Noch einmal zur Erinnerung. Vom letzten Mal die Rechteckelle. Ich hatte die so aufgemalt, dass man einfach rechnen konnte, bis die Rechteckelle den Wert 1 hat oder den Wert 0 hat. Und das Ganze mit einer Periode von 2π. Dann geht es natürlich dann weiter auf der linken Seite.

Hier sind wir bei π, schön 50-50 Verhältnis. Und dann kam raus, dass diese Rechteckelle folgendes ist, 1,5 plus die Summe n gleich 1 bis unendlich von 2 durch π mal n, den Sinus von n mal t.

Das hatte ich ja auch mit OpenOffice vorgeführt. Wenn Sie hier nur den ersten Sinus nehmen mit n gleich 1, haben Sie hier sowas, das Ganze um 1,5 nach oben.

Ich habe schon etwas vergessen. Es sind nämlich nicht alle Sinusfälle, sondern, das fällt mir gerade auf, es sind nur alle mit ungradem n. Wenn Sie jetzt hier den nächsten nehmen, bei 3,

wenn Sie den noch drauf addieren, sehen Sie, dass es hier ein Stückchen rauf geht, da geht es ein Stückchen rauf, hier geht es ein Stückchen runter. Es zieht sich schon ganz grob in die Form hier von dem Rechteck. Ich hatte gezeigt, wenn ich das ein bisschen weiter summiere,

dann kommt da sowas raus, hier mit einem heftigen Überschwingen, das ist gerade nicht gelungen, hier mit einem heftigen Überschwingen, hier mit einem heftigen Überschwingen, da, sowas kommt dann raus. Und je mehr man aufsummiert, je weiter ich hier mit der Summe gehe, umso besser wird das funktionieren. Dieser 1,5 hier vorne ist natürlich nervig.

Diese Rechteckwelle war gut zum Rechnen. Dass ich die auf die 0 aufsetze und dann bis zur 1 hochgehen lasse, ist gut zum Rechnen. Ich möchte jetzt hier diese 1,5 vergessen. Was passiert, wenn ich die 1,5 vergesse? Was für eine Schwingung kriege ich dann? Genau, wenn Sie das 1,5 weglassen, heißt das hier nur, Sie schieben die schwarze Kurve um 1,5 nach unten.

Das heißt, ich habe sowas. Jetzt ist das Bildchen aber schön voll. Also eine Rechteckwelle, Rechteckschwingung sollte ich korrekt sagen, eine Rechteckschwingung, die breitet ja nicht im Raum aus, deshalb Rechteckschwingung, man sagt immer rectangular wave. Eine Rechteckschwingung von minus 1,5 bis plus 1,5, nicht von 0 bis 1.

Das ist der rote Teil hier. Jetzt können wir mal folgendes Experiment machen. Rechnen Sie mal aus, was passiert, wenn Sie 1,5 einsetzen. Hier sind wir an der Stelle 1,5. Was passiert, wenn Sie in diese Formel 1,5 einsetzen? Dann muss ja sinnvollerweise 1,5 rauskommen.

Gucken Sie sich das mal an. Hier 1,5 einsetzen, 1,5 rauskriegen. Also, ich habe jetzt eine überraschende Beziehung. Wenn ich hier für C gleich Pi, halbe einsetze,

muss ich 1,5 rauskriegen. 1,5 ist gleich die Summe N, alle ungeraden N, 1, 3, 5 und so weiter, von 2 durch Pi mal N, Sinus N mal Pi, halbe.

Sinus N mal Pi, halbe. Damit das nicht ganz so hässlich wird, ziehe ich die 2 durch Pi nach vorne. Hier steht 2 durch Pi mal diese Summe über alle ungeraden Zahlen. 1 durch N mal Sinus von N mal Pi, halbe. Jetzt muss man sich überlegen, was ist den Sinus von N mal Pi, halbe.

Mich interessieren ja nur die ungeraden N. Habe ich nicht so viel auszurechnen. 1, 3, 5, 7, 9 nehmen wir mal. Und jetzt der Sinus. Sinus von 1 mal Pi, halbe.

Sinus von 1 mal Pi, halbe ist 1. Sinus von 3 mal Pi, halbe. 1 mal Pi, halbe, 2 mal Pi, halbe, 3 mal Pi, halbe ist minus 1. Sinus von 5 mal Pi, halbe. 1, 2, 3, 4, 5 ist wieder 1.

Das ist klar, wie es dann weitergeht. Minus 1, 1 und so weiter. Also immer abwechselnd 1 und minus 1. Das wird hier hinten rauskommen. Wenn ich das also ausbuchstabiere, steht da. Das ist 2 durch Pi mal Klammer auf. 1 durch 1 mal 1.

Der nächste mit 3 wird sein. 1 durch 3 mal minus 1. Dann kommt der mit 5. Das wird sein 1 durch 5 mal plus 1. Dann kommt der mit 7. 1 durch 7 mal minus 1. Plus 1 durch 7 mal minus 1. Plus und so weiter bis ins Unendliche aufsummiert.

Eine Reihe. Und da muss ein Halb rauskommen. Das schreibe ich vielleicht hier noch mal hin. Hier muss ein Halb rauskommen. Was habe ich jetzt eigentlich gelernt? Die übercoolste Ernährung für ein Halb. Nicht nur die übercoolste Ernährung für ein Halb. Sie lösen nach Pi auf.

Hier steht also das Pi nach vorne gebracht. Pi viertel. Die 2 auch noch rüber gebracht. Pi viertel muss also sein 1 minus 1 drittel plus 1 fünftel minus 1 siebtel plus minus und so weiter. Das haben wir schon mal gesehen. Auf ganz andere Weise für etwas längere Zeit. Also wenn Sie die Kehrwerte der ungraden Zahlen addieren

mit abwechselnden Vorzeichen, kriegen Sie lustigerweise Pi viertel raus. Das ist eine total uneffiziente Methode Pi auszurechnen. Aber das ist eine interessante Formel. Wie einfach so aus der Fourier-Transformation rausfällt. Wir haben uns nie um Pi oder Annäherung von Pi Gedanken gemacht. Und hier fällt es einem einfach so vor die Füße.

Was ich ja eigentlich nur gemacht habe. Ich habe meine Fourier-Reihe genommen und einen Zeitwert eingesetzt. Und ich wusste ganz dreißig schon, was rauskommt. Bei dem hier bei T gleich Pi halbe funktioniert das.

An welchen Stellen müsste ich vorsichtig sein? Bei Pi halbe ist es okay. Wo müsste ich vorsichtig sein? Genau. Überall da, wo meine Originalfunktion nicht springt. Da ist die Welt in Ordnung. Da kommt wirklich der Wert raus. Mehr oder minder mit Körnchen Salz. Aber ich will jetzt nicht in die Details. Der Wert da kommt raus.

Da wo die Funktion springt, da ist es knifflig. Da kommt eben nicht der Wert oben, nicht der Wert unten raus. Sie kriegen den Wert immer genau auf der halben Höhe zwischen der Oberkante und der Unterkante bei allen Sprüngen. Also wir können auch diese Formel hinschreiben. Pi einsetzen und müssen dann Null rauskriegen. Das ist kein großes Wunder. Das können Sie zu Hause machen, dass dann tatsächlich Null rauskommt.

Aber hier an der Stelle Pi halbe kommt ein überraschendes Resultat. Wenn Sie Pi viertel einsetzen, kriegen Sie eine ziemlich schräge Formel, aber auch ein interessantes Resultat. Das als komische Anwendung zu. Fourier rein.