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16A.3 Fourier-Reihe als Zerlegung von Vektoren; Orthonormalbasis, Skalarprodukt

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Letztes Mal Anfang ihrer wird diese Gegenüberstellung anschaulich Erweiterung und diese abstrakte Vektorraum die Funktionen mit der Periode 2 Pi als abstrakten Vektorraum bei den anschaulich Drohungen sie vor allem Valdemar und schier der Funktions Vektorraum besteht sagt aus Funktion nicht Bahn durch Funktionen wie ich vor vor behandelt habe funktioniert der Periode 2 ist nur nicht allgemein Funktion die kann ich addieren oder verändert habe ich kann Zahlen von Beziehern komplexen Zahlen noch nicht vor allem multipliziert habe
Ich kann sagen was die Länge sollen soll ich vor von freiwilligen ausgerechnet habe dass sie zu nicht aus Singapur aber Bitttage oberstes Ziel schon diese nicht aus und das können Sie auch den als Wurzel Mittel quadratischen Minsk werden in effektiv wird das wird dann der Anführungszeichen die einflussreiche länger der Betrag Normen eine Funktion das Skalarprodukt einen anschaulich Vektoren hat mit dem zu tun wenn sie einen Vektor mit diese Krise das Quadrat genauso an Skalarprodukt auf Funktionen auch wenn sie zweimal dieselbe Funktion manchmal steht da kommt des Kunden wird mal selbst ist das Betrags Quadrat das komplexe Betrags Wartefunktion auf die wird so weiter passt wunderbar zu die so wird das Skalarprodukt aus dass sich auf das mit deutlich anders aus als man das von anschaulich Vektoren kennt aber am Tag über genau hinsehen ein den aus dem einen Vektor mal dient aus dem einen Vektor aufsummiert haben sie den das einen Vektor man die aus dem an der durch das die also mir sozusagen auf es ist nicht so werden jetzt will ich nicht Richtung von hier ich vor mir wolle aber auch nicht die Rede von sinusförmigen Schwingungen und nicht um die Standard Basis auf der linken Seite der Arzt war es das während jetzt der 3 deren Direktor von 1 0 0 0 1 0 0 0 1 die 3 und es können jeden Vektor der 3 schön diese 13 ist die einfachsten überhaupt die einfachste Basis überhaupt was wäre eine Basis für die Funktionen Periode 2 die sie auch sonst Kandidaten aus das ist ja die witzige wird dass man in diesem Buch und so und so viele Funktionen alle anderen bilden kann man aber ich 2 42 Mark zahlt die diese Funktion wird der Basis oder abgebildet auf die Buch minus 90 bezahlt alle von der Sorte alle Funktionen von derartigen wird abgebildet auf ganze Zahl positiv oder negativ mal Martin wurde einfach so von ist welche ja aber was ist wenn sie 0 die haben nur das einst die Funktion die stellen ein zurück alle von der Sorte die geben was man mal die von Basis nennt es der nicht nur eine Basis Vektorraum mit sich noch eine Basis und unendlich viele Basen die können die 3 schön war für die Richtung eineinhalb Stunden zum Richtung an einer schönen Zeitrichtung eine Einheit aber sie können ja auch irgendwelche Vektoren Hauptsache es Vektoren nicht allen einer genauso gibt es unendlich viele Basen wir bei der Funktion das hier ist mehr oder minder den Wert ist der mit dem Ruf so zu die Funktion das natürlich auch nachdem der Perioden Funktion
1 In The um 2 weiter gehen sie mit dem Exponenten um 84 weiter das sind 42 betont es kommt wieder dasselbe raus haben dass sie sind auch wieder 2 Pi von Funktionen und die schöne Beobachtung von ist das mit den alle anderen bilden kann das hab ich letztes muss bisher angedeutet hier in dieser Konstruktion dass sich relativ einfach etwas bilden kann das an der Stelle 0 ausrastet praktisch wieder 0 wird eine Stelle 2 die periodische wieder ausrastet spielen nicht diese Funktion bilden kann mit den Funktion wird das sich auch alle anderen nennenswerten Funktion damit das ist was die Basen die 1. Schritt den ich eine Funktion zerlegen jetzt von Basisvektoren nicht sagen ok so viel von dem so viel von der Standard Basis des geben einen Vektor wird der linken Seite für einen Vektor möchte ich aufsplittern so zu viermal den 1. Standard