Die zweite klassische Optimierungsaufgabe ist folgende. Stellen Sie sich vor, dass hier die Hälfte vom Koordinatensystem so was ist wie Strand und Meer. Hier ist das Meer und hier irgendwie der Strand. Wie sieht man, dass das Strand ist?

Schaufel im Sand, wie auch immer. Regenschirme sehr schön, ein Sonnenschirm. Vielfältiger Strand, Regenschirme. Und nun habe ich folgende Aufgabe. Hier auf der Y-Achse bei minus 100 Metern sitzt die Rettungsschwimmerin auf dem Aussichtsturm.

Und hier auf 200,50 Meter, da ist gerade jemand in Seenot.

Und die Frage ist, welchen Weg nimmt die Rettungsschwimmerin am besten? Der direkte Weg über den Strand laufen und dann schwimmen ist höchstwahrscheinlich ungeschickt,

weil man ja viel langsamer schwimmt, als man läuft. Der Weg, bei dem man erst hier direkt zum Ufer läuft und dann ins Wasser springt, der ist höchstwahrscheinlich auch nicht so effizient, wenn er deutlich weniger laufen würde, wenn man so läuft und dann ein Stückchen mehr schwimmt.

Hier stimmen Sie nur ein Stückchen mehr, aber Sie haben schon deutlich mehr gespart beim Laufen. Also die Annahme ist, es gibt zwischen diesen beiden Extremer den direkten Verbindung. So laufen und dann schwimmen. Und man läuft bis man senkrecht am Ufer daneben steht und schwimmt dann.

Zwischen diesen beiden extremen Möglichkeiten wird es wohl irgendwas Optimales geben. Es geht natürlich dann um die Optimierung der Zeit. Ich suche die Verbindung mit der kürzesten Dauer. Was ist die schnellste Verbindung von diesem Punkt zu dem Punkt,

wenn ich die Geschwindigkeit kenne, mit der man auf dem Strand läuft und die Geschwindigkeit kenne, mit der man durchs Wasser schwimmt? Gesucht ist die schnellste Verbindung. Jetzt versucht man irgendwelche Gleichungen aufzustellen, um die Zeit dann optimieren zu können.

Also stellen Sie eine Gleichung für die Zeit auf. Da wo die Rettungsschwimmerin ins Wasser springt, die Stelle nennen wir sinnvollerweise x, die Koordinate x.

Stellen Sie eine Gleichung für die Zeit auf. Wie hängt die Zeit von dieser Koordinate x ab? Und dann versucht man durch Ableiten nach dieser Koordinate festzustellen, was denn die optimale Lösung wäre.

Das muss ich vielleicht nochmal klar machen. Das x ist dann nachher die Variable, unter der ich mir angucke, wie denn sich die Zeit verändert. Ich verändere x, ich verändere die Stelle, an der ins Wasser gesprungen wird. Ich verändere dieses x und gucke, wann denn die Zeit minimal ist.

Wenn ich dieses x hier verändere, also das x ist nicht fest vorgegeben, sondern das ist im Gegenteil, das wird variabel gehalten. Diese Geschwindigkeiten, die kann man nachher fest vorgeben. Aber wenn ich da jetzt irgendetwas reinschraube, wie drei Kilometer pro Stunde oder so, wird das Ganze ja so hässlich, deshalb lasse ich einfach lieber die Geschwindigkeit da so stehen mit dem Symbol.

Wir gucken uns mal gerade Folgendes an. Wie lang ist diese Strecke hier unten? Wie lang ist die Strecke? Also wenn Sie gar nichts mehr wissen, immer Pythagoras, der wird garantiert benötigt werden. Mit Pythagoras können Sie sagen, wie lang diese Strecke ist, da unten.

Diese Strecke hier ist Wurzel aus eine Kathete ins Quadrat, 100 m² plus x². Das ist die andere Kathete. Diese Kathete hier hat die Länge x, das sind so vier Meter.

Diese Kathete hat die Länge 100 m und Pythagoras sagt, okay, das ist die Strecke. Wie lang wird also die Zeit sein, die man für diese Strecke hier braucht? Strecke durch Geschwindigkeit. Diese Strecke, wie viele Meter soll zurückgelegt werden? 100 m² plus x², so viele Meter sollen zurückgelegt werden.

