalte der Geometrie und Mittelstufe lernt bereits bewiesen sind und beweisen das nun jenseits von von Erfahrungen mit etwas einfacher nämlich der Schnittmenge zwischen eines Sphäre und eine man sieht sofort dass eine Ebene die eines Sphäre schneidet aber nicht tangential zu dieser Sphäre liegt als Schnittmenge einen Kreis bestimmt man sieht es vielleicht aber ist es deswegen da die das heißt man so etwas nun betrachten wir eine beliebige den ich hier die blauer man kann auf einer senkrechten zu dieser die durch den Mittelpunkt des geht von dort aus nach und dann den Fußpunkt dieser senkrecht bezeichnen mit P die betrachten und 2 Punkt A und B aus der Schnittmenge des mit der Ebene und
beobachten die beiden Dreiecke C des P A B und C P E sie haben eine gemeinsame Seite nämlich die Strecke c't beides sind
rechtwinklige Dreiecke der
den linken Arm Punkt P ein Recht der Winkel ist aber natürlich den CPE steht senkrecht auf der außerdem haben die beiden Hypotenuse A C und E C die gleiche Länge den a und b gegen beide auf das wäre und haben daher den gleichen Abstand vom Mittelpunkt sich aber besinnen wir uns auf den Satz des Pythagoras Teil unserer beiden rechtwinkligen Dreiecke 2 Seiten der gleichen länger haben muss auch die jeweils 3. Seite gleich damit haben wir bewiesen dass die Art und P E gleich lang sind das heißt das A und B auf dem gleichen kreist um den Mittelpunkt der blauen liegen also ist damit der diesem dass alle Punkte die sowohl auf das wir als auch in der liegen derzeit zu einem Kreis gehören aber bedeutet dies nun auch das alle Punkt dieses Kreises sowohl auf das als auch in der Ebene
liegen so ohne weiteres erst mal nicht auch die ist muss auch erst in diesem was habe es sei ein vom zwischen das wäre unter betrachten wir den Kreis in der blauen mit Mittelpunkt P der durch a verläuft werden und beweisen dass dieser Kreis ganz in der Sphäre enthalten ist sein des ein Punkt dieses Kreises wieder betrachten jetzt die beiden Dreiecke CPA und CPB sie haben eine gemeinsame
sagte die Strecke CPE sind da des rechtwinklige Dreiecke bei der Winkel an P recht denke ist aber P A und B haben die gleiche Länge den a und b die beide auf einen Kreis mit Mittelpunkt noch einmal Satz des Pythagoras und erhalten dass auch die Hypotenuse Gleichklang CIA ist solange CD das bedeutet dass der Punkt B sich ebenfalls auf das wäre befindet den sein Abstand zum Mittelpunkt ist vielleicht die von 8 gut damit haben wir diesen das eine Ebene eines wäre nur in einem Kreis
schneiden kann der betrachten wir nun einen Durchmesser abheben durch unseren Kreis den wir auf die Bildschirme 16 die blaue Ebene erscheint auf dem Bildschirm als gerade und dies wäre als Kreis gezeigt und die Tangenten an den Kreis Punkt A und B sich schneiden sich in einem Punkt ist offenbar ist die gerade sie erst um eine Symmetrieachse in unserem aber warum er die Dreiecke sie aber es und sie es gleich sind und warum das ja zwar rechtwinklige Dreiecke sind deren Hypotenuse identisch sind und bei dieser Art die gleiche Länge war und das war das Stadien sind aber sie sehen lediglich ein jeder Stelle die Argumente ganz vollständig angeben vor dann wäre dieser Film länger als die Geschichte des Kinos schauen Sie wir haben gerade bewiesen dass man sich einen Kreis der Sphäre ihrer verläuft immer auch vorstellen kann als der berührungslos aus zwischen einem Ziegeln und einer dazu Tangentialebene wenn Sie so wollen können Sie sich die Sphäre eine Eiscreme Kugeln in einer Waffe Tüte vorstellen gut das ist nicht alles aber wir wollen ja unser Ziel auch nicht vergessen nämlich beweisen dass die stenographische Projektion Kreise auf Kaiser abbildet wir fangen zunächst mit einem etwas zu beweisen dass die Mathematik hat einen Lehmann sieht man die Tangentialebene eines ihre a in einem Punkt A von der Seite ausgesehen und jetzt die Tangentialebene in einem anderen Punkt B ebenfalls aus der