Gegeben, eine Gerade, am zweidimensionalen, möchte ich gerne wissen, was der Abstand dieser Geraden vom Ursprung ist. Das ist die kürzeste Entfernung von einem beliebigen Punkt auf der Geraden zum Ursprung.

Offensichtlich muss es hier einen rechten Winkel geben, das gucken wir uns gleich an. Da kommen wir auf Skalarprodukt. Sie können es aber auch schon ganz anders ausrechnen, was dieser kürzeste Abstand ist, mit Hilfe von Ableitungen. Ich möchte eine Gerade vorgeben, das geht so machen sie mal selber.

Die folgende Gerade y ist gleich minus 3x plus 2 in der schuhmäßigen Form. Welchen Abstand hat diese Gerade zum Ursprung?

Und ein Trick wäre, und man sieht nachher, der ist ein bisschen aufwendig, aber das wäre ein Trick, mit dem es schon geht, dass sie diesen Abstand minimieren,

wie wir das letztes Semester hatten, mit Ableitung, lokales Minimum. Versuchen sie diesen Abstand zu minimieren. Wo werden sie landen? Offensichtlich hier. Rechnen sie das mal aus, dann haben wir gleich eine Wiederholung für Ableitungen.

Das muss ich nun mal besser erzählen, irgendwo ist meine Gerade. Für jedes x können sie nachgucken, nehmen sie das x, für jedes x können sie nachgucken und ausrechnen, was der Punkt für dieses x auf der Geraden,

was der Punkt für den Abstand vom Ursprung hat. Oder nehmen sie das x, das x an dieser Stelle, nehmen wir das mal x1, x2, dann können sie diesen Abstand ausrechnen. Also was mich interessiert, ist der Abstand als Funktion von x.

Gegeben mein x auf der x-Achse, gucke ich nach, welcher Punkt dazu gehört, auf der Geraden, möchte dann den Abstand ausrechnen. Das ist ein bisschen viel hier, nehme ich den mal weg. Sehr schön. Gegeben das x, den Punkt auf der Geraden nehmen

und dann den Abstand dieses Punkte auf der Geraden vom Ursprung. Formelmäßig angeben.

Die Hälfte hat jetzt schon gemerkt, hier ist Pythagoras mal wieder angesagt. Ich gehe um x nach rechts und ich gehe um y nach oben oder hin nach unten. Möchte die Querverbindung wissen, das ist doch wieder Pythagoras. Hier steht, das ist die Wurzel aus x² plus y².

Aber das y, was zu dem x gehört, habe ich da oben ja schon. Minus 3x plus 2 ins Quadrat. Das wäre der Abstand für gegebenes x. Bei gegebenem x gehe ich zu meinem y rauf. Das heißt x nach rechts minus 3x plus 2 nach oben. Die Querverbindung macht dann die Wurzel der Summe der Quadrate nach Pythagoras.

Dieses Ding soll jetzt minimal werden. Lokales Minimum. Offensichtlich, wenn ich irgendwo in der Ecke bin, ein bisschen raufgehen, ein bisschen runtergehen. Das hier muss das lokale Minimum sein in der Gegend.

Besonders gibt es ein lokales Minimum. Ich suche jetzt ganz dreist einfach eine Stelle, an der die Ableitung dieses Abstands nach x null wird. Wie wir letztes Semester lokale Extrema gesucht haben. Das muss ja mindestens gelten.

Notwendig ist, dass die Ableitung von dieser Funktion, das ist jetzt sehr geschickt, das die D heißt bei mir. Vielleicht wäre es doch besser sie R zu nennen, die ich gerade gesehen habe. Die Funktion namens D möchte ich ableiten nach x. Das sieht ein bisschen fürchterlich aus.

Entschuldigung, mit dem doppelten D. So, diese Wurzel ableiten, wie kriegen sie diese Wurzel abgeleitet nach x? Hier steht eine Funktion von monströsen anderen Funktionen.

Die Wurzel ist die äußere Funktion. Also schreit das ganz laut Kettenregel. Ich sollte vielleicht noch sagen, null soll sein. Ich fange an mit der Kettenregel. Also einmal die äußere Funktion ableiten. Das ist die Wurzel. Das macht eins durch zweimal die Wurzel von dem Kram, der da drinnen steht. Sehen wir gleich, lohnt sich nicht, dass ich hinschreibe, was da drinnen steht.

Mal jetzt die innere Ableitung. Was in der Wurzel steht ableiten. 2x plus und jetzt kommt schon wieder die Kettenregel. Also erstmal die äußere Funktion ableiten. Zweimal, was da drinnen steht, sowieso Quadrat ableiten. Das ist zweimal sowieso.

