Um mal ins Thema rein zu kommen, gucken wir uns Folgendes an. Mich interessiert der Wert der dritten Wurzel aus der Zahl 11. Und das möchte ich jetzt nähern, mit Hilfe einer quadratischen Spiegelparabel. Also die Wurzelfunktion dritte Wurzel wird vielleicht irgendwie so verlaufen, epsilon gleich dritte Wurzel von x.

Und ich möchte jetzt an einer passenden Stelle an diese Wurzelfunktion eine Schmiegeparabel dranlegen. Das heißt eine Parabel, die hier die richtige Tangente hat, dieser Stelle, die aber auch die richtige Krümmung hat,

nicht so, vielleicht sowas, die auch die richtige Krümmung hat. Und dann möchte ich diese Schmiegeparabel benutzen, um den Wert abzulesen. Das müsste eigentlich zumindest rezeptmäßig mit Hilfe der Skripte gegangen sein. Ein Tellerpolynom zweiten Grades für die dritte Wurzel.

Und damit mal die dritte Wurzel von 11 zu Fuß ausrechnen, näherungsweise. Die Formel für die Schmiegeparabel. Offensichtlich die quadratische Schmiegeparabel. Das Tellerpolynom zweiten Grades.

Y von x. X soll sein, an welcher Stelle ich jetzt diese Parabel hier ausrechne. Die unter meiner Wurzelfunktion liegt, die sich da dran schmiegt. Das heißt das x lasse ich durchlaufen. Was soll das sein? Das soll erstmal auf der richtigen Höhe sein.

Der Funktionswert hier von meiner Originalfunktion an einer an der Stützstelle x0. Dann soll sie durch diese Stützstelle x0 in der richtigen Richtung durchlaufen, mit der richtigen Steigung durchlaufen. Das kriege ich so. f' von x0 mal x minus x0.

Das ist nämlich nichts anderes als die Tangentengrade, was hier steht an meiner ursprünglichen Funktion. Wenn Sie x gleich x0 einsetzen, was macht diese Funktion hier an der Stelle x gleich x0? Das fliegt raus. Die richtige Höhe. Und was ist die Steigung? Das hier nach x ableiten. Der fliegt raus. f' von x0. Das hier ist die Tangentengrade an der Stelle x0.

Und jetzt kommt für die Krümmung einfach netterweise noch dazu zweite Ableitung an der Stelle x0 mal x minus x0, Quadrat halbe. Das ist das allgemeine Taylor-Polygon. Zweite Ordnung, die quadratische Schmiegeparabel.

Ich gebe vor den Wert, die erste und die zweite Ableitung meiner Originalfunktion, an die geschmiegt werden soll, an der Stelle x0. Und schreibe jetzt eine Parabel abhängig von x hin. Konstante. Hier, das ist teils eine Konstante, nicht minus x0. Das gibt eine Konstante mal x0.

Und hier hinten steckt etwas mit x0 Quadrat drin. Steckt auch noch etwas mit x drin, wo mir ein paar Konstanten verziert. Dass das wirklich hinhaut, kann man sich jetzt auch wieder leicht überlegen, wie bei der Tangentengrade. Für x setzen Sie einfach mal x0 ein. Dann sehen Sie, hier hinten bleibt nichts über. Der erste Term überlebt die richtige Höhe.

Wenn ich die Ableitung bilde, hier die Ableitung bilde, 2 kommt nach vorne, x minus x0. Die Ableitung hiervon wird 0 werden an der Stelle x gleich x0. Die Ableitung hiervon fällt weg. Die Ableitung davon fällt weg. Hiervon gibt es die Ableitung, der jetzt der richtige Ausdruck ist. Und wenn ich die zweite Ableitung bilde, der fällt weg, der fällt weg, mal x. Hiervon die zweite Ableitung,

