Wir gucken uns noch eine etwas komplizierter an. Die zweite Ableitung von Y minus der Originalfunktion soll sein Sinus von 2t. Jetzt brauche ich natürlich zwei Bedingungen. Der Startwert soll sein 1 und der Startwert der Ableitung soll sein 2.

Das selbe ist der Vorgehen. Beide Seiten Laplace transformieren und nach der Laplace transformierten von Y auflösen. Ich sehe gerade, ich schreibe die ganze Zeit Striche statt Punkte, aber ich glaube, das kriegen Sie gebacken, wenn ich das identisch schätze.

Striche und Punkte. Eigentlich sollte man da Punkte schreiben, weil ja nach der Zeit abgeleitet wird. Egal. Die Laplace transformierte von der zweiten Ableitung. Eben hatten wir die Laplace transformierte von der ersten Ableitung. S mal die Laplace transformierte minus die Originalfunktion an der Stelle Null.

Das können Sie quasi wieder in sich selbst einsetzen. Hier das selbe noch mal reinschreiben. S mal irgendwas minus Y von Null. Das hier vorne wieder reinschreiben. Das habe ich glaube ich in den alten Videos auch so erklärt. Dann steht hier vorne S² mal die Laplace transformierte von S.

Minus S mal den Startwert von Y minus den Startwert der Ableitung. Das wird da vorne stehen. Das ist das, was man dann irgendwann auswendig weiß für die Laplace transformierte der zweiten Ableitung.

Minus die Laplace transformierte von Y. Schön. Groß Y. Gleich. Hier die Laplace transformierte vom Sinus. Der Sinus, den hatte ich vorgerechnet. Sinus Omega mal T.

Wir hätten den Laplace transformierten Omega durch Omega Quadrat plus S Quadrat. 2 durch 4 plus S Quadrat. Vorsicht. Hier steht wirklich 4 plus S Quadrat. Das S Quadrat einzeln quadriert. Das hier war mal der Sinus.

Wenn da unten steht S plus 1 in Klammern ins Quadrat, dann war das wie T mal E hoch minus T. Vorsicht, was da quadriert wird. Wenn S quadriert wird, war es was wie der Sinus. Aber wenn der gesamte Ausdruck unten S plus 1 so viel quadriert wird, ist es T mal E hoch minus T.

Oder so. Das Auflösen ist mehr oder minder wieder geradlinig. Das ist das Schöne. Wenn man einmal diesen Schritt hat mit der Laplace transformierten, ist das Auflösen so schön billig. Ich sollte erst mal Zahlen einsetzen.

Y von 0 ist 1. Y Strich von 0, Y Punkt von 0 hätte es sein sollen, ist 2. Dann haben wir da S Quadrat minus 1 mal Groß Y von S. Minus S minus 2 ist gleich 2 durch 4 plus S Quadrat.

Die beiden bringe ich rüber. Ich bin faul, ich schreibe die direkt hin. Plus S plus 2 direkt darüber und teile durch S Quadrat minus 1.

Groß Y von S. Die Laplace transformierte meiner gesuchten Funktion ist also Die ganze rechte Seite durch S Quadrat minus 1. 2 durch 4 plus S Quadrat mal S Quadrat minus 1.

Plus S plus 2 durch S Quadrat minus 1. Das Ziel ist da jetzt wieder etwas draus zu machen, was ich in der Tabelle nachschlagen kann. Diesen Ausdruck hier finden Sie nicht in der Tabelle. Wahrscheinlich finden Sie den Ausdruck auch nicht in der Tabelle. Selbst wenn Sie eine 5-seitige Tabelle von Laplace transformierten haben.

Fußnote. Wer guckt das eigentlich noch in der Tabelle nach? Das macht sowieso der Rechner. Aber wenn wir jetzt mal so tun, als ob es keinen Rechner gäbe und wir hier wie vor 100 Jahren es zu Fuß nachgucken müssten. Das Ding würden wir nicht in der Tabelle finden. Der Gedanke ist das zu vereinfachen.

Auf eine einfache Form zu bringen. Bringen wir die mal auf einen Hauptnenner. 4 plus S Quadrat mal S Quadrat minus 1. Da vorne steht 2 plus. Den hier auf den Hauptnenner.

Also S plus 2 mal 4 plus S Quadrat. Das macht 4 plus S Quadrat mal S Quadrat minus 1. Was haben wir hier oben alles? Mit S hoch wie 4.

