transponierte Matrizen. Betrachten wir eine Matrix A, eine M-Kreuz-N-Matrix mit den Einträgen A, I, J, wobei I die Zahlennummer J die Spaltennummer ist. Dann ist die zu A transponierte Matrix A hoch T oder A transponiert

definiert als die Matrix mit den Einträgen A, J, I, wobei also jetzt J die Zahlennummer und I die Spaltennummer ist. Das heißt ist A von der Form A11, A12 und so weiter bis

A1n, A21, A22 etc. bis A2n, Am1, Am2 und so weiter bis Amn. Dann schauen wir uns die erste

Zeile hier von A an und schauen wo finden wir sie in A transponiert wieder. Wir finden sie in Genauso ist die zweite Zeile von A nun die zweite Spalte von A transponiert. Um von A

zu A transponiert zu kommen vertausche ich also Zeilen und Spalten und Spalten und Zeilen wiederum. Machen wir das an einem Beispiel A gleich ganz einfach 1 2 3 4 5 6 das ist dann A transponiert ich mache diese Zeile zu einer Spalte es ist also so als würde ich hier an

erste Spalte 1 2 3 das zweite Spalte 4 5 6. Machen wir noch ein Beispiel wenn ich mit

einem Spaltenvektor starte und ich transponiere den dann bekomme ich einen Zeilenvektor

1 2 3 transponiert das ist 1 2 3 und wenn ich einen Zeilenvektor transponiere dann erhalte ich einen Spaltenvektor also 1 2 3 noch mal transponiert ist 1 2 3. Das

transponieren von Matrizen hat einige schöne Eigenschaften die ich hier zusammenfasse. Zunächst einmal führt das zweifache transponieren einer Matrix A wieder zu dieser ursprünglichen Matrix

A. Ich denke das ist klar beim transponieren vertauschen wir Zeilen und Spalten machen wir das noch mal vertauschen also wieder Zeilen und Spalten dann sind die neuen Spalten wieder gleich den ursprünglichen und genauso für die Zeilen. Betrachten wir zwei Matrizen

mit denselben Abmessungen A und B und davon die Summe und transponieren das so können wir auch A transponieren und dazu B transponiert dazu addieren. Auch das ist leicht einsichtig

denn die Addition von Matrizen die ist komponentenweise definiert und wenn ich also so eine Komponente in der Summe nehme und dann die Indizes vertausche dann komme ich genau auf die Komponente dieser Summe. Auch wenn ich eine Matrix mit einer Zahl multipliziere

und sie transponiere so kann ich genauso gut erst die Matrix transponieren und dann mit dieser Zahl malnehmen. Denn malnehmen mit einer Zahl heißt wir nehmen jeden Eintrag der Matrix mit

dieser Zahl mal und dann ist natürlich dieser Eintrag auch mit dieser Zahl multipliziert wenn ich A transponiert habe. Interessant dagegen ist diese Eigenschaft der Produkte dazu muss ich jetzt natürlich eine Matrix C nehmen die ich überhaupt an A ran multiplizieren

kann das heißt wenn A eine M Kreuz N Matrix ist lassen wir uns annehmen dass C eine N Kreuz R Matrix ist und dann ist die transponierte das Produkt des A mal C gleich dem Produkt der transponierten Matrizen in umgekehrter Reihenfolge. Um das zu sehen rechnen wir es doch

einfach nach. Also schauen wir uns das Komponentenweise an. Was ist A mal C transponiert und davon sagen wir die J ite Komponente und das ist nach Definition die ij Komponente von A mal C und dann schreibe ich die doch

einfach hin mit der Formel für dieses Matrix Produkt. Das ist die Summe über die A ik mal C kj für k gleich 1 bis der

mittlere Index geht bis N. So jetzt möchte ich in diesen Produkten von jetzt Zahlen einfach nur die Reihenfolge vertauschen. Für Zahlen darf ich das. Das ist also gleich dem und jetzt interpretiere ich diese

Einträge von C ein bisschen um. Schließlich ist der kj Eintrag von C der Jk Eintrag von C transponiert und der

i Karte Eintrag von A ist der k ite Eintrag von A transponiert. Und jetzt schauen wir was da steht. Wir summieren k gleich 1 bis N C transponiert Jk mal A transponiert k i. Das ist genau der Eintrag von C transponiert mal A

transponiert und welche nun der J ite. Und jetzt schauen wir uns beide Seiten unserer Rechnung an. Sehen das ist hier

tatsächlich der J ite Eintrag von A mal C transponiert ist der J ite Eintrag von C transponiert mal A transponiert und das steht nun für alle J von 1 bis M und für alle i von 1 bis R. Damit haben wir diese Eigenschaft hier nachgerechnet.

