Zwischen der Logik und den Mengen gibt es einen sehr starken Zusammenhang. Das hatte ich eben in dem einen Seminar schon mal erzählt. Scheint mir so, als ob wir das insgesamt nochmal machen müssten. Wir haben die diversen Operatoren der Logik. Das und, das oder, wobei hier das inklusive oder gemeint ist.

Es ist okay, wenn beide Seiten wahr sind, nicht das exklusive oder. Wir haben das nicht. Die logische Verneinung. Wir haben die Folge. Und wir haben die logische Äquivalenz.

Äk, wie, wie. So, die logische Äquivalenz. Auf der Seite der Logik. Und all das hat Entsprechungen auf der Seite der Mengen. Soweit wir eben schon mal im Seminar gekommen. Übersichtshalber das logische und. Sie nehmen eine Menge, eine andere Menge und fragen, welche Elemente sind in der einen Menge und in der anderen Menge.

Es gibt zwangsläufig die Schnittmenge. Dem logischen und entspricht die Schnittmenge. Kann man sich dann auch gut merken. Das und, dieser Haken. Spade, wenn Sie wollen.

Und hier die Menge, dieses runde Messer für die Schnittmenge. Dem oder entspricht die Vereinigungsmenge. Wenn Sie sagen, alle die in A sind oder in B sind.

Dann habe ich die Vereinigungsmenge. Auch dann das runde Zeichen, hier der Cellis. Und hier dieser Topf für die Vereinigungsmenge. Vereinigungsmenge. Dem nicht entspricht die Komplementmenge. Hier steht ja nur ein Ding dahinter. In diesem Fall so eine logische Größe bei der Logik.

Und bei den Mengen, nicht zwei Sachen. Nicht ein links, eins, rechts, sondern nur eine Menge. Nur eine Menge. Von der einen Menge das Gegenteil. Alle die nicht in dieser Menge sind. Das ist das Komplement. Die Komplementwinkel.

Um das hinzuschreiben für das Komplement. Das hier wäre A, quer, das Komplement. Dazu braucht man eigentlich eine Obermenge. In Bezug auf welche Menge man das Komplement bildet. Wenn die Obermenge eine andere ist, wenn die so groß ist. Kriege ich natürlich ein anderes Komplement. Typischerweise ist klar, welche Menge man hat.

Wenn ich Zahlen habe, eine Menge von Zahlen. Dann ist das Komplement alle anderen Zahlen derselben Art. Reale Zahlen, natürliche Zahlen. Wenn ich eine geometrische Figur habe. Alle anderen Punkte derselben Art. Typischerweise ist klar, wie man das Komplement bilden muss. Was diese äußere gesamte Menge ist. Äußere ist schlecht gesagt, die gesamte Menge ist.

Nicht die äußere Menge. Die äußere Menge ist das Komplement selbst. Hier haben wir als Pendant zum Nicht das Komplement. Irgendeine Menge. Ich weiß nicht, wie ich das sinnvoll schreiben soll. Irgendeine Menge und darüber ein Querstrich. Das Komplement.

Die Folge ist ganz raffiniert. Wenn ich einen Punkt in einer Menge habe. Und frage mich, wie folgt denn daraus was? Es folgt, dass dieser Punkt in der Menge ist. Menge A, Menge B. Wenn Sie einen Punkt in A haben. Folgt daraus, dass dieser Punkt automatisch in B ist.

Wenn B eine Obermenge von A ist. Das ist der Zusammenhang. Wenn B eine Obermenge von A ist. A eine Untermenge von B ist. Folgt daraus, dass x Element A folgt x Element B. Das ist der Zusammenhang mit der Folge. In A zu sein, daraus folgt in B zu sein. Wenn A die Untermenge ist unter B.

Also hier muss das stehen. Das enthalten sein. Auch das unechte Gleichheit erlaubt. Und die Äquivalenz heißt, einfach zwei Mengen sind gleich. Äquivalenz ist ja das Gleichheitszeichen der Logik. Zwei Aussagen sagen dasselbe aus im Endeffekt.

Und hier bei den Mengen, zwei Mengen sind identisch. Gleichheitszeichen. Was eben zu Überraschung geführt hat, ist, dass die De Morgan Gesetze damit übersetzbar sind. Das brauchen wir nochmal an der Stelle. Die De Morgan Gesetze.

Die gibt es einmal für die Logik und einmal für die Mengen. Mal gerade überlegen, was am einfachsten ist. Den hier finde ich am einfachsten. P oder Q.