Was ist überhaupt die höchste Potenz, die jetzt oben steht? Was ist die höchste Potenz von S, die oben steht? Sie sehen, dass einem dieser Koeffizientenvergleich auch ganz anders wunderschön helfen kann. Es ist oben ein S hoch 3. Um es nicht mehr jetzt viel Mühe gemacht habe beim Ausmultiplizieren. 1 S hoch 3 werde ich haben. Wie viel S Quadrat habe ich oben?

2 S Quadrat, ja. S. Ich habe da 4 S. 2 S Quadrat, das war es auch schon. 4 S. Und jetzt Therme ohne S. Wie viel haben Sie ohne S? S hoch 0. Genau, sehr schön. 2 Therme, aber es kommt 10 raus.

2 plus 2 mal 4. Es kommt 10 raus. Uff, aufgelöst. Ja, und eben kam gerade schon die Bemerkung. S Quadrat minus 1. Kann ich ja umschreiben. S Quadrat minus 1 ist S plus 1. Mal S. Minus 1.

Und jetzt kommt typischerweise, was eben nicht vorkam. Jetzt kommt das was typischerweise passiert. Partialbruchzerlegung. Eben war das egal. Bei der Aufgabe davor. Die war geschickt ausgewählt. Die Aufgabe, hier hat man sofort eine Partialbruchzerlegung. Ohne Arbeit reingesteckt zu haben. Hier habe ich jetzt aber leider keine Partialbruchzerlegung.

Das ist der übliche Fall. Ich kriege einen Bruch raus. Eine rationale Funktion. Und möchte gerne jetzt Partialbrüche hinschreiben, weil die Partialbrüche sind nachher etwas, was ich in der Formelsammlung finden kann. Dieses Monstrum hier finde ich nicht in der Formelsammlung. Bei der Laplace-Transformation. Aber wenn da nur Stunde 93 durch S minus 1

und 42 durch S plus 1 und so weiter. Das finde ich in der Formelsammlung. Hiervon eine Partialbruchzerlegung. Was sollte ich mir vorher eigentlich überlegen? Bevor ich die Partialbruchzerlegung mache. Was muss ich noch sicherstellen? Ok, also der Pre-Flight-Check.

Einmal mit der Checkliste ums Flugzeug gehen hierbei. Ich muss sicherstellen, dass der Grad oben kleiner ist als der Grad des Nenners. Der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Wenn da so etwas steht wie S hoch 4 von mir aus durch S hoch 3, dann kann ich noch teilen. Polynomdivision. Sogar wenn da steht S hoch 3 plus durch S hoch 3 plus kann ich teilen.

Der Grad des Zählers muss kleiner sein als der des Nenners. Erster Punkt auf der Checkliste. Grad des Zählers ist 3, Grad des Nenners ist 2 plus 1 plus 1, 4. Glück gehabt, das stimmt. Punkt 2 auf der Checkliste ist, ich muss zu Ende gekürzt haben.

Der erste hat keine reellen Nullstellen. Hier gibt es aber eine Nullstelle minus 1, hier eine Nullstelle plus 1. Aber wir können uns überzeugen, wenn wir minus 1 einsetzen, minus 1 plus 2 minus 4 plus 10 wird nicht Null. Genauso wenn Sie plus 1 einsetzen.

Es ist also zu Ende gekürzt. Und ich kann anfangen mit der Partialbruchzerlegung. Was für Terme schreibe ich hier? Was sind die Partialbrüche? Ich habe jetzt so ein Muster, was ich hinschreiben kann, was ich erwarte an Ergebnissen. Hier habe ich Polstellen erster Ordnung.

Einfache Polstellen. An der Stelle minus 1, an der Stelle plus 1. Für diese Polstellen kriegen Sie Partialbrüche. Ich schreibe mal nicht a, sondern c. Mit einem Zusammenhang, klar. Kriegen Sie so einen Partialbruch. Für diese hier. Für diese Polstelle kriegen Sie so einen Partialbruch. Mit irgendeiner konstanten c, irgendeiner konstanten d.

Und hier für den hier vorne, für den quadratischen Term hier. 4 plus s². Und was brauche ich oben? Ein Zähler für den quadratischen Term. Ja. Hier brauche ich also sowas wie a plus b. Jetzt natürlich nicht b mal x, sondern b mal s.

