Ich fange nochmal an mit der Differential-Gleichung, die wir vom exponentiellen Wachstum kennen. Zinseszins und ähnliches. Die Ableitung der gesuchten Funktion nach der Zeit, in diesem Fall, soll eine feste Konstante mal der Wert der gesuchten Funktion sein, zu jedem Zeitpunkt.

Das ist Zinseszins, exponentielles Wachstum, bzw. wenn diese Konstante hier negativ ist, exponentieller Zerfall. Um das Ganze mal ein bisschen wirklichkeitsgetreuer zu machen, schreibe ich mal noch einen Term dazu. Hier auf der rechten Seite ein Produkt, und ich schreibe hier noch dazu,

1 minus der Wert meiner gesuchten Funktion zur Zeit D, schaue ich da nicht hinter, versteht sich durch eine Konstante M. Was bewirkt das? Erste Beobachtung, wenn x sehr dicht an Null ist.

Ich habe wenig Euro, ich habe wenig Hasen. Was auch immer da gerade exponentiell anwächst. Dann sehen Sie, dahinten steht 1 minus, praktisch Null durch eine Konstante. Hier hinten steht 1. Na ja schön, dann steht da doch die ursprüngliche Differential-Gleichung für das exponentielle Wachstum. Also wenn x ungefähr Null ist, wenn ich wenig habe, passiert da nicht viel.

Was passiert, wenn x wächst? Was ist der Effekt dann von diesem Term? Genau, wenn x in die Größenordnung von M kommt, es fängt ja an zu wachsen, wenn x in die Größenordnung von M kommt, steht hier 1 minus etwas knapper 1.

Das hier hinten wird 0,000 irgendwann werden. Und im Endeffekt heißt das, mein Zinssatz wird auf Null reduziert. Wenn Sie sich vorstellen, hier steht so etwas wie mein Zinssatz, ich kriege kein Wachstum mehr. Das Wachstum wird abgeschnürt. Die Änderung meiner Funktion wird sein so und so viel mal so und so viel,

und hier hinten steht Null. Die Änderung meiner Funktion wird Null werden. Er friert ein auf einem bestimmten Niveau. Das erwartet man. Ein Wachstum mit Limit. Am Anfang geht es exponentiell los, aber irgendwo, wenn x das M erreicht, muss das Ganze einfrieren und kann diese Größe M nicht mehr überschreiten.

Denn genau für x gleich M steht da hinten Null und dann habe ich kein Wachstum mehr. Das erwartet man. Sie sehen eine billige Differentialgleichung, die offensichtlich zu so einer Lösung führen muss. Am Anfang exponentielles Wachstum und dann läuft es in einem stationären Zustand. Das Ding nennt sich der Bildung halber die logistische Differentialgleichung.

Logistische Differentialgleichung. Und die versuchen Sie mal zu lösen. Wenn das x größer ist als das M,

dann steht natürlich was Negatives und es passieren ganz schlimme Sachen. Das betrachtet man im Allgemeinen nicht. Man betrachtet hier so etwas wie ein Bevölkerungswachstum. Man hat ein paar Hasen oder ein paar Bakterien und die wachsen dann gegen ein Limit. Man guckt sich im Allgemeinen nicht an, was passiert, wenn x größer ist als M. Das sehen wir gleich in der Lösung, was passiert, wenn x größer ist als M.

Da muss anscheinend etwas Gegenläufiges passieren. Aber nehmen Sie das erstmal jetzt als rein mathematische Geschichte. Wie lösen Sie diese Differentialgleichung? Dieses Ding sieht ja so harmlos aus. Aber wenn Sie das ausmultiplizieren sehen, da steht x². x mal x.

x ist die gesuchte Funktion. Wenn hier etwas mit t² stünde, dann wäre das noch linear. Hier steht etwas mit x², die gesuchte Funktion ins Quadrat. Das ist nicht linear, ärgerlicherweise. Weil es nicht linear ist, können Sie auch nicht sagen, ob es homogen, inhomogen ist oder ob es konstante Koeffizienzen hat. Das ergibt keinen Sinn.