2 nach vorne, mit der 2 kürzen, noch mal ableiten. Das hier hinten wird 1 werden, mal die zweite Ableitung. Wir können durch ableiten feststellen, dass das hier das einzige Polynom zweiten Grades ist, was den richtigen Wert der richtige Ableitung und die richtige zweite Ableitung an der Stelle x0 hat. Das ist das, was ich als Schmiegeparabel bezeichne. Ich habe gerade gesehen,

man kann natürlich ganz allgemein hinschreiben, oh, das muss eine Parabel sein, a mal x² plus b mal x plus c und diese abc bestimmen. Das ist ein bisschen aufwendig, das wird man im Allgemeinen nicht machen. Obwohl man das natürlich umformen kann. Sobald Sie hier die Zahlen haben, für f, f' und f2',

können Sie abc ausrechnen. Ich würde es lieber so rum machen, der Weg ist viel einfacher, als jetzt ein allgemeines Polynom hinzuschreiben und versuchen diese Konstanten zu bestimmen. Ich muss noch sagen, der Korrektheit halber, das muss nicht immer streng genommen eine Parabel sein. Wann ist das keine Parabel?

Das wäre das ganz blöde. Wenn hier die zweite Ableitung 0 ist, fliegt ja das Quadrat raus, sonst sie haben nur noch eine Gerade. Also müsste man streng sagen, eigentlich ist es nicht immer eine Parabel. Wenn ich Pech habe, ist diese Schmiegeparabel nur eine Gerade.

Kein Polynom 2°, sondern nur Polynom 1°. Vielleicht sogar nur ein Polynom 0°, wenn hier nur die Konstante steht und auch die erste Ableitung wegfällt. Das wäre ein bisschen übertrieben, genau. Das wird man in der Praxis nicht so unterscheiden. Aber Vorsicht an der Stelle, die Schmiegeparabel kann auch plötzlich zu einer Funktion entarten,

die eben keine Parabel mehr ist. Und sollte sie dann vielleicht auch nicht mehr Schmiegeparabel nennen. So, und jetzt müssen wir hier nur noch die Ableitungen bestimmen und den Funktionswert bestimmen mit meiner Funktion f von x ist einfach die dritte Wurzel aus x.

Und x0 soll nun ein Wert sein, für den ich die dritte Wurzel vernünftig ausrechnen kann. Ich möchte eigentlich die dritte Wurzel auf 11 haben, also x gleich 11 nachher einsetzen. x0 soll in der Nähe sein. Was nehme ich? Richtig, 8 sinnvollerweise.

Davon kriege ich die dritte Wurzel ohne Taschenrechner. Die nächste, mal überlegen, 2 hoch 3 sind 8, die nächste 3 hoch 3 sind 27. 27 ist mir doch ein bisschen weit weg. Das wird ja umso schlechter, je weiter weg sie sind. Das gucken wir uns nochmal genauer an, wie groß der Fehler ist. Mit 8 hoffentlich ist der Fehler noch nicht ganz so dramatisch.

Mit den Angaben sollten Sie jetzt f von x0, f' von x0, f2' von x0 ausrechnen können und hier wirklich die Gleichung einer Parabel kriegen. Wobei, wie gesagt, ich würde nicht auflösen, ich würde hier die Zahlen stehen lassen. Und nicht jetzt auflösen nach so und so viel, x² plus so und so viel, x plus so und so viel.

Man erkennt da nicht mehr so viel. Hier kann ich direkt sehen, was die Rollen der einzelnen Terme sind. Brechen Sie das mal aus. Also wir brauchen die Ableitungen, f' von x wird sein, das hier ist x hoch 1 drittel, 1 drittel kommt nach vorne, also den Exponenten vermindere ich

um 1. 1 drittel, 1 weniger sind minus 2 drittel, und die 2. Ableitung, die minus 2 drittel kommen noch als Faktor nach vorne, dann habe ich insgesamt minus 2 neuntel und den jetzt um 1 vermindern, minus 2 drittel, 1 weniger sind minus 5 drittel, x hoch minus 5 drittel.