Basisvektoren sonst als 2. Sohn zu Madrid was können Sie schreiben glauben Sie es den Komponenten jener angeben ich würde zu sein haben sich für seine AX zu A-Z ist demnach angegeben ist das also war es die x Komponente von die mal 1 0 0 lustig Komponente von 0 1 0 bloß die Planung Justiz Z Komponente von 0 0 1 dieser AXA y erzählt natürlich normalerweise leicht abzulesen wenn sie den Vektor hier Zahlen haben haben sofort bei der zur haben die kann ich die die abstrakter Spalten dieses AX wie kann ich da auch anders kommen die kann ich das X ausrechnen Hilfe von Methoden der der Berechnung der Weg zur mal diesen Vektor beschwert oder vor dem etwa Vektor 1 0 0 sie 1 0 0 Mitar multiplizieren einmal AIX plus 0 mal zu großen Roman erzählt schön und x raus und genauso für die andern müsse Y ist 0 1 0 9 Vektor und das setzt ist 0 0 1 mal Vektor und lustigerweise sieht dass beim von hier genauso aus wie Basis sprach nicht oder von jeweils das ist genau die früher ihr war was wir hier mit Vektoren von das für die Richtung in die Standard Richtung ist genau das was von der von Gewalt passiert die ich einer Funktions Standardfunktionen man so dass sie für den bezüglich die bei weitem die Reform des ist und jetzt wird auf so als wie sich nicht die ganze Basis durch nicht 3 Elemente der Basis hier durch unendlich viele Elemente der Basis unendlichdimensionalen Dora nicht die komplette Basis durch was nämlich das so und so Vielfache von Basisvektoren Basisvektoren 2 als als Basisfunktionen mit der Nummer das entspricht hier die und was davor steht ist das Skalarprodukt
Meines Basis Vektor mit dass man sinnvollerweise sieht unter zu der sich vom jedes Wort so was hier davor steht ist das Skalarprodukt schmale Basis Steckdose mit der Funktion dieses Ziel mehr hat die Rolle von diesem AX und von diesem zu von A-Z Skalarprodukt Basisvektoren mal jetzt die Funktion dieses ist also das Skalarprodukt gewesen schon Skalarprodukt geht Skalarprodukt war einst durch 2 die von 0 bis 2 Pi Basisvektoren mal die Funktion des hier Basisvektoren komplex konjugiert Magnetfunktion Muster entstehen Skalarprodukt Basisvektoren wo Inc komplex konjugiert minus 10 Mal die Funktionen und haben
Ganz Das ist die von ihrer das ist nichts anderes als was sie von allen dass sie einen Weg zur zu können eine Basis für das noch was dazu kommen dass so einfach ist es genau das mache ich jetzt hier mit den Funktionen nichts der eine Funktion des diese Basis hier das meine Basisvektoren bestimmten a wirklich diese Anteile mit Skalarprodukt Kirche das Skalarprodukt das ist nichts anderes diffundiert was hier steht zu mir über alle Funktionen diese Sorte das ist meine Basis wie hier über alle 3 Basisvektoren summieren zum über Funktion diese Sorte und das passende Vielfache sind es sind bekanntermaßen kommt profitieren von 11 Jahren die Rolle wie die aber des Standards und nicht genauso an Skalarprodukt dass sie und aufgeschrieben ist ist also ich 2 also war Version ist die Analyse eine Funktion kann ist analysieren als ob sie sich ein Stoff analysieren Funktion ist analysieren kann sagen wie viele von der ist die Wahl mit den offiziellen und ich kann der neue Funktionen synthetisieren Stoff darstellen gegen diese Koeffizienten normalen Grundschwingung alles aufs jetzt gibt die Funktion der ein bisschen was sozusagen dieses Gleichheitszeichen Zeichen dafür nicht zu das passt nicht zu 100 Prozent aus Prinzip auch das Gleichheitszeichen aber an einigen Stellen vielleicht nicht für einige Zeit auf jeden Fall erst mal dieser Analogie sie die Analogie drauf haben ist es eigentlich total ich muss auch sagen warum das so einfach ist 4 diese Anteile so einfach Form kann nicht einfach das Skalarprodukt bilden als Vektor mal der der wird es nicht werden soll mal diesen Vektorraum gar nicht so einfach sagen was davon drin ist von diesem Weg zur und was für eine Eigenschaft für diese Basis damit es klappen kann die haben 2 wesentliche Eigenschaften alle haben die 1 also offensichtlich ein zwar habe Verwaltungs