Ich gehe hier nochmal auf eine Eigenschaft ein, die in allen eigentlich gut vertraut ist und zwar der, dass für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion die Ableitung an dieser Stelle verschwinden muss. Also formulieren wir es exakt. Eine notwendige Bedingung für extremer,

lokale müsste ich hier eigentlich schreiben. Also das heißt, wenn wir nun f mal auf einem Intervall nehmen nach r und es sei darauf differenzierbar und wir

nehmen einen Punkt x0 in i, der ein innerer Punkt ist, also keinen der beiden Randpunkte, dann gilt das folgende. Wenn x0 ein lokales Extremum von f ist, dann ist f' von x0 gleich 0. Und gleich die Warnung, diese Bedingung ist

notwendig, aber nicht hinreichend. Und wir wollen sie zunächst mal beweisen und dafür nehmen wir mal an, dass wir in x0 ein lokales Maximum gefunden haben.

Ja, das heißt ja, dann gibt es eine Epsilon Umgebung, also ein U epsilon von x0, so dass für alle x aus dieser Umgebung

gilt, dass f von x kleiner oder gleich f von x0 ist. Das ist genau die Definition eines

lokalen Maximums. In einer Umgebung dürfen die Funktionswerte dann nicht mehr größer sein als dieser maximale Wert f von x0. So, und jetzt schauen wir uns an, was heißt das denn für

den Differenzenquotienten f von x0 plus h minus f von x0 durch h. Und zwar einmal im Fall, dass h positiv ist und einmal im Fall, dass

h negativ ist. So, wenn h positiv ist, dann teile ich durch etwas Positives und hier im Zähler, da steht etwas Negatives

oder nicht Positives. Das heißt, das hier ist kleiner oder gleich Null. Wenn h negativ ist, dann teile ich durch etwas Negatives und habe im Zähler etwas, was nicht positiv ist. Also kriege ich ein größer Gleich Null geschenkt. Und was heißt das für die Limiten?

Nun, der Limes h gegen Null von unten von f von x0 plus h minus f von x0 durch h, der muss dann auch größer oder gleich Null sein.

Aber für den Limes, der von oben kommt, finde ich die andere Abschätzung. Also h von rechts gegen Null, f von x0 plus h minus f von x0 durch h, das ist kleiner oder gleich Null.

Aber diese beiden Limiten hier, die existieren und sind gleich. Denn f ist ja schließlich differenzierbar. Und das heißt, dass hier überall

istgleich stehen muss, damit diese Bedingung wahr sein kann. Und damit habe ich den Satz bewiesen. Jetzt sagen Sie halt stopp. Sie haben doch jetzt das Ganze nur gezeigt für ein lokales Maximum.

Sag ich ja, das stimmt. Aber für den Fall eines lokalen Minimums können Sie einfach minus f betrachten und denselben Beweis durchführen.

Oder Sie machen die Fallunterscheidung andersrum. Natürlich gehört zu diesem Satz auch das berühmteste Beispiel dafür, dass die Bedingung nur notwendig ist, nicht hinreichend.

Also betrachten die Funktion f von x, also f, die x schickt auf x², das heißt, die geht von r nach r. Nun, und wir wissen f' von x, das ist uns gegeben als 2x. Und das heißt, f' hat in x0, was gleich Null ist, eine Nullstelle.

So, das heißt, das ist ein kritischer Punkt.

Das heißt, ein kritischer Punkt, damit meine ich einen, wo wir gucken müssen, ob eine Extremum vorliegt oder nicht.

Ja, und jetzt haben wir natürlich für x größer als Null, f von x auch größer als Null. Und für x kleiner als Null haben wir f von x auch größer als Null.

Das heißt, ja, an der Stelle haben wir wirklich ein Extremum, denn f von Null gleich Null, an der Stelle haben wir also wirklich ein lokales Minimum.

Das dann sogar ein globales ist, denn schließlich haben wir hier unbeschränkte Definitionsbereich. So, und das Gegenbeispiel, also das Beispiel dafür, dass die Bedingung

nur notwendig ist, nicht hinreichend, das kennen Sie wahrscheinlich auch zu Genüge. Das ist die Funktion, die x schickt auf x³, auch sie von r nach r definiert. Wir finden als Ableitung in dem Fall 3x², das heißt, x0 gleich Null ist als Nullstelle der Ableitung ein kritischer Punkt.

Aber jetzt haben wir f von x, das ist kleiner als Null, wenn x kleiner als Null ist, und das ist größer als Null, wenn x größer als Null ist.

Und das heißt, die Funktion, die wächst einfach immer weiter, an der Stelle haben wir also kein Extremum. Aber malen wir es uns nochmal ganz kurz auf, hier im ersten Beispiel, da

haben wir unsere Parabel und wir haben eben in der Null eine waagerechte Tangente. Und hier in dem Fall f von x gleich x³, dann sieht das hier irgendwie so aus, schwupp,

auch da haben wir in Null eine waagerechte Tangente, aber eben nur einen sogenannten Sattelpunkt und keine Extremstelle.