Bernoulli'sche Differentialgleichungen sind gewöhnliche Differentialgleichungen in erster Ordnung des folgenden Typs. Wir nehmen nur eine Gleichung statt eines Systems. Das heißt unsere offene Definitionsmenge D, das sei eine Teilmenge von R kreuz R. Und unsere Funktion f von D hat dann auch Werte in R.

Und wir wollen, dass die von der Form ist, dass sie xy schickt auf axy plus bxy hoch k. Dabei sind a und b stetige Funktionen auf einem gemeinsamen Definitionsintervall.

Und wir wollen, dass dieser Exponent k hier hinten eine ganze Zahl ist, aber nicht 0 oder 1. Wieso schließen wir 0 und 1 aus? Nun wäre es 1, dann könnten wir y hier einfach ausklammern und hätten eine homogene lineare Differentialgleichung.

Wäre y gleich 0, dann hätten wir eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Und die können wir schon lösen, brauchen wir also nicht mehr betrachten. Genauso wollen wir ausschließen, dass sich a und b nur um eine multiplikative Konstante unterscheiden.

Wieso das? Dann könnten wir einfach a hier ausklammern und hätten dann hier hinten eine Funktion von y alleine. Also eine separierbare Differentialgleichung, die wir auch schon lösen können. Also, von all dem sehen wir ab und dann lösen wir die Anfangswertaufgabe zu einem Anfangswert x0, y0 aus D.

Wobei wir annehmen wollen, dass y0 größer ist als 0. Und dann löst man das, indem man erst mal substituiert, nämlich z setzt als y hoch 1 minus k.

Das ist also wieder irgendeine Funktion, die können wir mal formal ableiten.

Was ist y hoch 1 minus k abgeleitet? Nun, das ist 1 minus k mal y hoch 1 minus k minus 1, also y hoch minus k, also 1 durch y hoch k. Und dann brauchen wir noch die Ableitung von y nachdifferenziert.

Das heißt aber, wir können eine Differentialgleichung für z aus dieser Differentialgleichung für y rausziehen. Nämlich z' gleich 1 minus k mal a von xz plus 1 minus k mal b von x.

Und auch einen Anfangswert haben wir, wenn der Anfangswert für diese Gleichung hier x0, y0 war, dann sollten wir den Anfangswert x0, y0 hoch 1 minus k für z haben.

Und das hier, das ist eine lineare Differentialgleichung, erst der Ordnung, und die können wir lösen. Das heißt, dieses Anfangswertproblem hier, das besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung, nennen wir sie Psi.

Und wenn wir nun den Definitionsbereich, das ist irgendein Intervall, und Psi so einschränken, dass Psi nullstellenfrei ist,

dann können wir Psi hoch 1 durch 1 minus k bilden, also eine Wurzel aus Psi ziehen.

Deswegen war es wichtig, dass die Nullstellen frei ist. Und das ist dann Phi. Und dieses Phi ist dann eine Lösung des Bernoulli-Problems.

Das heißt, wir haben hier schon Psi so eingeschränkt, dass es nullstellenfrei ist,

aber trotzdem können wir Wurzeln eigentlich nur aus positiven Zahlen wählen. Ja, und da sehen Sie, dass es hier doch wichtig ist, y größer als 0 zu wählen. Das heißt, wir wissen unsere Lösung Psi hier, die ist jedenfalls in einer Umgebung von x0 größer als 0.

Und das heißt, wir finden hier einen Intervall, so dass wir Psi hoch 1 durch 1 minus k betrachten können. Exerzieren wir das mal einem Beispiel durch, betrachten wir y Strich gleich y plus x mal y Quadrat mit Anfangswert 1,1.

Das heißt, es ist eine Bernoullische Differentialgleichung hier mit k gleich 2. Dementsprechend setzen wir also z als y hoch 1 minus k, also als 1 durch y,

und erhalten eine Differentialgleichung in z, nämlich z Strich gleich minus z minus x. Und für die haben wir den entsprechenden Anfangswert wieder 1 und 1 durch 1, also 1.

So, das ist eine lineare Differentialgleichung hier, die wollen wir lösen. Und dazu wissen wir, diese Lösung besteht aus zwei Faktoren. Der erste ist Phi 1 von x, das ist die Lösung des homogenen Problems mit Anfangswert 1.

Das ist hier also exp vom Integral von 1 bis x minus 1 dt. Das ist einfach nur e hoch 1 minus x.

Und der zweite Faktor der Lösung, das ist u von x, das ist y Null, also 1 plus den Integral von 1 bis x von dem Termin hinten,

also minus t durch Phi 1, also e hoch 1 minus t dt. Das ist 1 plus das Integral von 1 bis x von minus t e hoch t minus 1 dt.

Und hier integrieren wir partiell, das gibt 1 plus das e hoch minus 1, klammern wir mal aus. Und dann haben wir minus t e hoch t in den Grenzen von 1 bis x minus das Integral von minus, also plus e hoch t dt.

Das ist 1 plus e hoch minus 1 mal minus x e hoch x plus e hoch 1 plus e hoch x minus e hoch 1.

Das kürzt sich also weg und wir erhalten 1 plus 1 minus x mal e hoch x minus 1. Das heißt, die Lösung der Differentialgleichung hier in z, das ist Psi von x, also das Produkt aus Phi 1 von x mal u von x.

Und das ist e hoch 1 minus x mal 1 plus 1 minus x mal e hoch x minus 1.

Das ist e hoch 1 minus x minus x plus 1. Und daraus folgt erstmal Phi von x, das ist 1 durch Psi von x, das ist eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Dann haben wir die hier mal Stern auf einem geeigneten Intervall.

Dieses Intervall i muss in jedem Fall x0, also 1, enthalten. Ja, und Psi muss auf diesem Intervall null stellenfrei sein.

Jetzt müssen wir uns angucken, was können wir über Psi überhaupt aussagen. Nun, ich sag mal, Psi ist streng monoton fallend.

Wie sehen wir das? Na ja, wir schauen uns einfach die Ableitung von Psi an. Das ist minus e hoch 1 minus x minus 1 und die ist strikt kleiner als 0. Also ist Psi streng monoton fallend.

Und wir wissen, Psi hat positive Werte. Zum Beispiel Psi von 1 ist hier 1. Und was gilt für den Liemes? x gegen unendlich von Psi von x.

e hoch 1 minus x geht gegen 0 für x gegen unendlich. Das hier geht gegen minus unendlich und das hier gegen 1. Also geht das insgesamt gegen minus unendlich. Das heißt, Psi hat genau eine Nullstelle.

Die ist x1 und von der wissen wir auch, sie ist größer als 1. Denn für 1 ist die Funktion noch positiv.

Und natürlich begrenzt diese Nullstelle unser Lösungsintervall. In dem Fall ist Schluss, wenn wir an der Nullstelle ankommen. x0 ist also die Obergrenze, aber wo wir links anfangen, ist egal.

Das ist unser Lösungsintervall für Phi.