2x minus 3x plus 2. Mal und jetzt kommt die innere Ableitung. Minus 3x plus 2 nach x ableiten macht minus 3. Und noch eine Klammer zu. Dann sind wir glücklich. Null muss sein, gleich diesem Ausdruck. Sonst habe ich keine Chance auf ein lokales Minimum.

Weit ist auch ein lokales Maximum. Wird es nicht sein. Aber für ein lokales Minimum muss das gelten. Sonst habe ich gar keine Chance. Was lesen Sie daraus nun ab? Hier steht ein Produkt. Eins durch zweimal die Wurzel. Mal irgendeinen anderen Krempel.

Und das soll Null sein. Das heißt, damit das funktioniert, muss mindestens einer dieser beiden eins durch zweimal die Wurzel oder der da hinten Null werden. Eins durch irgendwas wird aber niemals Null. Der Kehrwert von irgendwas wird zwar beliebig klein, wenn ich durch große oder sehr kleine Zahlen, sehr negative Zahlen teile.

Es wird aber niemals Null. Hier vorne steht niemals Null. Also muss das hier hinten Null sein. Das ist jetzt eine schöne Gleichung. Und Sie sehen, weshalb ich gar nicht reingeschrieben habe, was unter der Wurzel steht, lohnt sich gar nicht. Der erste Term ist völlig egal, weil er niemals Null werden kann.

Also was habe ich gelernt? Der hintere Term ist Null. Null ist also 2x. 2 mal minus 3 sind minus 6. Minus 6 mal minus 3x plus 2. Habe ich das richtig gemacht? 2 mal minus 3 gibt die minus 6.

Den übertrage ich. Dann bin ich hier bei 2x plus. 6 mal 3 sind 18x. 6 mal 2 sind 12. Minus 12. Und dann haben wir 20x minus 12.

Also ist x gleich 12.20. Und dann können wir noch kürzen. Durch 4. Beide durch 4. Dann steht da 3 fünftel. Was ja nicht total unplausibel ist.

Also wir finden nur eine Stelle mit horizontaler Tangente. Nämlich x gleich 3 fünftel. Diese Funktion hier explodiert, wenn x gegen unendlich geht. x quadrat Wurzel. Wenn x gegen unendlich geht, explodiert diese Funktion. Wenn x gegen minus unendlich geht, explodiert diese Funktion.

Beide Richtungen ins Unendliche nach oben. Hier habe ich eine Stelle mit horizontaler Tangente. Ich weiß von meiner Funktion D. Sie kommt von hier. Sie geht nach da. Und sie hat genau eine Stelle mit horizontaler Tangente. Das ist nicht nur ein lokales Minimum. Das ist sogar das globale Minimum.

Bei 3 fünftel sitzt der Punkt, der der Ursprung am nächsten ist. Jetzt können wir den Abstand ausrechnen. Wenn wir x haben, wissen wir das y. Minus 3 mal x plus 2.

Dann ist y also minus 9. 3 mal den. Minus 9 fünftel plus 2. 2 sind 10 fünftel. Minus 9 fünftel plus 2. Also 1 fünftel. Minus 9 fünftel plus 10 fünftel. y ist gleich 1 fünftel.

Dann kriegen wir noch den Abstand. Der Dagoise hatten wir eben schon. Das ist jetzt nicht nur der Abstand dieses einen Punkt vom Ursprung. Sondern der Abstand der Gerade vom Ursprung. Die kürzestmögliche Verbindung. Wird also sein Wurzel aus 3 fünftel ins Quadrat.

Plus 1 fünftel ins Quadrat. Muss man das auf Ausbruchstabieren. 5 Quadrat kann ich rausziehen aus der Wurzel. 5 Quadrat raus, 5 Quadrat raus aus beiden Brüchen.

Man steht da oben. 3 Quadrat macht 9 plus 1. Von dem 1 Quadrat ist also Wurzel 10 fünftel. Wurzel 10 fünftel. Wenn das Pi mal Daumen schätzen, Wurzel 10 fünftel.

