Im Skript kamen ja Drehungen vor, insbesondere Drehungen um 90° um den Ursprung, ganz billig. Jetzt möchte ich gerne mal eine Drehung um einen Punkt, der nicht der Ursprung ist. Wie kann ich das mit Vektoren hinschreiben? Also ich habe hier wieder die zweidimensionale Angelegenheit.

Und jetzt möchte ich eine Drehung haben, nicht um den Ursprung, sondern eine Drehung um den Punkt 3,4. Um diesen Punkt möchte ich drehen, das mit Vektoren hinschreiben. Ich habe eine Matrix für Drehungen um den Ursprung, jetzt möchte ich aber um den Punkt drehen.

Also das wäre der Job, um diesen Punkt drehen und zwar um plus 90°. Mit plus 90° meine ich 90° gegen den Uhrzeigersinn.

Mal probieren das mit Vektoren und Matrizen hinzuschreiben. Mal dass ich sie erstmal ein bisschen selber denke. Also ich brauche irgendwie eine rechnerische Operation, die sich jeden beliebigen Ortsvektor vorknüpft

und dann ausrechnet, was passiert, wenn ich diesen Punkt, der zu dem Ortsvektor gehört, um den Punkt um 90° drehe. Also das jetzt um 90° drehen, da oben müsste das Ergebnis sein. Eine Rechenoperation für Ortsvektoren, die diesen Ortsvektor zu dem Ortsvektor macht.

Oder die, nicht oder, sondern und, die diesen Ortsvektor, 90° drehen, zu dem Ortsvektor macht. Und so weiter. Dann kann ich das ausrechnen mit Matrizen und Vektoren. Wir kennen das bisher nur für Drehungen um den Ursprung.

Wenn ich hier mein Häuschen drehen will, um den Punkt, wenn das Häuschen hier unten wäre und ich wollte es um den Ursprung drehen, dann könnte ich meine Matrix anwenden, die ich kenne. Die Rotationsmatrix. Das wird funktionieren. Jetzt steht das Häuschen aber blöderweise nicht da unten und ich möchte es nicht um den Ursprung drehen,

sondern ich möchte es um den Punkt da oben drehen. Sehen Sie irgendeine Möglichkeit, wie man sich helfen kann. Dann haben wir alles beisammen. Also im ersten Schritt wird man die ganze Ebene um 3, 4 nach links unten schieben. Also minus 3, minus 4 als Verschiebungsvektor.

Alles nach unten schieben, sodass jetzt das Häuschen zum Beispiel hier irgendwo zu liegen kommt. Dann drehe ich es um den Ursprung. Dann liegt es vielleicht da. Und dann schiebe ich es wieder zurück um 3 nach rechts, 4 nach oben. Und dann wird es hier liegen. Also es sind drei Schritte nötig, die aber alle drei keine große Kunst mehr sind.

So wird das aussehen. Also erster Schritt, diese Verschiebung. Erstens Doppelpunkt, Verschiebung um den Vektor minus 3, minus 4.

Zweitens ist eine Drehung um den Ursprung. Ich schreibe mal Drehung um O. Und dann geht es wieder zurück. Dritter Schritt, eine Verschiebung um 3 nach rechts, 4 nach oben.

Dritter Schritt, Verschiebung um den Vektor 3, 4. Probieren Sie das tatsächlich mal hinzuschreiben. Wenn ich mein Originalvektor habe bei x, y, der Ortsvektor dieses Punktes, so quer durch den Daten, wenn der Ortsvektor des Punktes da x, y ist,

was muss ich diesem x, y antun, damit ich das neue, nennen wir es x-strich-y-strich, rauskriege? Wie muss ich da jetzt mit Matrizen und Vektoren arbeiten, um das hinzukriegen? Diese drei Schritte, erst verschieben um minus 3, minus 4,

dann drehen um den Ursprung, können wir, mit einer Matrix, und dann wieder zurückschieben. Jetzt schreibe ich das mal als Rechenvorschrift hin. Also, gegeben, ein Ortsvektor eines Punktes, x, y, damit starte ich.

Jetzt möchte ich den verschieben, diesen Punkt. Ein Punkt verschieben, das heißt, dass ich den Ortsvektor um den Verschiebungsvektor ändere. Sie nehmen den Ortsvektor und addieren den Verschiebungsvektor drauf.