Für nicht linear hatten wir nur ein einziges Verfahren. Nicht linear ist im Allgemeinen eklig, aber dieses Ding ist eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen, glücklicherweise. Aber trennbare Variablen. Wobei die zweite Variabe ein bisschen versteckt ist.

Hier, dx nach dt, da steckt das t drin. Trennen Sie x und t und integrieren Sie beide Seiten. Dann müsste es funktionieren.

Ich muss einmal noch ganz dringend ansagen, hier geht die Kurve nicht durch den Null. Wenn Sie mit Nullhasen anfangen, dann bleiben es auch die ganze Zeit Nullhasen. Das muss eben eine kleine Menge sein, aber nicht allzu viele. Nicht durch den Ursprung hier gehen.

So, zu den trennbaren Variablen. Ingenieurmäßig schreibe ich hier dx nach dt auf die linke Seite. dx nach dt ist gleich, was da vorher stand, kx eins minus x durch m. k mal x mal eins minus x durch m.

Und jetzt will ich alle x auf einer Seite und alle t auf der anderen Seite. Ich teile durch die komplette rechte Seite, dann steht da links, dx durch k mal x mal eins minus x durch m. Ich werde die komplette rechte Seite teilen. Und ich multipliziere mit dt.

So sieht das dann aus. Ingenieurmäßig muss ich hier Anführungszeichen machen. Eigentlich ist das hier ja kein Quotient, sondern ein Grenzwert. Aber man sich vorstellt, ich warte eine Nanosekunde und gucke, was dann mit meinem x passiert. Dann ist das schon eine sehr gute Näherung. Hier steht die eine Nanosekunde

und hier ist das, was mit dem x passiert. Man wird das so hinschreiben können, zwangsläufig. Was in der Mathematik dann noch ein bisschen mehr Kopfzerbrechen bereitet. Aber man kriegt es dann auch hin. Tatsächlich mit dem dx und dem dt einzeln. So sieht das aus. Jetzt sind die Variablen getrennt. Alle t, die also verborgen waren, auf der einen Seite, alle x auf der anderen Seite.

Und nun kann man links und rechts integrieren. Ich weiß, dass diese eine Nanosekunde hier rauskommen muss, wenn ich gucke, was mit dem x in der einen Nanosekunde passiert und ich durch diesen ganzen Sermon da unten teile. Damit es etwas schöner wird, würde ich hier noch ein bisschen umformen. Wenn Sie oben und unten mit m multiplizieren,

den Bruch hier mit m erweitern, steht da zum Schluss m durch k mal dx durch x mal m minus x. So ist das etwas übersichtlicher. Oben mal m, das ist der. Unten mal m, dieses wird zum m. Und x durch m wird zu x. So ist es übersichtlicher.

Das integrieren mit Partialbrüchen. Sie sehen zwei Polstellen. Eine bei x gleich 0, eine bei x gleich m. Mit Partialbruch integrieren. Ich mache hier mal eine extra Spalte auf für die Partialbruchzerlegung. Ich möchte 1 durch x mal m minus x

zerlegen in Partialbrüche. Ich sehe zwei Polstellen, eine bei x gleich 0, eine bei x gleich m. Sind beides Polstellen erster Ordnung. Einfache Polstellen, ganz offensichtlich. Und dann sagt mir das bei Saarbruchzerlegungsverfahren, okay, das muss gehen als irgendeine Konstante durch x plus irgendeine andere,

oder auch gleiche Konstante, durch m minus x. Ich kann diese beiden Polstellen auseinandernehmen. Schwieriger wäre es, wenn es hier mit x Quadrat wäre. Dann bräuchte ich vielleicht noch einen Termin c durch x Quadrat und so weiter. Nicht vielleicht, da bräuchte ich sogar so einen Termin. Aber hier ist es ja ganz einfach. Polstellen erster Ordnung.

