Ich möchte Ihnen noch mal zeigen, wie mächtig das Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit eigentlich ist. Und zwar dadurch, dass ich Ihnen definiere, wann komplexe Funktionen stetig sind. Also, wir nehmen eine Teilmenge d der komplexen Zahlen, die sei natürlich nicht leer,

damit wir eine Funktion f von d nach c darauf definieren können. Und dann sagen wir, dass diese Funktion f stetig ist in einem Punkt z0 in d. Wenn es zu jedem Epsilon größer 0 ein Delta, das von Epsilon abhängt, größer als 0, gibt so das aus.

Ja, wenn z in der U-Delta-Umgebung von z0 ist und natürlich im Definitionsbereich folgt, dass das Bild f von z enthalten ist in der Epsilon-Umgebung von f von z0.

Also, das sieht dann so aus, wenn wir hier d haben und hier haben wir irgendwie den Bildbereich von f. Und wir nehmen einen Punkt z0 darin, der hier auf f von z0 abgebildet wird.

Und wenn wir nun hier eine Epsilon-Umgebung f von z0 nehmen, das hat Radius Epsilon, Epsilon-Umgebungen im Komplexen, das sind offene Kreisscheiben, hatten wir gesagt.

So, wenn ich so eine Umgebung U-Epsilon von f von z0 nehme, dann muss ich eine Delta-Umgebung hier in d finden,

so dass diese ganze Umgebung geschickt wird auf diese Epsilon-Umgebung des Bildes f von z0. So, im Falle von komplexen Funktionen haben wir auch gesagt, oder komplexen Zahlen haben wir auch gesagt,

was Folgen in den komplexen Zahlen sind und was dann Konvergenz bedeutet. Und auch hier gilt, dass eine Funktion f stetig ist nach diesem Epsilon-Delta-Kriterium, genau dann, wenn für jede Folge gilt, also eine Folge zn, die gegen z0 konvergiert im Definitionsbereich,

dass dann die Folge der Bilder f von zn konvergieren muss, und zwar gegen f von z0. Und wenn das für jede Folge erfüllt ist, dann ist f stetig in z0.

Gut, das ist also eigentlich genau das Gleiche wie für die reellen Zahlen. Wir müssen nur unsere Vorstellung von Epsilon-Umgebungen von Intervallen auf Kreißscheiben erweitern. Und dann gibt es ganz schnell sehr viele Beispiele für stetige Funktionen.

Also zum Beispiel ist die Funktion f von c nach c die z schickt auf sich selbst, also die Identität stetig,

genauso wie jede konstante Funktion, nennen wir sie c, stetig ist auf ganz c. Natürlich für jedes c, aus c, das wir festlassen dabei.

Ja, und jetzt haben wir für die komplexen Zahlen genauso die Grenzwertsätze wie für die reellen Zahlen. Und damit folgt ja auch z, z², z hoch 3 etc. Das sind stetige Funktionen.

Also ich habe das hier abgekürzt, z geht von c nach c. Und auch alpha mal z hoch n plus Beta z hoch m ist eine stetige Funktion.

Auch hier geht natürlich wieder z auf, dieses Ding von c nach c. Also allgemein jedes Polynom P, das z schickt auf die Summe von a n z hoch n für n gleich 0 bis sagen wir mal m,

ist eine stetige Funktion auf ganz c. Und dann können wir auch gebrochen rationale Funktionen betrachten.

Also die ist von der Form P von z durch Q von z, die ist stetig.

Ja, nicht auf ganz c, sondern ich muss natürlich wieder die Nullstellen des Nenners rausnehmen. So, und der Grund liegt wie für die reellen Funktionen auch in den Grenzwertsätzen.

So, und wir können das natürlich auch noch ein bisschen allgemeiner formulieren. Wir müssen nicht unbedingt mit Polynomen anfangen. Das heißt, wenn wir überhaupt zwei komplexe, stetige Funktionen f und g auf einem gemeinsamen Definitionsbereich haben,

dann ist auch jede Linearkombination von f und g stetig. Also das heißt, wenn wir konstanten alpha und Beta aus c nehmen und die Funktion alpha f plus Beta g uns anschauen,

und die z schickt auf alpha f von z plus Beta g von z, dann ist das stetig. Genauso ist das Produkt aus diesen beiden Funktionen stetig. Also die Funktion, die z schickt auf das Produkt der Funktionswerte.

Und ebenso ist f durch g, was z schickt auf f von z durch g von z, stetig auf der Definitionsmenge von f und g ausgenommen in den Nullstellen von g. Gut, und wir können auch zwei Funktionen, die stetig sind, verketten und bekommen wieder eine stetige Funktion heraus.

Also wenn f von d1 nach d2 geht und g von d2 nach c, und beide sind stetig, dann ist g nach f eine Funktion von d1 nach c, und die schickt z auf g von f von z, und auch diese ist stetig.

Sie sehen also mit diesem Stetigkeitsbegriff, den wir für die reellen Zahlen entwickelt haben, und ein bisschen verallgemeinert haben, indem wir gesagt haben, was offene Umgebungen von Punkten in komplexen Zahlen sein sollen,

kommen wir auch in den komplexen Zahlen zu einem Stetigkeitsbegriff.