P ist etwas, was wahr oder falsch wird. Q ist etwas, was wahr oder falsch wird. Hier steht mindestens einer von beiden. Nicht mindestens einer von beiden heißt, weder noch. Weder der eine, noch der andere. Und hier natürlich kein Gleichheitszeichen, sondern Äquivalent.

Wir sind bei der Logik. Das ist eines der beiden De Morgan Gesetze. Ich kann mir die Reihenfolge nicht merken, ist auch egal. Weder noch. Ausbuchstabiert. Weder der eine, noch der andere. Und das andere steht dann hier mit einem und. Sie ersetzen einfach überall das oder durch das und. Und das und durch das oder. Nicht beide auf einmal heißt das hier.

P und Q nicht. P und Q wäre beide auf einmal. Mit dem nicht davor. Nicht beide auf einmal. Was heißt nicht beide auf einmal? Dann der erste nicht oder der zweite nicht. Vielleicht sogar beide nicht. Das ist hier ein inklusives oder. Das sind die beiden De Morgan Gesetze.

In der Logik. Ziemlich banal, wenn man das in normale Sprache übersetzt. Ich sollte gerade noch was zu der Klammerung sagen. Weil das eben im Seminar auch auftauchte. Das nicht wird zuerst ausgerechnet. Also hier steht streng genommen das mit Klammern. Es gilt erst das nicht und dann das

und und dann das oder. Es ist nicht dieses gemeint. Das wäre was anderes. Ich meine nicht P. Das Gegenteil von P und das Gegenteil von Q. Hier muss ich eine Klammer setzen. Wenn ich hier die Klammer nicht setzen würde stünde da nicht P oder Q.

Und das würde heißen nicht P oder Q. Und sicherzhalber auch nochmal mit dem und und den oder. Wenn ich mehrere hintereinander habe. P und Q. Oder R und S. Ist damit gemeint P und Q. Oder R und S. Die Klammern muss ich nicht schreiben.

So wie ich die Klammern bei 3 mal 4 plus 5 mal 7 nicht schreiben muss. Dann weiß auch jeder das in Klammern gedacht. Erst 3 mal 4, 5 mal 7 und dann zum Schluss das plus. Bei der Logik genauso erst das und zum Schluss das oder. Und ganz zuerst bei der Logik. Das ist vielleicht ein bisschen überraschend. Ganz zuerst das nicht.

Ok, das waren diese beiden demogen Gesetze. Die nochmal übersetzt. Weil das eben noch nicht so klar war. Sie können hier wirklich eins zu eins übersetzen. Hier soll ich sowieso noch schreiben. Untermenge oder Teilmenge. Teilmenge ist vielleicht ein schönerer Begriff im Deutschen.

Echt oder unecht. In der Schule macht man gerne noch so einen Strich drunter um zu sagen kann auch gleich sein. Und hier Gleichheit. Jetzt können Sie dieses Wörterbuch wenn Sie wollen benutzen um das in Mengen zu übersetzen. Das nicht wird zum Kompliment.

Was drinnen steht mache ich zum Kompliment. Was steht drinnen? Das oder. Das oder ist die Vereinigungsmenge. Hier steht die Vereinigungsmenge zweier Mengen. Rund. Mit dem runden Symbol nur Mengen. Mit dem eckigen Symbol darf hier nur Wahr-Falsch stehen.

Nicht durcheinander bringen. Die funktionieren zwar genauso. Aber man sollte ein bisschen sorgfältig arbeiten. Die runden Symbole für die Mengen und die eckigen Symbole für Wahr-Falsch-Ausdrücke. Das steht hier auf der linken Seite. Das Äquivalent ist Gleichheit. Und hier steht wenn ich jetzt nachgucke nicht wird zum Kompliment

den einen zum Kompliment machen den zum Kompliment machen und dazwischen und wird die Schnittmenge. Und hier bei dem anderen dem Orgengesetz passiert dasselbe genau umgekehrt. Das oder wird zum und. Das und wird zum oder. Die Vereinigungsmenge die Vereinigungsmenge wird zur

Schnittmenge. Und hier die Schnittmenge zur Vereinigungsmenge. Das hatte ich zumindest in einem Seminar eben nochmal aufgemalt. Gucken wir uns das vielleicht nochmal aufgemalt an. Was das heißt. Zwei Mengen A B

A Vereinigt B sind alle und davon das Gegenstück. Alle außerhalb der beiden Kreise. Das kriege ich auf der linken Seite raus. Alle außerhalb der beiden Kreise. Jetzt gucken wir uns die rechte Seite an.

Auf der rechten Seite steht das Gegenstück zu A. Alles außerhalb von A. Das Gegenstück zu B. Alles außerhalb von B. Das muss man sehen wo man malt. Das Gegenstück zu B.

