Weil ich faul bin zum Rechnen, wollte ich noch weiter was aus diesem Rechteck strecken. Ich mal den nochmal hin. Also wir haben jetzt eine Schwingung, die von minus eineinhalb bis plus eineinhalb schwingt. In dieser Form. Das ist die T-Achse.

Hier sind wir bei Pi. Hier sind wir bei zwei Pi. Den haben wir jetzt. Diese Funktion kann ich darstellen als die Summe n gleich eins, drei, fünf und so weiter. Alle ungeraden n's. Zwei mal den Sinus von nt durch Pi mal n.

Ich möchte noch ein bisschen mehr bauen aus dieser Fourier-Reihe. Wo ich die schon einmal ausgerechnet habe, möchte ich das auch ausreizen, was ich damit ausgerechnet habe.

Nämlich, ihr möchtet die integrieren. Malen Sie mal auf, was passiert, wenn Sie hier von das Integral bilden. Das Integral von null bis von dieser Funktion. Von unserer Rechteckschwingung, die jetzt zentriert um die Zeitachse liegt.

Was passiert anschaulich, wenn Sie das bilden, abhängig von diesem T1? Okay, das überrascht mich. Es ist ja tatsächlich noch etwas von den Stammfunktionen da. Wenn ich die hier auf dieselbe Achse einmale.

Diese Funktion hier hat die Steigung, die durch die schwarze Originalfunktion gegeben ist. Wenn Sie integrieren, kriegen Sie eine Funktion, deren Ableitung die Originalfunktion ist.

Das Integral hier hat als Steigung die schwarze Funktion. Als Ableitung die schwarze Originalfunktion. Jetzt dann in der anderen Variable, T1. Und wir starten bei null. Wenn T1 gleich null ist, muss hier null rauskommen. Ich starte hier. Und jetzt geht es los mit Steigung plus ein halb.

Steigung plus ein halb, vielleicht so was. Bis hier bei Pi. Wenn wir mal vorsichtig überlegen, welchen Wert wir erreichen. Ich gehe mit Steigung ein halb, die Strecke Pi. Dann müssten wir hier in der Höhe sein, Pi halbe. Wenn wir gerade überlegen von der Größenordnung her, sieht glaube ich nicht so richtig aus.

Pi halbe 1,5. Wir sehen die Zeichnung ist nicht ganz gut gelungen. Hier sind wir bei 0,5. Ich müsste hier oben rauskommen. Das hier wäre schöner. Pi halbe. Irgendetwas bei 1,5. Da oben müsste ich rauskommen. Meine Y-Achse ist nicht ganz gelungen.

Dieses Ding hat also die Steigung plus ein halb. Steigung ein halb. Und jetzt geht es wieder runter. Steigung minus ein halb. Sie sind da oben und gehen mit Steigung minus ein halb weiter. Das ist schön, da haben wir keinen Platz hier. Mit Steigung minus ein halb weiter. Dann geht es hier wieder runter. Glück gehabt, da sind wir wieder bei 0.

Und das Spiel geht natürlich jetzt wieder von vorne los. Das drauf integrieren. Geht drauf. Und so weiter. Und so weiter. Eine Dreieckswelle. Es gibt tausend und eine Art Dreieckswellen zu machen. Die Frage ist, wo setze ich die Symmetrie rein? Bilde ich die so? Bilde ich die symmetrisch und die T-Achse? Wie auch immer. Das ist irgendeine dieser tausend und einen Möglichkeiten eine Dreieckswelle zu machen.

Also wenn Sie diese Reihe hier integrieren, kriegen Sie geschenkt, wie denn eine Dreieckswelle geht. Ich sollte trotzdem hier nochmal dranmalen, auf welcher Höhe wir hier sind. Also diese Strecke hier ist Pi halbe.

Ich gehe mit der Steigung ein halb. Die Strecke von Pi, dann habe ich Pi halbe zurückgelegt. Und hier geht es dann wieder mit Steigung minus ein halb runter. So, ich weiß also anschaulich, was dieses Integral sein soll. Und das lustige ist, Sie können es auch ausrechnen.

Jetzt rechnen Sie das Integral tatsächlich mal aus. Und damit haben Sie praktisch geschenkt die Foyerreihe für diese Dreiecksschwingung. Das Integral ist also gradlinig. Was kommt hier raus? Die Summe über n gleich 1, 3, 5 und so weiter.

2 durch Pi mal n, das Integral von 0 bis t1. Sinus von n mal t. Was ich hier so stillschweigend mache, und was den Mathematikern grauer Haare bereitet, ich bilde das Integral einer unendlich langen Summe und ziehe die Summe vor das Integral.

Das muss man eigentlich erstmal sich eine Viertelstunde überlegen. Die Ingenieure und die Physiker machen das einfach. Nicht wundern, wenn das anders vorausführlich diskutiert wird. So, die Summe habe ich davor gezogen. Die Koeffizienzen, die wir hatten, habe ich davor gezogen. Hier hinten den Sinus. Keine große Aktion eigentlich.

