19A.2 Beispiel für Regel von L'Hôpital
This is a modal window.
Das Video konnte nicht geladen werden, da entweder ein Server- oder Netzwerkfehler auftrat oder das Format nicht unterstützt wird.
Formale Metadaten
| Titel |
| |
| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 89 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/9973 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
| Erscheinungsjahr | ||
| Sprache | ||
| Produzent |
Inhaltliche Metadaten
| Fachgebiet | |
| Genre |
2
3
5
6
29
68
76
78
80
86
00:00
SinusfunktionStetigkeitQuadratQuotientAbleitung <Topologie>ZahlenbereichMittelungsverfahrenZahlFunktion <Mathematik>KonstanteKerndarstellungKosinusfunktionRechnenComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
00:01
Ich möchte gerne wissen, was passiert bei e hoch x minus e hoch 3 durch Sinus von x minus 3, wenn x gegen 3 geht. Habe ich da Divergenz, Konvergenz, Konvergenz gegen
00:24
welchen Grenzwert, wenn ... Sie sehen, was hier das Problem ist. Der Zähler geht gegen Null, der Nenner geht gegen Null. Deshalb ist das auf Anhieb ein bisschen unwägbar. Wenn der Zähler gegen irgendeine Zahl läuft und der Nenner vor
00:41
allen Dingen gegen eine Zahl läuft, die nicht Null ist, dann ist das Thema erledigt. Wenn da sowas steht wie x hoch 2 durch Sinus von x plus 4, dann geht der Nenner nicht gegen Null und ich kann tatsächlich Stetigkeit verwenden.
01:00
Es kommt einfach raus als Grenzwert 3 Quadrat durch Sinus 3 plus 4, Sinus 7. Das wäre einfach. Hier kann ich mich nicht so aus der Fähre ziehen. Der Sinus wird Null im Grenzwert und oben der Zähler wird auch Null. Das Ding hat also eine Chance zu konvergieren. Wenn der Zähler nicht Null würde,
01:21
hätten wir gar keine Chance zu konvergieren. Aber wenn der Zähler auch Null wird, haben wir eine Chance zu konvergieren. Und nun kann man sich überlegen, was wir jetzt denn werden. Das übliche Hilfsmittel dazu ist die Regel von L'Hôpital. L'Hôpital sagt,
01:44
wenn da sowas steht wie Null durch Null im Grenzwert, probieren wir einfach mal abzuleiten, oben und unten. Und wenn das hinhaut, ist netterweise der Quotient der Ableitungen der Grenzwert. Wenn Sie Ableiten, e hoch x Ableiten, gibt e hoch x. Das hier ist eine Konstante. Ableitend fliegt sie raus. Den Sinus
02:04
von x minus irgendwas Ableiten ist den Cosinus von x minus irgendwas. Und netterweise es haut hin, wenn ich 3 einsetze, steht da e hoch 3 durch Cosinus von Null. Cosinus von Null ist 1, also e hoch 3. L'Hôpital sagt, das hier ist e hoch 3. Jetzt soll ich
02:27
einmal gerade noch sagen, wieso das denn geht. Wieso kann ich plötzlich, statt dass ich Funktion durch Funktion rechne, Ableitung durch Ableitung rechne. Der Trick, der dahinter steckt, das hatte ich im Originalvideo etwas ausführlicher gemacht. Der Trick,
02:42
der dahinter steckt, ist folgender. Ich teile zwei Funktionen durcheinander, beide werden Null. Nehmen wir sowas, die eine Funktion, nennen wir sie F und dann die andere Funktion G bei Uppsala. Das ist schwierig, ich sollte die rausmalen. Ich
03:02
habe zwei Funktionen, Zähler und Nenner, die teile ich durcheinander. Beide werden Null, x Null. Und ich interessiere mich für F von x durch G von x an der Stelle x Null. Dann überlegt man sich Folgendes. Diese Funktion F, wie ändert die sich,
03:32
wenn ich nicht genau an x Null bin? Das ist doch schlicht und ergreifend x minus
03:42
x Null mal die Ableitung. Ich sollte hier ungefähr schreiben, das ist schlicht und ergreifend x minus x Null mal die Ableitung dieser Funktion an der Stelle x Null. An der Stelle x Null ist sie Null. Was passiert, wenn Sie ein Stückchen, das hier ist x minus x Null, was passiert, wenn Sie ein Stückchen zur Seite gehen? Diese Funktion
04:01
ist dann ungefähr dieses Steigungsdreieck. Sie können einfach aus dem Steigungsdreieck ablesen, was der Funktionswert sein soll. Die Steigung ist F Strich von x Null und unten das selbe. Hier steht ungefähr x minus x Null mal G Strich von x Null. Das kann ich kürzen und da bleibt F Strich durch G Strich an der Stelle x Null. Wenn das funktioniert
04:25
und alles hinreichend stetig ist und so weiter, kann ich statt eine Funktion durch eine andere Funktion rechnen Ableitung durch Ableitung. Wichtig ist, dass da vorher
04:42
nicht die Funktion nähern mit Hilfe von dem Steigungsdreieck. Sonst müsste ich ja anderswo, anderswo müsste ich ja hier noch diesen Offset einrechnen, dann wird das Ganze viel komplizierter. Das ist der Trick hinter der Regel von L'Hôpital. Plötzlich werden aus den Funktionen die Ableitungen, wenn nicht Null durch Null rechnen.