Ich muss meine Illustration ein bisschen bereinigen. Durch die Geschwindigkeit. Wenn Sie sich überhaupt nicht mehr erinnern, wenn die Strecke doppelt so lang ist, muss die Zeit doppelt so lang werden. Die Strecke gehört oben hin. Wenn die Geschwindigkeit doppelt so groß ist, muss die Zeit halb so groß werden.

Die Geschwindigkeit gehört nach unten hin. So, das ist die Zeit für die erste Teilstrecke. Und die Zeit für die zweite Teilstrecke ist ja einfach entsprechend drauf addiert. Da habe ich nicht mehr die Geschwindigkeit auf dem Strand, sondern die Geschwindigkeit im Wasser. Und hier muss ich wieder mit Pythagoras arbeiten.

Die eine Seite ist 50 m² für das Quadrat dieser Seite. Und diese Seite ist 200 m minus x lang. Das hier war ein x. Dann ist das Stückchen hier 200 m minus x.

Also plus 200 m minus x². Das ist zu optimieren. Und Sie sehen, das hängt ganz nett einfach von x ab. Sie setzen hier ein, an welcher Stelle x man da ins Wasser springen soll.

Wie viele Meter vom Ursprung entfernt nach rechts. Und kriegen raus, wie lange das Ganze dann dauert. Um vom Rettungsturm zum Schwimmer in Not zu kommen. Und jetzt wäre der nächste Job einfach mal abzuleiten und zu gucken, wo es denn, wenn überhaupt, ein lokales Minimum geben kann.

Notwendig für lokales Minimum wäre, dass die Ableitung von der Zeit nach der x-Koordinate Null wird. Notwendig für lokales Minimum. Null ist gleich die Ableitung der Zeit nach der x-Koordinate.

Das sieht übrigens schräg aus. Was Sie die ganze Zeit in der Physik nochmal machen, ist x nach der Zeit ableiten. Hier leiten Sie mal die Zeit nach x ab. Warum nicht? Einheitsmäßig ist das vielleicht ein bisschen komisch. Sekunden pro Meter. Aber von der Bedeutung her. Ich suche eine Stelle, an der diese Funktion, die zeitabhängig von x, eine horizontale Tangente hat.

Das heißt genau das hier. Rechnen Sie das mal aus. Und gucken Sie, ob Sie dafür eine geometrische Bedeutung finden. Wie sind die Winkel zu wählen? Insbesondere. Das müsste man dann ablesen können. Dieses x wirklich ausrechnen und die Zeit wirklich ausrechnen.

Das werden eher unendliche Formeln. Aber man kann angeben, wie die Winkel sein müssen. Diesen Ausdruck ableiten. Hier steht eins durch eine Konstante mal irgendwas. Das bleibt eins durch eine Konstante. Eins durch v Strand. So, jetzt will ich die Wurzel ableiten.

Das ist eins durch zwei mal die Wurzel. Aus dem, was da vorher drin stand. 100 Quadrat Meter Quadrat plus x Quadrat. In der Wurzel steht aber noch eine Funktion drinnen. Ich brauche die Kettenregel. Dieses hier ist bisher die äußere Ableitung. Ich brauche jetzt noch die innere Ableitung.

100 Quadrat Meter Quadrat plus x Quadrat. Das ist die innere Ableitung. Das nach x ableiten. Die 100 Quadrat Meter Quadrat sind ja offensichtlich konstant. Wenn Sie die nach x ableiten, wird es Null. x Quadrat nach x ableiten gibt 2x. 2x, das ist die innere Ableitung. Hier können wir netterweise schon kürzen.

So, und derselbe jetzt hier hinten. Plus eins durch die Geschwindigkeit im Wasser. Mal die Wurzel ableiten. Eins durch zwei mal die Wurzel. Von der inneren Funktion. F Strich von G von x. Von der inneren Funktion. 150 Quadrat Meter Quadrat plus 200 Meter minus x Quadrat.

Das ist die äußere Ableitung. Mal, und jetzt kommt die innere Ableitung. Was hier innen steht nach x ableiten. Was wird das werden? Ich würde das innen drin so ableiten. Die 50 Quadrat Meter Quadrat abgeleitet.

Die werden Null werden. Jetzt muss ich das Quadrat aus 200 Meter minus x ableiten. Da kann ich jetzt nochmal die Kettenregel anwenden. Hier das Quadrat von irgendwas mit x ableiten. Nochmal die Kettenregel. Das ist 2 mal 200 Meter minus x. Irgendwas ins Quadrat ableiten ist 2 mal dieses Irgendwas.

