Offene und abgeschlossene Mengen, die kennen Sie bereits aus den reellen Zahlen und diese Begriffe gibt es auch für Teilmengen, das R hoch N und die sind wiederum ganz ähnlich definiert wie die in den Zahlen selbst. Wir wollen zunächst mal sagen, das ist eine offene Kugel

um einen Mittelpunkt A mit einem Radius R A ein Punkt aus dem R hoch N, R eine Zahl größer als 0 und zwar bezüglich einer bestimmten Norm. Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, deswegen gehe ich mal kurz nach hier. Ur von A das sind

die x aus dem R hoch N deren Abstand zu A kleiner ist als R. Und hier sieht man ganz deutlich, das hier ist abhängig von der Norm. Gut, aber so sind eben offene Kugeln definiert und die führen uns dann auf die nächste Definition,

nämlich was ist eine Umgebung von einem Punkt A aus dem R hoch N. Das ist eine Teilmenge U aus dem R hoch N die eben eine ganze offene Kugel von A enthält. Insbesondere enthält sie damit also auch A selbst.

Ja und hierbei ist es uns ganz egal bezüglich welcher Norm wir arbeiten. Jetzt haben wir Umgebungen und nun sagen wir, was sind innere Punkte einer Teilmenge. Innere Punkte, Randpunkte, äußere Punkte, das hatten wir auch für die reellen Zahlen definiert.

Das überträgt sich hier ganz analog. Also ein Punkt A in M ist ein innerer Punkt. Wenn es eine Umgebung von A gibt, die ganz in M liegt. Wir könnten uns hier für die Umgebung auch einfach eine kleine Kugel nehmen.

Das heißt wir haben hier eine Menge M und gelingt es uns dann eben um diesen Punkt A noch eine kleine Kugel zu legen, die ganz in M liegt, dann ist es ein innerer Punkt. Wir sehen, wenn wir hier so einen Punkt, der hier auf dem Rand liegt, dann könnten wir das nicht, dann hätte hier

jede noch so kleine Kugel um A Punkte, die nicht zu M gehören. Wissen wir jetzt, das hier sind innere Punkte und was ist nun eine offene Menge? Nun eine Menge, eine Teilmenge, das R hoch N heißt offen, wenn jeder Punkt von M

ein innerer Punkt ist. Und das heißt M ist offen, wenn sie gar keine Punkte hat, also wenn sie leer ist, denn dann ist ja jeder Punkt, den es in M gibt, ein innerer Punkt. Oder wenn sie eben mit jedem

Element auch so eine Kugel enthält. Das heißt solche Ränder hier lassen wir explizit eben nicht zu bei offenen Mengen. Und zum Schluss noch der Begriff der abgeschlossenen Menge, der ist wieder genauso wunderschön definiert wie in den reellen Zahlen, eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement

offen ist. Und die erste und aller wichtigste Bemerkung ist dann die, wir haben hier ja offene Kugeln gesagt, sind offene Kugeln offene Mengen? Ja, in der Tat. Offene Kugeln sind offen, denn

schauen wir uns das Bild an, dann wird es schon sehr klar. In dieser Kugel betrachte ich irgendeinen Punkt B und dann muss ich nur eine Kugel finden, die um B liegt und eben ganz

darin enthalten ist, in dieser großen Kugel. Ja, und was mache ich da für so ein B? Wähle ich irgendein Rho größer als Null aber kleiner oder gleich R minus

den Abstand von B zu A. Und dann gilt, dass Uro von B ganz enthalten ist in

Ur von A, denn ja, nehmen wir uns irgendein X aus dieser Rokugel um B und schauen uns den Abstand zu A an. Da können wir zunächst mal eine Null ergänzen. Ich ziehe von X B ab

und addiere es dann wieder dazu. Und dann wende ich hier die Dreiecksungleichung an und erhalte, dass es kleiner oder gleich Norm von X minus B plus X minus A

Nein, B minus A. Ich teile hier auf. Dann kann ich X minus B abschätzen, echt durch Rho weil X eben in der Rokugel um B ist und den Abstand B minus A, den lasse ich hier stehen.

