alle bisher betrachteten Differentialgleichungen waren gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Deswegen wollen wir jetzt erst mal definieren, was das überhaupt ist, beziehungsweise, ein kleines bisschen allgemeiner, was ist ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Ja, das ist erst mal von der Form y' gleich f von x, y, wobei diese stetige Funktion f jetzt eben Werte im R hoch n hat. Und wir definieren der Einfachheit halber f auf seinem Definitionsbereich D, der soll offen sein und im kathesischen Produkt von R mit R hoch n liegen.

Warum schreibe ich hier nicht einfach R hoch n plus 1? Nun, weil ich die Elemente von D schreiben möchte als Tupel x, y mit x aus R und y aus dem R hoch n.

Das heißt, diese Gleichung hier, die hat n Zeilen und somit habe ich eben ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen. Oftmals spricht man da gar nicht von System, sondern sagt einfach, das ist eine dann eben mehrdimensionale gewöhnliche Differentialgleichung ersten Grades.

So, jetzt zum Begriff gewöhnlich. Gewöhnlich heißt, dass nur Ableitungen nach einer Variablen auftreten.

Also der Gegensatz wäre partielle Differentialgleichungen. Ich leite hier nur noch x ab und x ist eine reelle Variable. Was heißt erste Ordnung?

Das heißt, dass nur erste Ableitungen vorkommen. Das heißt keine zweite oder noch höhere Ableitung.

Betrachten wir ein paar Beispiele von Differentialgleichungen. Y strich gleich x², y² plus x, y. Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung. Unsere Variable ist hier nur x und es ist auch nur erste Ordnung.

Das heißt, das hier ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, erste Ordnung. Wie sieht es mit dem System von Differentialgleichungen y1 strich, y2 strich, y3 strich gleich 18x², y3, x, y1, y2 und x hoch 3, y3, y1² plus 1 aus?

Auch hier sehen wir, wir haben nur eine Variable nach der wir differenzieren,

unser x und es treten auch nur erste Ableitungen auf. Das heißt auch das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, erste Ordnung. Jetzt könnten wir aber auch y strich minus y2 strich gleich y betrachten.

Das ist eben keine gewöhnliche Differentialgleichung, erste Ordnung, weil da nämlich Ableitungen zweiter Ordnung auftreten. Oder nabler y gleich x1² cos x3 mal y plus 18x2 hoch 7.

Auch das ist keine gewöhnliche Differentialgleichung, denn im Gradienten hier

da treten die partiellen Ableitungen in allen Koordinaten von x auf. Das heißt wir haben hier insbesondere auch mehrere x-Koordinaten. Und was verstehen wir nun unter einer Lösung eines solchen Systems von n gewöhnlichen Differentialgleichungen erste Ordnung?

Nun das ist eine Kurve, das heißt eine Funktion phi auf einem Intervall hinein in den r hoch n, die die folgenden Eigenschaften hat. Sie ist differenzierbar und für alle x aus dem Definitionsbereich i ist das

Tupel x phi von x in d. Und außerdem soll natürlich die Funktion phi unsere Differentialgleichung erfüllen und zwar auf dem gesamten Intervall i. Und zum Schluss noch der Begriff des Anfangswertproblems.

Also nehmen wir so einen Anfangswert x0, y0 in d, dann ist phi eine Lösung des Anfangswertproblems hier, wenn es eine Lösung des Systems ist und eben auch noch die Anfangswertbedingung phi von x0 gleich y0 erfüllt.

Solche Anfangswertprobleme zu gewöhnlichen Differentialgleichungen erste Ordnung haben unter sehr milden Voraussetzungen an die Funktion f eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich wir nehmen wieder d in R-Kreuz r hoch n

offen und unsere Funktion f von d in den r hoch n, die zum einen stetig sein soll. Aber wir fordern auch noch, dass die partiellen Ableitungen in den Koordinaten von y dieser Funktion alle existieren und stetig sind.

Das heißt, für jede Koordinatenfunktion fi von f existiert die Funktion y und j, für alle i und j und sie sind sogar stetig.

Und dann besitzt eben das Anfangswertproblem für jeden beliebigen Anfangswert in D eine eindeutig bestimmte Lösung, phi auf einem geeigneten Intervall, das x0 enthält. Wir werden diesen Satz hier nicht beweisen, deshalb, weil die Methoden,

man darin benötigt, weit über die hinausgehen, die wir in diesem Kurs vermitteln können. Ich möchte aber noch auf eine häufig gestellte Frage eingehen, nämlich die, weshalb wir so eine Lösung immer nur auf einem Intervall angeben. Oftmals ist es so, dass der Funktionsterm dieser

Lösung Phi ja vielleicht nur ein paar Definitionslücken hat, aber auf einer viel größeren Menge als i selbst definiert ist. Zum Beispiel auf der desjunkten Vereinigung so eines Intervalls i und einem Intervall i1, wobei nun unser Anfangspunkt x0 in dem Intervall i liegt.

Ja, und jetzt ist es aber so, dass wir, wenn wir die Funktion Phi auf i1 betrachten, nicht mehr sicherstellen können, dass diese Lösung auf dem Intervall i1 eindeutig ist.

Das heißt, nicht nur der gefundene Funktionsterm erfüllt die Differentialgleichung da, sondern noch viele andere Funktionen auch. Und um hier auf i1 auch eine eindeutige Lösung zu bekommen, müssten wir wieder eine Anfangswertbedingung für dieses Intervall

selbst stellen. Das heißt, Eindeutigkeitsaussagen machen hier immer nur auf einem zusammenhängenden Intervall Sinn.