nur Quadratwurzel alle haben offensichtlich die Länge eines und alle stehen senkrecht aufeinander wenn sie das Skalarprodukt bilden der mal die einmal 0 durch Nummer 1 plus Normalnull gibt nur genauso bei den anderen zu ein den Verzicht eine Orthonormalbasis weil ich das ich schreibe ich jetzt nicht also das ist gar nicht bei diesem also sondern sie hat eine ganz besondere Eigenschaft diese Vektoren haben alle die länger 1 und stehen aber sie senkrecht aufeinander genau das sorgt dafür dass sich hier diese vielfachen zu bestimmen kann mit Skalarprodukt dieser Vektor 1 0 0 nämlich mit dem multipliziere ich nur die Komponente in Richtung 1 0 0 weil die anderen Komponenten der senkrecht dazu stehen dass Skalarprodukt senkrechte rausschmeißt dieses Ding gibt nur die Komponenten Richtung 1 0 0 doch in der richtigen Größe stellt sich vor 7 2 0 0 multiplizieren sind trotz 3 1 0 0 in ein sorgt dafür dass es auch im richtigen Verhältnis kommt das ist der Trick es wirklich einfach über Skalarprodukt diese Zahlen stimmen kann der wird nicht auf die zu zugrunde bei der Fuji diese Funktion hier ebenfalls aus immer mal wieder zu schön als senkrecht normiert 2 davon in der Skalarprodukt 2 verschiedene verschiedene davon dass Skalarprodukt Rankings 0 raus ist nicht gut für den alten Videos und wenn sie zweimal dieselben das Skalarprodukt sie 1 raus das Quadrat von dieser Funktion ist Heinz effektiv dass die ganze Zeit den Betrag 1 kein Wunder effektiv ist ein als auch die Sie hier sind alle senkrecht aufeinander und haben alle die Anführungszeichen länger Raum betrat 1 deshalb geht es hier mit dem Skalarprodukt wie sie mit dem Skalarprodukt gegangen darstellt eigentlich in der von jeweils beziehungsweise der komplexen von weil jetzt erst mal diese Basis natürlich nicht die einzige
Andere Basis und so zum Beispiel die Sie hier 1 0 0 9 0 1 9 0 1 minus 1 mit den 3 Vektoren kriegen Sie auch alles dreidimensional aufgespannt die bilden definitiv eine Basis welche Eigenschaft ist jetzt aber verlorengegangen gegenüber der Standard war Basis mir gar nicht länger 1 der hier sie Datenmenge bilden den Vertretern fertigen also ein Viertel plus ein Viertel macht eine halbe Länge ist also 1 Durchwurstelns war bei dem und genauso diese beiden und haben nicht länger 1 länger als 2 zu 2 ist stehen aber immer noch alle senkrecht aufeinander der viermal die Skalarprodukt einmal 0 Losnummern Losnummern hat nur wenn man die Nummer 0 plus einer halt mal ein haltlos einer ein minus 100 gibt auch von usw. Die steht immer noch eine senkrecht aufeinander nur der 2. oder 3. haben nicht mehr die richtige Länge sozusagen so was ähnliches habe weil auch was passiert was durch analog dazu da sind wir bei dieser Art die jeweils zu bauen sie müssen Kosinus was das ist schon so war sie Kosinus da kommen die 2 von 1 0 0 ist natürlich weiterhin die Funktion die auf die ständig den Wert 1 hat hier das führende auffassen zum Beispiel die Funktion des Kosinus fort
Oder die Funktion des Kosinus von 42 von Zeit wird usw. und diesen aber von dieser Sorte die sind zu kurz gleich was zu sagen wir noch was sagen die sind von der Sorte sie uns dass wir die eine oder wissen muss um 42 war Zeit und so weiter mit unendlich viele die bilden auch eine Basis die andere Sorte an der Basis zu machen die Bild von Basis zu bilden aus großen Sinus und Gleichspannung also alle Arten des man russischen sind genauso so vorziehen kann dass man 2 in der Funktionen des großen es direkt mit der Periode 2 Pi die großen schon 42 so weiter werden und sich mit 2 die durch 42 als Periode usw. man kann es auch mit die kriegen die stehen auch weiterhin senkrecht aufeinander die Skalarprodukt ausgerechnet sind die alle 0 2 verschiedene davon sie immer wunderhübschen aus fertig vorgeführt das was ein nervt ist aber wenn sie zum Beispiel des Kosinus hier mit sich selbst multipliziert Krise ein halbes aus genau hier aber wenn sie den sie das mit sich selbst und ziehen Krise hat auf das sich das Wasser und das passiert nicht so was will