Seitenansicht diese beiden Ebenen schneiden sich in einer geraden des wenn aber davon sie man im Moment nur einen Punkt der die gerade senkrecht und zum Bildschirm steht das Bild das sie sehen ist symmetrisch in Bezug auf die halbieren und zwischen den beiden gegeben geraten entsprechend ist die gegebene Konstellationen Dimension 3 symmetrisch bezüglich einer Ebene die den Winkel zwischen den beiden Tangentialebene betrachten wir nun eine Ebene die Strecke ab sie schneidet unsere gerade des in einem Punkt sofern der voraussetzen dass sie nicht parallel zu des ist die Symmetrie in unserer Konstellationen bezüglich der halbieren Ebene ist der Grund dafür dass a und b die gleiche Länge haben also ist das Dreieck einer gleichschenklige sehr gut dieses und seiner nach nun jetzt können wir mit dem Beweis unseres Satzes Anfang der auf dem aufbauen wird dass die uns gerne überlegt haben wir betrachten ein Kreis auf das wäre der nicht durch den Nordpol Verlauf wir wollen zeigen dass seine Projektion ein Kreis ist
höher schauen sie
länger an Stelle auf die tangential am Südpol auf einen dazu parallel Ebene projizieren deren garantiert uns der gute alte Satz des Tales das aller solchen Projektion sich sind unseren Satz zu beweisen haben die daher dass das nicht und so Projektionsebene so zu sehen die 4 das wollen sofern sie nur
parallel zu der tangentiale Politik zu Code wir wollen also unseren gelten Kreis in einen Key gelegen sehen sie sich noch die Eiscreme Kugel in einer dafür Tüte mit Spitze und wir werden als Ziel unserer Projektion die horizontalen die durch den Punkt es geht von der Punkt B geht dabei auf einen Punkt des Projekts aber betrachten wir
doch das Bild die 3 A B und die
SPD sind nicht warum
mir da hilft doch noch einmal der
Satz des Tales nicht war und
jetzt den Sie sich bitte an unsern das
Dreieck ist gleich also gilt dies
auch für das Dreieck BGS und somit ist die Länge von B ist gleich der von des es würde es wenn sich der Punkt auf denen die in den Kreis der Weg zum dann bleibt die die Strecke es tangential zur ihrer Länge ist also konstant und es des es die gleiche Länge haben in der bleibt das bewegliche sich des ebenfalls in seiner Länge Konstante aber schauen Sie bitte die Tatsache dass die es Constantia länger das ist doch gleichbedeutend daran liegt dass die auf einen Kreis mit Zentrum des entlang der hieraus folgt dass die Projektion unseres des Kreises auf die den Punkt es enthaltene horizontal in einem Kreis enthalten ist und wir haben bereits gesehen dies bedeutet wegen des Einsatzes von dass die Projektion auf die tangential durch den Südpol ebenfalls in Kreis enthalten ist und nun dieses doch genau das was zu bereisen war er mit de
rund um den wenn wir die
Ebene
Kreis
Punkt
Mathematik
Kurve
Sphäre
Schnittmenge
Axiom
Geometrie
Computeranimation
Sierpinski-Dichtung
Strecke
Computeranimation
Ebene
Sierpinski-Dichtung
Kreis
Länge
Verschlingung
Kreisfläche
Punkt
Sphäre
Abstand
Computeranimation
Sierpinski-Dichtung
Ebene
Kreis
Parametersystem
Länge
Punkt
Momentenproblem
Durchmesser
Sphäre
Mathematik
Dreieck
Computeranimation
Strecke
Symmetrie
Abstand
Ebene
Computeranimation
Kreis
Punkt
Kugel
Computeranimation
Computeranimation
Konstante
Strecke
Kreis
Länge
Punkt
Kreisfläche
Dreieck
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Dimensions | Kapitel 9
Serientitel Dimensions
Teil 9
Anzahl der Teile 9
Autor Leys, Joe
Ghys, Étienne
Alvarez, Aurélien
Mitwirkende Grant, John Lewis (Musik)
Lochmann, Andreas (Sprecher)
Pape, Daniel (Sprecher)
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Unported:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen.
DOI 10.5446/14704
Herausgeber Joe Leys, Étienne Ghys, Aurélien Alvarez
Erscheinungsjahr 2008
Sprache Deutsch
Produzent École Normale Supérieure de Lyon (ENS-Lyon)

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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