Das hier war ja gerade nochmal eine Idee, was ich tatsächlich mit Fourier rein ausrechnen kann, dass ich jede vernünftige Funktion, die periodisch ist, damit hinkriegen kann. Ich wollte Sie jetzt nochmal bitten, so eine kleine Übersicht anzufertigen, was abstrakte und anschauliche Vektorräume angeht. Wir haben zum Beispiel den R3 als anschaulichen Vektorraum.

Man kann wirklich Pfeile einmalen, sich was vorstellen mit Länge, Breite, Höhe. Und wir haben die Menge der Funktionen mit Periode 2π als abstrakten Vektorraum.

Der Vektorraum kommt ja massiv vor bei der Fourier-Reihe. Der heißt dann in der Mathematik offiziell ein bisschen anders. Man guckt sich nicht alle Funktionen an, sondern nur einen bestimmten Teil. Halbwiesgutartige Funktionen will ich nicht so weit treiben. Aber im Prinzip guckt man sich die Funktionen mit Periode 2π an, ein abstrakter Vektorraum.

Da können Sie keine Pfeile malen. Also versuchen Sie da Pfeile zu malen für diese Funktion. Das habe ich gelernt in den vergangenen Jahren. Das geht schief, wenn Sie da anfangen, Pfeile zu malen. Vom Verständnis her. Der R3, ein anschaulicher Vektorraum. Da können Sie Pfeile malen, wie Sie wollen.

Das ist die Idee beim R3. Pfeile mit Längebreitehöhe. Zum Zeigen nach links und hinten und nach vorne. Funktionen mit Periode 2π. Was wären so typische Vertreter aus dieser Menge? Funktionen mit Periode 2π. Ich schreibe schon mal die ersten Kandidaten hin.

Der Sinus ist eine Funktion mit Periode 2π. Der Kosinus. Nicht der Kosinus-Hypopolikus. Da ist mir so schlecht gelungen. Der geht hier hin und endlich ab. Der ist nicht periodisch. Der Kosinus-Hypopolikus, auch wenn er so heißt, als ob er so wäre. Was haben wir noch?

Wichtige Funktionen mit Periode 2π. An den hatte ich gar nicht gedacht. Die Funktion, die ständig 1 ist. Die ist natürlich auch periodisch mit Periode 2π. An die dachte ich gar nicht. Eine Funktion, die nicht ganz so wichtig ist wie die 1, aber fast so wichtig. E hoch i.

Jetzt wird es ungeschickt. Wie male ich das hin? Ich schreibe mal hier t wird abgebildet auf E hoch i t. Dann ist das auf welche Funktion? Sinus ist die Funktion namens Sinus. Kosinus ist die Funktion namens Kosinus. Klar, t wird abgebildet auf E hoch i t. Das wären die üblichen Verdächtigen. Jetzt lasse ich Sie mal gerade ein bisschen selber arbeiten.

Was haben wir denn an Rechenoperationen im R3? Was können Sie im R3 mit Pfeilen anstellen? Und was heißt das analog für Funktionen in diesem abstrakten Vektoraum? Dass wir nochmal so dieses 1 zu 1 gegeneinander gestellt haben. Warum ich diese Funktionen als Vektoren bezeichne? Warum das irgendeinen Sinn ergibt?

Warum sie sich irgendwie so verhalten wie Pfeile? Was können Sie mit Pfeilen anstellen? Was sind Rechenoperationen, die Sie mit Pfeilen machen können? Und was sind analogen Rechenoperationen dann für meine Funktionen? Schreibt ihr das mal hin. Was jeder Vektoraum kann ist natürlich Vektoraddition. Wenn ich das so hinschreibe oder mit Pfeilen aufmale.

Zwei Vektoren addieren. Was haben wir hier? 5, 7, 9. Funktionen können Sie natürlich addieren. Sie können einfach Sinus von t plus t² bilden. Das wäre nicht periodisch. Sinus von t plus E hoch i t und plus 1 von mir aus. Diese Funktionen können Sie bilden. T wird abgebildet auf Sinus und E hoch i t und 1.

Das ist eine 2-Pi-periodische Funktion. Sie können periodische Funktionen derselben Periode addieren und haben wieder eine von der Sorte. Das kann ich tun. Die Vektoren kann ich mit Zahlen multiplizieren. Es ist gleich 3, 6, 9. Und genauso kann ich natürlich meine Funktionen mit Zahlen multiplizieren.

3 mal den Sinus. Und ich habe wieder eine Funktion, die die Periode 2 Pi hat. Ich darf sie sogar mit komplexen Zahlen multiplizieren. Das ist insofern schon etwas Neues. Wenn da steht 3 plus 13 mal i, mal den Sinus, auch okay. Wir rechnen hier die ganze Zeit mit komplexen Zahlen. Das ist also ein komplexer Vektorraum.

Der Vektorraum ist nicht nur abstrakt, weil er nicht aus Pfeilen besteht, sondern er ist komplex. In dem Sinne komplex, weil ich mit komplexen Zahlen multiplizieren darf. Hier im R3 habe ich einen reellen Vektorraum. Beim R3 darf ich nur mit reellen Zahlen multiplizieren. Das ist Zahl mal Vektor.