Das muss so zerlegbar sein. Diese beiden hier kann man dann ganz banal integrieren. Bestimmen Sie a und b. Und dann können Sie es banal integrieren. Also die beiden auf einen Hauptnummer bringen hier. Der ist natürlich derselbe Nenner, den wir vorher hatten. x mal m minus x.

a erweite ich mit m minus x. b erweite ich mit x plus b mal x. Das soll für alle x gelten. Schauen wir das hin. Also müssen die Zähler für alle x gleich sein. 1 ist gleich a mal m

minus a mal x plus b mal x für alle x. Für alle x schreibe ich jetzt nicht hin. Wir sind hier engineermäßig unterwegs. Das heißt, hier auf der rechten Seite müssen sich die x wegheben. Sonst kann da nicht immer 1 rauskommen. Daraus lerne ich, a muss b sein. Haben wir das schon mal gelernt. a gleich b.

Und hier, aus dem muss immer 1 rauskommen. Damit lerne ich, es muss beides 1 durch m sein. a muss 1 durch m sein, damit hier 1 rauskommt und a muss gleich b sein, damit sich die beiden wegheben. Damit bin ich bei der Partialbruchzerlegung hier.

Hier steht also m durch k mal jetzt kommt meine Partialbruchzerlegung a war 1 durch m durch den ersten Reihenfolge ist zwar egal, aber was streng durch x Reihenfolge ist hier egal, weil a und b gleich sind, durch x plus jetzt kommt b, 1 durch m

durch m minus x mal dx. So, und das können wir noch ein bisschen kürzen sehen, m, 1 durch m, glück gehabt, das kürzt sich weg, dann steht da 1 durch k, mal Klammer auf, 1 durch x plus 1 durch m

minus x dx. Das m hier oben rauskürzen. Und jetzt möchte ich beide Seiten integrieren. Und die rechte Seite zu integrieren ist banal. Und dieses müsste jetzt funktionieren, eben war es nicht so leicht. Hier müsste es jetzt funktionieren mit den Partialbrüchen

1 durch x, Stammfunktion, 1 durch m minus x, Stammfunktion. Einmal einen kleinen Trick, bevor Sie lange nachdenken, was hier die Stammfunktion ist. Ich ziehe aus diesem Bruch ein Faktor minus 1 raus. Ich schreibe hier minus davor und dafür unten minus m plus x. Nichts böses passiert.

Oben und unten mal minus 1. Mit minus 1 erweitere ich diesen Bruch. Dann steht davor ein minus und unten beide Vorzeichen geändert. Dann steht unten x minus m. Das macht es etwas netter beim integrieren. Davon sollten Sie jetzt

eine Stammfunktion angeben können. Von beiden Seiten eine Stammfunktion angeben. Integrationskonstante nicht vergessen. Und dann haben wir eigentlich die Differenz der Gleichung schon gelöst. Ich schreibe mal die Integrale hin. Also weiß ich jetzt mein Integral über x, das ist ja sowas wie die Bevölkerungszahl. Ich schreibe mal hier von x null

Anfangsbevölkerungszahl bis zu irgendeiner aktuellen Bevölkerungszahl. Das integriert 1 durch k. Kann ich sofort nach vorne schreiben. 1 durch x minus 1 durch x minus m. dx muss also sein jetzt integriert, was auf der anderen Seite steht, die Zeit integriert.

Was sollte ich sagen? Über die Zeit integriert, dt integriert. Von der Anfangszeit mit dem Anfangswert x null bis zum Endzeitpunkt mit dem Wert x1. Nachher interessiert mich der Zusammenhang zwischen x1 und t1. Wie kann ich, wenn ich t1 gegeben habe, x1 ausrechnen, die Bevölkerungszahl

am Ende. So, jetzt brauchen wir eine Stammfunktion. Ich schreibe mal schon so weit hin. x null x1. Stammfunktion hierfür, Stammfunktion hierfür. Das kriegen Sie hoffentlich alle hin.