Das ist die Verschiebung. Und mein Verschiebungsvektor ist minus der Vektor 3, 4. Das hätte ich hier vielleicht sofort so schreiben sollen, das ist schöner. Minus 3, 4, nicht minus 3, minus 4, sondern minus der Vektor 3, 4 wäre schöner gewesen. Also, die werden addiert, die Vektoren zum Verschieben. Minus den Vektor 3, 4.

Das ist die Verschiebung. Und nun habe ich einen Vektor, den ich um 90 Grad um den Ursprung drehen will. Ich bin hier unten mit meinem Ortsvektor. Und diesen Vektor möchte ich um 90 Grad um den Ursprung drehen. Das wissen wir, dass das mit einer Matrix geht. Und jetzt Vorsicht, das habe ich eben in einigen Stellen falsch gesehen.

Das ist ja ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor muss auf der rechten Seite einer Matrix stehen. Natürlich einer 2 x 2 Matrix. So muss das aussehen, nicht auf der linken Seite. Sonst können Sie es nicht rechnen. Eine 2 x 2 Matrix mal einen Vektor mit zwei Zeilen und einer Spalte.

So funktioniert das. Andersherum funktioniert es nicht. Andersherum bräuchten Sie auf der linken Seite einen Zeilenvektor. Und jetzt brauchen wir die Matrix. Eine Drehungsmatrix. 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn. Um den Ursprung. Sie können die Formelsammlung aufschlagen. Sind da was mit Sinus und Kosinus? Das ist aber echt nicht nötig.

Also überlegen Sie sich erstens, was wird aus dem X-Einheitsvektor? Was passiert mit dem, wenn Sie den um 90 Grad drehen? Der X-Einheitsvektor wird durch die Drehung, durch die Drehung wird er zum Y-Einheitsvektor.

Und das sagt mir, die Matrix muss mit 0,1 losgehen. Wenn ich diese Matrix mit 1,0 multipliziere, kriege ich die erste Spalte raus. Und ich weiß jetzt, die erste Spalte muss 0,1 sein, der Y-Einheitsvektor. Genau dasselbe Spiel macht man mit Y. Was passiert, wenn ich die Matrix mit 0,1,

dem Y-Einheitsvektor multipliziere? Dann muss das rauskommen. Was passiert, wenn ich den um 90 Grad drehe? Und was kriegen Sie, wenn Sie den Y-Einheitsvektor um 90 Grad drehen? Richtig. 1 nach links und 0 nach oben und minus 1,0.

Hier muss also stehen minus 1,0. Und Sie haben sich nicht darum zu kümmern, was hier Sinus, Kosinus von 90 Grad sind. Das geht auch so. Das ist die Drehung um 90 Grad. Und den Ursprung? Diese Art Matrix zu bauen ist vielleicht ein bisschen komisch.

Der Gedanke ist folgender. Wenn Sie nicht wissen über Ihre Matrix A, B, C, D, aber Sie wissen, was diese Matrix mit dem Einheitsvektor in X-Richtung macht. Wenn Sie es aus A mal 1 plus B mal 0, oben steht A. C mal 1 plus D mal 0, unten steht C. Wenn Sie wissen, was Ihre Matrix mit dem Einheitsvektor in X-Richtung macht,

wissen Sie die erste Spalte. Das geht natürlich nur mit dem Einheitsvektor in X-Richtung, nicht mit irgendeinem X-beliebigen Vektor. Analog geht das, wenn Sie den Einheitsvektor in Y-Richtung haben. Wenn Sie wissen, was die Matrix mit D macht, A mal 0 plus B mal 1, oben steht B. C mal 0 plus D mal 1, unten steht D.

Wenn Sie wissen, was die Matrix mit dem Y-Einheitsvektor macht, haben Sie sofort die zweite Spalte. Das gilt aber nur für diese Einheitsvektoren in X-Richtung, und im dreidimensionalen Z-Richtung und analog weiter, nicht für irgendwelche anderen Vektoren. Da muss man dann doch ein bisschen rechnen. Aber wenn Sie diese Ergebnisse gegeben haben,

ist die Matrix geschenkt. Das ist der erste Schritt und der zweite Schritt. Der erste Schritt war das Verschieben hin zum Ursprung. Der zweite Schritt war das Drehen um den Ursprung. Und jetzt kommt der dritte Schritt, es wieder zurückzuschieben,

um 3, 4, also einfach 3, 4 wieder drauf zu addieren. Wenn ich den Vektor hier bei der Drehung rausgekriegt habe, addiere ich jetzt 3, 4 drauf und kriege den Ortsvektor des endgültigen Ergebnisses. Auf jeden Vektor wieder 3, 4 addieren. Was heißt wieder? Auf jeden Vektor 3, 4 addieren.