Minus Cosinus. Wenn Sie Minus Cosinus ableiten, kriegen Sie den Sinus. Aber die Kettenregeln nicht vergessen. Ich muss durch n teilen. 0 bis t1. Ich muss hier durch n teilen. Äußere Ableitung. Minus Cosinus. Ableiten wird Sinus. Innere Ableitung. n mal t. Es gibt ein n. Durch n. Kein n mehr dabei.

Durch n muss da unbedingt stehen. Durch n ist kein Problem. Ich habe n gleich 0 nicht dabei. So, und dann sind wir jetzt hier bei Summe. n gleich 1, 3, 5 und so weiter. 2 durch Pi mal n.

Jetzt kommt hier Minus Cosinus von n mal t1. Plus Minus Minus. Plus Cosinus von 0. Also plus 1. Oh, und das n habe ich hier noch verschlammt. Hier steht ein n².

So, hier hinten das mit der plus 1. Das ist überraschend. Vielleicht diese ganzen Cosinus. Das wissen wir schon. Das wird dann irgendwas werden. Wenn ich nur die ganzen Cosinus hier zusammen nehme.

Das wird dann etwas werden, was keine Gleichspannung hat. Das damit plus 1 wird mir noch irgendeinen Gleichspannungsversatz liefern. Ich schreibe das mal auseinander. Ich kriege also die Summe wie vorher. Schreibe ich jetzt nicht hin. 2 durch Pi mal n².

Minus Cosinus n mal t1. Und hier hinten das noch. Plus diese selbe Summe, wie wir sie hatten. 2 durch Pi mal n². Hier vorne der kann keinen Gleichspannungsanteil haben. Die Cosinus sind immer so viel positiv, wie sie negativ sind.

Die heben sich weg. Hier hinten steht mein Gleichspannungsanteil. Von der Dreieckswelle. Wie groß ist der Gleichspannungsanteil von der roten Dreieckswelle? Sag ich schon wieder. Dreiecks Schwingung.

Also ohne Rechnen Pi viertel. Ich gehe rauf. Ich gehe runter. Ich gehe runter. Schön symmetrisch. Ich gehe bis zu Pi halbe rauf. Wenn Sie das hier kappen. Noch eine Farbe hier. Wenn Sie das hier kappen. Bei Pi vierteln können Sie den Teil da unten reinklappen. Den Teil in den nächsten klappen. Das muss das Mittel sein. Pi viertel muss das Mittel sein.

Pi viertel muss der Gleichspannungswert sein. Ohne zu rechnen weiß ich, was hier hinten steht, muss Pi viertel sein. Das ist interessant. Sie sehen, hier steht nichts mehr von Sinus und Cosinus. Und es kommt raus Pi viertel. Buchstabieren Sie das mal auf. Was für eine Formel für Pi kriege ich damit plötzlich?

Sicherheitshalbernder Trick. Noch einmal. Interessiere mich nur für diesen hinteren Teil. Hier steht der Gleichspannungsversatz. Weil hier vorne überall der Cosinus dabei steht. Der hier hat keine Gleichspannung drin. Hier steckt die Gleichspannung drin und nur die Gleichspannung. Ich weiß, dass die Gleichspannung gleich Pi viertel ist.

Das hier hinten gibt Ihnen eine einzige Gleichung. Wenn Sie die nach Pi auflösen. Da kommt Pi zweimal vor. Kriegen wir eine andere Art, wie Pi zustande kommt. Hier kriegen wir also ganz nebenbei. Wenn Sie das Pi noch auf die andere Seite platzschreiben.

Pi viertel ist gleich die Summe. Über alle Ungraden n. 2 durch Pi n². Pi bringe ich auf die linke Seite. Also beide Seiten mal Pi. Dann steht hier Pi² und da ist Pi weg.

Das hier hätte übrigens eine 4 sein sollen. Beide Seiten teile ich durch 2. Dann ist da die 2 weg und da steht 8. Pi²⁸ ist also die Summe von 1 durch n² für alle ungraden n. 1 durch 1² plus 1 durch 3² plus 1 durch 5² plus usw.

Noch eine Formel für Pi. Vielleicht zeige ich das mal. Auch diese Formel ist nicht so superschnell. Sie ist schon schneller als die andere. Aber auch nicht wirklich überzeugend. Ich möchte jetzt also die Kehrwerte ins Quadrat der ungraden Zahlen aufsummieren.

Mal 8 und dann die Wurzeln. Und dann hoffe ich, dass es in der Größenordnung von Pi ergibt. Wenn ich bis ins Unendliche gehe, dann muss das funktionieren. Also wir nehmen mal die ungraden Zahlen hier.

Die ungraden Zahlen ins Quadrat. Sofort Kehrwert ins Quadrat. 1 durch den, durch den Kehrwert ins Quadrat. Das. Und jetzt ist hier die Behauptung, wenn ich aufsummiere,

kriege ich Pi²⁸. Wenn ich also 8 mal die Summe nehme und daraus die Wurzel, müsste ich so etwas wie Pi erhalten. Probieren wir das hier ein weiter noch. Ich möchte also die Wurzel aus 8 mal der Summe der Kehrwerte der Quadrate.