Stammfunktion dafür. T plus eine Konstante, die aber egal ist, wenn ich das bestimmte Integral ausrechne. Oder Sie stellen sich das vor. Was integriere ich eigentlich? Die Funktion 1, einmal dt, die Funktion mit der Höhe 1 von t null bis t1.

Welche Fläche ist darunter? Sehr schön, t1 minus t0 mal 1. Die Fläche ist darunter. Könnte man auch ganz anders kriegen. Also auf der rechten Seite steht t1 minus t0. auf der anderen Seite hier eine Stammfunktion zu 1 durch x.

Da muss ich erinnern. Stammfunktion zu x hoch 3, x hoch 4 viertel. Okay. Stammfunktion zu x hoch minus 2. Dann versuchen Sie was mit x hoch minus 1. Das einzige, wo es schief geht, ist x hoch minus 1. Eine Stammfunktion zu x hoch minus 1.

Das war nämlich Ln-Betrag. Gemeinschaftlich kriegen wir es sogar hin. Ln-Betrag von x. Wobei der Betrag, ich überlege gerade, ob ich den sofort weglasse. Hier soll es ja um Bevölkerungszahlen gehen. Nachher wird der Betrag egal sein, weil ich nicht minus

300 Kaninchen haben werde. Ich lasse jetzt vielleicht erstmal hier gerade den Betrag stehen. Jetzt brauche ich hier eine Stammfunktion für 1 durch x minus m. Eine Stammfunktion für 1 durch x minus m. Vorschläge. Genau. Die ist einfach nur verschoben. Stammfunktion der

verschobenen Funktion ist die verschobene Stammfunktion. Hier steht also Logarithmus von x minus m. Indem Sie nach links und rechts verschieben, mit diesem minus m, hin und her schieben. Es passiert ja nichts Großartiges Schlimmes. Es wird einfach nur hin und her geschoben nach links oder rechts.

So, das steht da. Ich glaube jetzt, dass Sie mal wieder rechnen. Also der Job soll sein, wie hängt x1 von t1 ab? Das ist die Frage, die Lösung der Differentialgleichung. x1 in Abhängigkeit von t1.

Der erste Schritt ist jetzt ja nur dummes Einsetzen. 1 durch k. Jetzt setze ich x1 ein. Logarithmus, Betrag x1. Minus. Logarithmus, Betrag x1 minus m. Minus x0 einsetzen. Minus.

Also Logarithmus, Betrag x0. Minus Logarithmus, Betrag x0. Ich fahre jetzt bei Minus. Minus macht plus Logarithmus, Betrag x0 minus m. Plus Logarithmus, Betrag x0 minus m. Klammer zu, ist gleich

t1 minus t0. Die rechte Seite ist ja überzeugend einfach. Ich würde auch sofort hier das k rüberbringen. Dann steht da jetzt habe ich einen Geschwindigkeitsvorteil gegenüber Ihnen. Ja, nicht ganz leider. Schade.

Naja, wird wohl nicht. Ok, nämlich genauso schnell wie Sie. Das zu Fuß hinschreibe. Das 1 durch k rüberbringen. Dann steht hier also der Logarithmus von Betrag x1 minus Logarithmus von Betrag x1 minus m. Minus den Logarithmus von x0. Ohne Klammern. Die brauche ich ja nicht mehr. Plus den Logarithmus von

immer noch mit Strichen. Betrag x0 minus m. Ist gleich k rüber gebracht. K mal t1 minus t0. Das gibt mir eine interessante Deutung dieser Variablen K. K taucht nur auf eine Weise in der Lösung auf, nämlich als

K mal die Zeit. Was sagt uns das eigentlich? Anschauungsmäßig zu dieser Variablen K. Dieses K regelt also schlicht und ergreifend die Geschwindigkeit. Wenn Sie das K verdoppeln, ist das derselbe Effekt, als wenn Sie das K so lassen, wie es war, aber die Zeit verdoppeln. Die Geschwindigkeit verdoppelt sich,

wenn Sie K verdoppeln. Dieses K ist eine Art Geschwindigkeit. Was nicht ganz un plausibel ist. Vorher war es ja so etwas wie der Zinssatz, das auch eine Art Geschwindigkeit ist. Es behält diese Rolle der Geschwindigkeit. Das macht mich schon mal glücklich, dass das von der Anschauung her so passt. So und jetzt fassen wir hier die linke Seite zusammen.

