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22A.3 lokale Maxima, Minima einer Funktion zweier Veränderlicher; Hesse-Matrix

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Lokale Extrema von Funktion zweier veränderlicher am Beispiel man eine Funktion und der Arzt - die Quadrat plus 6 bis 14 Uhr und minus 8 bis minus 10 Grad und minus 10 und minus jetzt offensichtlich eine sehr praxisrelevant Funktion für die Frage um diesen Formalismus aber durch zu spielen und sich die Frage der hat diese Funktion als schlechte bis ins Unendliche gemalt
X y ist müssen sich die komplette ist diese Funktion als vielleicht hat die irgendwo ein Berg Tal Maximum hat die irgendwo eine Zahlen zum analoger müssen das ist die Frage ja wo Programme Maxima auf Funktion zweier verändern sich also erst einmal was wir nicht unendlich machen warum leidlich ab das nicht einen Berg oder ein Teil suche dann ist der Weg das Wurzelwerk oder Tal der Grad während sich noch einmal der nirgendwohin zeigen kann es geht ja nicht aufwärts in eine Richtung besonders steil aufwärts Einrichtung besonders stark abwärts sie oben auf dem Berg auf sind wenn sie von enthalten sind muss der Gradient der 0 Vektor sein und die jetzt als ist kurz und der Gedanke steckt dahinter Kurve erst mal nach Stelle an der gravierendste 0 wird durch das heißt den Ball partiellen Ableitungen 0 6 verschwinden sagt der Mathematik dass es keine sichere Geschichte des muss so sein an lokalen Maxima sogar aus ist keine sichere Geschichte ist könnten ja insbesondere auch sagte sein nicht nur so Form und und und auch sagte das ist der nicht aufgeht und der nicht untergeht haben sie auf unserer und zum Teil dadurch aber es ist notwendig so schön heißt der Mathematik damit sich hier hat aber ein lokales von Max und habe kann ist notwendig dass der Patient an der Stelle der 0 zu ist also besteht nicht dass war die 1. Ableitung nach ist und nach Y und gucke und an welchen Stellen die beide gleichzeitig 0 werden wenn das nirgendwo passiert ich Funktion von für die ganze Zeit erwachsen ist der Gradient nirgendswo 0 die dann muss ich nicht nur kümmern Maximum Arbeiter suchen dann weiß ich keine Chance auf der Station Ableitung nach x also von der Schreibweise ist von die ich sonst man selber und ich mal es Runde die 11 nach die x beschrieben zusammen den Ableitung
Nichts mit - es gibt Alternativen Wirklichkeit dass man es x als Index dransetzt das die jetzt aber zu professionelle haben wird es bei der Schreibweise bleibt spezielle Ableitung von x das wird das werden von minus 2 stark das selbsternannte das 8 nicht nach EEGs Ableitung selbst an die an der variable es heißt dass sich betrachtet es als konstant lichtempfindlichen konstant darstellten konstant der in diesem das heißt alles nur Feierabend mit der Patient Ableitung nach x
Die partielle aber noch y x vor Ort ist für mich jetzt die konstant ist also nach Gutsherrenart 6 x haben wir da das ist nicht Konstante minus 2 y minus 16 notwendig für sogar das Minimum oder gar das Maximum ist das 2. an derselben Stelle nun ohne dass es keine 17 und was das beides 0 wird was ich sofort geschehen das lustigerweise werde so aufmerksam gemacht weil das geraten Gleichungen ist nicht nur ein steht Punkt 2 gerade eigentlich der getroffen existieren typischerweise sollte der Christian 2 gaben zweidimensionalen sollte steht und darum nicht alles schief geht sieht man aus und dann gucken bald und sich das ankucken weil sie zu Fuß durch ins auflösenden um einsetzen zum Beispiel oder sie sehr wohl ihresgleichen Systeme können wir eigentlich im Schlafzimmer das System versteht der minus 2 bis plus 6 wird zu vielleicht minus 8 erhoben und ungestilltes selbst ist es war es als 16 um das mal minus 1 Minuszeichen 6 2 x minus 6 Y
