Die allgemeine Drehung im R3. Eine Rotation im R3. Ich hoffe, dass wir das gleich schaffen mit Hilfe von Differentialgleichungssystemen und Matrizen, das auf eine besonders elegante Art zu schreiben. Eine Rotation im R3 um den Ursprung mit einer Achse, die durch einen Vektor Omega angegeben wird.

Der Ursprung sollte vielleicht dann auch da drauf liegen. So, wenn Sie hier einen Vektor haben, einen Ortsvektor eines Punktes,

ich nenne den Ortsvektor mal R, den Ortsvektor eines Punktes, der gedreht werden soll, was wird die Geschwindigkeit sein, wenn Sie das hier nicht nur als Achse nehmen, sondern auch als Geschwindigkeitsvektor, Drehgeschwindigkeitsvektor,

wie können Sie die Geschwindigkeit dieses Punktes angeben? Den Geschwindigkeitsvektor, ich soll das mal ordentlich sagen, den Geschwindigkeitsvektor dieses Punktes angeben. Das erste, was man sich überlegen kann, ist, dass dieser Geschwindigkeitsvektor senkrecht,

wo mache ich das denn noch hin, dass dieser Geschwindigkeitsvektor senkrecht auf dem Omega stehen muss, wenn ich den Orbit sozusagen vorstelle, wie dieser Punkt hier umläuft um die Achse, hier hinten her und hier vorne rum, dieser Vektor und die Achse, die stehen senkrecht aufeinander.

Was steht sonst noch senkrecht aufeinander? Wenn der Geschwindigkeitsvektor nicht senkrecht auf dem Ortsvektor stünde, wenn er so zeigen würde zum Beispiel, dann würde der Ortsvektor ja länger werden.

Das ist keine gute Idee für eine Rotation, der sollte völlig die selbe Länge behalten. Also habe ich hier auch einen rechten Winkel zwischen dem Ortsvektor und dem Geschwindigkeitsvektor. So, und jetzt selbst ohne Formelsammlung, ich suche einen Vektor V,

der senkrecht auf Omega und senkrecht auf R steht. Was machen Sie? Also das schreit hier nach Vektorprodukt, Kreuzprodukt. V hat ein Vielfaches zu sein von dem Kreuzprodukt, Vektorprodukt von Omega und R. Omega Kreuz R, und zwar ein positives Vielfaches wegen der rechten Handregel.

Wenn Sie hier Omega als den Daumen nehmen, oh je, Sie nehmen Omega als den Daumen, Sie nehmen R als den Zeigefinger und dann muss V in Richtung des Mittelfingers weggehen, rechte Handregel.

So rum, es muss also ein Plus davor stehen und netterweise steht einfach eine Eins davor. Das will ich jetzt nicht vorführen. So wird es einfach sein, das ist total billig. Also die Geschwindigkeit als Vektor kriegen Sie als diesen Drehgeschwindigkeitsvektor parallel zur Achse.

Länge ist die skalare Drehgeschwindigkeit, Kreuz den Ortsvektor. Damit kriegen wir eine Drehung und den Ursprung des R3. Und nun bauen wir daraus mal ein Differenzalgleichungssystem, absurderweise.

Es ist also die Ableitung des Ortsvektors, der Geschwindigkeitsvektor. Und das ist Omega Kreuz der Ortsvektor. So sieht die Drehbewegung aus.

Und damit haben wir jetzt ein Differenzalgleichungssystem aus drei Gleichungen. Wenn der Ortsvektor von X, Y, Z abgeleitet gibt, Omega Kreuz X, Y, Z. Buchstabieren Sie das doch mal aus. Wenn Sie sagen, hier dieser Ortsvektor ist X, Y, Z.

Wie sieht das eigentlich aus buchstabiert aus? Die Ableitung nach der Zeit von X, Y, Z ist gleich was. Und dann kriegen wir lustigerweise wieder Matrix mal Vektor, wie wir es eben schon hatten. Weil ich faul bin, sage ich hier mal nicht Omega X, Omega Y und so weiter.