Naja, ich habe 15 Termi hier und es ist erst 3,12, aber das scheint auch so grob wohl zu stimmen. Ist nicht sehr schnell konvergent. Besser konvergent als das andere.

Aber nicht viel besser. Und nebenbei haben wir, das war eigentlich der Hauptjob hier, eine Foyerreihe für die Dreiecksschwingung. Wir haben nur die Kosinusse drinnen. Und das Wesentliche bei der Dreiecksschwingung ist, nur die Kosinusse mit ungraden und überhaupt nur Schwingungen mit ungradem N.

Und es steht 1 durch N² drinnen. Bei der Rechtecksschwingung stand 1 durch N drinnen. Und ich hatte nur die ungraden N. Bei der Dreiecksschwingung habe ich auch nur die ungraden N. Und es steht 1 durch N² drinnen. Die fallen also viel schneller ab. Ich teile durch größere Zahlen. Fußnote. Wenn ich die Dreiecksschwingung anders ins Koordinatensystem lege,

hier so symmetrisch um die T-Achse oder vielleicht so dann sogar noch, ist in Phasen verschoben, dann bleibt das erhalten, dass das nur die ungraden N sind. Dann bleibt das erhalten, dass es nur die ungraden N sind

und dass es mit 1 durch N² abfällt. Aber hier steht dann im Zweifelsheim noch irgendwie Plusminus oder Sinus oder ähnliche Schweinereien dabei. Diese Form finde ich am einfachsten. Einfach diese Rechteckschwingung nehmen, einmal integrieren. Das zeige ich auch nochmal mit OpenOffice. Also was haben wir jetzt raus?

Ich nehme die ungraden N und als Faktoren minus 2 durch Pi mal N². Auch um zu zeigen, dass die Dreiecksschwingung viel schöner ist, als die Rechteckschwingung vom letzten Mal.

Kein Ärger mit komischen, überschwingenden, komischen Oszillationen. Also 0 und als nächstes 0,05 von mir aus. So, jetzt habe ich schon wieder vergessen, was es war. Minus 2 mal Pi durch N² für alle ungraden N aufsummiert ab 1.

Minus 2 durch Pi durch 1² mal den Kosinus von 1 derzeit. Minus 2 durch Pi durch N², N ist gleich 3, mal Kosinus von nt.

3 haben wir jetzt. Ich kopiere den hier mal. Man muss nicht so viel mitnehmen, wie letztes Mal bei der Rechteckschwingung. Oh, da bleibt über 2 stehen. Hier kommt durch 5 und hier kommt durch 5 und hier kommt durch 5. Lassen wir es mal dabei.

Die oberste Zeile noch dazu, dass wir ein bisschen Beschriftung haben. Einfügern und X, Y und schön verbunden. Voilà, eine Dreiecksschwingung. Sie hat noch ein paar Beulen, aber das sieht schon bedeutend besser aus als das Rechteck vom letzten Mal.

Sobald man Sprünge hat, Unstetigkeitsstellen, kriegt man diese fürchterlichen Schwingungen. Wenn sie stetige Funktionen haben, gehen die sehr schnell sehr schön. Ich habe hier ja nur 3 Summanden hoch 1 hoch 3 hoch 5, wenn Sie wollen. Nur 3 Summanden drin und trotzdem sieht das schon sehr schön aus.

Wir können hier gerade mal gucken. Wie hoch geht das jetzt hier bis 0,37? Wo ist das Maximum? Bis 0,37 geht es rauf. Was hätte es sein sollen? Pi Viertel.

Was der Hälfte raus ist, hätte Pi Viertel sein sollen. Das vergleichen wir mal gerade. 0,37 und exakt hätten wir Pi Viertel 0,79. Na ja, es ist noch unterwegs, aber anscheinend muss man hier noch ein bisschen drauflegen.

Auf der Spitze. Das wäre die Dreiecksschwingung. Ohne dass man großartig gerechnet hat. Natürlich können Sie die genauso rechnen, wie alles andere auch. Sie setzen wirklich diese Funktion ein und rechnen das Integral aus. Macht überhaupt keinen Spaß. Viel raffinierter ist es sich zu überlegen, dass die Dreiecksschwingung, was mit dem Integral von der Rechteckschwingung zu tun hat.

Und weil die Rechteckschwingung nur ungerade Ns hat und mit 1 durch N geht. Wenn Sie das integrieren, ist klar, Sie haben weiterhin nur ungerade Ns. Jetzt aber N², wegen der inneren Ableitung hier, die das Integral rückgängig machen muss. Es muss dieses N einmal in den Keller gehen.

Da muss N² stehen und weiterhin nur die ungeraden. Das weiß man dann automatisch, sobald man es verstanden hat, ohne dass man rechnen muss.