80 Meter aus Wickeln sie dieses kleinen des demnach vor einfachen nicht überall durch 2 ist auch freundlicher x Minister Y eines der 4 3 ist das Y ist 8 und dann dieses Verfahren und dergleichen Systeme zu lösen an dieser Stelle des deutlich einfacher den aufzulösen sie sehen x ist gleich 4 plus Salze wurde damals ganz auf die heftige Agent kam x ist gleich einen Termin der der noch einen Termin nannte und besteht 1 minus 3 3 1 1 1
Und oben steht 4 8 1 1 ist glaube ich viermal so 1 viele minus 8 Mal soll sind bloß und 124 einmal minus 1 minus 3 und minus 9 und dann haben wir es 20 20 Millionen von 8 durch 4 dann sind wir in Folge von für unsere y oben drauf 1 3 8 8 und war dasselbe 80 ist so macht minus 12 4 8 minus 4 durch 18 minus eine massig also bisher war es ist es gibt eine und nur eine Stelle mit horizontaler Tangentialebene x 5 Vollbildschirm durch minus ein Tennis irgendwann sogar das Maximum oder nur ganz Minimum gibt es dann nur dar und nirgendwo anders
Ist die Frage ob er was ist denn nun ist lokales ist es und das Maximum oder ist es das oder ist oder ist es zu einem Buch umgekehrt auch recht was ist das am einfachsten so entscheidend war zu einer veränderlichen mit der 2. Ableitung ich die 2. Ableitung an die haben diese komische Schreibweise die 2. Ableitung eine Funktion nach x so geschrieben D2 11 nach die x Quadrat historische Geschichte nichts für Streit alle Verantwortung an der Stelle also das was ich nach links abgeleitet haben nochmal Matrix ableiten
Gleich 0 nicht ziehen lassen das galt nur an der einen Stelle an der auf ein Maximum zu finden und stellen wir das nicht dran Das x ableiten minus 2 der daraus der aus und die doppelte Ableitung nach x ist minus zwar doppelte Ableitung nach Psyche und zeigen die zweifache dass das offizielle betrifft weiterverarbeitende y des Nabobs sonst wäre es minus 2 bis 6 also auch
Y
Danach nur noch die 1. Ableitung bei der netterweise nicht auf einen Vorgang kommt es bei den üblichen Funktionen wie waren sie nicht auf die Reihenfolge an kommt sich was die aber dennoch y war leitender x aber 6 0 0 oder sind sich was aber die x war weit nach y ab 0 6 0 1
Sein das die die so genannte des Matrix die alle zusammen doppelte Ableitung nach x 2 verkauft werden die nicht Ableitung die Gemischaufbereitung zweifach Ableitung nach Y oder ob der Funktionen Dreier veränderlicher wird alles was fürchterlich aufzuspalten zu rechnen hieß sich die Gäste Matrix und das hat die Rolle der 2. Ableitung bei den Funktionen einer veränderlicher weshalb ich ungeschickterweise Tierarten wie ich die 2. Ableitung gar zusammen Matrix zum zu eine Matrix am zu und an der andern Reihenfolge was üblicherweise das dasselbe gibt es die alle zusammengeschrieben gibt es Matrix am das hier ist ein Spezialfall was es Matrix angeht was würden Sie eigentlich in 1. Matrix bei anderen Funktionen noch erwarten dass wir haben Zufall hier diese Ableitung doppelt nach ist leicht aber den doppelten nach Y das es des hier auf der und Diagonalen dieselben Werte stehen das ist kein Zufall dass es sich aber dass sie auf der Hauptdiagonale sendete stehen das ist sofort was würden Sie allgemein auch noch erwarten was anderes wird als hier komplizierte wir dass hier über das hier konstant stehen wenn ich nämlich hier Obama
Hier zum Beispiel mit 3 gehabt hätte wird in der 2. Ableitung nach x 1 x überlebt haben stellt sich vor sie hätten Sie Lust drin danach jeder Ableitung des auf sie arbeiten was mit Sinus und Kosinus sind ja die jetzt nur Potenzen bis zur 2. Potenz besser wird das so einfach deshalb stehen lauter Konstante Zahlen im Allgemeinen werden diese Zahlen nicht konstant sein sondern von x und y die jetzt dann eigentlich weiter Krisen allgemeinen irgendwas was mit zu dicht zusammenhängt der steht hier von auch nicht selbst sondern ich der 3 Mal sinusförmig bloß ob Y das müsste sie dann eigentlich jetzt noch tun an dieser Stelle 3. setzen zum 3. Mal aus dieser Rechnung unsere eine Stelle an der wir wissen wollen wie sich die Funktion den verhält