Und das lustige ist, dass mich jetzt davon die Werte nur an der Stelle 8 interessieren. Ich benutze den Funktionswert, ich benutze den Funktionswert, die Steigung und die 2. Ableitung an der Stelle 8, um eine Vorhersage zu machen,

wo wir denn an der Stelle 11 liegen würden. Alle diese Sachen kann ich jetzt hier an der Stelle 8 wunderbar ausrechnen, weil das so eine saubere dritte Wurzel hat, und kann jetzt grob anvisieren, was denn an der Stelle 11 rauskommen müsste. Diese Angaben hier Höhe, Steigung,

2. Ableitung, so was wie die Krümmung, benutze ich, um hier eine Parabel durchzulegen und dann auf der Parabel vorherzusagen, was denn der Wert an der Stelle 11 wäre. Schätzung mit Hilfe der Schmiegeparabel. Hier setze ich jetzt also den Wert 8 ein. Was sind die Funktion und ihre ersten beiden Ableitungen an der Stelle

8? Die Funktion an der Stelle 8, dritte Wurzel aus 8 ist klar, 2, die erste Ableitung an der Stelle 8, f' von 8, 1 drittel, 8 hoch minus 2 drittel. Den Exponenten nehme ich auseinander,

ist 1 drittel, 8 hoch minus 1 drittel, hoch 2. Potenz einer Potenz, die beiden Exponenten multiplizieren sich. Was ist 8 hoch minus 1 drittel? Genau, ein halbes Minus nicht vergessen, 8 hoch 1 drittel, dritte Wurzel aus 18, 2,

Minus, im Exponenten kehrt es um, das ist 1 halb. Also habe ich hier 1 drittel mal 1 halb ins Quadrat. 1 drittel mal 1 viertel sind 1 zwölftel. Und die 2. Ableitung an der Stelle 8,

ein wenig 8 heute, war minus 2 neuntel mal 8 hoch minus 5 drittel. Selbe Trick ist minus 2 neuntel, 8 hoch minus 1 drittel, hoch 5, oder 8 hoch 1 drittel,

hoch minus 5, oder 8 hoch 1 drittel, hoch 5, hoch minus 1. Wie sehr Sie das auseinandernehmen wollen. 8 hoch minus 1 drittel war 1 halb, ist also minus 2 neuntel, mal 1 halb hoch 5, 2, mal 1 halb hoch 5,

wie können Sie hier kürzen? Ja, Sie kürzen diese 2 gegen eine der 5 zweien. Hier steht hier 1 halb, mal 1 halb, mal 1 halb, mal 1 halb, mal 1 halb. Sie kürzen die 2 gegen eine dieser 5 zweien, den weg, und aus der 5 hier im Exponenten wird dann nur noch eine 4. Macht also minus 1 durch 9

mal 2 hoch 4, 4 mal 4, 16. Das ist wirklich ein ungemütlicher Ausdruck. Lassen wir das mal so stehen, mal gucken, was hier passiert. Jetzt kann ich also insgesamt hinschreiben, was das wird. Schmiegeparabel an

x0 gleich 8, der Funktionswert ist 2. Hier steht 2. Die erste Ableitung war ein 12.

Hier steht ein 12. Und am Ende steht minus 1 durch 9, mal 16. Der hier ist minus 1 durch 9, mal 16. Ich habe eben so eine Kurve

aufgemalt, die kubische Parabel gekippt. Das ist die kubische Wurzelfunktion und dann habe ich da eben gerade eine quadratische Parabel drunter gemalt. Wenn Sie diese Zahlen sehen, was ist hier prinzipiell an der

quadratischen Parabel nicht richtig gewesen in meiner Zeichnung von eben? Wie das Bild hier aussieht, einen groben Unterschied zu dem, wie es wirklich aussehen müsste. Diese Krümmung hier, diese zweite Ableitung, ist ja nicht allzu groß

im Betrag. 1 durch 9, mal 16. Also kleiner noch als 1 durch 10, mal 10. Kleiner als ein Hundertstel im Betrag. 0,01. Das ist nicht sehr viel. Die Parabel wird viel langsamer hier laufen. So was vielleicht.