Sinus Quadratform ziehen den Themen von 0 bis 2 Pi durch 2 das wilde Skalarprodukt von Siemens mit sich selbst wenn sie muss man seine schwere Schwingung von 0 bis 2 sie Squadra Vorderrad aus mehr als der negative teilte die hochgeklappt aber vorsichtig wir wo ich dicht an der t-Achse beträgt ist weniger Werte die noch dichter sind so Parabel von mich bloß bekommt die um natürlich wieder bei der 1 an aber schon wieder unter die nicht gelungen und dass ihr Service Verfahren wir das negative Vorzeichen die wird das Verfahren und dann sie das Formelsammlungen das ist ja schon überwiesen sieht so aus und ist doch tatsächlich Manchester sind die Wahlbehörde sind diese Fläche so diese Fläche hier
Es ist dieselbe Fläche die hier darüber nicht das heißt es die war der Rothenburger des warfen Quadrat von Siemens ist die Hälfte von dem Rechteck mit bereitet 2 die und 1 Fläche unter der wurden von dort sie muss das ist die Hälfte von dem Rechteck richtet sich gegen die Hälfte von diesem Recht das ist die welche als wir führen habe ich das selbe um mal drauflegen können das gestellt ist dass die Hälfte also die grüne Fläche ist 2 Pi die halbe 2 Pi mal 1 Landstriche durch 2 2 Pi halbe durch 2 Pi ist einer von sich behauptet haben also das Quadrat der Norm von diesem Simons ist ein halt das geht sie durch den Kosovo ist zum durch 42 stellt sich dann diese Funktionen haben also ärgerlicherweise nicht die Länge Betrag die Norm 1 sondern nur als durch durchwurzelt 2. große aus ist Quadrate das entspricht dieser Situation das muss man bisher vorsichtiger sein so Koeffizienten muss ich dafür ausgleichen die Funktion sind zu klein die habe ich einen Gärtner verstehen Sie müssen große setzen klein ist so zu Valentine auch noch zu klein beides mal um Faktor 2 zu klein dass erstmals zusammen großes fordert insgesamt um Faktor 2 zu kleine da kommt so ein Ermittler von zu wir das Ganze aus also so das schön zu die Fujiwara jetzt mit großen und man Funktionen
Gleichspannung ausgezahlt komisches aussieht aber auch nicht so etwas Gleichspannung los und jetzt nicht über alles so groß ist wie Gleichspannung dann alle Sorten sind über alle Sorten 17 Kosinus
Jetzt aber nur nach 1 bis 10 Bei komplexen komplexen der negativen die Woche sich alle Funktionen bilden kann hier jetzt die positiven von 1 bis unendlich unkonventionelle sah man jetzt a mal und nicht der großen wichtiger beseitigt werden was los ist nicht so wichtig wirklich nur das mal so sieht es aus einer Überlagerung von großen sind sie es mit passendem Koeffizienten das jetzt diese von Offizieren an 0 das Doppelte der Gleichspannung Einsatz war usw. 1 2 3 es gibt keine 0 und die Formel für diese Koeffizienten ist ziemlich nahe liegend die als dieser als diese der Projektor für ich mit großem multiplizieren Funktion Kosinus multiplizieren und die über eine Periode 1 auch so so so die ja wieder den Betrag 2 Wochen Funktion stand hier einfach das Skalarprodukt
Großes und sie sind aber zu kurz welche dieser insgesamt Faktor 2 und macht den trägt das Manufaktur 2 einfach über den Koeffizienten darzustellen so sieht das aus 2 durch die Periode das ist nicht das Original Skalarprodukt sondern das Doppelte von dem Skalarprodukt auszugleichen ist der großen sozusagen zu kurz ist der Reformen für den sie 2 durch die Perioden des weil sie als über die sie von den diese Formulierung netterweise aber nur aufwärts Istanbul für eine Sonderrolle Extrawurst oder zu
