Zum Ausklang folgende Differentialgleichung. Ich hätte gerne eine Funktion, deren Ableitung gleich 1 plus y², plus in der Mitte, mal x hoch 3 ist. Und die Anfangsbedingung soll sein, meine Funktion soll zur x-Koordinate 3 den Wert 2 haben.

Das müssten Sie lösen können. Ja, die ist nicht linear, y², aber sie hat trennbare Variablen. Das mit Schema F, trennbare Variablen lösen.

Ich mache das jetzt mal auf die Ingenieur-mäßig händewedelnde Art. y-Strich ist dy nach dx, 1 plus y², x hoch 3. Sie bringen das dx auf die eine Seite und alles mit y auf die andere Seite.

Und haben dy durch 1 plus y² ist gleich x hoch 3 dx. In Anführungszeichen müsste ich das setzen, weil ich ja ganz dreist mit den Differentialen rechne.

Das kann man begründen, kostet aber ein paar Semester. Und jetzt integriert man beide Seiten. Ich muss noch einmal ansagen, eine Stammfunktion zu 1 plus y² ist der Argus Tangens. Irgendwann erinnert man sich an sowas, aber den haben Sie notfalls in der Tabelle oder in Wolfram Alpha.

Ingenieur-mäßig geht das so weiter, dass man beide Seiten integriert. Vom gegebenen Startwert bis zum Ende. Mein Startwert war y ist 2, x ist gleich 3, so habe ich angefangen.

x hoch 3 dx dy durch 1 plus y². Und der Endwert ist irgendwo ein Punkt auf meiner Kurve. Ich habe hier x1, y1.

Da steht nachher die Lösung drin, dieses y1 hängt von dem x1 ab. Das wird meine Lösung sein. Das ist meine, vielleicht am Anfang etwas aufwendige Art, das hinzuschreiben, weil ich dann sofort die Integrationskonstanten richtig habe. Die andere Art ist, dass Sie links und rechts eine Stammfunktion suchen, aber dann nicht vergessen, dass Sie eine Konstante noch dazuschreiben müssen.

Argus Tangens plus eine Konstante ist gleich x hoch 4 viertel. Das geht auch. Das hier ist eine normale private Art, dass ich ein bestimmtes Integral habe, aber bei einem bestimmten Integral ist diese Integrationskonstante weg. So, auf der Seite steht, das habe ich ja gesagt, Argus Tangens von 2, ich schreibe noch das y, die Zeit muss sein, von y von 2 bis y1.

Und auf der Seite hier steht x hoch 4 viertel von 3 bis x1. Das hier ist also der Argus Tangens von y1 minus der Argus Tangens von 2.

Und hier steht x1 hoch 4 viertel minus 3 hoch 4, 3 hoch 4, 3 hoch 4, 81, 9 mal 9. Minus 81 viertel, das lösen wir auf. Der Argus Tangens y1, nach dem Auflösen gleich, gleich, gleich, gleich, gleich.

Der Argus Tangens y1 ist gleich, den rüberbringen. Der Argus Tangens von 2 plus x hoch 4 durch 4 minus 81 durch 4. Jetzt steht da ungeschickterweise der Argus Tangens von y1.

Ich hätte gerne eine Gleichung für y1. Beide Seiten Tangens anwenden, dann wird aus dem Argus Tangens das, was drinnen steht. Und hier brauche ich also den Tangens vom Argus Tangens von 2 plus x1 hoch 4 viertel minus 81 viertel.

Das wäre meine Lösung. Hier kann ich jetzt x einsetzen, was auch immer ich will und kriege y raus. Ich kann gerade einmal uns überzeugen, dass das hinhaut.

Wenn ich x gleich 3 einsetze, x gleich 3, 81 viertel, minus 81 viertel, das hier hinten fällt weg. Und dann steht der Tangens vom Argus Tangens 2 macht 2, wie es sein muss, Anfangsbedingung erfüllt. Wenn Sie es anders rechnen mit Stammfunktionen, wie gesagt, hier nicht vergessen, dann steht der Argus Tangens plus Konstante ist gleich x hoch 4 viertel.