Meine Variable heißt s. Das wäre die Form der Partialbruchzerlegung, die man sofort jetzt hinschreiben kann. Einfache Polstelle hier, einfache Polstelle da. Und hier vorne so einen quadratischen Term. Es muss solche Zahlen a, b, c, d geben, dass das hinhaut.

Die Kunst ist jetzt, diese Zahlen a, b, c, d zu bestimmen, ohne sich einen Wolf zu rechnen. Denken Sie mal gerade selber nach. Was ist c, was ist d? Die gehen am einfachsten. Bestimmen Sie c und d möglichst einfach.

Ja, das war der Trick hier, um c zu bestimmen. Wenn s gleich minus eins ist, ist das hier der Term, der als einziger ausflippt. S gleich minus eins. Die anderen sind alle well behaved, verhalten sich anständig. Hier oben, wenn ich den hier ausblende, das s plus eins, wenn ich das ausblende

und mir angucke, was der Rest macht. Ich setze s gleich minus eins ein. Überall setze ich s gleich minus eins ein. Dann muss das genau sein, was das c ist. Denn auf genau diese Weise flippt sozusagen dieser Term aus. Wenn hier s gleich minus eins ist.

Was tue ich für das c? Minus eins plus zwei minus vier plus zehn durch fünf. Und das sind minus eins, den blende ich ja aus.

Hier steht minus zwei. Fünf mal minus zwei steht da unten. Minus eins plus zwei sind plus eins. Minus vier sind minus drei. Plus sieben sind plus sieben durch minus zehn.

Minus sieben Zehntel. Das ist c. Analog funktioniert das mit d. Das hat man letztes Semester gesehen. Es ist eben so schön einfach, wenn hier keine doppelten Pohlstellen, Pohlstellen zweiter Ordnung drin sind. Bei Pohlstellen erster Ordnung ist es eben schön einfach. Wenn ich den letzten Term hier herauskriegen will.

Wenn s gleich plus eins ist, ist der Rest hier total in Ordnung. Es passiert nichts Schlimmes. Dieser letzte Term hier flippt aus. Wenn s gleich plus eins ist, blende ich doch mal das aus, was problematisch ist. Wenn Sie hier in den Rest s gleich plus eins einsetzen, muss das genau dieses d ergeben.

Ohne, dass man irgendwelche Gleichungen gelöst hat. Das habe ich nicht platzmäßig verschätzt, sei es so. Ich setze eins ein. Eins plus zwei macht drei plus vier macht sieben plus zehn macht 17. Das steht oben. Unten steht fünf mal zwei. Den letzten blende ich aus. Unten steht zehn.

17 Zehntel. Das wird das d sein. Die beiden kennen wir jetzt. Haben Sie eine raffinierte Idee, wie man a rauskriegen könnte? Ich möchte möglichst wenig rechnen. Wie könnte ich a rauskriegen?

Die übliche Lösung für alle von den Zahlen hier, A, B, C, D, wäre den Koeffizientenvergleich. Aber dazu müssten Sie das ganze Monstrum hier auf einen Hauptnenner bringen. Wieder auf diesen Hauptnenner bringen. Das möchte ich vermeiden. Das schmerzt. Ich möchte anders dran gehen.

Nicht mit Koeffizientenvergleich. Was könnte ich noch tun? Wie kann ich mehr Informationen gewinnen über diesen Bruch und über diese Summe von drei Brüchen, ohne die jetzt auf einen Hauptnenner zu bringen? Ich möchte eine Aussage über a haben, vielleicht schon eine Aussage über b. Hier wird der Trick sein, s gleich 0 einzusetzen. Dieses hier soll gleich sein

für alle Werte von s. Wie es auf die Pol stellen jetzt, aber dann ergibt sich das automatisch. Setzen wir s gleich 0 ein, dann ist das b weg und der Rest wird total billig. Was passiert, wenn ich s gleich 0 einsetze? 0 plus 0 plus 0. Oben steht 10. 10 durch 4 mal 1 mal minus 1.

Also minus 10 viertel. Das steht auf der einen Seite. Minus 10 viertel ist gleich. Auf der anderen Seite 0 einsetzen. a viertel. b fliegt raus. a viertel.

C durch 1. C kennen wir schon. Minus 7 zehntel. a viertel minus 7 zehntel. Und d durch, es ist 0, d durch minus 1. D kennen wir auch schon. 17 zehntel. Also minus 17 zehntel. Und dann habe ich plötzlich eine Gleichung für a.