Das kann man so halbwegs erkennen. Diese Striche hier sind das Gegenstück von A. Alles bedeckt aber nicht A. B. Diese Striche hier sind das Gegenstück zu B. Alles bedeckt aber nicht B. Und jetzt bilde ich die Schnittmenge. Alles was doppelt schraffiert ist, das heißt

eine Schnittmenge. Alles was sowohl in der einen Richtung wie in der anderen Richtung schraffiert ist und wenn Sie sich das angucken, was es in beide Richtungen schraffiert, das ist der Außenbereich. Der Außenbereich ist in beide Richtungen schraffiert. Und das habe ich eben auf der anderen Seite auch raus gekriegt. Also man kann sich das auch mit einem Wenn-Diagramm anschauen. Ich finde es

leichter mit dem Weder-Noch-Beide-Gleich-Seitig zu verstehen. Im Endeffekt ist es dieselbe Schlussweise. Es gibt also diesen starken inneren Bezug zwischen Logik und Mengen. Jetzt der Bildung halber. Das nennt

Polische mit E am Ende. Polisch algebra. Mathematisch Konstrukte mit solchen Operationen, sage ich mal in Anführungszeichen, und Sprechengesetzen, die wie bei Logik und Mengen funktionieren.

Und nachher beim Programmieren kommt hier der Herr Buhl, dann aber ohne E. Das ist ihm dann irgendwie verloren. Das geht einem häufiger vor, wenn es um Ja-Nein-Informationen geht. So, der Job für Sie jetzt. Das sind zwei Fragen, die eben gerade auftauchten, die fand ich sehr spannend. Und zwar, bei den Mengen gibt es ja die Mengendifferenz.

A minus B. Die Menge A, die Menge B und A minus B ist alles aus A, was nicht in B ist. Falsch. Schreibt doch keiner. Alles aus A, was nicht in B ist. So gefällt mir das besser. Alles aus A, was nicht in B ist.

Das ist diese Mengendifferenz. A minus B mit diesem Schrägstrich, der Falschung zeigt. Oder A ohne B. Die Frage ist, was ist das in der Logik? Erste Aufgabe. Was ist A minus B in der Logik?

Zweite Aufgabe. In der Logik habe ich das exklusiv oder. In der Logik habe ich das exklusiv oder. Was ist das exklusiv oder? In den Mengen. Exklusiv oder, wenn Sie sich an das Seminar eben erinnern.

Wahr, falsch, wahr, falsch. Wenn beide wahr sind, ist das exklusiv oder falsch. Das ist gerade das lustige im exklusiv oder. Wahr, exklusiv oder, wahr gibt falsch. Es ist eben ausschließlich exklusiv. Und die anderen sind, wie man es vom Oberlehrer kennt, falsch und wahr. Wahr, exklusiv oder, falsch gibt

wahr und falsch, falsch mit dem exklusiv oder. Falsch. Job für Sie. Wie sieht die Mengendifferenz in der Logik aus? Wie sieht das exklusiv oder bei den Mengen aus? Der erste Teil.

Wie sieht das in Logik aus? Das heißt ja, in A sein und nicht in B sein. Alle die in A sind, vielleicht schreibe ich es mal so hin, x ist Element A, aber nicht in B. Und x ist nicht

Element von B. Diese xs sammel ich zusammen. Alle die in A sind, aber nicht in B sind. Wenn ich das hier mit Aussagen ein bisschen abstrakter hinschreibe, steht da sowas wie P und nicht Q. Die eine Aussage und das Gegenteil der anderen Aussage, das wäre die

Entsprechung für A, Differenz B. P und nicht Q. Das heißt, hier müsste ich viel mehr hinschreiben. Für die Mengendifferenz müsste ich hier viel mehr hinschreiben. P und nicht Q, würde das analoge zur Mengendifferenz.

Was heißt das exklusiv oder eigentlich mit kringeln? Und dann sollte es relativ klar sein, was man an Mengenoperation hinschreiben muss. Wenn Sie das exklusiv oder hier mal einzeichnen, was es sein müsste. Exklusiv oder von X ist in der Menge A, X ist in der Menge B.

Diese Tabelle hier unten nochmal, das habe ich anscheinend ein bisschen schnell gemacht. Hier mit dieser Tabelle meine ich, wenn ich in das exklusiv oder war und war einsetze, kommt falsch raus. War exklusiv oder war gibt falsch.