Ich sage hier mal Alpha, Beta, Gamma dazu. Zu den Komponenten von Omega. Der Geschwindigkeitsvektor, die Zeitableitung von X, Y, Z, dem Ortsvektor, ist Alpha, Beta, Gamma. Kreuz X, Y, Z. Und das ist jetzt einfach nur ganz dumm das Kreuzprodukt ausgerechnet.

Jetzt oben streichen Beta mal Z minus Gamma mal Y. In der Mitte streichen und falsch rum. Gamma mal X minus Alpha mal Z. Unten streichen Alpha mal Y minus Beta mal X. Alpha mal Y minus Beta mal X. Klammer zu.

Bis dahin ist nichts Böses passiert. Und jetzt, der Kunstgriff besteht darin, das mit einer Matrix zu schreiben. So wie wir es eben hatten. Gehen wir mal zurück hier.

Wenn Sie das Differenzall gleich im System mit einer Matrix schreiben können, mit festen Zahlen, können Sie lustigerweise die Lösung sofort mit der Exponentialfunktion schreiben. Deshalb will ich hier eine Matrix haben. Welche Matrix gehört da rein? So, also. Ich gucke mir die oberen drei hier an.

Die müssen ja Beta Z minus Gamma mal Y zusammen ergeben. Der erste mal X plus der zweite mal Y plus der dritte mal Z. Da muss rauskommen Beta mal Z minus Gamma mal Y. X brauche ich gar nicht. Hier vorne steht also eine Null.

Y brauche ich minus Gamma mal. Und Z brauche ich Beta mal. So muss die erste Zeile von der Matrix aussehen. Sie kann nicht anders aussehen. So haut es dann auch hin. Null mal X minus Gamma mal Y plus Beta mal Z. Das kommt oben raus.

Zweite Zeile. So und so viel mal X plus so und so viel mal Y plus so und so viel mal Z muss das hier ergeben. Sie sehen, hier brauche ich Y nicht. In der Mitte steht eine Null. X brauche ich Gamma mal. Und Z brauche ich minus Alpha mal. Letzter. Es soll rauskommen Alpha Y minus Beta mal X.

Kein Z dabei. Deshalb hier eine Null. Alpha mal Y. Hier steht ein Alpha. Minus Beta mal X. Und jetzt haben wir minus Beta mal X plus Alpha mal Y und nichts. Kommt das raus. Haut hin. Die Matrix muss es sein. Es kann keine andere sein. Auf diese Weise habe ich jetzt aus der Drehung, dieser kontinuierlichen Drehung mit dem Drehgeschwindigkeitsvektor Omega.

Eine Matrix gebaut, absurderweise, die mir hier dieses Differentialgleichungssystem kontrolliert. Und ich weiß, was die allgemeine Lösung ist.

Nämlich dieses X, Y, Z zu einer bestimmten Zeit t. Kann ich einfach hinschreiben mit der Exponentialfunktion. Absurderweise. Das ist die Exponentialfunktion. Ganz analog wie eben. Wenn Sie gucken, was da passiert. Meine Matrix mal die unabhängige Variable in der Exponentialfunktion.

Genau wie wir es in diesem Fall hatten. Beim exponentiellen Wachstum, beim exponentiellen Zerfall. Da steht nur keine Matrix, sondern einfach diese Konstante. X ist es jetzt nicht, sondern t, weil es von der Zeit abhängt. Hier steht also die Exponentialfunktion von dieser Matrix. Hier möchte ich das t doch gefühlt lieber nach vorne schreiben.

Egal ob Sie es nach vorne oder nach hinten schreiben. Null minus Gamma, Beta, Gamma, Null minus Alpha, Minus Beta, Alpha, Null. Mal meinen Vektor zum Anfangszeitpunkt. X Null, Y von Null, Z von Null.