Die würden sie oder als hieß es noch eine Stelle 20 den sein nicht stellen die nicht wissen will sich die Funktion verhält wie würdigte her einsetzender sich tatsächlich immer eine einzige konkrete Matrix rauskriege Frauen haltet war so auf deutlich zu viel zu rechnen haben aber das Glück dass schon Konstante Matrix rauskommt ich muss nicht diese anstelle einsetzen so und jetzt möchte ich mit dieser Matrix entscheiden was für eine Sorte horizontaler tangential das ist nicht wahr ist der der
Ist der 0 Vektor tangentialer ist horizontal und sollen diese Matrix sagen werden eine Funktion sich an diesem Donnerstag dran schon ob sie von unten kommt von oben oder Sowohl-als-auch entscheide ich das jetzt noch mal den Zusammenhang von diese Matrix ist immer eine symmetrische Matrix weil hier auf den der von Anfangswerten dieselbe Zahl stehen solche symmetrischen Matrizen haben wird zwar Eigenwert
Es sei denn zufällig beieinander sind leicht entschied Vielfaches von der Einheitsmatrix das ganze Weile freilich typischerweise haben Sie 2 verschiedene einen jeweils eine eigentlich den dazu noch einmal das ist die eine Einrichtung zudem einen eigenen wird und das ist bei nicht zu den anderen wird weil sie so die eigentlich zu den anderen Wert von dieser Matrix von dieser Matrix zeigen Eigenvektoren besteht sie typischerweise 2 verschiedene Eigenwerte klingt und die sagen wir bestimmte Richtungen Raum Stilrichtungen des stärksten rauf oder runter geht lustigerweise werden die eigenen Werte so den sind des grünen Richtung einen positiven Eigenwert dann heißt das eine Funktion ungefähr so oder durchlaufen durch diese Richtung nach oben gegründet und ist zum Beispiel die rote Richtung einen negativen Eigenwert gibt weiß sich die Funktion wird Verbrechen so so wie die Funktion danach und weglaufen die Eigenwerte sagen die staatlich nach oben oder nach unten weglaufen von der tangentiale Weg wo sie die beiden der nach oben die positiver desto schneller nach oben negative einen und so was muss jetzt für die eigenen Werte Geld damit ich in jedem Fall nach oben der muss für die eigenen gelten damit ich jedenfalls nach oben der also nur ganz habe das mit den Vorzeichen angucken bald ein positives Vorzeichen haben anders als der der Routinier anders als der Art habe man und beide haben ein positives Vorzeichen dann schwieg sich meine Funktion von oben parabolisch Tangentialebene an ich habe Lokalisten als dass man auf 2. mal ganz schematisch wenn die Eigenwerte beide positiv sind weiß sich zwangsläufig ich habe ein lokales das ist eindimensionalen Funktionen einer veränderliches diese Situation die 1. Ableitung ist 0 und die 2. Ableitung ist positiv dann können Sie sicher sein ist ein lokales mir geht zum diese beiden Eigenwert zunächst in der Richtung betrachten wenn es in diese beiden Richtungen auf ist dann muss es auch in eine andere Richtung auf verteilen sich mit der zwischen diese Eigenwerte sind die schlimmsten Richtungen sozusagen weiter Eigenwerte negativ sehen wir sind wieder Licht und der aber Nogales Maxima und wenn ein ein positives und an einem der negative ist was soll ich dann das Sattelpunktes
Eine Richtung runter in die andere Richtung drauf wird das oder nicht gelungen aber häufig genug gemalt wird es ein sagte dann werden Das heißt für dass sie gar nicht in der ein Eigenwert 0 ist und ich weiß nichts über den anderen was weiß ich dann nach Maxima ist sich gar nicht dass es in der Tat das umgestellt sobald eine der einen Wert nur ist bei 0 sind sowieso müssen sie auch nichts dann kann es alles möglich sei es kann sein dass das sich die funktionsfähig da so nicht Anschläge mit Zeit nicht dass die 2. Ableitung alle 0 sind aber es trotzdem oder Maximum ist das kann natürlich auch sein dass sie sich so manche zum Beispiel