Das meine ich mit diesem falsch. Mit dem war meine ich, dass falsch exklusiv oder war gibt war. In dieser Form. Falsch exklusiv oder war gibt, was habe ich gesagt? Falsch exklusiv oder war gibt war. Und so weiter. So meine ich diese Tabelle. Das ist die linke Seite von dem exklusiv oder, das ist die rechte Seite

von dem exklusiv oder. Und das ist was rauskommt. Wenn beide Seiten war sind, kommt falsch raus. Wenn eine weiß, die andere falsch ist, kommt war raus. In beiden Varianten. Und wenn beide falsch sind, kommt falsch raus. Und das kann man jetzt einmalen hier. Was ich bilden will ist x Element a, exklusiv

oder x Element b. Das heißt, alle, die in a sind, aber nicht in b sind, war falsch. Und alle, die nicht in a sind, aber in b sind, falsch war. Für die wird das war. Ich markiere die x,

für die dieser Ausdruck war wird. Die sind entweder in a, aber nicht in b, oder in b, aber nicht in a. Dies ist das. Alle, aber nicht, Sie sehen, was übrig bleibt, die Schnittmenge. Alle, die nicht in beiden gemeinsam sind. Hier,

dieser Punkt ist nur in a, aber nicht in b. Nur in a, nur in a, aber nicht in b. Ist drin. Dieser Punkt ist nur in b, aber nicht in a. Nicht in a, er ist in b, er ist drin. Dieser Punkt ist in beiden,

er ist in a, er ist in b, er ist nicht in der Menge, die diesem x o entspricht. Und ein Punkt ganz draußen, nicht in a, nicht in b, befristet das auch nicht. Da kommt ein falsch raus. Das ist also die Menge, die dann entsteht. Und die kann man auf diverse Arten schreiben.

Ihr hast auch schon diverse Arten gesehen. Sie können sagen, das ist a minus b vereint mit b minus a. In der Stelle schreibe ich tatsächlich mal Klammern, weil man sonst doch etwas ins Schleudern kommt. Sie nehmen aus dem a das b raus, haben diesen linken Fast-Fall-Mod.

Dann nehmen Sie aus dem b das a raus, haben diesen rechten Fast-Fall-Mod und kippen die zusammen. Dann haben Sie alles bis auf die Schnittfläche da in der Mitte. Eine andere Art das zu schreiben, gleich eine andere Art zu schreiben wäre, Sie bilden die Vereinigungsmenge von beiden. Das Gesamte mit dieser Linse

da in der Mitte minus die Linse a geschnitten b. Das schreibe ich auch mal in Klammern. Mit dem Minus geht es dann immer ein bisschen durcheinander. Dann weiß man nicht mehr so genau, was denn jetzt eigentlich zuerst ausgeführt wird. Deshalb schreibe ich das sicherheitshalber in Klammern, sobald ich diese Mengendifferenz schreibe. Die Vereinigungsmenge

die Vereinigungsmenge beide zusammen minus die Schnittmenge und dann bleibt der rote Teil. Das ist der Gedanke. Sie kriegen das dann so umgeformt. Das hier ist jetzt so eine Umformung wie 3 mal 4 plus 7 ist gleich 3 mal 4 plus 3 mal 7

in Klammern setzen. Auflösen von Klammern, von Klammern. Man kann aber auch einfach Kringel malen und sich klar machen, dass das dasselbe sein muss. Das hier entspricht dem Exklusiv oder Sie sehen wie aufwendig das wird. Offensichtlich könnte sich empfehlen dafür auch noch eine Mengenoperation zu machen. Die gibt es tatsächlich, aber die kommt sehr selten vor.

Die steht typischerweise nicht im Mehrbuch. Also auch die Operationen, die man nicht in dieser Tabelle hat, lassen sich dann analog nachbilden. Die haben vielleicht keinen schönen Namen, aber sie lassen sich nachbilden. Insofern passt da die Frage ganz gut. Wenn Sie die Vereinigungsmenge haben,

eine sauber gemalte Vereinigungsmenge, so. Wenn Sie die Vereinigungsmenge haben, A vereinigt B, dann ist die immer wie mache ich das mal? A vereinigt B, so. Beide zusammengenommen.

Das ist A vereinigt B. Die ist dann zwangsweise eine Obermenge von der Schnittmenge. Das ist immer eine Obermenge oder vielleicht sogar auch gleich der Schnittmenge. Und analog dazu, das hatten wir eben im Seminar, P oder Q.

P und Q. Was folgt aus welchem? Wenn Sie wissen, dass beide stimmen, P und Q, dann wissen Sie auch, dass mindestens eines von den beiden stimmt. Also aus dem unteren folgt das obere. Das ist die Übersetzung von diesem in Logik.