Machen wir mal eine ordentliche Klammer. So, das Z hier vorne ist auch noch nicht so ganz gelungen. Das heißt, damit habe ich jetzt die allgemeine Drehung hingeschrieben. Wenn Sie diesen Vektor hier vorgeben. Was ist mein Ortsvektor zu Beginn? Sie geben den Drehgeschwindigkeitsvektor vor. Alpha, Beta, Gamma. Sie geben die Zeit vor.

Dann sagt Ihnen das Ding hier. Diese Matrix, mal den Anfangsvektor, ist der gedrehte Vektor. Also, was hier steht. Das hier ist die allgemeine Drehungsmatrix. In dieser Form mit der Exponentialfunktion ist sie nicht so prickelnd auszurechnen. Wie gesagt, Matlab kann das, wenn Sie ExpM verwenden.

Nicht Exp, sondern ExpM. In Matlab rechnet Ihnen Matlab klaglos dieses Ding hier aus. Es gibt auch eine komplette Formel dafür mit Sinus und Cosinus. Die man sich beim besten Willen nicht merken kann. Ich kann es mir beim besten Willen zumindest nicht merken. Das hier ist eine sehr handliche Formel.

Jetzt soll man das noch einen Schritt vereinfachen. Typischerweise will ich ja um einen festen Winkel drehen. Drehungsmatrix. Ich werde nicht so eine Familie an Drehungen haben. Abhängig von der Zeit, sondern ich möchte eigentlich eine Drehungsmatrix haben.

Drehungsmatrix. Drehung um den Ursprung. Um O schreibe ich mal. Achse soll sein parallel zu dem Vektor Omega. Und der Winkel soll sein der Betrag. Die Länge von meinem Vektor Omega.

Und rechte Handregel. Rechte Handregel. Da muss man wahrscheinlich das rechte groß schreiben. Rechte Handregel. Wie rum der Winkel zu messen ist. Also wenn mein Omega so läuft, soll der Winkel so rum gehen.

Als ob Sie die rechte Hand um den Pfeil wickeln. Der Daumen zeigt den Richtung des Pfeils. Und dann kann man jetzt ablesen, welche Matrix das ist. Exp von. Sie drehen einfach die Zeit 1 hier.

Und dann sind Sie fertig. Also einfach. Exponentialfunktion. Ich lasse mal zwei Klammern stehen, auch wenn es komisch aussieht. Exponentialfunktion von der Matrix. Exponentialfunktion, äußere Klammer. Exp von. Und innen drin steht die Matrix. Null, Minus, Gamma, Beta, Gamma, Null, Minus, Alpha, Minus, Beta.

Wenn man das mal nimmt. Minus, Beta, Alpha. Null. Eine sehr kompakte Form. Drehungsmatrizen hinzuschreiben. Die können wir noch ein bisschen untersuchen. Diese Matrix, die da drin steht. Das finde ich noch spannend. Mal sehen, 10 Minuten.

Ja, das kriegen wir nochmal hin. Wenn Sie sich diese Matrix nochmal angucken, wie eben. Wie steht es denn bei der mit Eigenwerten, Eigenvektoren? Diese Matrix, die da jetzt auftaucht. Zumindest die Eigenwerte hier gerade noch. Auf der Diagonal, Lambda abziehen, dann soll die Determinante Null werden.

Null soll sein. Auf der Diagonal, Lambda abziehen. Da stand ja netterweise überall Null. Ich sollte überhaupt nochmal sagen, dass es eine antisymmetrische Matrix ist. Wir sehen, oberhalb der Diagonalen.

Minus Gamma, unterhalb Gamma. Oberhalb Beta, unterhalb Minus Beta. Oberhalb Minus Alpha, unterhalb Alpha. Die ist nicht symmetrisch, sondern antisymmetrisch. Auf der anderen Seite steht immer das Negative von dem, was oben steht. Minus Gamma, Beta, Minus Alpha. Minus Gamma, Beta, Minus Alpha. Hier dann also Gamma, Minus Beta, Alpha.