In der Art. An der Stelle 8 steigt hier noch ein bisschen, ein Zwölftel, nicht gerade spürbar. Aber die Krümmung hier ist extrem klein. Sie wird also weit nach links rausragen. Daran sehen Sie schon, dass diese Näherung nach links sicherlich nicht so prickelnd ist. Ich will ja nach rechts, von 8 bis 11 mal sehen. Mal gucken, was der richtige Wert wäre.

Und später gibt es ja auch eine offizielle Art, wie man den Fehler, den man bei dieser Schätzung macht, schätzen kann. Wie man den Fehler schätzen kann, lustigerweise. Also, die Schätzung. Die dritte Wurzel aus 11 ist also

ungefähr 2 plus jetzt kommt ein Zwölftel mal 11 minus 8. 2 plus ein Zwölftel mal 11 minus 8. Das ist der hier. 11 ist die Stelle, an der ich den Wert

haben will. Auf meiner Schmiege Parabel. 8 ist die Stelle, an der ich das Ganze aufgebaut habe. Und dann kommt noch minus 1 durch 9 mal 16 mal 11 minus 8, Quadrat halbe. Minus 1 durch 9 mal 16 mal 11, minus 8,

Quadrat halbe. Kann man da irgendwas retten? Das wird werden. 2 plus, das sind 3 Zwölftel, hier ein Viertel. Das geht doch noch. Minus, und hier steht dann 1, was sind wir weg? 3 Quadrat. Sehr schön, 3 Quadrat.

9, kürzt sich weg. 1,32 steht da hinten nur noch. 11 minus 18, 3 Quadrat hebt sich mit den 9 weg. 16 mal 2 sind 32. 2 plus ein Viertel minus 1,32. Ein Viertel kriege ich noch so gerade hin

in Dezimalzahlen. 2,25. 1,32 in Dezimalzahlen. Richtig, mit 3 erweitern. Wenn Sie hier mit 3 erweitern, steht da 3 durch fast 100. Dieses wird in der Größenordnung von 0,03 sein. Minus 0,03. Wir schätzen ja sowieso.

Das wird in der Größenordnung von 3 Hundertstel sein. Also erwarte ich was. Bei 2,22. Jetzt bin ich mal gespannt. Die dritte Wurzel. Aus 11. 11

inverse hoch 3. 2,22. Wer sagt es denn? Und das ohne Taschenrechner. Genauer braucht man glaube ich die dritte Wurzel auf 11 selten. Die Rolle von x und x0. Ich habe meine Funktion,

die ich an der Stelle meine Wurzelfunktion kann doch schön aussehen. Meine Wurzelfunktion, die ich an der Stelle x0 gut kenne. Ich kenne den Funktionswert, ich kenne die Ableitung, ich kenne die 2. Ableitung. Und meine Vorhersage ist jetzt für die Stelle 11. Ich kenne sie an der Stelle 8. Ich möchte Vorhersagen für die

Stelle 11. Mithilfe der Daten, die ich da kenne, mit der Schmiegeparabel. x11 ist also 11 und x0 ist 8 in der Art. Ich kenne meine Funktion an der Stützstelle. So wird es dann nachher offiziell angewendet. Man hat irgendwelche Funktionen, die irgendwelche zu komplizierten Mechanismen beschreiben oder vielleicht Lösungen von Differentialgleichungen nähern.

Ich kenne diese Funktionen in der Umgebung des Arbeitspunkts der Maschine. Weiß, wie sie sich da verhalten und möchte dann Vorhersagen, wie sich das Ganze verhält, wenn ich nicht mehr auf dem Arbeitspunkt sitze. Dieses x0 ist quasi der Arbeitspunkt, den ich gut kenne. Und das x ist das, was ich Vorhersagen will, von dem ich den Wert schätzen will.