Ja, und jetzt schauen wir uns an, was wir hier gesehen haben. Rho ist kleiner oder gleich R minus B minus A, das heißt diese Summe hier die ist kleiner oder gleich R und insgesamt heißt das der Abstand von X zu A der ist echt kleiner als R

und damit ist X in Ur von B. Das heißt, so eine offene Kugel trägt ihr Attribut offen zurecht. Und hier habe ich Ihnen für verschiedene Normen

die R-Kugel um Null hingemalt. Also am kugeligsten sieht diese Kugel aus für die Euclidche-Norm weil die Euclidche-Norm eben die ist, die uns aus unserem Raum, der uns umgibt und das Nächste ist, was das nun für den R hoch N, wenn N größer ist als 3,

bedeutet das vermögen wir uns nicht mehr vorzustellen. Dann habe ich hier die R-Kugel zur Maximumsnorm, das heißt hier muss nur das Maximum der beiden Komponenten jeweils kleiner oder gleich R sein

und hier noch die R-Kugel zur 1-Norm, da muss also die Summe der Beträge der Komponenten jeweils kleiner als R sein. Das gibt mir dann diese relativ kleine Kugel. Also wir sehen, Kugeln können auch ziemlich eckig aussehen, aber darauf

kommt es nicht an. Was noch wichtig ist, ist zu bemerken, dass die Eigenschaft einer Menge offen zu sein, die ist unabhängig

von der Wahl der Norm. Das heißt, warum ist das so? Ich sage also, wenn ich eine kleine

Kugel um einen Punkt in einer Menge bezüglich der einen Norm finden kann, dann kann ich auch eine kleine Kugel um diesen Punkt bezüglich einer anderen Norm finden, die ganz zu dieser Menge gehört. Vielleicht muss ich aber die Radien ändern. das liegt wieder daran, dass wir gesehen haben,

wir können Normen gegeneinander abschätzen. Also wenn ich die eine Norm mit hier einer konstanten Klein C und einer konstanten Groß C größer als Null gegen die andere Norm abschätze und wiederum hier gegen

die erste Norm mit der konstanten Groß C, dann heißt das ja, dass die Kugel mit Radius R durch Groß C um A die ist dann enthalten in der Kugel

mit Radius R bezüglich dieser Norm, das deute ich hier durch den Strich an. Und die ist wiederum enthalten in einer Kugel um A und diesmal mit Radius R durch Klein C. Ja, und so sehen Sie, finden Sie eine Kugel bezüglich einer Norm, dann finden Sie sogar eine Kugel,

die noch in dieser Kugel enthalten ist bezüglich der anderen Norm. Als Beispiel möchte ich Quader im R hoch N betrachten. Das sind also Analoga von Rechtecken im R2 oder

Quadern im R3 und offene Quader. Wie sind die dann definiert? Nun, wir nehmen diese Kante, mal diese Kante und vielleicht noch mal der Kante beziehungsweise wir lassen eben die Kanten gerade weg,

sondern nehmen nur das kathesische Produkt von solchen Kantenintervallen. Damit das wohl definiert ist,

müssen also alle a i echt kleiner als die b i sein für e gleich 1 bis N und dann ist das kathesische Produkt diese offenen Intervalle gleich sagen wir Q ein offener Quader

im R hoch N das heißt, dass Q offen ist, das müssen wir beweisen, denn wir müssen also zu einem X aus Q eine offene Kugel angeben, die ganz zum Quader dazugehört

und dann wähle ich zu so einem X den Radius sagen wir als Minimum von X i minus a i, die Komponente zu X und X i minus b i

und das mache ich über i gleich 1 bis N das heißt, wenn X mein Ding hier liegt, dann nehme ich erst mal das Minimum von dem Abstand und dem Abstand dann nehme ich aber auch noch das Minimum von dem Abstand und dem Abstand

und schließlich auch noch nach hier hinten das Minimum von dem Abstand zu dem Abstand hier hinten und dann nehme ich noch das Minimum all dieser Abstände das heißt, ich weiß jetzt rho ist wirklich der kleinste Abstand zu irgendeinem dieser

Randpunkte der Intervalle und dann sage ich dass die Rho-Kugel bezüglich der Maximumsnorm um X ganz zum Quader dazugehört, das ist eine offene Kugel

das ist dann klar, wenn hier in jede Richtung höchstens von dieser Komponente X i weg sein kann dann bin ich wirklich ganz von jedem dieser Intervallgrenzen weg und meine Kugel liegt darin

genauso kann ich auch abgeschlossene Quader definieren da nehmen wir also abgeschlossene Intervale und betrachten deren kathesisches Produkt

das heißt wir nehmen alle diese Kanten, die wir gerade eben weggelassen haben dazu

und das nennen wir dann einfach q quer q abgeschlossen das ist wieder im Rhoch N und wir sagen q quer ist abgeschlossen wie zeigen wir das? wir zeigen das Komplement ist offen

dazu müssen wir zu X aus diesem Komplement wiederum eine offene Kugel finden, die ganz im Komplement liegt ja und zu X

diesem Summ X gibt es mindestens einen Index J das XJ eben nicht zu dem Intervall