Diese sich auf 1 zu 1 2 zu Wort als so weiter mit 0 ist das aber 0 1 2 0 ist bis das Doppelte des Skalarprodukt besteht eigentlich integraler Skalarprodukt wovon gleich 0 der Kosinus wird 1 wenn gleich 0 ist ist die ganze Zeit Kosinus heißt ist dass die eine Funktion durch 2 dieses hier wir für gleich 0 der Mittelwert meiner Funktion das was sich eigentlich als Gleichspannung haben wir mit der meiner Funktion als zwar durch 2. Tag kommt dieses komische durch 2 Version des großen ist also nur zu 2 zu klein für meine Geschichten deshalb jede 2. vor nur mit 0 1 0 da muss ich jetzt wieder gegen Gewalt deshalb steht hier traditionell an unheilbar 0 ist in diesem Spiel nicht die Gleichspannung zumal das Doppelte der stammen sich durch die nicht nur auf Platz auf der anders bei der der komplexen von natürlich jetzt 0 10 0 ist direkt einfach vermittelt das was man im Vergleich das ist das Schöne abstellen die von war wenn sie die haben Vektoren funktionieren viele Skalarprodukt funktioniert ist die eigentlich geschenkt zu als Fußnoten warum dann nicht jede Funktion so bauen aber das ändert sich nur angedeutet ordentlich Funktion zu bauen die Funktion des jetzt Verbands war Funktionen ist nicht hundertprozentig Haus aber auch nicht dass sie aufgeschrieben habe das ist die Tiere ich meine dieses Mal auszeichnen gibt man zahlt sich ist für Zahlen denkt nichts mehr von Theater und dann setzt sich das um ein diese Variabilität oben hat nichts diese Variante darum zu tun war das er es klar die dass die unterstreichen das sie wird integriert mit C unterstrich die irgendeine Zahlenfeld daraus für jedes Wetter und aus wenn ich die da Einsätze kann auf diese Weise man Original Funktionen wie der hat nicht ein Schritt in den machen das wäre man macht typischerweise entweder das eine oder das andere die und die von Analyse Funktion ist gegeben ich rechne aus was die Koeffizienten sind welche sinusförmig Schwingungen drin sind Feierabend oder ich noch das andere gegeben die Koeffizienten rechtlich aus was den die Funktion ist die sind diese dass sie auf einen Schlag anders machen der nicht sind Funktion habe was es wächst auf diese Weise wieder aus
Komplexe Ebene
Erweiterung
Orthonormalbasis
Skalarprodukt
Vektorraum
Zahl
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Länge
Vektorrechnung
Vektorraum
Norm <Mathematik>
Vektor
Richtung
Mittelungsverfahren
Skalarprodukt
Quadrat
Periodische Funktion
Betrag <Mathematik>
Ganze Zahl
Stützpunkt <Mathematik>
Zeitrichtung
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Einfach zusammenhängender Raum
Vektorrechnung
Exponent
Berechnung
Vektor
Zahl
Computeranimation
Richtung
Basisfunktion
Skalarprodukt
Basisvektor
Dimension unendlich
Stützpunkt <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation
Skalarprodukt
Basisvektor
Vektor
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Einfach zusammenhängender Raum
Länge
Orthonormalbasis
Vektorrechnung
Vektorraum
Vektor
Zahl
Computeranimation
Richtung
Quadrat
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Rangstatistik
Koeffizient
Basisvektor
Gleichheitszeichen
Normalvektor
Standardabweichung
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Länge
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Computeranimation
Computeranimation
Sinusfunktion
Skalarprodukt
Vorzeichen <Mathematik>
Schwingung
Fläche
Formelsammlung
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Faktorisierung
Länge
Quadrat
Betrag <Mathematik>
Koeffizient
Rechteck
Fläche
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Sorte <Logik>
Computeranimation
Mathematische Größe
Skalarprodukt
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Koeffizient
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Überlagerung <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Faktorisierung
Skalarprodukt
Koeffizient
Frequenz
Computeranimation
Computeranimation
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Verbandstheorie
Mittelwert
Koeffizient
Zahl
Computeranimation
Funktion <Mathematik>
Computeranimation
Computeranimation
Computeranimation

Metadaten

Formale Metadaten

Titel 16A.3 Fourier-Reihe als Zerlegung von Vektoren; Orthonormalbasis, Skalarprodukt
Serientitel Mathematik 2, Sommer 2012
Anzahl der Teile 64
Autor Loviscach, Jörn
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/10335
Herausgeber Loviscach, Jörn
Erscheinungsjahr 2012
Sprache Deutsch
Produzent Loviscach, Jörn

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Zugehöriges Material

Folgende Ressource ist Begleitmaterial zum Video

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