Und jetzt kommt die innere Ableitung. Minus x ableiten nämlich. 200 Meter nach x ableiten Null. Minus x ableiten macht mal minus eins. Hier hinten muss noch mal minus eins. Alternative, ich glaube das hatten Sie eben vorgeschlagen. Alternative wäre hier auszumultifizieren, gibt dasselbe Ergebnis. Ich habe jetzt hier x mal Kettenregel hintereinander.

Egal wie Sie zu dem Ergebnis kommen, so oder so. Jetzt können wir ein bisschen zusammenfassen. Da steht also, das ist eins durch die Geschwindigkeit auf dem Strand. Mal x durch die Wurzel aus 100 Quadrat Meter Quadrat plus x Quadrat.

Minus eins durch die Geschwindigkeit im Wasser. Mal, sehr sparsam jetzt. 200 Meter minus x durch Wurzel auf 50 Quadrat Meter Quadrat plus 200 Meter minus x in Klammern ins Quadrat.

Hat noch hingepasst. So, und jetzt kann man plötzlich was mit Winkeln ablesen. x durch, das hier war ja mal die Länge der Hypotenuse.

x durch die Länge der Hypotenuse. Steht da. Soll ich das angucken. x durch die Länge der Hypotenuse. Was hat das mit diesem Winkel, nennen wir ihn Alpha. Was hat das mit diesem Winkel Alpha zu tun? x durch die Länge der Hypotenuse ist netterweise der Sinus.

Hier steht der Sinus von Alpha. Und dann ahnen Sie hoffentlich schon, was hier dann gleich stehen wird. Hier habe ich 200 Meter minus x durch die Länge der anderen Hypotenuse. 200 Meter minus x durch die Länge der anderen Hypotenuse.

Wenn Sie den Winkel hier einmalen und den Beta nennen, sehen Sie A. Das ist der Sinus von Beta. 200 Meter minus x durch die andere Hypotenuse ist der Sinus von Beta. Hinten steht der Sinus von Beta. Das hier ist der Sinus von Beta.

Und was ich nun lerne ist, wenn ich ein lokales Minimum haben will, dann ist das an Null ist gleich eins durch die Geschwindigkeit mal den Sinus. Minus eins durch die Geschwindigkeit mal den Sinus. Es muss also gelten, dass der Sinus von Alpha durch die Geschwindigkeit auf dem Strand

gleich dem Sinus von Beta durch die Geschwindigkeit im Wasser ist. Oder wenn Sie es noch anders umformen, als Verhältnis der Winkel durch den Sinus von Beta teilen. Den Sinus von einem Winkel durch den Sinus vom anderen Winkel ist das Verhältnis, mal die Geschwindigkeit auf dem Strand nehmen, das Verhältnis der Geschwindigkeiten.

Wenn Sie die schnellste Verbindung haben wollen, wählen Sie die Winkel so, diesen Winkel und den Winkel, Sie wählen die Winkel so, dass das Verhältnis der Sinusse der Winkel auch das Verhältnis der Geschwindigkeiten ist.

Das kennt man aus der Physik. An welcher Stelle haben Sie dieses Gesetz schon in der Physik gesehen? Das ist das altbekannte Brechungsgesetz. Wenn Sie Licht in verschieden dichten Materialien haben, Linse und Luft oder was ähnliches,

wie fliegt das Licht, wenn man es als geradlinige Bahn darstellt, mit diesem Gesetz? Es wählt lustigerweise die kürzeste Verbindung. Hier steht dann das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in dem einen Material zur Lichtgeschwindigkeit in dem anderen Material.

Lassen Sie mich gerade noch sagen, warum das jetzt ein Minimum ist. Das hatte ich am Anfang schon angedeutet, man kann es vielleicht noch hübscher machen. Man müsste sich überlegen, was passiert, wenn ich diese äußerste Lage nehme,

dass das garantiert länger wird, als wenn ich ein Stückchen weiter innen bin. Genauso kann man sich überlegen, wenn Sie hier die linkste Verbindung nehmen, die direkte Verbindung, dass wenn Sie ein Stückchen weiter nach rechts gehen, dass es dann nur kürzer werden kann. Wenn man sich das überlegt hat, das geht eigentlich relativ schnell,

haben wir jetzt keine Zeit zu, ist dann klar, das hier ist tatsächlich das Minimum. So muss man die Strecke wählen für die kürzeste Zeit.