Und jetzt einfach mit der Regel vom Franzosen. Minus Lambda, mal Minus Lambda, mal Minus Lambda. Das gibt Minus Lambda hoch 3. Minus Gamma, mal Minus Alpha, mal Minus Beta. Drei Minusse. Minus Alpha, Beta, Gamma. Beta, mal Gamma, mal Alpha.

Plus Alpha, Beta, Gamma. Wenn ich es nach Alphabet sortiere. Und jetzt kommen lauter Minusse, die Nebendiagonalen. Minus Lambda, Beta Quadrat. Minus Lambda, mal Beta Quadrat. Hier kommt Minus Alpha Quadrat, mal Lambda.

Minus Lambda, Alpha Quadrat. Und hier haben wir Minus Lambda, Gamma Quadrat. Macht dann zum Schluss. Minus Lambda hoch 3. Sehr gediegenes Lambda. Die beiden heben sich weg. Minus Lambda, mal Alpha Quadrat. Plus Beta Quadrat, plus Gamma Quadrat.

Denn das ist das Quadrat des Winkels, um den ich drehe, lustigerweise. Die Länge des Vektors ist Quadrat. Und jetzt kann man die Nullen ablesen. Sie kriegen also. Lambda ist gleich was. Was sind meine Eigenwerte?

Fassen wir noch einen Schritt weiter zusammen. Ich klammere das Lambda aus. Minus Lambda. Und dann steht hier Lambda Quadrat plus Alpha Quadrat plus Beta Quadrat plus Gamma Quadrat. So wird das etwas übersichtlicher. Was muss also Lambda sein?

Lambda ist gleich Null. Oder Lambda ist gleich Wurzel aus. Minus, wogemerkt. Minus Alpha Quadrat plus Beta Quadrat plus Gamma Quadrat. Lambda ist gleich plus Minus. Plus Minus. I mal die Länge von meinem Vektor Omega.

Zu diesem Lambda hier hinten gehören natürlich keine reellen Eigenvektoren. Hier haben Sie nur komplexe Eigenvektoren. Das verwundert uns bei Drehungen jetzt auch nicht, dass da irgendwas schief geht mit den Eigenvektoren. Das hier hinten wird also auf jeden Fall imaginär werden. Es sei denn, mein Drehungsvektor hat die Länge Null.

Ich drehe gar nicht. Sehr interessant. Das kennen wir auch schon von den Drehungen im Zweidimensionalen. Dass irgendwas schief gehen muss mit den Eigenwerten, Eigenvektoren. Weil die Richtungen ja nicht auf sich selbst liegen bleiben. Dieses Lambda gleich Null da vorne. Wie kommt denn das eigentlich zustande? Was für ein Eigenvektor erwarten Sie hier für das Lambda gleich Null?

Lambda gleich Null. Wie taucht das dann nachher in der Lösung auf? Dann muss doch nachher in der Lösung sowas stehen. Ein Vielfaches von E hoch Null mal die Zeit. Eins. E hoch Null mal die Zeit. Ein Vielfaches von Konstante mal Eigenvektor. Dieser Vektor muss konstant bleiben bei der Drehung.

E hoch Null mal Eigenvektor. Dieses Lambda gleich Null da vorne. Diese Lösung muss für einen Vektor stehen, der bei der Drehung liegen bleibt. Welcher Vektor bleibt bei der Drehung liegen? Der Eigenvektor hierzu muss zwangsläufig Omega sein.

Alle Vielfachen von Omega. Nur nicht das Nullfache. Omega, der Vektor längs der Achse, der bleibt doch liegen, wenn Sie drehen. Das ist der Trick. Wenn Sie diesen Punkt hier nehmen und drehen, dann bleibt der da liegen. Genau das ist das Verhalten, was wir jetzt hier kriegen. Es gibt eine ganze Familie an Vektoren, die liegen bleiben.

E hoch Null mal die Zeit, die sich nicht verändern. Eigenvektor dazu wird zwangsläufig ein Vektor längs der Achse sein. Und hier hinten, die werden sinnvollerweise senkrecht dazu verlaufen. Im Komplexen, was das Ganze noch komplizierter macht.