Lösung Form des eine Konstante ist jetzt noch weiter so wäre auch kein lokales wie sind diese also dann kann man sich entscheidet 2 positive eigener zur Casino 2 negative beiden negative Maximum gemischt auf jeden Fall ein Sattelpunkt wenn eine 0 dabei ist verloren aber nicht entscheidend analog zu dem Überfall Funktion einer Variablen hatte so daß es ganz auf die Stelle noch es gibt einen Trick oder 2 Tricks die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte sie in die eine Richtung alle Vektoren also vielfach die andere Richtung alle Vektoren Person so Vielfache was passiert mit der Fläche also so mal so und so viel wie der Termin nannte ist das Produkt der Eigenwerte das heißt hier oben plus Plusminus - ist die Determinante auf jeden Fall größer als oder ist die Determinante kleiner als muss man und hier und da ist die Determinante gleich gleichen das heißt wenn die wird größer ist als 0 weiß ist muss ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein was anderes kann nicht passieren die sonst die den negativen der garantierten Sattelpunkt oder sie ist nur und eine ein muss nun sei der Weg gerade ausrechnen was 2 sind 4 und a von 36 abgezogen in welchem Fall sind wir also das was muss keine weiter rechnen wir haben auf jeden Fall eine negative den Termin an sind genau als auch gar nichts Negatives ist ein Sattelpunkt damit hat diese Funktion nirgendwo ein lokales und noch ein lokales Maximum hätte nur diese eine Stelle als können und stellt fest auch da nicht das ist ein Sattelpunkt in diesem Fall die Determinante größer als zurückgewiesen dann gibt es noch den das Wichtigste allerdings von einer Zahl links oben positive ist sind in dem Fall in die Zeit um negativ ist die sind vor dass weltweit mal vor
Kurve
Mathematik
Extrempunkt
Maximum
Partielle Differentiation
Formalismus <Mathematik>
Vektor
Zahl
Computeranimation
Gradient
Unendlichkeit
Richtung
Quadrat
Rundung
Ableitung <Topologie>
Konstante
Index
Punkt
Minimum
Maximum
Gleichungssystem
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Meter
Computeranimation
Computeranimation
Minimum
Maximum
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Quadrat
Matrizenmultiplikation
Maximum
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Maximum
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Matrizenmultiplikation
Diagonale <Geometrie>
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Sinusfunktion
Exponent
Zahl
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Computeranimation
Konstante
Matrizenmultiplikation
Computeranimation
Matrix <Mathematik>
Zusammenhang <Mathematik>
Matrizenmultiplikation
Eigenwert
Vektor
Symmetrische Matrix
Zahl
Computeranimation
Matrizenmultiplikation
Vorzeichen <Mathematik>
Eigenwert
Gleichgewichtspunkt <Spieltheorie>
Ableitung <Topologie>
Eigenvektor
Computeranimation
Richtung
Eigenwert
Extrempunkt
Maximum
Ableitung <Topologie>
Computeranimation
Richtung
Determinante
Vektorrechnung
Lokales Minimum
Fläche
Maximum
Zahl
Computeranimation
Richtung
Konstante
Negative Zahl
Variable
Eigenwert
Gleichgewichtspunkt <Spieltheorie>
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 22A.3 lokale Maxima, Minima einer Funktion zweier Veränderlicher; Hesse-Matrix
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2012
Anzahl der Teile 64
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/10352
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Technische Metadaten

Dauer 19:23

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Video ist Begleitmaterial zur folgenden Ressource

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