Der Logarithmus eines Produkts. Der Logarithmus eines Produkts. Dafür war der Logarithmus da. Ich möchte als Kaufmann der Renaissance keine Produkte ausrechnen, sondern ich möchte Summen ausrechnen. Ich bilde den Logarithmus von dem einen plus den Logarithmus von dem anderen. Dafür ist der Logarithmus

erfunden worden. Fassen Sie damit die linke Seite zusammen. Sie lernen an dieser Stelle schon etwas fürs Leben. Separabel-Differentialgleichungen. Die Lösung, in Anführungszeichen hinzuschreiben, das Integral zu lösen, das ist meist der einfachere Teil,

dann tatsächlich aufzulösen nach der abhängigen Variablen. Das ist im Allgemeinen der eklige Teil. Das sehen wir hier gerade wunderschön demonstriert, wie eklig das wird. Das Integral ist relativ billig. Logarithmus. Und jetzt kommt ein Monsterterm im Logarithmus. Hier steht Logarithmus x1.

Alles in Betrag. x1 und das hinten wird addiert, also ein Produkt, x1 mal x0 minus m. Logarithmen voneinander abziehen, heißt zu teilen im Logarithmus.

Ich teile also durch x1 ich teile durch x1 minus m und ich teile durch x0. Das setzt sich alles hübsch in Betragstriche. Eigentlich steht hier Betrag von x1 mal Betrag von der Differenz usw. Die Betragstriche kann ich rausziehen, aber nicht aus dem Logarithmus. Die Betragstriche müssen

immer noch im Logarithmus bleiben. So, da steht jetzt der Logarithmus von diesem Betrag ist gleich ein Vielfaches der Zeitdifferenz. Ich bilde auf beiden Seiten die Exponentialfunktion und habe dieser Betrag hier von x1 mal x0 minus m durch x1 minus m

mal x0. Dieser Betrag ist gleich e hoch k mal t1 minus t0. Das wird ganz anmählich etwas übersichtlicher. Ich möchte ja nachher nach x1 auflösen.

Also werde ich jetzt alles was x0 hat auf die andere Seite bringen. Alles was x0 hat bringe ich auf die andere Seite. Dann steht hier x1 durch x1 minus m jetzt gleich x0 rüberbringen kommt nach oben x0 minus m rüberbringen kommt nach unten

mal e hoch k mal t1 minus t0. Und an dieser Stelle würde ich jetzt anmählich mal die Betragstriche loswerden wollen. Wenn man das jetzt in Allgemeinheit diskutieren will was passiert wenn ich

eine negative Bevölkerung habe. Was eher komisch ist, aber wir können es mal ausprobieren. Was passiert wenn meine Bevölkerung über dieser Grenze m ist. Wenn ich das wissen wollen würde dann müsste ich jetzt vorsichtig sein mit den Betragstrichen. Ich will die jetzt einfach mal weglassen und deshalb sage ich

große Annahme wir gucken uns nur das an was auch praktisch relevant ist. Beide x liegen zwischen 0 und m. 0 ist kleiner als x1, x2 kleiner m.

Das sind die Fälle die mich nachher interessieren. Und dann kann ich das hier auflösen. Der Betrag von x1 x1 soll größer sein als 0. Der Betrag von x1 ist also x1. Was ist der Betrag von x1 minus m? Genau, Vorsicht Falle, m minus x1.

x1 soll ja kleiner sein als m. Hier steht so was wie 500 minus 1000. Sie müssen da unten umdrehen, m minus x1. Das selbe passiert hier. x0 durch m minus x0 mal e hoch k mal t1

minus t0. Es wird immer besser, aber ich bin noch nicht 100% glücklich. Ich wollte doch nach x1 auflösen. Lösen Sie jetzt mal wirklich nach x1 auf. Das hier ist natürlich x01.