Das ist ein beliebter Fehler diese Reihenfolge nicht zu vertauschen, aber nur so als Nebenbemerkung. A transponiert mal C transponiert ist gar nicht immer definiert. Es ist nur definiert wenn M gleich R ist. Aber auch dann können wir nicht

einfach diese beiden Matrizen vertauschen. Im weiteren beschränke ich mich auf quadratische Matrizen. Wenn ich eine N Kreuz N Matrix transponiere so erhalte ich wiederum eine N Kreuz N Matrix.

Allerdings gilt das hier auch allgemein für nicht quadratische Matrizen. Der Rang von A der ist gleich dem Rang von A transponiert. Wir hatten gesehen der Rang der Zeilenrang

einer Matrix ist gleich dem Spaltenrang der Matrix. Wenn ich also den Zeilenrang von A betrachte dann ist das ja der Spaltenrang von A transponiert. Der Spaltenrang von A transponiert ist aber gleich dem Zeilenrang von A transponiert und das ist der allgemeine Rang. Also gilt diese

Gleichung. Auch die Determinanten von A und A transponiert sind dieselben und wenn die Determinante ungleich Null ist dann kann ich A invertieren und ich kann auch A transponiert

invertieren und das inverse von A transponiert das ist dann gegeben als das inverse von A transponiert. Wenn wir das so gegeben haben können wir das schnell nachrechnen. Also was ist denn A transponiert mal A hoch minus eins transponiert. Da möchte ich nun zunächst mal die Transponiertheiten

zusammenfassen. Das kann ich machen wenn ich die Reihenfolge in diesem Produkt umkehre. Das ist also A hoch minus eins mal A transponiert. A hoch minus eins mal A das ist aber die

Einheitsmatrix und das ganze transponiere ich noch. So und jetzt schauen wir uns mal an was ist die Einheitsmatrix transponiert. Das ist diese Diagonalmatrix mit lauter Einzern transponiert. Das ist einfach wieder die Matrix selbst. Und anders herum rechnen wir A hoch

minus eins transponiert mal A transponiert. Dann ist das wieder nach der Regel ich fasse

das Produkt zusammen, ziehe also die Transposition nach draußen indem ich die Reihenfolge hier umdrehe. Das ist A mal A hoch minus eins transponiert was wieder die Einheitsmatrix transponiert ist. Also sehen wir hier raus wenn A invertierbar ist dann ist auch A transponiert

invertierbar und die Inverse ist durch diese Formel gegeben. Kommen wir noch zu einer kleinen Anwendung mit Hilfe von transponierten Matrizen können wir zum Beispiel das Euclidisches Skalarprodukt anders schreiben. Wir nehmen also einen Vektor x aus dem R hoch n und einen

Vektor y aus dem R hoch n und betrachten deren Euclidisches Skalarprodukt. Das ist nur die Summe über die Produkte der Komponenten xyj. Wenn wir nun x transponiert betrachten

dann wird ja aus dieser Spalte eine Zeile und x transponiert mal y. Das ist dann ein Matrixprodukt. Eine 1 Kreuz n Matrix mit einer n Kreuz 1 Matrix. Das gibt eine

1 Kreuz 1 Matrix und die ist genau gegeben als x1 mal y1 plus x2 mal y2 und so weiter

bis xn mal yn. Also entspricht dieses hier genau dem Euclidischen Skalarprodukt. Nun kann ich nicht nur das Skalarprodukt von x und y bilden sondern ich kann vor y auch

noch eine Matrix schalten. Also ich betrachte das Skalarprodukt von x und ay. Das ist wenn wir diese Notation benutzen x transponiert mal a mal y und nun möchte ich das hier

zusammenfassen. Das heißt ich ersetze a durch a transponiert. Dann kann ich diese zwei Terme zusammenfassen. Das wird ein a transponiert x transponiert mal y. Und da wende ich wieder diese Formel an. Das heißt hier hinten steht y und im vorderen

Argument steht nun a transponiert x. So ist also diese Matrix aus dem hinteren Argument durchs transponieren ins vordere Argument gewandert. Und jetzt kann auch der schöne

Fall eintreten das a transponiert gleich a ist. In dem Fall nennt man a symmetrisch. In diesem Fall würde sich dann gar nichts daran ändern ob ich die Matrix a im linken

oder im rechten Argument habe. Also a transponiert gleich a noch mal hingeschrieben. Das heißt dass die Einträge a, i, j und a, j, i übereinstimmen für i und j von 1 bis n.

Geben wir noch ein Beispiel. Die Matrix a gleich 2, 1, 1, 2. Die ist symmetrisch. Wenn wir die stürzen, dann vertauschen wir Zeilen und Spalten. Diese Spalte hier ist

gleich der Zeile. Diese Spalte ist gleich der Zeile a gleich a transponiert.