AJ BJ gehört sonst wenn es das nicht geben würde würde X eben doch zu diesem Quader dazugehören und dann setzen wir Rho unseren Radius als das Minimum vom

XJ minus AJ und XJ minus BJ sprich wir definieren Rho als den Abstand von XJ zu dem ja Ende des Intervalls den kleineren

und dann behaupten wir dass diese Rho Kugel gemessen in der 1-Norm um X ganz im Komplement des Quaders liegt denn wenn wir so ein Y nehmen

das in der Rho Kugel um X liegt, sprich das bezüglich der 1-Norm den Abstand von X kleiner als Rho hat dann heißt das ja dass die 1-Norm Summe I gleich 1 bis N die Beträge von YI minus XI aufsummiert

das ist kleiner als Rho und das heißt ja wiederum dass wenn alle Summanden aufsummiert kleiner als Rho sind dann ist insbesondere auch der J hier

kleiner als Rho für dieses J hier oben und das heißt wenn der Abstand von YJ zu XJ kleiner als Rho ist dass dann YJ

nicht zum Intervall AJBJ gehören kann und das heißt dass Y nicht im Quader liegt die folgenden Eigenschaften für offene und abgeschlossene Teilmengen des Rho N kennen Sie schon für offene und abgeschlossene Teilmengen von R

nämlich beliebige Vereinigungen offener Mengen sind wieder offen Schnitte endlich viele offene Mengen sind offen und die leere Menge unter Rho N selbst die sind offen und analog gilt für abgeschlossene Teilmengen beliebige Schnitte

abgeschlossene Mengen sind wieder abgeschlossen die Vereinigung endlich viele abgeschlossene Mengen ist abgeschlossen die leere Menge unter Rho N sind selbst abgeschlossen der Beweis all dieser Eigenschaften ist nicht schwierig und der geht

absolut analog wie der Beweis für offene und abgeschlossene Mengen in den reellen Zahlen deswegen können wir hier guten Gewissens darauf verzichten ich möchte nur noch darauf hinweisen auch hier im Rho N das gleiche gilt wie für diese Teilmengen in R nämlich

die leere Menge und die reellen Zahlen oder der Rho N das sind auch wirklich die einzigen Teilmengen das Rho N die offen und abgeschlossen zugleich sind und es ist eben falsch dass der Schnitt auch unendlich

vieler Mengen wieder offen sein muss wir kriegen das hier wirklich nur für endlich viele offene Mengen geschenkt und hier ist ein Gegenbeispiel wenn wir die 1 durch N Kugeln zum Beispiel 0 betrachten und den Schnitt nehmen über alle N aus den natürlichen Zahlen dann ist dieser Durchschnitt

nicht leer, er besteht nämlich aus einem einzigen Element, dem Mittelpunkt all dieser Kugeln und eine einpunktige Menge die ist abgeschlossen nicht offen und es gibt eine ganze Reihe von Mengen die nicht

abgeschlossen und nicht offen sind also weder offen noch abgeschlossen ich gebe Ihnen hier Beispiele, das sind zum Beispiel halboffene Quader also erinnern wir uns nochmal an die offenen Quader das sind die wo eben kein Randpunkt zum Quader dazugehört die abgeschlossenen Quader, das sind die bei denen alle Randpunkte dazugehören

und halboffene Quader sind eben solche, die nur manche Randpunkte enthalten andere wiederum nicht und so ein halboffener Quader ist eben nicht ganz offen, denn für solche Randpunkte, die zu ihm gehören, finde ich eben keine

Umgebung die ganz in einem Quader enthalten ist also kann so ein halboffener Quader nicht offen sein er kann aber auch nicht abgeschlossen sein, denn dann müsste sein das Komplement offen sein und das Komplement, das hat hier Randpunkte, diese gestrichelten Linien

die gehören zum Komplement aber da schneidet wiederum jede Umgebung auch den Quader und demnach kann auch das Komplement nicht offen sein und der Quader hier, der halboffener auch nicht abgeschlossen