Wir bleiben dabei, lösen Sie dieses jetzt nach x1 auf, als letzten Schritt. Zum Auflösen bringe ich dieses m minus x1 auf die rechte Seite. Und weil ich faul bin,

nenne ich das hier mal, was auf der rechten Seite steht zu einem Wiederholungszeichen. Da steht dann also x1 ist gleich m minus x1 mal mein Wiederholungszeichen, was hier

Wenn Sie das auseinandernehmen, steht da also m mal Wiederholungszeichen minus x1 mal Wiederholungszeichen. Das Ziel war nach x1 aufzulösen. Ich bringe x1 jetzt also rüber nach links. Plus x1 mal Wiederholungszeichen. Dann steht hier x1 mal

1 plus Wiederholungszeichen ist gleich m Wiederholungszeichen. Sieht man das? Den hier rüberbringen. X1 Wiederholungszeichen beide Seiten addieren. X1 mal 1, das ist der. Und x1 Wiederholungszeichen kommt nach links rüber.

Jetzt kann ich durch den teilen. X1 ist also gleich m mal und hier steht dann Wiederholungszeichen durch 1 plus Wiederholungszeichen. Sanity check, die Einheiten stimmen. M muss man vorwarnen, ist so eine Art Maximalzahl,

wie ein Kaninchen. Hier steht was Einheitsloses bei dem Bruch. Irgendwas durch irgendwas, das muss einheitslos sein. Sie sehen an der 1 sowieso, dass schon diese einzelnen Dinge einheitslos sein müssen, dass das Wiederholungszeichen schon einheitslos sein muss. Zum Schluss kommt Kaninchen aus, das will ich. Und jetzt können wir uns noch überlegen, ob das

asymptotische Verhalten richtig ist. Was passiert mit diesem Wiederholungszeichenausdruck? Dieser Ausdruck hier, was passiert mit diesem Ausdruck, wenn wir lange warten. Correct, dieses Ding geht gegenunendlich, wenn wir lange warten. T1, meine Endzeit, wächst über alle Grenzen. T0 lasse ich fest, Anfangszeit.

T1 wächst über alle Grenzen. K soll sinnvollerweise positiv sein, ich möchte ja am Anfang Wachstum haben, kein Zerfall. Dann wächst dieses Ding über alle Grenzen, gegenunendlich. Das Wiederholungszeichen hier wächst gegenunendlich. Das geht gegenunendlich. Hier unten steht dasselbe.

Zweimal dasselbe geht gegenunendlich. Das ist sowas von der Sorte, was machen wir mal, N durch 1 plus N. Was macht dieser Bruch, wenn N gegenunendlich geht? Ja, das haben wir bei den Grenzwerten. Der wird 1 werden. Stellen Sie sich vor, 1000 durch 1000 und 1,

eine Million durch eine Million und 1, das wird 1 werden. Dieses hier wird 1 werden. Wunderbar. Wenn ich lange warte, wird meine Bevölkerungszahl M werden. Genau wie wir es uns schon überlegt haben. Und man kann sich auch noch überlegen, dass dieser Bruch hier niemals 1 wird. Da steht ja immer etwas durch etwas mehr. Das wird niemals

1 werden. Das hier ist immer unter 1. Also wir kommen nicht über diese Maximalzahl M. Wir bleiben immer unterhalb der Maximalzahl M. Wobei, Fußnote nicht vergessen, wobei ich ja hier noch ganz schwer angenommen habe. Okay, ich gucke mir auch nur solche Zahlen an. Eigentlich habe ich jetzt einen kleinen Zirkelschluss

eingebaut. Eigentlich müsste man auch noch gucken, was passiert denn, wenn diese Zahl X tatsächlich gleich M und größer als M ist. Will ich das aus Zeitgründen nicht tun. Wir sehen, was passieren muss. Das ist die logistische Differenzialgleichung.