Hier ist es ja noch einfach. Sicherheitsalber erst mal die Länge. Die Länge eines Vektors im R3. Was ist die Länge eines Vektors im R3? Und was ist, analog dazu, jetzt wird es heikel, die Länge einer Funktion mit der Periode 2 Pi.

Man nennt es dann nicht mehr Länge, sondern typischerweise die Norm einer Funktion mit Periode 2 Pi. Damit Sie das auf der linken Seite ausfüllen können, haben Sie eigentlich eine gute Idee, was da auf der rechten Seite stehen muss. Die Länge eines Vektors im R3 mit Pythagoras.

1 Quadrat, 2 Quadrat, 3 Quadrat, Wurzel. Die Länge, in Anführungszeichen die Norm, heißt es dann ja einer 2 Pi periodischen Funktion. Ist lustigerweise nichts anderes als der Effektivwert, der Nennwert. RMS, root, mean, square. Root, mean, square.

Mean ist das Integral der Mittelwert einer kontinuierlichen Funktion. Und zwar das Integral über eine Periode. Square vom Quadrat. F von T Quadrat. Und damit der Mittelwert jetzt stimmt, muss ich noch durch 2 Pi teilen.

Sie integrieren über die Strecke von 2 Pi und teilen durch 2 Pi. Dann haut es ja hin. Stellen Sie sich vor, die Funktion ist 1. Dann wird das Integral 2 Pi. Sie teilen durch 2 Pi. Hier steht wieder 1. Das ist root, mean, square. Und hier steht der Betrag. Diese Funktion ist ja eine komplexe Zahl, im Zweifelsfall.

Dieser Funktionswert ist ja im Zweifelsfall eine komplexe Zahl. Damit ich hier keinen Ärger mit I kriege, nehme ich den Betrag Quadrat. Die Länge der komplexen Zahl, F von T Quadrat. Da haben wir den. Also das, was beim anschaulichen Vektor die Länge ist, die geometrische Länge, ist hier bei meinen Funktionen der Nennwert, Effektivwert, root, mean, square.

Und daraus leitet sich her, was das Skalarprodukt ist. Wenn Sie sagen, das Skalarprodukt hier 1, 2, 3 mal 4, 5, 6 ist gleich 1 mal 4 plus 2 mal 5 plus 3 mal 6. Muss das irgendwie ähnlich funktionieren?

Vektor mal Vektor, Skalarprodukt ist ja die Länge ins Quadrat. Die beiden hängen ja zusammen, die sind ja verwandt. So ähnlich muss das hier funktionieren. Das Skalarprodukt muss auch was hier mit zu tun haben. Wird dann anders geschrieben, in diesen Spitzenklammern. Hat sich so historisch ergeben. Eine Funktion mal eine andere Funktion.

Es muss sinnvollerweise das Integral jetzt vorkommen von 0 bis 2 Pi. Hier 1 durch 2 Pi brauchen wir ja auch. Funktion mal Funktion soll das Quadrat der Norm sein, wie Vektor mal Vektor das Quadrat der Länge ist. Deshalb brauchen wir die 1 durch 2 Pi, Integral. Und jetzt muss ich dafür sorgen, dass das noch irgendwie hinkommt. Das ist ein bisschen überraschend. Das ist das komplex konjugierte von dem linken mal die Funktion rechts.

So sieht Skalarprodukt für Funktionen aus. Das ist schon ein bisschen weit weg von dem, was man kennt. Aber es müsste eigentlich sich erschließen, wenn Sie mit der Länge anfangen. Die Länge ist relativ einleuchtend. Vor allen Dingen mit dem RMS. Hat durch das, was Sie aus der Elektrotechnik kennen.

Und wenn Sie hier jetzt zweimal dieselbe Funktion einsetzen. F mit F multiplizieren. Mit diesem Skalarprodukt steht hier F quer. Eine Funktion mit sich selbst multiplizieren. Hier steht F quer von T. Hier steht F von T. Eine komplex konjugierte Zahl.

Mal die Originalzahl. Das hier gibt den Betrag von F von T ins Quadrat. Genau, was ich da oben brauche. So kommt dieses quer hier zustande. Einfach nur, weil wir hier mit komplexen Zahlen hantieren. Deshalb brauchen wir plötzlich das komplex konjugierte. Hier geht es ja ohne, weil wir mit reellen Zahlen hantieren.

Soweit ein paar Analogien. Jetzt erzähle ich noch ein paar mehr Analogien. Das ist der Grund, warum man die Funktionen als Vektoren betrachtet. Sie verhalten sich wie Vektoren, auch wenn es keine Pfeile sind. Denken Sie möglichst nicht in Pfeilen, wenn Sie hier mit den Funktionen arbeiten. Aber denken Sie daran, dass Sie sich verhalten, die Funktionen, als ob es Vektoren wären.

Man kann genauso damit rechnen. Dann machen wir nächstes Mal weiter.