Lineare Gleichungen, das sind Gleichungen der Form ax gleich b, wobei a und b feste reelle Zahlen sind und wir uns für die x interessieren, die diese Gleichung hier lösen. Wir suchen zunächst die Lösung in den

reellen Zahlen, das heißt unsere Grundmenge wäre hier r und wir können eine Funktion f angeben, so dass wir die Gleichung in dieser schematischen Form finden, wenn wir x schicken auf ax minus b, dann ist die Lösungsmenge genau

die Menge der x mit f von x gleich 0, also die Menge der x aus r mit ax minus b gleich 0. Schauen wir uns kurz das Schaubild dieser Funktion an, wenn hier minus b ist, dann sieht das so aus und nun ist auch jedem klar warum dieser

Gleichungstyp lineare Gleichung heißt. Um sie zu lösen möchte ich zunächst mal annehmen, dass a ungleich 0 ist. Den Fall a gleich 0 besprechen wir anschließend und b ist dabei total beliebig, da mache ich keine weiteren

Namen darüber. Ja was gilt dann und zwar sogar für alle x aus r, gilt dann ax gleich b ist äquivalent zu der Aussage x gleich b durch a. Wieso ist das so?

Nun, diese Aussage kann ich durch a teilen, wenn ich nehme an, dass a ungleich 0 ist, dann komme ich auf diese Aussage, multipliziere ich diese Aussage mit a,

lande ich bei der, also das hier ist eine Äquivalenz und das Schöne ist, dass wir aus dieser Aussage natürlich sofort sagen können, für welche x die A ist, nämlich für x gleich b durch a, das heißt x gleich b durch a ist die

eindeutig bestimmte, also die einzige Lösung der Gleichung und demnach ist

die Lösungsmenge hier die Menge, die nur aus diesem Bruch b durch a Ja was gilt dann? Nun wieder für alle x aus r ist 0 mal x gleich b gleich

bedeutend dazu, dass 0 gleich b ist, weil 0 mal eine reelle Zahl ist immer 0. Ja und wir

sehen, ist dann b auch wirklich gleich 0, also steht dort 0 mal x gleich 0, dann ist es ganz

egal was x ist, diese Gleichung hier ist immer wahr, also dann ist die Lösungsmenge die gesamte Menge der reellen Zahlen und in dem anderen Fall, nämlich dass b ungleich 0 ist, dann steht hier

0 gleich b, eine falsche Aussage, die kann ich für keine reelle Zahl x erfüllen, also ist die Lösungsmenge in dem Fall die leere Menge. Fassen wir unsere Ergebnisse in einem Satz zusammen, haben wir also als Grundmenge der Gleichung die reellen Zahlen und a und b aus

r gegeben, dann hat die Gleichung ax minus b gleich 0 die Lösungsmenge bestehend aus b durch a, im Fall, dass a ungleich 0 ist, durch die reellen Zahlen, in dem Fall, dass a und b

beide gleich 0 sind und durch die leere Menge, in dem Fall, dass a gleich 0 ist aber b ungleich 0. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an. Zunächst sagen wir pi mal y gleich Wurzel 5,

das heißt hier wäre a gleich pi, b gleich Wurzel 5 und unsere Unbestimmte heißt jetzt eben y und nicht x. Da sagt uns der Satz, die Lösungsmenge, die besteht gerade aus Wurzel 5 durch pi.

Noch ein Beispiel, die Gleichung 0 mal x gleich 8, also a gleich 0, b gleich 8, die hat gar keine Lösung, also die Lösungsmenge ist leer und natürlich können wir solche linearen Gleichungen

nicht nur über der Grundmenge der reellen Zahlen lösen, sondern wir können zum Beispiel als Grundmenge auch die Menge der ganzen Zahlen wählen und sagen wir, wir betrachten die Gleichung 3y minus 2 gleich 0. Was gilt dann? Zunächst bemerken wir, dass wir in den

reellen Zahlen die Lösung y gleich 2 Drittel haben, aber mit der Grundmenge der ganzen Zahlen

ist die Lösungsmenge leer, denn 2 Drittel dieser elle Lösung ist eben keine ganze Zahl.

Wir könnten auch noch mit der Grundmenge der rationalen Zahlen arbeiten. Ich nenne die mal im Strich. Dann wiederum gilt, dass die Lösungsmenge, ja in dem Fall wirklich

die Menge mit dem Element 2 Drittel ist, denn 2 Drittel ist eine rationale Zahl, das heißt die reelle Lösung ist insbesondere eine rationale Lösung. Ja und dieses letzte Beispiel zeigt auch noch mal sehr gut, wie sinnvoll es ist, sich Gedanken darüber

zu machen, wo, also in welcher Grundmenge man die Lösung einer Gleichung sucht.