Es gibt eine Eigenschaft von differenzierbaren Funktionen, die ist so wichtig, dass sie ein eigenes, kleines Video bekommt. Und das ist die folgende. Eine Funktion, die differenzierbar ist, die ist auch stetig. Also exakt ausgedrückt, eine Funktion f von D nach R, die in einem Punkt x0 differenzierbar ist, ist auch stetig in x0.

Und das wollen wir beweisen. Und wovon gehe ich aus? Also f ist differenzierbar in x0.

Das heißt, dass der Limes x gegen x0 des Differenzenquotienten existiert. So. Und jetzt schaue ich mal, was ich so machen kann.

Also erstmal kann ich f von x, hier kompliziert schreiben, als f von x0 plus f von x minus f von x0. Da ist noch nichts groß passiert. Ich habe hier einfach einmal f von x0 addiert und dann wieder abgezogen.

So. Wenn ich dabei x ungleich x0 setze, dann kann ich mit x minus x0 erweitern.

Und es ist immer noch nichts geschehen. Ja. Und jetzt schauen Sie, was wir da stehen haben. Ich habe hier den Limes x gegen x0. Da weiß ich existiert und ist gleich f' von x0. Das ist die Voraussetzung.

Und x gegen x0 geht natürlich im Limes gegen 0. So. Das heißt, ich kann hier überall Limiten davor schreiben und die existieren hier auf der Seite.

Das heißt, der Limes dort existiert und ist gleich dem Produkt aus diesem hier. Der Limes x gegen x0 f von x ist gleich f von x0 plus f' von x0 mal 0.

Ich schreibe nochmal dazu, das waren die Grenzwertsätze. So. Also das hier ist gleich 0. Dema steht hier einfach nur f von x0.

So. Und was ich hier gezeigt habe, ist der Limes x gegen x0 f von x gleich f von x0. Das heißt, gerade f ist stetig in x0.