Dieses Matrixprodukt wird ja zuerst ausgeführt. Wir können einfach hier plus 3, 4 dahinter schreiben. Und dann wird der Vektor da hinten addiert. Also auch hier jetzt Punktrechnung vor Strichrechnung, wie gehabt. Das wäre dann der dritte Schritt.

Und was da rauskommt, ist der Ortsvektor für meinen Punkt, der um 3, 4 um 90 Grad gedreht ist. Das können wir jetzt noch ein bisschen hübscher schreiben, kürzer schreiben.

Schreiben Sie das mal nicht ganz so aufwändig. Versuchen Sie eine Art zu finden, das mit einer Matrix und einem Vektor zu schreiben, die nicht ganz so aufwändig aussieht. Um das ein bisschen hübscher zu machen. Wenn Sie diesen Ausdruck hier sehen, den ersten hier, Matrix mal Differenz zweier Vektoren,

rein umformtechnisch Matrix mal Differenz zweier Vektoren, was können Sie da machen? Also den ersten Mal stehen lassen. Diese Matrix 0, minus 1, 1, 0, mal XY. In diesem Fall könnte man das ausrechnen. Ich lasse es jetzt mal stehen, dann sieht man gleich das allgemeine Prinzip besser.

Minus, ich bin mal vorsichtig, ich schraube es mal in einzelne Schritte hin. 0, minus 1, 1, 0, 3, 4 als Vektor dahinter. Das hier wird 0, mal 3, minus 1, mal 4. Da oben steht also minus 4. 1, mal 3, plus 0, mal 4.

Unten steht 3. Und dann habe ich insgesamt 0, minus 1, 1, 0, mal XY. Minus, minus 4, 3, plus 3, 4.

Jetzt kann ich die beiden hinten noch zusammenfassen. Also diese Matrix 0, minus 1, 1, 0, XY. Plus, welcher Vektor wird das? Oben steht minus, minus 4. 4, plus 3, 7.

Und unten steht minus 3, plus 4, macht 1. Was man daraus lernt, ist folgendes. Offensichtlich geht das mit jedem Punkt, um den ich drehen will. Ob ich nur um den 3, 4 drehen will, oder um Pi Wurzel 2 drehen will, oder um minus 1000 plus 500 drehen will.

Egal um welchen Punkt ich drehen will, das hier wird funktionieren. Sie können das Ergebnis schreiben, den Ortsvektor des Ergebnisses schreiben, als die Drehungsmatrix, die wir schon kennen. Die Drehungsmatrix um den Ursprung, mal den Original Ortsvektor, plus einen Versatz.

Dieser Versatz entsteht ziemlich komisch aus der Lage des Drehungsmittelpunktes, aber auf jeden Fall lässt sich das hinschreiben. Das heißt, das hier wäre die allgemeine Art, wie man Drehungen hinschreiben kann. Eine Drehungsmatrix plus eine Verschiebung ist die allgemeine Drehung.

Und mit etwas List und Tücke können Sie ausrechnen, was diese Verschiebung ist. Ich habe ja vorgeführt, wo sie herkommt. Erst zum Ursprung hinschieben, dann wieder zurückschieben. Man rechnet ein bisschen hin und her und sieht, dass das ganze Verschiebe sich in einem einzigen Vektor hier kondensieren lässt.

Diese Form hier, Fußnote, nichts zu merken. Diese Form hier, eine Matrix mal ein Vektor plus ein Verschiebungsvektor nennt sich affine Abbildung. Wenn Sie nur das haben, Matrix mal Vektor nennt sich das Linearabbildung und dieses mit der Verschiebung da zusammen. Affine Abbildungen.

Die Drehungen um beliebige Mittelpunkte sind von diesem Typ. Und genauso kriegt man dann auch Spiegelungen um beliebige Achsen und ähnliche Geschichten hin. Skalierungen aus beliebigen Punkten heraus, nicht nur aus dem Mittelpunkt heraus. All das können Sie als Affine Abbildung schreiben.

In dieser Form Matrix mal Vektor plus ein Verschiebungsvektor. Wie gesagt, nur eine Fußnote. Spannend finde ich, wie man hier mehrere geometrische Transformationen miteinander verheiratet. Erst verschieben, dann drehen und dann verschieben.