Fassen wir gerade mal auf die Schnelle zusammen. Minus 7 zehntel minus 17 zehntel. Das sind zusammen minus 24. Zehntel. Das sind viertel. Das sind zehntel.

Denke am einfachsten alles mal 40. Das sind die viertel weg und dann sind die zehntel weg. Alles mal 40. Minus 10 mal 40. Wir kürzen. Dann steht da minus 100 ist gleich. Mal 40 durch 4. 10a. Dieses hier mal 40.

Also minus. 24 mal 4. 24 mal 4. 96. Die 96 bringen wir rüber. Plus 96 auf beiden Seiten. Dann haben sie hier minus 4 ist gleich

10a. Mit anderen Worten a ist gleich minus 4 zehntel ist gleich minus 2 fünftel. Damit haben wir a bestimmt mit List und Tücke. Wie gesagt der offizielle Weg wäre Koeffizientenvergleich.

Oder sie setzen mehrere verschiedene Werte für s ein. Und bauen ein Gleichungssystem draus. Macht beides recht wenig Spaß. Jetzt haben wir a und c und d. Jetzt suche ich noch nach einer billigen Lösung wie ich b kriegen kann.

Wie kann ich auf kostengünstige Weise das b raus kriegen. Sehen Sie da was. Man kann jetzt hier ganz dreist noch einen Trick aus der Kiste ziehen. Eine einzige Potenz mal angucken. Nämlich s hoch 3. Wenn Sie das hier angucken, wenn Sie das auf einen

Hauptnenner bringen, wird b mit s hoch 3 multipliziert werden. b mal s mal s plus 1 b mal s mal s minus 2. Hier unten steht nachher im Zähler b mal s hoch 3. Mal irgendwas. Aber auf jeden Fall b mal s hoch 3. Und dann bastet man alles zusammen. Überlegt sich wie viel mal s hoch 3 da steht.

Lustigerweise kommt raus ich schreibe nur das Ergebnis hin. Es dauert zu lange. Es kommt lustigerweise raus. b ist gleich 0. Man rechnet sich einen halben Wolf und stellt fest b ist gleich 0. Nach der Strafarbeit haben wir also ich schreibe mal jetzt das Ergebnis hin.

Folgendes. Groß y von s die da Plas transformierte der Lösung ist b fliegt raus hier steht minus 2 fünftel für a

c ist oops, oder c c ist minus 7 zehntel und d ist 17 zehntel. c ist minus 7 zehntel und d ist 17 zehntel. Das kommt zum Schluss raus. Ich habe also

noch mal zurück was passiert ist. Ich habe mein Differentialgleichung genommen Laplace transformiert. Die Anfangsbedingungen eingebaut. Habe nach der Laplace transformierten aufgelöst einen Monsterterm erhalten und versucht jetzt diesen Monsterterm in Formen zu zerlegen, die ich in der Formelsammlung

wiederfinden kann. In der Laplace Tabelle wiederfinden kann. Partialbruchzerlegung. Das habe ich jetzt ausgeführt. Und jetzt kann ich tatsächlich in der Tabelle nachgucken. y von t kann ich jetzt aus der Tabelle wieder ablesen. Ich habe die Laplace transformiert

und jetzt lese ich rückwärts. Mal gerade überlegen was hier am einfachsten war. 1 durch s plus 1 erinnert sich noch wer? Genau, irgendwann nächste Woche wissen Sie das. 1 durch s plus 1, das war mal e hoch minus t. Hier steht also minus siebenzehntel e hoch minus t.

Und hier steht dann sinnvollerweise siebzehntel e hoch plus t. Der erste Term ist eine 5 vielleicht kriegen Sie den sogar zustande rückwärts. Mit was hat der erste Term auf jeden Fall zu tun?

Irgendwas durch 4 plus s² richtig, das muss irgendwas gewesen sein mit Sinus von 2t. Wie viel Sinus von 2t ist jetzt die spannende Frage. Was steht hier als Faktor davor?

Minus ein Fünftel. Denn der Sinus ist dieses hier. Die zwei da oben 2² plus s² das ist der Sinus. Hier vorne steht also minus ein Fünfte mal den Sinus. Das wäre die Lösung. Die hätten wir anders auch rausgekriegt mit den bisherigen Verfahren.

Das hier ist das Verfahren, was Sie typischerweise in der Regelungstechnik und auch sehr häufig bei Signalverarbeitung sehen. Die Lösung von Differentialgleichungen durch Laplace-Transformation hin und zurück.