In welcher Größenordnung liegen wir? Wurzel 10 muss etwas mehr als 3 sein. Wichtig, weil 9 3 Quadrat ist. Wurzel 10 ist etwas mehr als 3. Etwas mehr als 3 fünftel. 0,6 und dann noch ein bisschen was dran. Vielleicht sogar 0,7 und noch ein bisschen was dran. Sieht mir gerade so nicht ganz unplassibel aus

nach den Zeichnungen, die ich eben gesehen habe. Das wäre eine ziemlich heftige Art das zu rechnen mit Ableitungen. Dass wir das nochmal wiederholt haben. Und mit Pythagoras. Das lustige ist, dass man das jetzt mit dem Skalarprodukt viel einfacher machen kann. Ich weiß ja schon von der Anschauung her,

dass diese direkte Verbindung senkrecht auf der Geraden stehen muss. Ich suche eine senkrechte, direkte Verbindung und habe gar nicht den ganzen Ärger hier mit Ableitungen und Minimieren. Ich gehe sofort zu dem richtigen Punkt. Das ist jetzt die alternative Lösung.

Bestimmen Sie den Abstand, indem Sie eine Gerade senkrecht zu der gegebenen Gerade bauen. Durch den Ursprung. Das ist meine gegebene Gerade.

Ich habe jetzt nicht so sauber gezeichnet. Egal wie. Sie rechnen es ja sowieso. Ich suche eine Gerade, die senkrecht dazu läuft und durch den Ursprung läuft. Oh, gelungen. Komisch. Eine Gerade senkrecht dazu und durch den Ursprung. Und dann bestimmen Sie diesen Schnittpunkt.

Und wenn Sie den Schnittpunkt haben, kriegen Sie raus, was der Abstand ist. Das muss ja der selbe Schnittpunkt sein wie eben. Also konstruieren Sie diese rote Gerade einfach mit den Methoden der Vektorechnung jetzt. Mit Hilfe des Skalarprodukts insbesondere. Und dann konstruieren Sie den Schnittpunkt. Dann geht das Ganze ohne diese Ableitung.

Was war die Ableitung der Wurzel? Muss man da nicht mehr wissen. Das geht dann einfach nur noch mit Vektoren. Ich würde mir wünschen, dass Sie diese Gerade hier nehmen, die gegeben war. Y ist gleich minus 3x plus 2.

Und die umformulieren in Vektorschreibweise. Das würde heißen, xy ist gleich ein Aufpunkt. Nehmen wir einfach den da oben. 0,2. Setzen Sie x gleich 0 ein, kriegen Sie 2 raus. Plus Lambda mal Richtungsvektor.

Irgend ein sinnvoller Richtungsvektor. Wenn Sie mit x 1 zur Seite gehen, geht diese Gerade 3 nach unten. Das heißt Steigung minus 3, die da vor dem x steht. Dann haben Sie sofort einen Richtungsvektor. 1 minus 3. Der taugt als Richtungsvektor. Momentan haben wir diese Gerade hier übersetzt in Vektoren.

Und jetzt suchen Sie eine Gerade, die senkrecht dazu läuft und durch den Ursprung läuft. Und dann bestimmen Sie noch den Schnittpunkt. Für die rote Gerade schraube ich mal in Rot. Tatsächlich für die rote Gerade brauche ich einen Richtungsvektor,

der senkrecht zu 1 minus 3 ist. Wenn Sie den, das ist doch wieder auf Schwarz, wenn Sie 1 minus 3 hinmalen, 1 nach rechts, 3 nach unten. Jetzt suchen Sie ein senkrecht dazu. Drehen Sie das doch einfach. Fällt mir gerade so am Durchgehen auf. 1 nach oben,

3 nach rechts. Das wird senkrecht auf dem stehen. 1 nach rechts, 3 nach unten. 1 nach oben, 3 nach rechts. Wird hinhauen. Also, was nehme ich sinnvollerweise? Ich nehme sinnvollerweise den Vektor 1 nach oben, also den, und 3 nach rechts, 3, 1.

Sie können leicht nachrechnen, dass das funktioniert. 1 minus 3 mal 3, 1 ist in der Tat 0. 1 mal 3 minus 3 mal 1 ist 0. Die beiden sind senkrecht aufeinander. Also der Trick ist, an Vektoren zu erzeugen, die senkrecht aufeinander stehen. Sie tauschen die Komponenten aus

und ändern ein Vorzeichen. Sehen Sie hier, 1 minus 3 geht zu 3, 1, der ist grantiert senkrecht. Wenn Sie sich nicht erinnern, malen Sie sich einen Dreieck und gucken Sie an, was passiert, wenn Sie das Dreieck um 90 Grad drehen. Okay, damit habe ich einen Richtungsvektor für die rote Gerade. Wollte ich in Rot schreiben.

