Jetzt noch was abstrakteres, nochmal ein Problemfall zum angucken, nämlich folgendes, die zweite Ableitung meiner gesuchten Funktion y, minus 6 mal die gesuchte Funktion y plus, abgeleitet, plus 9 mal die gesuchte Funktion y soll 0 sein.

Eine Neufenzagleichung, gewöhnlich, zweite Ordnung, homogen, denn hier steht nichts ohne y, y' und y' und konstante Koeffizienten. Der Ansatz wird also wie üblich sein, exponential Funktion, rechnen Sie das mal durch und wundern

Sie sich, was wird passieren mit diesem Ansatz. Also ich setze ein und finde A mal, hier vorne muss ich 2 mal ableiten, es kommt

2 mal der Faktor b raus, b², e hoch bx, minus 6 mal, einmal ableiten, einmal kommt der Faktor b da raus und hier bleibt die Funktion so wie sie war, 9 mal a, e hoch bx, e hoch bx ist nicht 0, ich teile beide Seiten durch e hoch bx, habe das, 0 durch

e hoch bx bleibt 0, was steht denn hier auf der Seite, da steht A mal, A kann ich ausklammern, A mal b², minus 6 b plus 9, ja sieht so aus, A ausgeklammert, also weiß ich,

A ist gleich 0, wenn das hier gleich 0 sein soll, A ist gleich 0, was wieder langweilig ist, gucken wir uns nicht weiter an, wenn A gleich 0 ist, heißt das ja meine Funktion ist die ganze Zeit 0, zum Schluss, hatte ich schon gesagt, zum Schluss lässt man dieses A einfach weg, was soll ich das die ganze Zeit mitschlüren, wenn ich es da

sowieso wieder raus streiche, oder b², minus 6 b plus 9 ist gleich 0, naja b², minus 6 b plus 9, quadratische Gleichung für b, ähnlich hatten wir das ja im Seminar,

nur das Problem ist, dass jetzt hier diese quadratische Gleichung ein etwas überraschendes Resultat hat, b ist gleich, minus 6 mal minus eins halbe, 3 plus minus, Wurzel, den quadrieren, 9, den abziehen, minus 9, aha, b ist gleich 3, diese quadratische

Gleichung hat nur eine Lösung, eine doppelte Lösung, dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle, warum kann mich das in Verdrückung bringen, was ist das ärgerliche, dass ich jetzt nur eine Lösung rauskriege für das b, eben im Seminar hatten wir zwei bs, die

wir dann mischen konnten, das ist dumm, wir haben jetzt nur eins, wir können nicht mischen, also wenn ich jetzt hier sowas versuche mit allgemeiner Lösung, allgemeine natürlich, allgemeine Lösung von dieser Differenzial Gleichung, y und x kriege

ich dann, ja, irgendeine Konstante mal e hoch 3 mal x, wenn ich hier zwei rausgekriegt hätte, zwei verschiedene Lösungen rausgekriegt hätte, hätte ich hier noch eine zweite dahinter gehängt mit e hoch so und so viel mal x, aber Sie sehen, das ist natürlich schwachsinnig, diese beiden a's sind nicht unabhängig voneinander, ich kriege keine

neuen Lösungen mit dieser zweiten Sorte a, das ist der Ärger, wenn hier nur eine Lösung rauskommt, statt zwei, das ist ein untypischer Fall, typischerweise werden Sie natürlich hier zwei verschiedene Lösungen haben und die Welt ist in Ordnung, das heißt, wenn man so echte physikalische Systeme betrachtet, wird das hier typischerweise

nicht passieren, es sei denn, es gibt irgendein Naturgesetz, was genau da die Null erzwingt oder es gibt irgendeine Klausuraufgabe, die genau da die Null erzwingt, aber ansonsten passiert das eigentlich nicht, nichtsdestotrotz, also das ist die Stecknadel im Heuhaufen, was mache ich, wenn das passiert? Ich brauche

hier irgendwie noch eine andere Lösung, nicht e hoch 3x, genau Sie haben es wieder gefunden, der Trick ist noch ein x dazu zu schreiben, dann geht's, in dieser Situation absurderweise kriege ich eine zweite Lösung, indem ich ein x zu der ersten dazu schreibe und dann klappt es wieder, dann kann ich

wieder meine Anfangsbedingungen erfüllen, wie gesagt, das ist ein Ausnahmefall, dass Sie genau eine Lösung haben und nicht zwei, bei dieser quadratischen Gleichung ist atypisch, wenn das auftritt, kriege ich eine zweite Lösung geschenkt, indem ich die erste mit x multipliziere, was man damit lernt, ist, wenn ich sage, diese Sorte an Gleichungen hat immer eine

Exponentialfunktion an Lösung, wir sehen, ah, nee, es geflunkert, manchmal eben nicht, manchmal kriegen Sie auch das mit dem x davor, in diesem Spezialfall, man kann das ausrechnen, dass das jetzt stimmt, lohnt sich nicht,

das einmal durchzurechnen, denke ich, das sieht man schnell, dass das dann tatsächlich eine Lösung ist, der, ich bin immer gegen Rezepte, ich sollte erzählen, warum das so ist, dieser Ausdruck hier, y 2 Strich minus 6y Strich plus 9y, y 2 Strich minus 6y Strich plus 9y,

richtig, dieser Ausdruck ist eigentlich Folgendes, ableiten minus 3 mal ableiten minus 3 mal y, ich weiß nicht, ob Sie das ganz fürchterlich empfinden, wenn ich sowas dann aufschreibe, hier ist gemeint, y ableiten und 3y

abziehen und dann von dem Ausdruck, der entsteht, dasselbe machen wir machen, den Ausdruck, der entsteht, ableiten und 3 abziehen, das weiß man nun, dass man den so umschreiben kann und wenn man jetzt hier x einsetzt, noch x mal e hoch x und so weiter, sieht man, dass hier wieder eine Exponentialfunktion rauskommt, das wird dann später die offizielle Begründung, warum das so

geht, mit einer weiteren Potenz an x hier, im Endeffekt merkt man sich den Trick, mache ich genauso, im Endeffekt merkt man sich den Trick, wenn Sie hier nur eine Lösung haben, schreiben Sie noch ein x dazu, dann haben Sie noch eine zweite.