Die Laplace-Entwicklung stellt eine weitere Möglichkeit, da die Determinante einer Matrix zu berechnen. Wir lernen hier die Entwicklung nach der I-Zeile oder J-Spalte kennen. Dafür starten wir mal mit einer quadratischen N-Kreuz-N-Matrix A und definieren zunächst, was wir unter den Matrizen A, I, J verstehen wollen.

Diese Matrizen entstehen aus A, indem man die I-Zeile und die J-Spalte streicht. Die so entstehende Matrix hat dann die Abmessungen n-1 mal n-1 und das ist eine sogenannte Untermatrix von A.

Das kann ich natürlich für jede Zeile und für jede Spalte so definieren. Die Laplace-Entwicklung nach der I-Zeile sagt dann aus, die Determinante von A

ist eine Summe von den Determinanten der A, I, J, also der Unter-Determinanten von A und zwar welche. Nun, wir nehmen, wenn wir nach der I-Zeile entwickeln wollen, alle Determinanten von A, I, J

summieren über J gleich 1 bis N und zwar mit den Gewichten minus 1 hoch I plus 1 mal den Eintrag A, I, J. Also A, I, J wäre dieser Eintrag hier. Dann brauchen wir noch ein Vorzeichen und dann brauchen wir alle diese Unter-Determinanten.

Genauso kann man dann die Laplace-Entwicklung nach der J-Spalte hinschreiben. Da summieren wir über die Zeilen, also Determinante von A, I, J, summiert über I,

halten J fest für die J-Spalte und das Gewicht ist wiederum minus 1 hoch I plus J, A, I, J. Die Laplace-Entwicklung führt also die Determinante von A auf die Determinanten von solchen Matrizen kleinerer Größe zurück.

Und wann ist es wirklich sinnvoll, so eine Laplace-Entwicklung in der Praxis anzuwenden? Nun, das ist sinnvoll, wenn diese Summe hier zusammenschrumpft. Also wenn sehr viele dieser A, I, J, die wir hier oder hier aufsummieren, null sind.

Und das heißt, wenn eine Spalte oder eine Zeile dünn besetzt ist. Schauen wir uns das am besten an einem Beispiel an. Diese Matrix A hier hat eine dünn besetzte vierte Zeile, nur der allerletzte Koeffizient ist ungleich Null,

und eine dünn besetzte Spalte, die dritte hier, in der nur der dritte Koeffizient ungleich Null ist. Dementsprechend würde es sich anbieten, die Determinante von A nach der letzten Zeile oder nach der dritten Spalte zu entwickeln. Wir machen einfach mal beides.

Fangen wir damit an, nach der vierten Zeile zu entwickeln. Dann ist das formal hier erst mal die Summe J gleich 1 bis 4 minus 1 hoch 4 plus J A4J mal der Determinante A4J.

Und wir sehen, weil die alle gleich Null sind, außer für J gleich 4,

schrumpft diese Summe hier zusammen auf den vierten Summanden. Das gibt uns ein minus 1 hoch 4 plus 4, dann A44, das ist 5. Und jetzt müssen wir in A die vierte Zeile und die vierte Spalte streichen.

Das, was dann übrig bleibt, ist diese Matrix hier im Eck oben links. Also mal der Determinante 2, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 7, 2.

Ja, und das können wir noch vereinfachen. Minus 1 hoch 4 plus 4, das ist 1, dann haben wir 5. Und jetzt brauchen wir die Determinante von dieser Matrix. Da sehen wir, das ist eine untere Dreiecksmatrix.

Also ergibt sich die Determinante aus dem Produkt der Diagonaleinträge, mal 2, mal 3, mal 2. Das ist 5 mal 4, 20 mal 3, das ist 60. Und jetzt entwickeln wir das Ganze zur Übung auch noch nach der dritten Spalte.

Da steht nun erst mal formal die Summe I gleich 1 bis 4 Minus 1 hoch I plus 3, Ai3, Determinante von Ai3.

Ja, und auch hier sehen wir, da bleibt nur einsummand übrig, nämlich der dritte.

Also steht da minus 1 hoch 3 plus 3, das ist 1. Dann haben wir A3, 3. Das ist 2 mal der Determinante, in der ich die dritte Spalte und die dritte Zeile streiche.

Ich mache das hier mal. Dann können wir schön ablesen, wie die Determinante dann aussieht, beziehungsweise die Matrix, von der wir die Determinante nehmen wollen.

Das ist diese Matrix. Ja, jetzt haben wir hier eine 3-Kreuz-3-Matrix und da haben wir viele Möglichkeiten, die Determinante zu berechnen. Ich möchte einfach mal, weil wir dabei sind, Laplace zu entwickeln, jetzt hier noch nach der dritten Zeile entwickeln.

Denn da sind wieder alle bis auf den letzten Summanden 0. Und was ist der letzte Summand? Das ist minus 1 hoch, die Nummerierung von diesem Eintrag, also 3 plus 3,

der Eintrag selbst, mal die Determinante, die entsteht, wenn ich die Zeile und die Spalte streiche, also 2, 0, 1, 3. Das ist eine 2-Kreuz-2-Matrix, deren Determinante können wir schön berechnen.

Der Vorfaktor ist plus 1 mal 10 und die Determinante ist hier 2 mal 3 minus 1 mal 0, also mal 6 und das ist wiederum 60. Machen wir noch ein kleines Beispiel, wieder eine 3-Kreuz-3-Matrix

mit einer dünn besetzten dritten Spalte, also entwickle ich nach der. Da ist nur der zweite Summand ungleich 0.

Das heißt, ich habe hier ein Vorzeichen, minus 1 hoch Nummer des Eintrags, also i plus j, das ist hier 2 plus 3, mal den Eintrag selbst, mal der Determinante, die entsteht, wenn ich die Spalte und die Zeile hier streiche,

also die Determinante von 2, 3, minus 1, 3. Und das ist nun minus 1 mal diese Determinante. Das ist 2 mal 3 minus minus 1 mal 3. Also erhalten wir hier die Determinante minus 9.