Nämlich 3, 1. Hier schreibe ich so und so viel mal 3, 1. Sinnvollerweise nicht Lambda, sondern Mu, denn das wäre höchst komisch, wenn meine Meilsteine hier auf der roten Gerade dieselbe Bezifferung haben wie die auf der schwarzen Gerade. Und wir brauchen einen Aufpunkt, den gibt es geschenkt.

Das soll eine Ursprungsgrade sein. Dafür habe ich das jetzt sehr geschickt hingeschrieben. Ich brauche gar nichts dazuzuschreiben. Ich hätte jetzt noch 00 davor schreiben können. Wozu das davor schreiben? Macht ja nichts. Das ist die rote Gerade. Wenn Sie Mu gleich 0 einsetzen, kriegen Sie den Ursprung. Wenn Sie Mu gleich 1 einsetzen, naja, 3.

An Sie da oben irgendwo. Und ich suche jetzt den Schnittpunkt zwischen beiden. Und setze das also schlicht und ergreifend gleich. Dieses hier muss gleich dem sein. Der Schnittpunkt muss erfüllen, dass 02 plus Lambda mal 1 minus 3 gleich

Mu mal 3 eins ist. Mu mal 3 eins. Was im Endeffekt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Schreiben wir sie vielleicht mal aus. Also 0. Man muss ja nicht hinschreiben. Einmal Lambda steht hier oben bei X.

Einmal Lambda ist gleich 3 Mu. Und hier unten steht 2 minus 3 Lambda. 2 minus 3 Lambda ist gleich Mu. Überlegen, wie man das rechnet, ohne zu viel Ärger zu machen. Ich würde die erste in die zweite einsetzen.

1 in 2 einsetzen. Dann habe ich weniger Ärger. Setze einfach hier für das Lambda die erste Gleichung ein. Und finde 2 minus 3 mal 3 Mu ist gleich Mu. 2 minus 9 Mu ist gleich Mu. Also ist 2 gleich 10 Mu.

Also ist Mu gleich ein Fünftel. Nett, ich habe das ein Fünftel. Und damit kann ich sofort den Schnittpunkt ausrechnen. Eigentlich müsste ich jetzt gucken, dass das Mu wirklich das hier erfüllt. Dass es ein Lambda dazu gibt, das es erfüllt. Offensichtlich gibt es einen Schnittpunkt.

Das muss der sein. Da muss man nicht viel Gehirn schmalzen. Jetzt noch reinstecken. Mu gleich ein Fünftel wird der Parameter für den Schnittpunkt sein. Also ist der Schnittpunkt ein Fünftel mal 3, ein Fünftel mal 1. Also habe ich den Schnittpunkt

Schnittpunkt ein Fünftel mal ich sollte sagen der Ortsvektor des Schnittpunkts. Klar. ein Fünftel mal 3, 1. Also 3 Fünftel ein Fünftel, was mir doch sehr bekannt vorkommt. Damit rechnen Sie jetzt wieder den Abstand aus. Das ist ja dieselbe Rechnung wie eben.

Nur jetzt würde ich sagen, es ist der Betrag dieses Vektors. Wenn wir mit Vektoren unterwegs sind, würde ich jetzt hier sagen, der Abstand vom Ursprung der ist jetzt also der Betrag oder die Norm oder die Länge dieses Vektors.

3 Fünftel, ein Fünftel. Eine andere Schreibweise für das, was da eben stand. Die Wurzel aus 3 Fünftel ins Quadrat plus 1 Fünftel ins Quadrat. Mit dem bekannten Ergebnis. Das wäre die Art, wie man das mit Vektoren rechnen kann. Wie ich eben gesehen habe,

wäre eine Art, lustigerweise, nur eine Art, wie man das mit Vektoren rechnen kann. Es gibt eine noch raffiniertere Art, die ich gerade gesehen habe, auf die man tatsächlich auch drauf kommen kann. Aber das wäre hier schonmal tageslichttauglich, auf jeden Fall, das so zu lösen. Diese Lösung hier mit der Ableitung

ist ziemlich schräg. Kann man machen, ist aber nichts, was man jetzt noch machen sollte, nachdem man es einmal so gesehen hat. Man weiß sofort, dass diese direkte Verbindung senkrecht auf der Geraden landen muss. Denn wenn sie nicht senkrecht landet, kann ich sie immer noch kürzer machen. In dem ich ein Stückchen weiter gehe,

in die richtige Richtung. Sie muss senkrecht landen, und dann konstruiere ich sofort eine senkrechte Gerade und fertig. Ohne irgendwas abzuleiten. So sieht das aus.